线性代数课后习题答案全)习题详解

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第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y

y

x y x +++. 解 （1）=---3

811411

02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-

=416824-++-=4-

（2）=b

a c a c

b c

b a cc

c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=

（3）=2

221

11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=

（4）y

x y x x y x y y

x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为

2

)

1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个

（6）逆序数为)1(-n n

3 2 1个 5 2，5

4 2个 ……………… …

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …

)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个

3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．

由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为

10100=+++或22000=+++

∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

4.计算下列各行列式：

（1）⎥⎥⎥⎥

⎦⎥⎢⎢⎢

⎢⎣⎢71

10

025*********

4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-26

52321121314

1

2； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦

⎥⎢⎢⎢

⎢⎣⎢---d c b a

1

00

110011001

解

(1)

71100251020214

214

34327c c c c --

1002310021214---34)1(142101+-⨯--=14

31022110

14-- 3

21132c c c c ++14

17170010

99-

(2)

260

5232112131

412-24c c -2605032122130

412-24r r -0412032122130

412- 14r r -0

000032122130412-=0

(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1

111111

11---adfbce =abcdef 4

(4)

d c b a 100

110011001---21ar r +d

c b a ab 1

001

100

110

10---+=12)1)(1(+--d

c a ab 1011

1--+

2

3dc c +0

10111-+-+cd c ad

a a

b =23)1)(1(+--cd

ad

ab +-+111=1++++ad cd ab abcd

5.证明: (1)1

11222

2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3

3+;

(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

2222222

2

2222222

=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;

(4)4

44422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;

(5)1

22

110000

0100001a x a a a a x x x n n n +-----

n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明

(1)0

0122222221

312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)

1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a

(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开

按第一列

左边

bz

ay by ax x by ax bx az z bx

az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分

bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z

y x y x z x

z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分