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居余马线性代数第三章课后习题

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居余马线性代数第三章课后习题

居余马线性代数第三章课后习题

第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

居余马线性代数课后详细答案

居余马线性代数课后详细答案

1、22220aab a b ab ab abb=⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b aa bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w wwww ww w w w w w w w w www+⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx=++---=-+9、143000400400431(1)0434********324321+-=-=-按第行展开10、公式： 111112111222222122112212000000000000n n nn nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,11100000000(1)0n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：101000010000100200002010(1)1008000080090000910+-⋅按第行展开 9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111112----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 12341234123421113234113410113103110102223412*********114141231123111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、50421111111121011211121021014324741204120032415311115420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 365641111111111111112545325453032750327536342254650328700012254653634203075002001111136564329722------===---根据课本20页公式（1.21），原式012112003*4120322=-=-=-（）15、1200340012132*160013345151-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000130101143100002400024011113-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22） 23001121120030212(1)30212*(5)600024031241240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!00300040005B ---==------=----所以 3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b xa xbc x a b xb xc a b xa xbc a b xb xc a b xb c a b c x a b xb c x x a b c a b xb c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、1111111121111100311111004111110xx x x x y x y yxy++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()00xx xxy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开 2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b ac aab c b a c ab ac aabcb ac a--==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b ac a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac ab ab a b ac a c ac bab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a ab b b a b a b acacabaccc ac a=--=-------整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a ab ac a c b b b cc---=故原式得证。

线性代数课本第三章习题详细答案

线性代数课本第三章习题详细答案
(2) 利用反证法可证得，即假设1,2 ,, s 线性无关，再由（1）得 1, 2 ,, s 线性无 关，与 1, 2 ,, s 线性相关矛盾.
9. 证明：1 2 ,2 3,3 1 线性无关的充分必要条件是1,2 ,3 线性无关.
1 0 1 证：方法 1，（1 2 ,2 3,3 1 ）=（1,2 ,3 ） 1 1 0
(k1 k3 )1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 ) 3 0
因为1,2 ,3 线性无关，所以
kk11
k3 k2
0 0
，可解得 k1
k2
k3
0 ，所以1
2 , 2
3 ,3
1 线性无关.
k2 k3 0
必要性，（方法 1）设1 2 ,2 3,3 1 线性无关，证明1,2 ,3 线性无关，
所以
5 4
1
1 4
2
1 4
3
1 44Βιβλιοθήκη .设存在 k1, k2 , k3 , k4 使得 k11 k2 2 k3 3 k4 4 ，整理得
k1 2k2 k3 0 ， k1 k2 k3 k4 0 ，
3k2 k4 0 ， k1 k2 k4 1 .
解得 k1 1, k2 0, k3 1, k4 0. 所以 1 3 .
0 1 1 101 因为 1,2,3 线性无关，且 1 1 0 2 0 ，可得 1 2,2 3,3 1的秩为 3 011 所以1 2 ,2 3,3 1 线性无关.线性无关；反之也成立.
方法 2，充分性，设1,2 ,3 线性无关，证明1 2 ,2 3,3 1 线性无关.
设存在 k1, k2 , k3 使得 k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0 ，整理得，

线性代数第三章习题及答案

线性代数第三章习题及答案

习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。

大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整

大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整

1 a2 a3 1 0
0
( )( ) ( )( ) 22、解法 1： 1 b2 b3 = 1 b2 − a2 b3 − a3 = b2 − a2 c3 − a3 − c2 − a2 b3 − a3
1 c2 c3 1 c2 − a2 c3 − a3
整理得 = (ab + bc + ca)(b − a)(c − a)(c −b)
1 1 11 1 1 1 1
−2 1 0
1 −1 2 1
1 −1 2 1 0 −2 1 0
13、
第1，4行交换 −
=−
= − −3 −2 −4 = −7
4 1 20
4 1 2 0 0 −3 −2 −4
−1 −5 −3
1 1 11
5 0 4 2 0 −1 −5 −3
14、先将第 1 行与第 5 行对换，第 3 行与第 4 行对换（反号两0 0 1 3 第3，5行对换 − 0 1 0 1 1 = − 6 7 8
= −10*2 = −20
43
00024
00024 010
01 01 1
00 01 3
17、根据课本 20 页公式（1.22）
0 0 1 −1 2
0030 0024 1 240
2
1 −1 2
0 = (−1)2×3 3
2 2 3 L 2 2 第3行 − 第1行 1 0 1 L 0 0
28、
L L L L L L LLLLLL L L L L L L
2 2 2 L n −1 2 第n行 − 第1行 1 0 0 L n − 3 0
−5 0 0 0 0
所以
* A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5!

线性代数课后习题解答第三章习题解答

线性代数课后习题解答第三章习题解答

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线代第3章习题答案

线代第3章习题答案

第3章1. 34(30,10,20,16)γαβ=-=---.2. (1) 能，唯一一种表示：12323βααα=--. (2) 不能.(3) 能，很多种表示：123(21)(35)c c c βααα=-+-++，c 为任意常数. 3. 证明略，唯一表达式为：12123234344()()()b b b b b b b βαααα=-+-+-+. 4. (1) 线性无关. (2) 线性相关.(3) 线性相关，因为4个向量，每个向量维数3维. (4) 若a ,b ,c 均不相等，线性无关，否则线性相关. 5. (1) 线性无关 (2) 线性无关 (3) 线性相关.6. 解：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=，整理可得141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=，因为已知1234,,,αααα是线性无关的，故有 141223340,0,0,0,k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩系数矩阵1001100111000101011000110011000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =. 故12233441,,,αααααααα++++是线性相关的.7. 证：因为任意1n +个n 维向量必线性相关，故12,,,,n αααβ 线性相关，存在 不全为零的1n +个数121,,,n k k k + ，使得112210n n n k k k k αααβ+++++= . 若10n k +=，12,,,n ααα 线性相关，矛盾.所以10n k +≠，β可由12,,,n ααα 线 性表出.下证表达式唯一，类似于定理3.5的证明.8. 证：（反证法即得）.假设1234,,,k k k k 不全为零，其中某个为零，其他的不为零.不妨假设10k =，则2233440k k k ααα++=，其中234,,k k k 均不为零，则可推出 234,,ααα是线性相关的，这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成 立.由假设的任意性可知112233440k k k k αααα+++=，其中1234,,,k k k k 全不为 零.9. 证：设前一向量组的秩为r ，则显然r s ≤，又后一组的秩也为r ，则有1r s s ≤<+，故后一向量组是线性相关的.若r s =,则前一组是线性无关 的，后一组是线性相关的，则由定理3.5知，β可由1α,2α, ,s α线性表出， 且表达式唯一.若r s <，则两组均是线性相关的，且两个向量组的秩是相等 的，也可推出β可由1α,2α, ,s α线性表出. 10. 证：因为12,,n εεε 能由12,,n a a a 线性表示, 所以 1212(,,,)(,,,)n n r r a a a εεε≤ ，而12(,,,)n r n εεε= ，12(,,,)n r a a a n ≤ ，所以12(,,,)n r a a a n = ，从而 12,,n a a a 线性无关.11. 证：因为任一向量β可由12,,,s ααα 线性表出，故n 维基本向量组12,,s εεε能由12,,,s ααα 线性表出，又知12,,,s ααα 可由基本向量组12,,s εεε 表出，故12,,,s ααα 与12,,s εεε 等价，所以12,,,s ααα 的秩为s ，即 12,,,s ααα 线性无关.12. 证：由于123,,ααα线性无关，而1234,,,αααα线性相关，故一定存在123,,k k k , 使得4112233k k k αααα=++.若其中某个i k 不为零，假定10k ≠，则1422331()/k k k αααα=--，知423,,ααα也是极大线性无关组，唯一性矛盾. 故一定有1230k k k ===，即40α=.13. 证：必要性.若12,,,s βββ 线性无关，则12,(,,)s r s βββ= ，又因为 12,12(,,)min{(),(,,,)}s s r r A r βββααα≤ ，而12(,,,)s r s ααα= ，故12,(,,)()s r s r A βββ=≤ ，又因为()r A s ≤，则一定有()r A s =，即矩阵A 可 逆.充分性,若矩阵A 可逆，则在等式两边左乘1A -，然后根据矩阵秩的不等 式可得11212,(,,,)min{(),(,,)}s s r r A r αααβββ-≤ ，显然有112(,,,)()s r s r A s ααα-=≤= ，可推出1212,(,,,)(,,)s s r s r αααβββ=≤ ， 又12,(,,)s r s βββ≤ ，故只能12,(,,)s r s βββ= ，即12,,,s βββ 线性无关. 14. 证：因为向量组12,,,s ααα 的秩为1r ，则其中有1r 个线性无关的向量，设为 112,,,r c c c .向量组12,,,t βββ 的秩为2r ，则其中有2r 个线性无关的向量，设 为212,,,r d d d .则向量组1212,,,,,,s t αααβββ 中线性无关的向量一定在 121212,,,,,,r r c c c d d d 中选取，所以312r r r ≤+. 15. 定义即得.16. （例题）12(,,,)s r r ααα= ，且12,,,r i i i ααα 为其中r 个线性无关的向量.设 k α是向量组中任意一个向量，则12,,,,r i i i k αααα 线性相关，否则向量组的 秩会大于r .所以，由定理3.5，k α可由12,,,r i i i ααα 线性表出，故 12,,,r i i i ααα 为向量组的一个极大线性无关组.17. (1) 11311322601003000004000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故123()(,,)2r A r ααα==, 1α 2α 3α故一个极大线性无关组是1α，2α.(2) 24611231123100013691000012310000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，4α.(3) 12341234234501233456000045670000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，2α.18. (1) 11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,x x x x x x x ⎧-+-=⎨-+=⎩方程组的一般解为:34343432722x x x x X x x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可得方程组的一个基础解系为：137,,1,022Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，[]21,2,0,1T η=--.通解为1122X k k ηη=+，1k ，2k 为常数.(3) 212112133112054736290010A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，于是得阶梯形方程组12342343230,5470,0,x x x x x x x x ---=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩方程组的一般解为44417,,0,55TX x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，可得方程组的一个基础解系：117,,0,155Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，通解为11X k η=.(4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:()23423413,,,4TX x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系：11,1,0,04Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，23,0,1,04Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31,0,0,14Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.通解为112233X k k k ηηη=++，1k ，2k ，3k 为常数.19. 证:首先由定理3.9知AX O =的基础解系含有n r -个线性无关的解向量.设 12,,,r ηηη 是AX O =的任意n r -个线性无关的解向量，要证12,,,r ηηη 是 AX O =的基础解系，只需证AX O =的任一解向量β都可由12,,,r ηηη 线性 表出.事实上，12,,,,r ηηηβ 必线性相关（否则AX O =的基础解系至少含有 1n r -+个线性无关的解向量，与已知矛盾），所以β都可由12,,,r ηηη 线性 表出，故12,,,r ηηη 是AX O =的基础解系.20. 证:假定一个基础解系为12,,s ηηη ,向量组12,,,s βββ 与其等价，故也含 有s 个向量.已知向量组12,,,s βββ 满足线性无关性，又因为每一个解向量 都可以由12,,s ηηη 线性表出，而12,,s ηηη 和12,,,s βββ 是等价向量组， 根据线性表出的传递性，每个解向量都可以由12,,,s βββ 线性表出，故 12,,,s βββ 也是一个基础解系.21. 证：先证122331,,ηηηηηη+++线性无关.设存在123,,k k k ,使得 112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=，又因为123,,ηηη线性无关，则1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 可得只能1230k k k ===，即122331,,ηηηηηη+++线性无关.由于112223331()()()X k k k ηηηηηη=+++++ 131122233()()()k k k k k k ηηη=+++++，可知任意一个向量都可由122331,,ηηηηηη+++线性表出， 即122331,,ηηηηηη+++也是AX O =的一个基础解系.22. 证:（1）反证法，若12,γγ线性相关，则12,γγ一定成倍数关系，不妨令12k γγ=. 又因为12γγ≠,故1k ≠.由于12γγ-为齐次线性方程组AX O =的解，并且 122(1)k γγγ-=-，所以有22(1)(1)A k k A O γγ-=-=，而1k ≠，则有2A O γ=， 这与2A γβ=矛盾，所以假设不成立，即12,γγ线性无关.（2）若()1r A n =-，则齐次线性方程组AX O =的基础解系中只有一个解向 量，又12()A O γγββ-=-=，故112()k γγ-即为基础解系，其中1k 为某个非 零常数，又已知η是齐次线性方程组AX O =的解，则一定有2112()k k ηγγ=-， 即说明12,,ηγγ是线性相关的.23. (1)[]27316121123522401151109417200000A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：123423422,11510,x x x x x x x --+=-⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为：()()3434341129,105,,1111TX x x x x x x ⎡⎤=-+--+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：0210,,0,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，291,,0,11111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：01122122191111111051111111010001X k k k k ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1k ，2k 为常数. (2) []15231115231131425021131901170091475361100000A β----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 于是得阶梯形方程组：12342343452311,23,9147,x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为：()444431751,,714,29189TX x x x x ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01770,,,099Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：13514,,,12189T η⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数.(3) []211331321451010407551132121000152A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：12342344324,75511,152,x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取3x 为自由变量，可得方程组一般解为：333131552,,,1573715TX x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01352,,0,15315Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,077Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数. (4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为: []2345234544236,,,,TX x x x x x x x x =+-+-, 可得一个特解为：[]04,0,0,0,0Tη=， 一个基础解系：[]14,1,0,0,0Tη=，[]22,0,1,0,0Tη=-，[]33,0,0,1,0Tη=,[]46,0,0,0,1Tη=- 通解为011223344X k k k k ηηηηη=++++，1k ，2k ，3k ,4k 为常数.24. 解:[]2211230112302325012112020000A βλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 当20λλ-=，即0λ=或1λ=时有解. 当20λλ-≠，即0λ≠且1λ≠时无解.若有解，得阶梯形方程组：1234234230,2,x x x x x x x λ+-+=⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为： []34343444,2,,TX x x x x x x λλ=-+--+， 可得一个特解为：[]0,,0,0Tηλλ=-，一个基础解系为：[]14,2,1,0Tη=-，[]24,1,0,1Tη=-. 则方程组的通解为：01122X k k ηηη=++，其中1k ，2k 为常数，0λ=或1λ=.25. 解:[]11321113211316301121151010001053115230002226A b b a a b β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---+--⎣⎦⎣⎦，若220a -+=且260b --≠时，即1a =且3b ≠-时，无解. 若1a ≠时，有唯一解为：263420,6,5,11Tb b X b b b a a ++⎡⎤=--+-+⎢⎥--⎣⎦. 若1a =且3b =-时，有无穷多解.此时阶梯形方程组为：12342343321,21,2,x x x x x x x x +++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为： []448,32,2,TX x x =--， 可得一个特解为：[]08,3,2,0Tη=-， 一个基础解系为：[]10,2,0,1T η=-.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数 26. 证法1：单位矩阵E 的每一列都是AX O =的解，故A AE O ==. 证法2：假设A O ≠，则()0r A r =≠，所以AX O =只有n r -个线性无关的解， 显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AX O =的系数矩阵的秩为()r r n <，则AX O =的基 础解系中含有n r -个线性无关的解向量.反证法假设12(,,,)t r n r ααα>- ， 则其中有大于n r -个线性无关的解向量，并且其中每个解向量都可由这 12(,,,)t r ααα 个解向量线性表出，这说明AX O =的基础解系中含有大于 n r -个线性无关的解向量，这与已知矛盾，故假设不成立.则 12(,,,)t r n r ααα≤-28.证:(1)AX O =的基础解系中含有()n r A -个线性无关的解向量，BX O =的基 础解系中含有()n r B -个线性无关的解向量.若AX O =的解均为BX O =的解，即有()()n r A n r B -≤-，故()()r A r B ≥.(2)若AX O =与BX O =同解，通过(1)的结论，基础解系中含有相同个数的 线性无关的解向量，则()()n r A n r B -=-，故()()r A r B =. (3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，但这些解向 量不一定相等.。

