(完整版)绝对值的性质及化简

绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.
求字母a 的绝对值：
①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；
（2）若a b =，则a b =或a b =-；
（3）ab a b =⋅；a a b b
=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；
（5）a b a b a b -≤+≤+，
对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；
对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．
绝对值几何意义
当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．
零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．
例题精讲
绝对值的性质及化简
a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．
一、绝对值的概念
【例1】 ⑴m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．
x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ． ⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．
二、绝对值的性质
【例2】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．
【巩固】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．
【例3】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．
【巩固】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )
A. 00a b <<，
B. 00a b ><，
C. 00a b <>，
D. 0ab <
【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( ) A ．若a b =，则一定有a b = B ．若a b >，则一定有a b >
C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2
2a b =-
【例5】如果2a＞2b，则( )
A．a b
< D a＜b
>B．a＞b C．a b
【例6】（4级）若a b
<，则下列说法正确的是（）
>且a b
A．a一定是正数B．a一定是负数C．b一定是正数D．b一定是负数
【巩固】下列式子中正确的是( )
A．a a
≥-
≤-D．a a
>-B．a a
<-C．a a
【例7】对于1
m-，下列结论正确的是( )
A．1||
≥D．1||1
m m
≤
--
---≥B．1||
m m
m m
m m
-≤C．1||1
【例8】已知2332
-=-，求x的取值范围
x x
【例9】下列说法中正确的个数是( )
①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；
②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；
③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；
④只有负数的绝对值等于它的相反数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例10】绝对值等于5的整数有个，绝对值小于5的整数有个
【例11】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？
【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，
共有
【例13】 已知123a b c ===，
，，且a b c >>，那么a b c +-=
【例14】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或
“D ”）
【例15】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．
【例16】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．
【例17】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且
25a b c d --+=，则b a d c ---= ．
【巩固】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且 （1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大；
（2）d a a c d c -+-=-；
（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是
【例18】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．
【例19】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。

【例20】 若m 是方程|2000|2000||x x -=+的解，则|2001|m -等于（ ）．
A ． 2001m -
B ． 2001m --
C ． 2001m +
D ． 2001m -+
【例21】 已知0ab <，求22()a b b a ab a b -+-的值.
【例22】 已知a 、b 是有理数，有以下三个不等式：
① ||||a b a b +<-；② 22||||10a b a b ++++<；③ 222||2||10a b a b +--+<． 其中一定不成立的是______（填写序号）．
1.
若220x x -+-=，求x 的取值范围．
课后练习
2. 有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确( ) A ．a b > B ．a b = C ．a b < D ．无法确定
3. 若a b c d ，，，为互不相等的有理数，且c 最小，a 最大，且a c b c b d a d ---+-=-．请按a b c d ，，，从小到大的顺序排列．
4. 如果有理数a ，b ，c 满足26a b -≤，7b d -≤，13a b d --=，求2a b b d -+-的值．。