欧拉方程
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欧拉方程
第六节、欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还 没有一般的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的 线性微分方程——欧拉方程，通过变量替换可以化为 常系数的线性微分方程，因而容易求解. 形如 xny(n)+p1xn－1y(n－1)+…+pn－1xy′+pny=f(x) （6-33n为常数.
代入原方程，得 a=1/3,
即 y =1/3x2,
所以欧拉方程的通解为 y=1/3x2+C1/x+C2x.
谢谢聆听
第六节、欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其 乘积因子自变量的幂次相同. 当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=ln x，有
第六节、欧拉方程
如果来用记号D表示对自变量t求导的运算d/dt，则上述结 果可表示为
xy′=Dy，
一般的，有 xky(k)=D(D－1)…(D－k+1)y.（6-34）
当自变量x<0时，作变换x=－et，可得类似结果. 将式（6-34）代入欧拉方程，则方程（6-33）化为以t为自变 量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，回代t=ln x， 即得到原方程的解.
第六节、欧拉方程
【例1】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解. 解 作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
方程（6-35）所对应的齐次方程为
其特征方程为
r2－1=0,
（6-35） （6-36）
第六节、欧拉方程
特征根为 r1,2=±1,
所以齐次方程（6-36）的通解为 Y=C1e－t+C2et=C1x+C2x.
方程的特解形式为 y =ae2t,
第六节、欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还 没有一般的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的 线性微分方程——欧拉方程，通过变量替换可以化为 常系数的线性微分方程，因而容易求解. 形如 xny(n)+p1xn－1y(n－1)+…+pn－1xy′+pny=f(x) （6-33n为常数.
代入原方程，得 a=1/3,
即 y =1/3x2,
所以欧拉方程的通解为 y=1/3x2+C1/x+C2x.
谢谢聆听
第六节、欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其 乘积因子自变量的幂次相同. 当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=ln x，有
第六节、欧拉方程
如果来用记号D表示对自变量t求导的运算d/dt，则上述结 果可表示为
xy′=Dy，
一般的，有 xky(k)=D(D－1)…(D－k+1)y.（6-34）
当自变量x<0时，作变换x=－et，可得类似结果. 将式（6-34）代入欧拉方程，则方程（6-33）化为以t为自变 量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，回代t=ln x， 即得到原方程的解.
第六节、欧拉方程
【例1】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解. 解 作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
方程（6-35）所对应的齐次方程为
其特征方程为
r2－1=0,
（6-35） （6-36）
第六节、欧拉方程
特征根为 r1,2=±1,
所以齐次方程（6-36）的通解为 Y=C1e－t+C2et=C1x+C2x.
方程的特解形式为 y =ae2t,