线性代数第三 四章答案

线性代数第三 四章答案

解：由3(α1 − α) + 2(α2 + α) = 5(α3 + α) 可得6α = −5α3 + 2α2 + 3α1, 即α = (−5α3 + 2α2 + 3α1)/6 = (1, 2, 3, 4).
3-4. 设β1 = α1 + α2, β2 = α2 + α3, β3 = α3 + α4, β4 = α4 + α1, 证明向量组β1, β2, β3, β4线 性相关.
3v1 + 2v2 − v3 = 3(1, 1, 0) + 2(0, 1, 1) − (3, 4, 0) = (3, 3, 0) + (0, 2, 2) − (3, 4, 0) = (0, 1, 2).
3-2. 设3(α1 − α) + 2(α2 + α) = 5(α3 + α), 其中，α1 = (2, 5, 1, 3), α2 = (10, 1, 5, 10), α3 = (4, 1, −1, 1)，求α.
证明：因为β1−β2 = α1−α3, β4−β3 = α1−α3. 所以β1−β2 = β4−β3, 即β1−β2+β3−β4 = 0，向量组β1, β2, β3, β4线性相关。
3-5. 设β1 = α1, β2 = α1 + α2, · · · , βr = α1 + α2 + · · · αr, 且向量组α1, α2, · · · , αr线性无
4-11.
若方程组
x1 + 2x2 + x3 = 0 2x1 + x2 + λx3 = 0
存在基础解系，则λ等于【5】
4-12. 设A为m × n矩阵，则齐次线性方程组AX = 0有结论【若A有n阶子式不为0，则

