合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A .答案
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一、填空题
１．6
e ；２. 4
22
12)arctan(x x x ++ ；３.
22
22x x x e e C ----+；４. ex y =； ５
.
1)e π
-． 二、选择题
１. C ；２. B ；３. B ；４. B ；５. D ． 三、解：
１．利用夹逼准则,
22222
221
11ππ2πππ
n n n n n n n n n n ⎛⎫
<+++<
⎪+++++⎝⎭ 再由22π
1
lim lim 1
1πn n n n n n →∞→∞==++，222π1lim lim 11πn n n n n →∞→∞==++ 22
2111
lim (
)12n n n n n n ππ
π
→∞+++
=+++ ２．原式23-0)(-3211
cos x -3sinx lim 2120x =+=-=→x x ；
３．两边取对数 , 化为隐式ln sin ln y x x =⋅，
两边对 x 求导，
1sin cos ln x y x x y x
'=⋅+ sin sin (cos ln )x x
y x x x x
'∴
=⋅+
； ４．
22
23d 1d 1, d 2d 4y y t x t x t
+==-； ５．解：
22arctan 1111
arctan ()arctan 1x dx xd x dx x x x
x x =-=-+⋅+⎰⎰⎰ 22
1111arctan ()arctan ln ln(1)12x x dx x x x C x x x x =-+-=-+-+++⎰６．
2
1012
1101
(1)()(1)1f x dx f x dx dx ln x dx x ---==+++⎰
⎰⎰⎰ 2ln 214
π
=
+-．
四、解 ()()
2
21cos lim lim 1x x x f x x --
→→-==
()22
000cos d cos lim lim
lim 11
x
x x x t t x f x x
+
+
+→→→===⎰ 故()()()0
lim lim 0x x f x f x f -+
→→==.因此()f x 在 0x =处连续. 又()()()()2
3
00021cos 0lim
lim 00x x f x f x x f x x ---→→---'===- ()()()
20
2
00cos d 00lim lim
00
x
x x t t x f x f f x x +++→→--'===-⎰
故()f x 在 0x =处可导，且()00f '=.
五、解 定积分应用：旋转体体积。
法1 所求体积V =“曲边梯形2D D +绕y 轴的旋转体体积1V ”减去“2D 绕y 轴的旋转体体积2V ”，而
dx xe V x
2
2
12⎰=ππ8=（⎰=b
a
y dx x xf V )(2π）
， ππe e V 3
8
23222=⋅⋅⋅=
（圆柱体积减去同底等高圆锥体体积）
， 故
e V V V ππ3
8
821-=-=。
法 2 所求体积可以看成是由切线、y 轴与e y =所围直角三角形绕y 轴旋转的圆锥体体积1V 与由曲线、y 轴与e y =所围曲边三角形绕y 轴旋转的旋转体体积2V 之差：
⎰-⋅⋅=-=e dy y e V V V 122
21)ln 2(23
1ππ
]1ln 2|)ln [(434ln 43411212dy y
y y y y e ydy e e e
e ⎰⎰⋅⋅--=-=
ππππ
]|)ln [(2{43
4)ln 2(434111⎰⎰---=--=
e e
e dy y y e e dy y e e ππππ
)3
18)2(434)]1([2{434e
e e e e e e -=--=----=（
πππππ。■ ．
六、解 证：令)0(1ln )(>+=x x x x f 0111)(22令
==-=-='x
x x x x f 得唯一驻点1=x
01212
1)1(1
3
2>=+-=+-
=''=x x x f
∴唯一驻点1=x 是极小值点也是最小值点
1)1()(=≥∴f x f ，即）
，（011
ln >≥+x x
x
七、作辅助函数2015()()x
F x e
f x -=，则)(x F 在]1,0[上满足罗尔定理的条件，故在)1,0(内
至少存在一点ξ，使0)](2015)([)(2015=-'='-ξξξξ
f f e F ，注意到02015≠-ξe ，即得
()2015()f f x ξ'=．