居余马线性代数第三章课后习题

居余马线性代数第三章课后习题

第三章 课后习题及解答将1,2题中的向量α暗示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设消失4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整顿得 解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=.设消失 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整顿得02321=++k k k ,04321=+++k k k k ,0342=-k k ,1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=. 断定3,4题中的向量组的线性相干性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4.()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解：3.设消失 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ,由0651321101=,解得321,,k k k 不全为零, 故321,,ααα线性相干.4.设消失 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零,故321,,βββ线性相干. ）（n a a a ,,,21 =α线性相干和线性无关的前提.解：设消失k 使得0=αk ,若0≠α,要使0=αk ,当且仅当0=k ,故,单个向量线性无关的充要前提是0≠α;相反,单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相干的充要前提是0=α.6.证实：假如向量组线性无关,则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关,应用反证法,假设消失该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r≤ααα 线性相干,则向量组n n αααα,,,,121- 线性相干,与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关抵触,所以该命题成立.7.证实：若21,αα线性无关,则2121,αααα-+也线性无关. 证：办法一,设消失21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k , 整顿得,0)()(221121=-++ααk k k k , 因为21,αα线性无关,所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ,可解得021==k k ,故2121,αααα-+线性无关.办法二,因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα, 又因为021111≠-=-,且21,αα线性无关,所以向量组2121,αααα-+的秩为2,故2121,αααα-+线性无关.s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 个中s βββ,,,21 是分离在s ααα,,,21 的k 个分量后随意率性添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所构成的m k +维向量,证实：(1) 若s ααα,,,21 线性无关,则s βββ,,,21 线性无关; (2) 若s βββ,,,21 线性相干,则sααα,,,21 线性相干.证：证法1,(1)设()s A ααα,,,21 =,()s B βββ,,,21 =,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,即,)(s A r = 且s B r =)(,s βββ,,,21 线性无关.证法2,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,再增长方程的个数,得0=BX ,该方程也只有零解,所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 应用反证法可证得,即假设s ααα,,,21 线性无关,再由（1）得s βββ,,,21 线性无关,与s βββ,,,21 线性相干抵触.9. 证实：133221,,αααααα+++线性无关的充分须要前提是321,,ααα线性无关.证：办法1,（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关,且02110011101≠=,可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关;反之也成立.办法2,充分性,设321,,ααα线性无关,证实133221,,αααααα+++线性无关.设消失321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整顿得,因为321,,ααα线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ,可解得0321===k k k ,所以133221,,αααααα+++线性无关. 须要性,（办法1）设133221,,αααααα+++线性无关,证实321,,ααα线性无关,假设321,,ααα线性相干,则321,,ααα中至少有一贯量可由其余两个向量线性暗示,无妨设321,ααα可由线性暗示,则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性暗示,且23>,所以133221,,αααααα+++线性相干,与133221,,αααααα+++线性无关抵触,故321,,ααα线性无关.办法2,令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=,设消失321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=,代入 0332211=++αααk k k 得,0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ,即 因为321,,βββ线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ,所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否准确？如准确,证实之;如不准确,举反例： （1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分须要前提是随意率性两个向量线性无关;解：不准确,须要前提成立,充分前提不成立,例：2维向量空间不在一条直线的3个向量,固然两两线性无关,但这3个向量线性相干.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111001321ααα，，,321,,ααα两两线性无关,而321,,ααα线性相干.（2）m ααα,,,21 ）（2>m 线性相干的充分须要前提是有1-m 个向量线性相干;解：不准确,充分前提成立,但须要前提不成立,例：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001321ααα，，,321,,ααα线性相干,而俩321,,ααα两两线性无关.(3) 若21,αα线性相干,21,ββ线性相干,则有不全为零的数21,k k ,使得02211=+ααk k 且02211=+ββk k ,从而使得0222111=+++）（）（βαβαk k , 故2211βαβα++，线性相干.解：不准确,因为21αα，线性相干和21ββ，线性相干,不一定消失统一组不全为零的数21,k k ,使得02211=+ααk k 和02211=+ββk k 成立;或者说消失两组不全为零的数21,k k 和21,t t 使得02211=+ααk k 和02211=+ββt t 成立.(4). 若321,,ααα线性无关,则133221,,αααααα---线性无关. 解：不准确,因为取1,1,1这组常数,使得0133221=-+-+-）（）（）（αααααα,所以133221,,αααααα---线性相干.(5) 若4321,,,αααα线性无关,则14433221,,,αααααααα++++线性无关; 解：不准确,因为14433221,,,αααααααα++++线性相干, 由9题,n 为奇数个时,线性无关,n 为偶数时,线性相干.(6). 若n αααα,,,,321 线性相干,则113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相干;解：准确,因为n αααα,,,,321 线性相干,所以n αααα,,,,321 中至少有一贯量可由残剩的1-n 个向量线性暗示,则113221,,,,αααααααα++++-n n n 也可由那残剩的1-n 个向量线性暗示,再因为1->n n ,所以113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相干.4321,,,αααα线性相干,但个中随意率性3个向量都线性无关,证实必消失一组全不为零的数4321,,,k k k k ,使得044332211=+++ααααk k k k . 证：因为4321,,,αααα线性相干,所以消失不全为零的常数4321,,,k k k k ,使得044332211=+++ααααk k k k ,假设01=k ,则0443322=++αααk k k ,得432ααα，，01≠k ;同样办法可证得432,,k k k 都不为零. 所以该命题成立.r ααα,,,21 线性无关,证实：r αααβ,,,,21 线性无关的充分须要前提是β不克不及由r ααα,,,21 线性暗示.证：须要性,假设β能由r ααα,,,21 ,则r αααβ,,,,21 线性相干与r αααβ,,,,21 线性无关抵触,故β不克不及由r ααα,,,21 线性暗示.充分性,设消失r k k k k ,,,,210 使得03322110=+++++r r k k k k k ααααβ , 若00≠k ,则β能由r αααα,,,,321 线性表出,抵触,所以00=k , 是以,0332211=++++r r k k k k αααα ,又因为r ααα,,,21 线性无关, 所以021====r k k k ,故,r αααβ,,,,21 线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性暗示： （1）;)3,1,0,1,7(),22,6,9,4,1(),4,3,2,0,1(),2,9,1,4,6(4321-=--=-==αααα（2）)0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321-====-=ααααα; （3）.)3,2,1(),0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(4321-====αααα解：（1）()TT T T 4321,,,αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----322421639092114047116→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101 所以,向量组的秩为3,421,,ααα为一个极大线性无关组,2135ααα-=. （2）相似（1）,可求得向量组的秩为3,421,,ααα为一个极大线性无关组,且2133ααα+=,2145αααα--=.（3）相似（1）,可求得向量组的秩为3,321,,ααα为一个极大线性无关组,312435αααα--=.14.设向量组：).6,5,1,2(),0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(545321=-====-=ξξξξξξ（1）证实21ξξ，线性无关;（2）求向量组包含21ξξ，的极大线性无关组.（1）证：设消失21,k k ,使得02111=+T T k k ξξ,求得021==k k ,所以21ξξ，线性无关;（2）解, ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000011000101101030160142452712110312131,,,,T 54321 ξξξξξT T T T ,所以,421,,ξξξ为包含21ξξ，的一个极大线性无关组.B A ,皆为n 阶矩阵,n B r n A r ≤≤)(,)(,证实：（1）秩)()(00B r A r B A +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛; （2）秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛,C 为随意率性n 阶矩阵. 证：（1）设21)(,)(r B r r A r ==,则消失n 阶可逆矩阵Q P ,,'',Q P , 使得,0001⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E PAQ ,0002''⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E BQ P 从而 则秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00秩).()(00000021''B r A r r r Q Q B A P P +=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）因为秩())(A r C A≥,所以秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛.))(),(min()(B r A r AB r ≤.证：设B A ,分离为s n n m ⨯⨯,矩阵,将A 按列分块,则有()n AB ααα 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ns n n s s b b b b b bb b b212222111211的列向量组s γγ,,1 可由A 的列向量组n ααα,,,21 线性暗示,故AB AB r =)(的列秩A ≤的列秩=)(A r ,同样,将B 按行分块,得)()(B r AB r ≤,是以,该命题成立.1. 设B A ,分离为m n n m ⨯⨯,矩阵,且m n <,证实：齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.证：由m n B r A r AB r <≤≤))(),(min()(,所以0=AB ,故齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.A 是一个n s ⨯矩阵,B 是由A 的前m 行构成的n m ⨯矩阵.证实：若A的行向量组的秩为r ,则s m r B r -+≥)(.证：设,,,2,1),,,,(21s i a a a in i i i ==α⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+s m mA αααα 11,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m B αα 1.设p B r =)(,于是,B 的行向量组的极大线性无关组{}pi i i ααα,,,21含p个向量.是以,A 的行向量组的一个极大线性无关组是向量组{}s m i i i p ααααα,,,,,,121+的一个子集,所以它所含向量个数)(m s p -+≤,即)()(m s p r A r -+≤=, 从而,s m r p B r -+≥=)(.求下列（19—22题）矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：19.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----12100400003210054321.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000200003210054321342112100400003210054321 所以,矩阵的秩为3.04400310531≠-=--为一个最高阶的非零子式. 20. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000400010030012112341 所以,矩阵的秩为3.01203103111≠=--为一个最高阶的非零子式. 21. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------165543131223123.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------165543131223123→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------213200917137039431所以,矩阵的秩为3.014554312123≠-=---为一个最高阶的非零子式. 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000100011000111200112001120011 所以,矩阵的秩为4.011200112001120011≠-=为一个最高阶的非零子式.A 是一个n m ⨯矩阵,证实：消失非零的s n ⨯矩阵B ,使得0=AB 的充要前提是n A r <)(.证：设齐次线性方程组0=AX ,()021≠=s B βββ ,则由0=AB , 可得s j A j ,,2,1,0 ==β,因为,()021≠=s B βββ ,至少有一个0≠j β,再由0=AX 有非零解的充要前提是n A r <)(,故,s j A j ,,2,1,0 ==β, 至少有一个0≠j β的充要前提是n A r <)(.B A ,是同形矩阵,证实：A 与B 相抵的充要前提是)()(B r A r =.证：设B A ,是n m ⨯矩阵,p B r r A r ==)(,)(,则消失可逆矩阵2121,,,Q Q P P , 使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00011rE AQ P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00022p E BQ P , 充分性,因为)()(B r A r =,所以,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011rE AQ P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00022pE BQ P , B Q AQ P P =--121112)(,令Q Q Q P P P ==--121112,)(,故,B PAQ =是以,A 与B 相抵.须要性,因为A 与B 相抵,所以,消失可逆矩阵Q P ,,使得B PAQ =, 是以,)()(B r A r =.A 是n m ⨯矩阵）（n m <,m A r =)(,证实：消失m n ⨯矩阵B 使得m I AB =. 证：因为m A r =)(,所以,消失可逆矩阵Q P ,,使得()0m I PAQ =,所以有()01m I P AQ -=,())0(011--==P I P AQ m, (1)(3) 右端乘m n ⨯阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0P T ,得m I AQT =,令B QT =,故,m I AB =.26.证实：若n 阶方阵A 的秩为r ,则必有秩为r n -的n 阶方阵B ,使得0=BA .证：因为n 阶方阵A 的秩为r ,所以T A 的秩为r ,则0=X A T 的基本解系含有r n -个线性无关的解向量,取这r n -个线性无关的解向量r n X X -,,1 为T B 的列向量,则)()(B r r n B r T =-=.是以,该命题得证.27.证实：任何秩为r 的矩阵可以暗示为r 个秩为1矩阵之和,而不克不及暗示为少于r 个秩为1的矩阵之和.证：设A 为秩为r 的矩阵,则消失可逆矩阵Q P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000r E PAQ , 所以,1111111111)(000--------++=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q B P Q B P Q B B P Q E P A r r r,个中r B B ,,1 为秩为1的矩阵是以,任何秩为r 的矩阵可以暗示为r 个秩为1矩阵之和.后部的证实,（反证法）假设A 为秩为r 的矩阵,能暗示为少于r 个秩为1的矩阵之和,无妨设A 能暗示为p 个秩为1的矩阵之和,个中,r p <,设),(1p B B A ++= 个中p B B ,,1 是秩为1的矩阵.r p B r B r A r p <=++≤)()()(1 ,与r A r =)(抵触.28.求下列齐次线性方程组的一个基本解系及一般解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+=-+-0793083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7931181332111511→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000002271012301 取43,x x 为自由未知量,令0,143==x x 和1,043==x x ,得原方程组的一个基本解系为T T X X )1,0,2,1(;)0,1,27,23(21--=-=,是以,一般解为2211X k X k X +==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102101272321k k ,个中21,k k 为随意率性常数.(2).⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+-+=+---=++-+03162505341211027322028354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------316251534121112732212813→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000000000100121825872183819 取543,,x x x 为自由未知量,令0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x ,得原方程组的一个基本解系为是以,一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=10001000121213825832878191332211k k k X k X k X k X ,个中,321,,k k k 为随意率性常数.29. 求下列非齐次线性方程组的一般解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2749422536372432143214321x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛246714922531372→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01080000151100491取32,x x 为自由未知量,令032==x x ,得方程组的一个特解：T X )10,0,0,8(0-=,再令0,132==x x 和1,032==x x ,得其导出组的一个基本解系：T T X X )5,1,0,4(,)11,0,1,9(21-=-=.所以,方程组的一般解为22110X k X k X X ++=,个中21,k k 为随意率性常数.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12232713345622103112311111→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00231600000000006221051101 取,,,543x x x 为自由未知量,令0543===x x x ,得方程组的一个特解：T X )0,0,0,23,16(0-=;再取0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个基本解系：T T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-==-= 所以,方程组的一般解为3322110X k X k X k X X +++=,个中321,,k k k 为随意率性常数.q p ,取何值时,下列线性方程组有解.无解,有解时求其解.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(32)1(2)3(321321321x p px x p px x p px p x x x p 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+323)1(311213p p p pp p pp →→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++---++-+91536300)1(30321323222p p p p p pp p p p p所以,0=p 或1=p 时,该方程组无解,0≠p 且1≠p 时,有独一解是)1(91532231-+-+=p p p p p X ,)1(912232--+=p p p p X ,)1(912342233--++-=p p p p p X （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++q x x x x x x x x x p x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--q p 3113345622103112311111→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23100000000006221011111q p所以,当0≠p 或2≠q 时,方程组无解; 当0=p 且2=q 时,方程组有无限多解,取543,,x x x 为自由变量,令0543===x x x ,得方程组的一个特解：T X )0,0,0,3,2(0-=;再取0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个基本解系：T T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-=-=-=所以,方程组的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10065010210012100032321k k k X ,个中321,,k k k 为随意率性常数.（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+++-=++=---=-++3)2(2337212432143243214321q x q x x x q qx px x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------333122111072111211q q q q p →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------2211100032003211211q q q q p 所以,当2≠p 且1≠q 时,方程组有独一解. 当1=q 时,方程组无解;当2=p 时,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----22111000300032101211q q q q →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---q 42110000100032101211所以,当2=p 且4=q 时,方程组有无限多解,()()T T k 0,1,2,02,0,7,10--,个中k 为随意率性常数.当2=p 且4≠q 时,方程组无解.A 是n m ⨯矩阵,证实：若任一个n 维向量都是0=AX 的解,则0=A .证：因为任一个n 维向量都是0=AX 的解,则n 维向量T i )0,,0,1,0,,0( =ε（第i 个分量为1其余分量均为0的列向量）知足0),,(),,(11==n n A A A εεεε ,即0=AI ,个中I 是n 阶单位方阵,是以,0=A .32. 设A 是一个s m ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵.X 是n 维列向量.证实：若0)(=X AB 与0=BX 是同解方程组,则)()(B r AB r =.证： 因为若0)(=X AB 与0=BX 是同解方程组,所以,0)(=X AB 的基本解系所含解向量的个数与0=BX 的基本解系所含解向量的个数相等.即)()(B r n AB r n -=-,是以,)()(B r AB r =. 33. 设A 是nm ⨯矩阵,B 是sn ⨯矩阵,证实：若0=AB ,则n B r A r ≤+)()(.证：设),,(1s B ββ =,个中s ββ,,1 是一组列向量,由0=AB 得,s j A j ,,1,0 ==β.若r A r =)(,则0=AX 的基本解系含有r n -个线性无关的解向量,而s ββ,,1 为0=AX 的解向量,则s ββ,,1 可由0=AX 的基本解系线性暗示, 所以,)()(A r n r n B r -=-≤. 故,n B r A r ≤+)()(.*A 是n 阶矩阵A 的陪同矩阵,证实：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1)(,01)(,1)(,)(n A r n A r nA r n A r（2） 1-*=n A A .证：（1）因为I A AA =*,当n A r =)(时,0≠A ,所以0≠*A ,得n A r =*)(; 当1)(-=n A r 时,即至少有一个1-n 阶子式不等于零,所以0≠*A ,且0=A ,因为0≠*A ,所以1)(≥*A r .因为0=A ,所以0=*AA ,即*A 的每一列均是齐次线性方程组0=Ax 的解,所以1)1()()(=--=-≤*n n A r n A r . 是以,1)(=*A r ;当1)(-<n A r 时,A 的任一1-n 阶子式都等于零,所以0=*A ,故0)(=*A r .（2）当0≠A 时,由I A AA =*,得1-*=n A A .当0=A 时,即1)(-≤n A r ,由（1）知,1)(≤*A r ,从而0=*A ,所以1-*=n AA 也成立,故,对随意率性n 阶方阵A ,都有：1-*=n A A .35. 设A 是n 阶可逆矩阵)2(>n ,证实：()A A A n 2-**=.证：因为A 是n 阶可逆矩阵,所所以*A n 阶可逆矩阵,且1-*=n A A . 因为()I A A A ****=,所以()1)(-****=A A A .又因为I A AA =*,所以AA A =-*1)(. 是以,()A A AA AA A A n n 211)(---****===. 36. 设A 是n 阶矩阵,证实：非齐次线性方程组b AX =对任何b 都有解的充要前提是0≠A .证：充分性,因为0≠A ,所以),()(b A r n A r ==. 是以,对于随意率性b ,),()(b A r n A r ==,b AX =有解.须要性,(反证法) 假设0=A , 则n A r <)(.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A ααα 21,则n ααα,,,21 线性相干,从而个中至少有一个向量能由其余向量线性表出,无妨设n α可由121,,,-n ααα 线性表出,取T b )1,0,,0,0( =,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→-1000),(11n b A αα,即),()(b A r A r <,所以方程组无解,抵触. 证实：这个方程组有解的充要前提是∑==510i i a ,在有解的情况下,求出它的一般解.证：因为,121a x x =-,232a x x =-,343a x x =-,454a x x =-,515a x x =-即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----54321543211000111000011000011000011a a a a a x x x x x有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----543211000111000011000011000011a a a a a →→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++----5432143210000011000011000011000011a a a a a a a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1100001100001100001110001A ,增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=123451100001100001100001110001,a a a a a b A ）（, 方程组有解的充要前提为),()(b A r A r =即∑==510i i a .当∑==51i ia时,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000000110000110000110000114321a a a a →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++----000000110001010010010100014434324321a a a a a a a a a a取5x 为自由变量,令05=x ,得方程组的一个特解：T a a a a a a a a a a X )0,,,,(44343243210++++++=;再取15=x 得其导出组的一个基本解系：T X )1,1,1,1,1(1=所以,方程组的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=+=111110443432432110k a a a a a a a a a a kX X X ,个中k 为随意率性常数.38. 已知21ββ，是方程组b AX =的两个不合解,21,αα是对应齐次线性方程组0=AX 的基本解系, 则b AX =一般解是: (A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B) 2)(2112211ββααα++-+k k ; (C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(2121211ββββα++-+k k .解:可证得，，121ααα-是线性无关的且是0=AX 的解,是以是0=AX 的一个基本解系,221ββ+是b AX =的一个解, 是以, 选(B).⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q ,P 为非零矩阵,0=PQ , 则:(A) 当6=t 时,1)(=P r ; (B) 当6=t 时,2)(=P r ; (C) 当6≠t 时,1)(=P r ; (D) 当6≠t 时,2)(=P r ;解: 因为0=PQ , 且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q , 所以3)()(≤+Q r P r , 又因为P 为非零矩阵, 所以1)(≥P r , 当6≠t 时,2)(=Q r , 是以,1)(1≤≤P r , 即1)(=P r , 故选(C).T a a a ),,(3211=α,T b b b ),,(3212=α,T c c c ),,(3213=α,则三条直线)3,2,1(),0(,022=≠+=++i b a c y b x a i i i i i 交于一点的充要前提是:(A) 321,,ααα线性相干, (B) 321,,ααα线性无关;(C) =},,{321αααr },{21ααr ; (D) 321,,ααα线性相干,21,αα线性无关.解:因为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111cy b x a c y b x a c y b x a 有独一解的充要前提是2333222111332211=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a c b a c b a r b a b a b a r , 2333222111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---c b a c b a c b a r ,即321,,ααα线性相干. 2332211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a r ,即21,αα线性无关.所以,选(D). A 是n m ⨯矩阵,)()(n m m A r <=,B 是n 阶矩阵,下列哪个成立?(A) A 中任一m 阶子式0≠; (B) A 中随意率性m 列线性无关;(C) 0≠A A T ; (D) 若0=AB ,则0=B ; (E) 若n B r =)(,则m AB r =)(.解：选 （E ）. n B r =)(, 所以B 可逆,m A r AB r ==)()(.42. 设)2,,,1,(,,,21>=∈m m i R n i m αααα线性无关, 下列哪个成立? (A) 对随意率性常数m k k k k ,,,,321 ,有02211=+++m m k k k ααα ;(B) 随意率性)(m k k <个向量ki i αα,,1线性相干;(C) 对随意率性,n R ∈ββαα,,,1m 线性相干; (D) 随意率性)(m k k <个向量ki i αα,,1线性无关.解：选（D ）,因为整体线性无关,部分必线性无关.γβα,,线性无关,δβα,,线性相干,下列哪个成立?(A) α必可由δγβ,,线性暗示; （B ） β必可由δγα,,线性暗示; (C) δ必可由γβα,,线性暗示; (D) δ必不成由γβα,,线性暗示.解：选（C ）.因为γβα,,线性无关,所以βα,线性无关.因为βα,线性无关,δβα,,线性相干,所以δ必可由βα,线性暗示,从而δ必可由γβα,,线性暗示.44. 设A 是34⨯矩阵,1)(=A r ,321,,ξξξ长短齐次线性方程组b AX =的三个线性无关解,下列哪个是0=AX 的基本解系？ (A) 321ξξξ++ (B)3212ξξξ-+ (C)2312,ξξξξ-- (D)3221,ξξξξ++解：因为1)(=A r ,所以0=AX 的基本解系含有2个线性无关的解,是以(A), (B)不准确.(D)的两个解不是0=AX 的解,故选(C).45. 设向量组{321,,ααα}线性相干,{432,,ααα}线性无关.答复下列问题,并证实之.（1）1α可否由{32,αα}线性暗示？ （2）4α可否由{321,,ααα}线性暗示？解：（1）因为432,,ααα线性无关,所以32,αα也线性无关, 又因为321,,ααα线性相干,所以1α可由32,αα线性暗示.（2）（反证法）假设4α能由321,,ααα线性暗示,再由（1）,1α能由32,αα线性暗示,所以4α能由32,αα线性暗示,即432,,ααα线性相干,与432,,ααα线性无关抵触.所以,4α不克不及由{321,,ααα}线性暗示.46.设A 为n 阶矩阵,若消失正整数)2(≥k k 使得0=αk A ,但01≠-αk A （个中α为n 维非零列向量）,证实：ααα1,,,-k A A 线性无关. 证实：（界说法证）若0121=+++-αααk k A t A t t , 上式双方左乘1-k A 得,022211=+++--αααk k k k A t A t A t 因为0=αk A ,所以0221===-+ααk k A A 是以,011=-αk A t ,又因为01≠-αk A ,得01=t . 应用同样办法,可求得032====k t t t ,是以,ααα1,,,-k A A 线性无关.47.设B A ,分离为n m m n ⨯⨯,矩阵（),m n < 且I AB =（n 阶单位矩阵）, 证实：B 的列向量组线性无关.证：因为I AB =,且,m n < 所以n B r A r n AB r ≤≤=))(),(min()(, 是以,n B r =)(,而B 是n m ⨯矩阵, 故,B 的列向量组线性无关.48.已知秩{321,,ααα}=秩{321,,βββ},个中,)1,0,3(,)3,2,1(21T T =-=ααT )7,6,9(3-=α;T T T b a )0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321==-=βββ,且3β可由321,,ααα线性暗示,求b a ,的值.解：()3321,,,βααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛07-13-1602b 931→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b 5-00034201-11-1 因为3β可由321,,ααα线性暗示,所以有05=-b ,是以,5=b . 所以秩{321,,ααα}=2.因为秩{321,,βββ}=秩{321,,ααα}=2,所以0315=-a ,所以,15=a .49. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 a a a a a a A 为n 阶矩阵（3≥n ）,R ∈a ,且1)(-=n A r ,求a .解：因为)3(21)(≥≥-=n n A r 所以1≠a 因为1)(-=n A r ,所以01)1(=+-a n ,是以,na -=11. 50.设n 阶矩阵A 的每行元素之和均为零,又1)(-=n A r ,求齐次线性方程组0=Ax 的通解.解：因为1)(-=n A r ,所以齐次线性方程组0=Ax 的基本解系中含一个解向量.设()n A βββ 21=,因为A 的每行元素之和均为零,所以021=+++n βββ即0111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛A ,是以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 是齐次线性方程组0=Ax 的一个基本解系.从而,0=Ax 的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 k ξ,个中k 为随意率性常数.51. 已知下列线性方程组I, II 为同解线性方程组,求参数t n m ,,之值.解：因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------542210010101001316011311142011 所以,T )0,5,4,2(---是方程组I 的一个解,因为方程组I 与II 同解,所以它也是方程组II 的一个解,将它带入方程组II,可得：6,4,2===t n m .52.设αβαβγβαT T T T T B A =====,,)8,0,0(,)0,21,1(,)1,2,1(,求解方程γ++=x B x A x A B 44222.解：即求解非齐次线性方程组：γ=--x B A A B )2(4422因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--0100021010180016480816048),2(214422 γA B A B 所以γ=--x B A A B )2(4422的一个特解为：T )0,1,21(.)1,2,1(为其导出组的一个基本解系.是以,γ=--x B A A B )2(4422的一般解为：T T k )1,2,1()0,1,21(+,个中,k 为随意率性常数.53. 设n 阶矩阵),,,(21n A ααα =的行列式0≠A ,A 的前1-n 列构成的)1(-⨯n n 矩阵记为),,,(1211-=n A ααα ,问方程组n x A α=1有解否？为什么？解：无解,因为n A r n A r n =-=),(,1)(11α.54.设βα,均为非零的n 维列向量,T A αβ=,证实：A 中随意率性两行（或两列）成比例.解：因为1))(),(m in()(=≤T r r A r βα,所以A 中随意率性两行（或两列）成比例.55.设n 阶矩阵A 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211A A A A A ,个中11A 为k 阶可逆矩阵（n k <）,证实：消失主对角元为1的上三角矩阵U 和下三角矩阵L ,使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A LAU 0011. 解：由分块矩阵的初等变换,不难知道：所以,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--k n kI A A I L 111210,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--k n kI A A I U 012111. 56. 设B A ,皆为n 阶矩阵,证实：（1）;AB I IAB I -= （2）;BA I AB I -=-（3）)det()det(BA I AB I -=-λλ（λ为随意率性常数）.证：（1）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-AB I B II A B I I A I 00 所以ABI BIIA B II A I-=-00是以,AB I IAB I -=.（2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-I ABA I I A B I I B I 00所以IABA I IA B I I B I 00-=-是以,BA I IAB I -=由（1）即得：BA I AB I -=-.(3)分两种情况来评论辩论.当0=λ时,BA B A AB n -=-=-)1(,成立. 当0≠λ时,因为,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-I A BA I I A B I I B I AB I B II A B I I A I λλλλλλ00,0011 所以,IA BI BA I AB I λλλ=-=-)det()det(.综上,结论成立.57. 证实：若A 是n m ⨯矩阵,r A r =)(,则消失r m ⨯矩阵B ,n r ⨯矩阵C ,且r C r B r ==)()(,使得BC A =（提醒：应用相抵尺度形）. 证实：因为,r A r =)(,所以消失可逆矩阵P (m 阶).Q (n 阶),使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI PAQ ,则11000--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I P A r=11000000-⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q I I P nn rn m r令()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯-⨯--⨯⨯-')(1')(1,n r n n r r m m r m N N Q M M P 因为11,--Q P 为可逆矩阵,所以r m M ⨯的列向量组线性无关,n r N ⨯的行向量组线性无关.令()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯0000,0000')(')(n r n r n n r n n rr m n m r r m m r m N N N I C M I M M B 即知足前提,从而此题得证.58.设B A ,皆为n 阶矩阵,n B r A r <+)()(,证实消失可逆矩阵Q ,使得0=AQB .证实：联合相抵尺度形,不难知道,消失可逆矩阵2211,,,Q P Q P ,使得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000,000)(22)(11B r A r I BQ P I AQ P 因为n B r A r <+)()(,所以02211=BQ P AQ P ,令21P Q Q =,则此题得证. 59. 证实：r ααα,,,21 （个中01≠α）线性相干的充要前提是消失一个)1(r i i ≤<α使得i α可由121,,,-i ααα 线性暗示,且暗示法独一. 证实：（充分性）因为消失一个)1(r i i ≤<α使得i α可由121,,,-i ααα 线性暗示所以,i ααα,,,21 线性相干,从而r ααα,,,21 线性相干.（须要性）因为r ααα,,,21 线性相干,所以消失不全为零的一组常数r k k k ,,,21 使得02211=+++r r k k k ααα在使02211=+++r r k k k ααα 成立的所有不为零的系数中,必有一个最小的下标i ,使0≠i k ,但)(0i j k j >=.下面解释r i ≤<1.假如1=i ,则0,0111≠=k k α,从而01=α抵触.最后证暗示法独一.若121,,,-i ααα 线性相干,则显然得到一组数与前面i k 的取法抵触.所以,121,,,-i ααα 线性无关.又因为i ααα,,,21 线性相干,所以暗示法独一. 60.证实：向量组s ααα,,,21 线性无关的充要前提是),,3,2(11s i k i j j j i =≠∑-=αα.提醒：此命题是59题的逆否命题.61. 设向量组r ααα,,,21 线性无关,如在向量组的前面参加一个向量β,证实：在向量组r αααβ,,,,21 中至多有一个向量)1(r i i ≤≤α可经其前面的i 个向量121,,,,-i αααβ 线性暗示.并在3R 中做几何解释. 证实：反证,设有两个向量)1(,r j i j i ≤<≤αα均可经其前面的向量线性暗示：1111--+++=i i i k k k ααβα （1） 1111--+++=j j j l l l ααβα （2）k l ⨯-⨯)2()1(得：因为r ααα,,,21 线性无关,所以j ααα,,,21 线性无关,i ααα,,,21 线性无关,是以0=k ,则由（1）知i α可由121,,,-i ααα 线性表出,与i ααα,,,21 线性无关抵触.62.证实：在n 维向量空间n R 中,若向量α可经向量组s ααα,,,21 线性暗示,则暗示法独一的充分须要前提是向量组s ααα,,,21 线性无关.证实：（充分性）设有暗示法两式相减得：0)()()(222111=-++-+-s s s l k l k l k ααα因为s ααα,,,21 线性无关,所以s s l k l k l k ===,,,2211 ,即可证暗示法独一.（须要性）反证,设s ααα,,,21 线性相干,则消失不全为零的一组数设为s p p p ,,,21 使得02211=+++s s p p p ααα因为向量α可经向量组s ααα,,,21 线性暗示,所以消失一组常数s q q q ,,,21 使得s s q q q αααα+++= 2211所以,s s s q p q p q p αααα)()()(222111++++++=因为s p p p ,,,21 不全为零,所以这是异于上面的另一种暗示法,从而与暗示法独一抵触.63.设A 是n 阶矩阵,1)(=A r .证实：证实：（1）因为1)(=A r ,所以A 的每行向量成比例,即得此成果.令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a a a b b b k 2121,,,即得此成果.64. 设.),,,(,),,,(,,212121212222111211Tm T m n mn m m n n x x x x b b b b y y y y a a a a a a a a a A==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= （1）证实：如有b Ay =解,则0=x A T 的任一组解m x x x ,,,21 必知足方程.02211=+++m m x b x b x b（2）方程组b Ay =有解的充要前提是方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解（个中0是1⨯n 零矩阵）.证实：（1）因为b Ay =,所以T T T A y b =.是以,对任一组m x x x ,,,21 ,若它知足0=x A T ,则必有0=x A y T T ,即0=x b T ,即.02211=+++m m x b x b x b (2) 方程组b Ay =有解⇔),()(b A r A r =⇔b 可由A 的列向量组线性表出（须要性）因为b 可由A 的列向量组线性表出,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)(TTT T b A r b A r A r 所以,方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解. （充分性）因为方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解,所以1)(10)(+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤T TTT T T A r b A r b A r A r是以,)(TT T A r b A r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,从而b 可由A 的列向量组线性表出. 65. 设A 是一个n m ⨯矩阵,n m <,m A r =)(,齐次线性方程组0=Ax 的一个基本解系为 试求齐次线性方程组的基本解系所含解向量的个数,并求出一个基本解系. 解：齐次线性方程组的基本解系所含解向量的个数为m m n n =--)(.66. 设n m ⨯矩阵A 的m 个行向量是齐次线性方程组0=Cx 的一个基本解系,又B 是一个m 阶可逆矩阵.证实：BA 的行向量也是0=Cx 的一个基本解系.证实：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mm m m m m m b b b b b b b b b B A21222211121121,ααα.则由已知前提：),,2,1(0m i C T i ==α,且 m ααα,,,21 线性无关.因为所以BA 的行向量是0=Cx 的解.又因为B 可逆,A 的m 个行向量线性无关,所以BA 的m 个行向量线性无关,是以BA 的行向量也是0=Cx 的一个基本解系.67.证实：若A 为n 阶矩阵（1>n ）,且0=A ,则A 中随意率性两行（或列）对应元素的代数余子式成比例.证实：因为0=A ,所以1)(-≤n A r ,是以1)(≤*A r ,即可证.68.设A 是n n ⨯-)1(矩阵,j A 暗示A 中划去第j 列所构成的行列式.证实：（1）T n n A A A ))1(,,,(21-- 是0=Ax 的一个解;（2）若j A （n j ,,2,1 =）不全为零,则（1）中的解是0=Ax 的一个基本解系.证实：（1）令)1,,1,1( =α,结构n 阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A B α,不难知道B 中第一行元素的代数余子式分离为：n n A A A +--121)1(,,, .所以A 中的每行元素乘以T n n A A A ))1(,,,(121+-- 均为0,是以,0))1(,,,())1(,,,(12121=---=--+T n n T n n A A A A A A A A(2) 令)0,,0,0( =β,结构n 阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A C β,则不难知道C 中第一行元素的代数余子式分离为：n n A A A +--121)1(,,, .因为jA （n j ,,2,1 =）不全为零,所以C 的陪同矩阵0≠*C ,即1)(≥*C r ,是以1)(-≥n C r ,又因为显然1)(-≤n C r ,所以1)(-=n C r ,所以1)(-=n A r ,从而齐次线性方程组0=Ax 的基本解系中含1)(=-A r n 个解向量.再由（1）及j A （n j ,,2,1 =）不全为零,此题得证. 69.若A 为一个n 阶矩阵,且A A =2,证实n I A r A r =-+)()(.证实：显然,)()(A I r I A r -=-.因为)()()()()()(I A r A r A I r A r A I A r I r n -+=-+≤-+== 所以n I A r A r ≥-+)()(因为A A =2,所以0)(=-I A A ,即I A -的每个列向量均为齐次线性方程组0=Ax 的解,是以)()(A r n I A r -≤-,即n I A r A r ≤-+)()( 综上,n I A r A r =-+)()(70.若A 为一个n 阶矩阵,且I A =2,证实 证实：显然,)()(A I r I A r -=-.因为)()()()()()2(I A r I A r A I r I A r A I I A r I r n -++=-++≤-++== 所以n I A r I A r ≥-++)()(因为I A =2,所以0))((=-+I A I A ,即I A -的每个列向量均为齐次线性方程组0)(=+x I A 的解,是以)()(I A r n I A r +-≤-,即n I A r I A r ≤-++)()( 综上,n I A r I A r =-++)()(71.设B A ,皆为n 阶方阵,证实：n B r A r AB r -+≥)()()(.并问：若m n ij n s ij b B a A ⨯⨯==)(,)(,上述结论是否成立？证实：给出一般情况的解释.设m n ij n s ij b B a A ⨯⨯==)(,)(, ,)(l A r =.则消失可逆矩阵n n s s Q P ⨯⨯,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000lI PAQ .记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n nm n n m m b b b b b bb b b B Q βββ 212122221112111则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-00000000000))((121112112122221112111l lm l l m nm n n m m lb b b b b b b b bb b b b b b I B Q PAQ PAB ββ所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==l r PAB r AB r ββ 1)()(是以)()()()(211l n AB r r B Q r B r n -+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-βββ ,即n B r A r AB r -+≥)()()(.72.设向量组),,2,1(),,,(21n j a a a T nj j j j ==α,证实：假如,,,2,1,1n i a a ni j j ij ii =>∑≠=则向量组n ααα,,,21 线性无关.证实：（反证法）设向量组n ααα,,,21 线性相干,取()n A ααα,,,21 =,则0=A .所以齐次线性方程组0=Ax 有非零解.无妨设Tn x x x ),,,(21为其一个非零解,即它知足),,2,1(,01n i x a nj j ij ==∑=所以),,2,1(,1n i x a x a nij j j ij i ii =-=∑≠=设{}n k x x x x ,,,max 21 =,因为T n x x x ),,,(21 为0=Ax 的一个非零解,所以0≠k x .是以,,11111∑∑∑∑∑≠=≠=≠=≠=≠==≤≤=-==nkj j ij k n kj j k ij n kj j j ij n kj j j ij n kj j j ij k kk k kk a x x a x a x a x a x a x a从而有∑≠=≤nkj j ij kk a a 1,与已知前提抵触,所以假设不成立,所以向量组n ααα,,,21 线性无关.。

居余马线性代数课后详细答案（更新）

居余马线性代数课后详细答案（更新）

1、22220a aba b ab ab ab b =⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi ba bi a bi ab a b ab a b a a bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+---------920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++---45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w w w w w ww w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx =++---=-+9、143000400400431(1)0434*******4324321+-=-=-按第行展开10、公式：11111211122222212211221200000000000n n nn nn nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,1110000000(1)0000n n n n n n n nn n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：10100001000010020*******(1)1008000080090000910+-⋅ 按第行展开9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111110002----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即123412341234211132341134101131031101022234121412022211141412311230111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、504211111111210112111210210143247412041200324153111150420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）3656411111111111111125453254530327503275363422546503287000122546536342030750020011111365640329700022------===--- 根据课本20页公式（1.21），原式012112003*41203022=-=-=-（）15、1200340012132*16001334510051-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*22000013010114301000024000240101100013-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22）23001121120030212(1)30212*(5)6000240312401240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!030004000500B ---==------=----所以3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b x a x b c x a b x b x c a b x a x b c a b x b x c a b xb c a b c x a b x b c x x a b c a b x b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、11111111211111003111110041111100x x x x x y x y y x y++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()000x x x xy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b a c a ab c b ac a b a c a a b c b a c a --==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b a c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a b ab a b a c a c ac b ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a a b b b a b a b a c a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a a b a c a c b bb cc ---= 故原式得证。

线性代数第三章课后习题

线性代数第三章课后习题

习题三（A ）1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵：(1) 112332141022-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1111131320461135-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）24512122111212136363--⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-- ⎪---⎝⎭2.设A 123012425⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010(1,2)100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E ，100(3,2(5))010051⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A .3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵：(1) A 101110012⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）A 211124347--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）A1111022200330004⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4.用初等变换解下列矩阵方程：(1) 设A 101110120⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102102-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且AX =B ，求X .（2）设A 220213010⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且+AX =A X ，求X .5.设矩阵A 122324111222-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，计算A 的全部三阶子式，并求()R A .6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明.7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明.8.求下列矩阵A 的秩：(1) 310211311344⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）1121224230610304-⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭（3）12211248022423336064--⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭(4) 112205123λλλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (5)111111λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设有矩阵A101110112111022264μμ-⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，若()3R=A，求μ的值.10.判断下列命题是否正确．(1) 如果线性方程组AX=0只有零解，那么线性方程组AX=B有唯一解；(2) 如果线性方程组AX=B有唯一解，那么线性方程组AX=0只有零解．11. 解下列齐次线性方程组：（1）12312312325502303570x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（2）1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩（3）31243124312431242530420476023950xx x xxx x xxx x xxx x x-+-=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩（4）3124312412431242350240347045530xx x xxx x xx x xxx x x-+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨--=⎪⎪-+-=⎩12. 解下列非齐次线性方程组：（1）123123123343322323x x xx x xx x x-+=⎧⎪+-=-⎨⎪-+-=-⎩（2）12341234123443222333244x x x xx x x xx x x x+-+=⎧⎪++-=-⎨⎪---+=⎩（3）3124312431243124235324434733749xx x xxx x xxx x xxx x x+++=⎧⎪++-=⎪⎨+++=⎪⎪++-=⎩（4）31231231231224523438214496xx xxx xxx xxx x-+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩13. 确定λ的值，使下列齐次线性方程组有非零解，并求其一般解．（1）123123123x x xx x xx x xλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）123123123240356020x x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩λ14.讨论下列非齐次线性方程组，当λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出一般解:（1）12312321231x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）212312312313422321x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩λλ15. 设有方程组112223334445551x axx axx axx axx ax-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩，证明方程组有解的充分必要条件是51iia==∑.（B ）1.设A 是n 阶可逆阵，互换A 的第i 行与第j 行（i j ≠）得到矩阵B ，求1-AB .2. （研2007数一、二、三）设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为___ ____. 3. （研2010数一）设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，若AB =E ，则正确的是（ ）(A) ()R m =A ，()R m =B (B) ()R m =A ，()R n =B(C) ()R n =A ，()R m =B (D) ()R n =A ，()R n =B4. （研2015数一、二、三）设矩阵A 21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合={1,2}Ω，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件是（ ）(A) a ∉Ω，d ∉Ω (B) a ∉Ω，d ∈Ω (C) a ∈Ω，d ∉Ω (D) a ∈Ω，d ∈Ω5. （研2016数二、三）设矩阵111111a a a --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭与110011101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭等价，则a =____ ____.6.证明：()()R R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A O AB O B . 7.设A ，B 是n 阶非零矩阵，证明：若=AB O ，则()R n <A 及()R n <B .8.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m <.证明：||0=AB .。

线性代数答案第三,四章 课后答案

线性代数答案第三,四章 课后答案

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020031001201 )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000310*******1~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00031005010(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------10105663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2212210022100343112423213~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000002210032011(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------3473238234202173132 242321232~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~rr r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00410001********* 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000410003********* 2．解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等 于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000010000100001α 3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4． 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设 ⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x 故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0010000010000001100101 5．.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------56456401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r rr r r 2000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-． (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~rr rr r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00100007121002301秩为3 三阶子式0702385523085570≠=-=-．6． 解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---34113100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1343344321kx x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00001001021~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x xx x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10010012214321k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x 7． 解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--603411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100011112~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----00007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(0)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解. 9．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=)2)(1(0)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．解 （1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10121121023200010023~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2102121129227100010003~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267100010001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267 (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20143011000010012110012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------1061263111010421110010000100001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211 12．解(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41231521010010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴-4123152101B A X (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛132321433312120B A 初等列变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---474112100010001⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴-4741121BAX ． 第四章 向量组的线性相关性1．解 21v v -TT)1,1,0()0,1,1(-=T)10,11,01(---=T)1,0,1(-= 32123v v v -+TTT)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T)01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=T)2,1,0(=2． 解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61TT T --+=T)4,3,2,1(=3．解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示. (2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关 (3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) Ta )0,1(1= Ta )0,2(2= Tb )3,0(1= Tb )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾. 4．证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 0110110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由011011000111001=知此齐次方程存在非零解则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001101121r k k k因为01111011≠=故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关 6．解 (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r rr --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53153103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---141131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------2221512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 7．解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T TT a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T TTa a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000189903121~秩为2,最大线性无关组为TTa a 21,.8．证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关 不妨设:nnn n n n n n n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛TnT Tnn n n n n T nT Ta a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121 两边取行列式，得TnTTnn n n n n TnTT a a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTT TnTT a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量Tn k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n T T Tnn n n n n T nT T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121 两边取行列式，得TnTTnn n n n n TnTT k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n n n TnTT k k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯nn n n n n nn k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T n TTT nTTT n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε212112121即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关.10． 证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤ 设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示, 即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ),D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明:设T n a a a A ),,,(21 = Tn b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为Tr T T ααα,,,21 Ts T T βββ,,,21显然,存在矩阵B A '',,使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T TT nT T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s TT T n T T B b b b βββ2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T TB A βββααα2121因此 ()()()B R A R B A R +≤+ 12．证明 ⇒若B 组线性无关 令),,(),,(11s r a a A b b B ==则有AK B =由定理知)()}(),(min{)()(K R K R A R AK R B R ≤≤= 由B 组:r b b b ,,,21 线性无关知r B R =)(，故r K R ≥)(. 又知K 为s r ⨯阶矩阵则},min{)(s r K R ≤由于向量组B :r b b b ,,,21 能由向量组A :s a a a ,,,21 线性表示,则s r ≤ r s r =∴},min{综上所述知r K R r ≤≤)(即r K R =)(．⇐若r k R =)(令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数r i ,,2,1 =则有0),,,(121=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r r x x b b b又K a a b b s r ),,(),,(11 =,则0),,(11=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r s x x K a a由于s a a a ,,,21 线性无关,所以021=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅r x x x K即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++00002211221122221121221111r rs s s r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k （1）由于r K R =)(则(1)式等价于下列方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k由于0212221212111≠rrrrr r k k k k k k k k k所以方程组只有零解021====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关, 证毕.13．证明 集合V 成为向量空间只需满足条件： 若V V ∈∈βα,，则V∈+βα若R V ∈∈λα,，则V ∈λα1V 是向量空间，因为：0),,,(2121=+++=n Tn ααααααα 0),,,(2121=+++=n Tn βββββββTn n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+且)()()(2211n n βαβαβα++++++0)()(2121=+++++++=n n αααβββ 故1V ∈+βα),,,(,21n R αααλαλ =∈00)(2121=⋅=+++=+++λαααλλαλαλαn n 故1V ∈λα2V 不是向量空间，因为：)()()(2211n n βαβαβα++++++211)()(2121=+=+++++++=n n αααβββ 故2V ∉+βα),,,(,21n R λαλαλαλαλ =∈λλαααλλαλαλα=⋅=+++=+++1)(2121n n故当1≠λ时，2V ∉λα 14．证明 设),,(321a a a A =11101110,,321a a a A =0211101011)1(1≠-=-=- 于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3, 所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间 就是3R .15．证明 设{}R k k a k a k x V ∈+==1122111,{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量,可写成2211a k a k +, 要证22211V a k a k ∈+,从而得21V V ⊆ 由22112211βλβλ+=+a k a k 得⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ上式中,把21,k k 看成已知数,把21,λλ看成未知数0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故21V V =16．解 由于0623111321,,321≠-=-=a a a 即矩阵),,(321a a a 的秩为3故321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故321132a a a v -+= 设3322112a a a v λλλ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故线性表示为3212233a a a v --=17．.解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0041431004012683154221081~初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x 取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00019719141019119201~367824531232初等行变换A 所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x 取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121n nn ξξξ 18．解由于2)(=B R ,所以可设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43211001x x x x B 则由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=00001001825931224321x x x x AB 可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛59228020802301003014321x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2125212114321x x x x ， 故所求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2125212111001B ． 19．解 显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,)即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x 消去21,k k 得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组. 20．解 由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得齐次解齐次解齐次解=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=+-6543)()()()()(22121321ηηηηηηη为其基础解系向量，故此方程组的通解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，)(R k ∈21．证明 设A 的秩为1r ，B 的秩为2r ，则由0=AB 知，B 的每一列向量 都是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量． 当n r =1时,该齐次线性方程组只有零解,故此时0=B ,n r =1，02=r ，n r r =+21结论成立．(2) 当n r <1时,该齐次方程组的基础解系中含有1r n -个向量,从而B 的列向量组的秩1r n -≤,即12r n r -≤,此时12r n r -≤,结论成立。

线性代数第三章课后答案

线性代数第三章课后答案

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010. (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是 E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ; 解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X . (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TT B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X , 从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X . 解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3. 0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2,71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ). 证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1;(2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数). (3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x , 故方程组的解为 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331, 于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212, 即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k 为任意常数). (3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010002/102/12/11, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).(4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x .解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171, 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x 为通解的齐次线性方程组.解 根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x x x x , 与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x c x c c x c c x , 或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x , 或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr . (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故(1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0.因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故(1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0.因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x当λ取何值时有解？并求出它的解.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ. 要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2.当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001101101, 方程组解为⎩⎨⎧=+=32311x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x , 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数). 当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021102101, 方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x , 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.解 B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ. 要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须(1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解.要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须(1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0,所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须(1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221, 方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=3322321 1x x x x x x x ,或 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数).18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T . 证明 必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为)0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A . 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T . 充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1,所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ;证明 由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=R (A , E m ),而| E m |是矩阵(A , E m )的最高阶非零子式, 故R (A )=R (A , E m )=m . 因此, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m .(2)方程YA =E n 有解的充分必要条件是R (A )=n .证明 注意, 方程YA =E n 有解的充分必要条件是A T Y T =E n 有解. 由(1) A T Y T =E n 有解的充分必要条件是R (A T )=n . 因此，方程YA =E n 有解的充分必要条件是R (A )=R (A T )=n .20. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明: 若AX =AY , 且R (A )=n , 则X =Y .证明 由AX =AY , 得A (X -Y )=O . 因为R (A )=n , 由定理9, 方程A (X -Y )=O 只有零解, 即X -Y =O , 也就是X =Y .。

线性代数第三章习题及解答

线性代数第三章习题及解答

43

3 5 5
2 2 1 5 2 0 0 0 −1 1 0 0
−1 3 0
1

3
6. 设 α1 , α2 , . . . , αn 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e1 , e2 , . . . , en 能由它们线性表示， 证明 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关.
4 1 −1 1 −2 −22 1 −2 −1 3 6
−24 −11 3 −2 1 −2 −1 0 11 −→ 10 5 −20 0 0 0

10 0
5 9 1 T T 齐次方程的基础解系为 ξ1 = ( 21 11 , 11 , 1, 0) , ξ2 = (− 11 , 11 , 0, 1)
α4 = 8 α − α2 + 2α3 5 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 (2) 3 2 0 3 −1 1 1 0 4 −1 1 1 2 2 1 1 1 0 2 1 5 −1 0 2 解： 2 0 3 −1 3 −→ 0 0 1 1 0 4 −1 0 0 α1 α2 α3 α4 α5 1 1 0 4 −1 1 0 0 1 0 1 0 3 −1 3 −→ 0 1 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3 α4 = α1 + 3α2 − α3 , α5 = α3 − α2
T
− 20 83
5 83

− 17 83

线性代数第3章习题解答

线性代数第3章习题解答
一、主要内容
Cauchy 中值定理
F(x)x
洛必达法则
型
f g1g1 f 1g1 f
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange f(a)f(b)
中值定理
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
泰勒公式
导数的应用
,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
几何解释： 曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于
连接曲线端点的弦。
.
线性代数第3章习题解答
柯西中值定理：
若 f(x若 )和 F 1f((x x)):: (1)在 闭 区[a间 ,b]上 连 续 ；
(2在 ) 开区 (a,间 b)内可导；
(F 3 (x ) 0 x ( a ,b ).
.
则 至 少 存在 (一 a,b)， 点使 得
定 理2 如 果 f(x)在 (x0,x0)内 存 在 二 阶 导 数,则点x0,f(x0)是拐点的必要条件是
f"(x0)0.
线性代数第3章习题解答
方法1: 设函f数 (x)在x0的邻域内二, 阶可导 且f(x0)0, (1 )x 0 两f近 (x )变 ,点 旁 (x 号 0 ,f(x 0 )即 ) 为 ; (2 )x 0 两f( 近 x ) 不 旁 ,点 变 (x 0 ,f(x 0 ) 号 不 ) .是
线性代数第3章习题解答
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f(x )在 点 x 0 处 具 有 导 数 ,且 在 x 0 处 取 得 极 值 ,那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 .

线性代数第3章习题答案PPT课件

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3在全为零的数使成立c2设其中则有a向量组是任意实数总线性相关b向量组总线性相关c向量组总线性无关d向量组总线性无关c四若已知向量组证明线性无关线性相关由于向量组证1线性无关则线性无关2线性无关1四若已知向量组证明线性无关线性无关由于向量组证1线性无关线性相关2线性相关2令3已知向量组问线性无关是否线性无关解向量组考察向量方程3已知向量组问线性无关是否线性无关当m为偶数时方程组有非零解则向量组线性相关解向量组当m为奇数时方程组有零解则向量组线性无
k11 k22 knn .
成立.
(2) 设 1 = (1, 0, 0, 1),2 = (1, 2, 0, 2 ),3 (1,2,3,3),
4 (2,1,5,4 ),其中 1, 2 , 3, 4是任意实数, 则有( C ).
(A) 向量组 1,2,3 总线性相关; (B) 向量组 1,2,3,4 总线性相关; (C) 向量组 1,2,3 总线性无关;
问:向量 可以由向量 1,2,3 线性表示?若可以，
写出其表达式.
解： 设 k11 k22 k33, 则有:
8,3,1 k1 1,2,3 k2 3,1,0 k3 1,1,1
即 k1 3k2 k3 8 2k1 k2 k3 3 3k1 k3 1
1 3 1 D 2 1 1 1 0
,r线性表示.选项(A)正确. 此外,显然 1可由1,2 , ,r线性表示, 选项(C)正确. n可由r1 ,r2 , ,n线性表示.选项(D)也正确.
由排除法知选项(B)错误. 故应选(B).
2、 若向量组1,2, ,s 的秩r s ，则 （ B ） A 向量组 1,2, ,s 线性无关；
B 向量组 1,2, ,s 线性相关； C 存在一个向量i 1 i r 可以由其余向量 线性表示； D 任一向量都不能由其余向量线性

线性代数第三章习题答案

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习题三 A 组1. 设1232()3()2()αααααα-++=+，求α，其中1110α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 2011α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，3340α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭。

解123103423221312430103αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关。

(1)131-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，210⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，141⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；（2）230⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，140-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭解（1）121121121101101314077011011011101022000000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭::::, R(A)=2，线性相关（2）210210*********00102002000002-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭::, R(A)=3，线性无关 3. a 取什么值时，下列向量组线性相关？111a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 211a α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，311a α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 解 (法一)求系数行列式3211112(1)(2)11a a a a a a a a-=-+=+-+，令其为0，得1a =-。

由此可知，当1a =-时，R(A)<3，即题给向量组线性相关。

(法二)()23121212311110110101,,111101101111111111r r r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a ααα-+--+-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭:::向量组线性相关，所以10a +=，即1a =-4. 设123,,ααα线性无关，证明：1α，12αα+，123ααα++也线性无关. 证明：设112123123()()0,k k k αααααα+++++=即123123233()()0.k k k k k k ααα+++++=由123,,ααα线性无关，有1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ 所以1230k k k ===，即112123,,αααααα+++线性无关. 5.设1(1,1,1)α=，2(1,2,3)α=，3(1,3,)t α=，问： (1) t 为何值时向量组123,,ααα线性相关。

线性代数第三章习题及解答

线性代数第三章习题及解答

第三章练习题1.已知R (α1,α2,α3)=2,R (α2,α3,α4)=3,证明：(1)α1能由α2,α3线性表示；(2)α4不能由α1,α2,α3线性表示.证明：(1)因为R (α2,α3,α4)=3,于是α1可由α2,α3唯一的线性表示(2)反证，若α4可由α1,α2,α3线性表示,则α4可由α2,α3线性表示，与R (α2,α3,α4)=3矛盾2.a 取什么值时下列向量组线性相关？α1=(a,1,1)T ,α2=(1,a,−1)T ,α3=(1,−1,a )T解： a 111a −11−1a−→01+a 1−a 201+a −(1+a )1−1a那么a =−1或a =2,则三个向量线性相关3.设α1,α2线性无关，α1+β,α2+β线性相关，求向量β用α1,α2线性表示的表示式.解：因为α1+β=k (α2+β),于是β=1k −1α1+k1−k α24.举例说明下列各命题是错误的：(1)若向量组α1,α2,...,αm 是线性相关的，则α1可由α2,α3,...,αm1线性表示；解：例如α1=0,α2,α3为零向量，显然α1不能用其余向量线性表示(2)若有不全为0的数λ1,λ2,...,λm,使得λ1α1+λ2α2+···+λmαm+λ1β1+···+λmβm=0成立，则α1,...,αm线性相关，β1,β2,...,βm亦线性相关.解：取α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,β1=(−1,0,0)T,β2= (0,−1,0)α1+α2+β1+β2=0,但α1,α2线性无关，且β1,β2也线性无关(3)若只有当λ1,...,λm全为0时，等式λ1α1+···+λmαm+λ1β1+···+λmβm=0才能成立，则α1,α2,...,αm线性无关，β1,β2,...,βm 亦线性无关.解：取α1=(1,0,0)T,α2=(1,0,0)T,α3=(0,0,0)Tβ1=(0,1,1)T,β2= (0,0,1)T,β3=(0,0,1)T(4)若α1,α2,...,αm线性相关，β1,β2,...,βm亦线性相关，则有不全为0的数λ1,...,λm,使得λ1α1+···+λmαm=0,λ1β1+···+λmβm=0同时成立.解：取α1=(0,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(1,1,0)Tβ1=(1,0,0)T,β2=2(0,0,0)T ,β3=(−1,−1,1)T5.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关组，并把其余列向量用最大线性无关组线性表示.(1)2531174375945313275945413425322048解：2531174375945313275945413425322048α1α2α3α4−→ 25311743012301350135−→ 25311743012300120000−→10085010−100120000于是最大线性无关向量组之一为α1,α2,α3α4=85α1−α2+2α3(2) 112210215−1203−131104−1 解： 112210215−1203−131104−1α1α2α3α4α5−→ 112210215−100203000001104−10103−1001−1100000 −→ 100100103−1001−1100000于是最大线性无关向量组之一为α1,α2,α3α4=α1+3α2−α3,α5=α3−α236.设α1,α2,...,αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,...,e n能由它们线性表示，证明α1,α2,...,αn线性无关.证明：因为n=R(e1,...,e n)≤R(α1,...,αn)≤n于是R(α1,...,αn)=n，则α1,α2,...,αn线性无关7.设向量组α1,α2,...,αm线性相关，且α1=0,证明：存在某一个向量αk(2≤k≤m)使得αk能由α1,α2,...,αk−1线性表示.证明：反证若∀αk都不能被α1,α2,...,αk−1线性表示，于是对于k1α1+k2α2+···+k mαm=0，则k m=0,若否αm可以被前面m−1个向量线性表示以此类推k2=k3=···=k m−1=k m=0,由于k1,k2,...,k m不全为零，于是k1=0,那么α1=0与题设矛盾，因此命题成立.8.设向量组B:β1,β2,...,βr能由向量组A:α1,α2,...,αs线性表示为(β1,β2,...,βr)=(α1,α2,...,αs)K,其中K为s×r矩阵，且A向量组线性无关，证明：向量组B 线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩为r证明：(=⇒)因为向量组B线性无关，于是R(β1,...,βr)=r,注意到r=R(B)≤R(K)≤r那么R(K)=r4(⇐=)若R (K )=r ,那么线性方程组KX =0只有零解，令KX =Y ,注意到向量组A 线性无关，于是线性方程组AY =0只有零解，由于BX =AY =AKX ,那么BX =0只有零解，于是R (B )=r ,即向量组B 线性无关.9.求下列齐次线性方程组的基础解系：(1) x 1−8x 2+10x 3+2x 4=02x 1+4x 2+5x 3−x 4=08x 1+7x 2+6x 3−3x 4=0解 1−8102245−1876−3−→100−2083010−1783001583ξ=(−20,−17,5,83)T(2) 2x 1−3x 2−2x 3+x 4=03x 1+5x 2+4x 3−2x 4=03x 1+8x 2+6x 3−2x 4=0解 3−3−21354−2386−2−→100−12010−7201−214ξ=(2,14,−21,4)T10.求下列非齐次线性方程组的一般解(1) 2x 1+7x 2+3x 3+x 4=63x 1+5x 2+2x 3+2x 4=49x 1+4x 2+x 3+7x 4=2解 273163522494172 −→274161−2−11−21−24−113−221−2−11−20115−1100−22−102−20−→1−2−11−20115−11003齐次方程的基础解系为ξ1=(2111,511,1,0)T ,ξ2=(−911,111,0,1)T5非齐次方程的一个解为η=(−211,1011,0,0)T ,于是原方程组的通解为ξ=C 1ξ1+C 2ξ2+η,其中C j (j =1,2)为任意常数(2) x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=73x 1+2x 2+x 3+x 4−3x 5=−2x 2+2x 3+2x 4+6x 5=235x 1+4x 2+3x 3+3x 4−x 5=12解1111173211−3−201226235433−112−→1111170122623000000000000齐次方程的基础解系为ξ1=(5,−6,0,0,1)T ,ξ2=(1,−2,0,1,0)T ,ξ3=(1,−2,1,0,0)T非齐次方程组的一个解为η=(−16,23,0,0,0)T于是原方程组的通解为ξ=C 1ξ1+C 2ξ2+C 3ξ3+η,其中C j (j =1,2,3)为任意常数11.设n 阶矩阵A 满足：A 2=A,E 为n 阶单位矩阵，证明：R (A )+R (A −E )=n证明：因为A (A −E )=0若A =E ,所证命题显然成立若A =E ，则线性方程组AX =0有非零解，即矩阵A −E 的列向量组是AX =0的解集，必然可以由其基础解系线性表示，那么6R (A −E )≤n −R (A ),即R (A )+R (A −E )≤n又n =R (E )=R (A +E −A )≤R (A )+R (E −A )=R (A )+R (A −E )，于是R (A )+R (A −E )=n12.设A 为n 阶矩阵，求A 的伴随矩阵A ∗的秩R (A ∗)解：因为AA ∗=|A |E ,若|A |=0,则|A ∗|=0,所以R (A ∗)=R (A )=n若|A |=0则R (A )≤n −1,当R (A )<n −1时A 的所有n −1阶子式全为零，所以A ∗=0故R (A ∗)=0,当R (A )=n −1时A 至少有一个n −1阶子式不为零，故A ∗=0,则R (A ∗)≥1,而AA ∗=0即A (a ∗1,a ∗2,...,a ∗n )=0这说明A ∗的列向量a ∗j (j =1,2,...,n )是方程组AX =0的解，所以该列向量组可以被方程组AX =0的基础解系线性表示，那么该向量组的秩R (A ∗)≤(基础解系的秩）n −R (A )=n −(n −1)=1,由以上分析得知R (A ∗)=1综上所述R (A ∗)=n |A |=00R (A )<n −11R (A )=n −113.设a =(a 1,a 2,a 3)T ,b =(b 1,b 2,b 3)T ,c =(c 1,c 2,c 3)T .证明：三条直线ℓ1:a 1x +b 1y +c 1=0ℓ2:a 2x +b 2y +c 2=0ℓ:a 3x +b 3y +c3=0(a 2i +b 2i =0,i =1,2,3)相交于一点的充分必要条件是：向量组a ,b 线性无关，且向量组a ,b ,c 线性相关.7证明：(=⇒)因为三条直线相交于一点，于是必有两条直线彼此相交，不妨设ℓ1,ℓ2相交，那么a1 b1=a2b2,于是向量a与向量b线性无关，注意到齐次线性方程组x a+y b+1c=0有非零解(x,y,1)T,则向量a,b,c线性相关(⇐=)向量组a,b线性无关，且向量组a,b,c线性相关，则向量组−c可由向量组a,b唯一的线性表示，即x a+y b+c=0,中系数x,y,1是唯一确定的，即三条直线ℓ1:a1x+b1y+c1=0ℓ2:a2x+b2y+c2=0ℓ:a3x+b3y+c3=0相较于唯一点14.α1,α2...,αm,α1=0,αi(i=2,3...,m)都不能由α1,α2,...,αi−1线性表示，证明α1,α2...,αm线性无关。

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第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=. 判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中s βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001321ααα，，，321,,ααα两两线性无关，而321,,ααα线性相关.（2）m ααα,,,21 ）（2>m 线性相关的充分必要条件是有1-m 个向量线性相关； 解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001321ααα，，，321,,ααα线性相关，而 俩321,,ααα两两线性无关.(3) 若21,αα线性相关，21,ββ线性相关，则有不全为零的数21,k k ，使得02211=+ααk k 且02211=+ββk k ，从而使得0222111=+++）（）（βαβαk k ， 故2211βαβα++，线性相关.解：不正确，因为21αα，线性相关和21ββ，线性相关，不一定存在同一组不全为零的数21,k k ，使得02211=+ααk k 和02211=+ββk k 成立；或者说存在两组不全为零的数21,k k 和21,t t 使得02211=+ααk k 和02211=+ββt t 成立.(4). 若321,,ααα线性无关，则133221,,αααααα---线性无关.解：不正确，因为取1，1，1这组常数，使得0133221=-+-+-）（）（）（αααααα， 所以133221,,αααααα---线性相关.(5) 若4321,,,αααα线性无关，则14433221,,,αααααααα++++线性无关；解：不正确，因为14433221,,,αααααααα++++线性相关， 由9题，n 为奇数个时，线性无关，n 为偶数时，线性相关.(6). 若n αααα,,,,321 线性相关，则113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相关；解：正确，因为n αααα,,,,321 线性相关，所以n αααα,,,,321 中至少有一向量可由剩余的1-n 个向量线性表示，则113221,,,,αααααααα++++-n n n 也可由那剩余的1-n 个向量线性表示，再因为1->n n ，所以113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相关.11.如果4321,,,αααα线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数4321,,,k k k k ，使得044332211=+++ααααk k k k .证：因为4321,,,αααα线性相关，所以存在不全为零的常数4321,,,k k k k ，使得044332211=+++ααααk k k k ，假设01=k ，则0443322=++αααk k k ，得432ααα，，线性相关与题设矛盾.故01≠k ；同样方法可证得432,,k k k 都不为零. 所以该命题成立.12.若r ααα,,,21 线性无关，证明：r αααβ,,,,21 线性无关的充分必要条件是β不能由r ααα,,,21 线性表示.证：必要性，假设β能由r ααα,,,21 ，则r αααβ,,,,21 线性相关与r αααβ,,,,21 线性无关矛盾，故β不能由r ααα,,,21 线性表示.充分性，设存在r k k k k ,,,,210 使得03322110=+++++r r k k k k k ααααβ ，若00≠k ，则β能由r αααα,,,,321 线性表出，矛盾，所以00=k ，因此，0332211=++++r r k k k k αααα ，又因为r ααα,,,21 线性无关，所以021====r k k k ，故，r αααβ,,,,21 线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：（1） ;)3,1,0,1,7(),22,6,9,4,1(),4,3,2,0,1(),2,9,1,4,6(4321-=--=-==αααα（2）)0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321-====-=ααααα;（3）.)3,2,1(),0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(4321-====αααα解：（1）()T T T T4321,,,αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----322421639092114047116→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101 所以，向量组的秩为3，421,,ααα为一个极大线性无关组，2135ααα-=. （2）类似（1），可求得向量组的秩为3，421,,ααα为一个极大线性无关组，且2133ααα+=，2145αααα--=.（3）类似（1），可求得向量组的秩为3，321,,ααα为一个极大线性无关组，312435αααα--=.14.设向量组：).6,5,1,2(),0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(545321=-====-=ξξξξξξ（1）证明21ξξ，线性无关；（2）求向量组包含21ξξ，的极大线性无关组.（1）证：设存在21,k k ,使得02111=+TT k k ξξ，求得021==k k ，所以21ξξ，线性无关；（2）解， ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=00000110001011010301601424527121103121301,,,,T54321 ξξξξξT T T T ,所以，421,,ξξξ为包含21ξξ，的一个极大线性无关组.15.设B A ,皆为n 阶矩阵，n B r n A r ≤≤)(,)(，证明：（1）秩)()(00B r A r B A +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛; （2）秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛，C 为任意n 阶矩阵. 证：（1）设21)(,)(r B r r A r ==，则存在n 阶可逆矩阵Q P ,,'',Q P ,使得,0001⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E PAQ ,0002''⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E BQ P 从而 则 秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00秩).()(00000021''B r A r r r Q Q B A P P +=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）因为秩())(A r C A≥,所以秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛.16.证明))(),(min()(B r A r AB r ≤.证：设B A ,分别为s n n m ⨯⨯,矩阵，将A 按列分块，则有()n AB ααα 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ns n n s s b b b b b bb b b 212222111211的列向量组s γγ,,1 可由A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示，故AB AB r =)(的列秩A ≤的列秩=)(A r ，同样，将B 按行分块，得)()(B r AB r ≤，因此，该命题成立.1. 设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，且m n <，证明：齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.证：由m n B r A r AB r <≤≤))(),(min()(，所以0=AB ，故齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.18.设A 是一个n s ⨯矩阵，B 是由A 的前m 行构成的n m ⨯矩阵.证明：若A 的行向量组的秩为r ，则s m r B r -+≥)(.证：设,,,2,1),,,,(21s i a a a in i i i ==α ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+s m mA αααα 11，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m B αα 1. 设p B r =)(，于是，B 的行向量组的极大线性无关组{}p i i i ααα,,,21含p 个向量。

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