高中数学新课程创新教学设计案例50篇31-34_三角函数
三角函数教案(高三数学教案)
三角函数教案三角函数教案（精选4篇）三角函数教案篇11、锐角三角形中,任意两个内角的和都属于区间 ,且满足不等式:即:一角的正弦大于另一个角的余弦。
2、若 ,则 ,3、的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为。
4、的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为。
5、及的图象的对称中心为 ( )。
6、常用三角公式:有理公式: ;降次公式: , ;万能公式: , , (其中 )。
7、辅助角公式: ,其中。
辅助角的位置由坐标决定,即角的终边过点。
8、时, 。
9、。
其中为内切圆半径, 为外接圆半径。
特别地:直角中,设c为斜边,则内切圆半径 ,外接圆半径。
10、的图象的图象( 时,向左平移个单位, 时,向右平移个单位)。
11、解题时,条件中若有出现,则可设 ,则。
12、等腰三角形中,若且 ,则。
13、若等边三角形的边长为 ,则其中线长为 ,面积为。
14、 ;三角函数教案篇2二、复习要求1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;3、三角函数的图象及性质。
三、学习指导1、角的概念的推广。
从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。
这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。
为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。
在弧度制下,扇形弧长公式l=|α|r,扇形面积公式 ,其中α为弧所对圆心角的弧度数。
高中数学三角函数高中数学优质课教案范文：高二任意角的三角函数教学设计
高中数学三角函数高中数学优质课教案范文：高二任意角的三角函数教学设计高二任意角的三角函数教学设计一、教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程.领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析^p (对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业] (一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问: 在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量____与y,如果对于____的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是____的函数,____叫做自变量,自变量____的取值范围叫做函数的定义域.现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 f(____)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(____),____∈A ,其中____叫自变量,自变量____的取值范围A叫做函数的定义域.省心WTT声明：1、本网站所刊载的各类形式（包括但不仅限于文字、图片、图表）的作品全部来自互联网、百度和由您提供，如您（单位或个人）认为本网站某部分内容有侵权嫌疑，敬请立即通知我们，我们将在第一时间予以更改或删除。
最新高中数学三角函数教案设计(六篇)
最新高中数学三角函数教案设计(六篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如报告总结、合同协议、心得体会、演讲致辞、策划方案、职场文书、党团资料、教案资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as report summaries, contract agreements, insights, speeches, planning plans, workplace documents, party and youth organization materials, lesson plans, essay compilations, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!最新高中数学三角函数教案设计(六篇)作为一位无私奉献的人·民教师，总归要编写教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。
三角函数教学设计范文（精选11篇）
三角函数教学设计三角函数教学设计范文（精选11篇）作为一位优秀的人民教师，总不可避免地需要编写教学设计，教学设计是教育技术的组成部分，它的功能在于运用系统方法设计教学过程，使之成为一种具有操作性的程序。
那要怎么写好教学设计呢？下面是小编收集整理的三角函数教学设计范文，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
三角函数教学设计篇1(一)概念及其解析这一栏目的要点是:阐述概念的内涵;在揭示内涵的基础上说明本课内容的核心所在;必要时要对概念在中学数学中的地位进行分析;明确概念所反映的数学思想方法。
在此基础上确定教学重点。
概念描述周期现象的数学模型，最基本而重要的背景:匀速圆周运动。
定义域:(弧度制下)任意角的集合;对应法则:任意角α的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，正弦函数为y=sinα，余弦函数为x=cosα;值域:[-1，1]。
概念解析核心:对应法则。
思想方法:函数思想--一般函数概念的指导作用;形与数结合--象限角概念基础上;模型思想--单位圆上的点随角的变化而变化的规律的数学刻画。
重点:理解任意角三角函数的对应法则--需要一定时间。
(二)目标和目标解析一堂课的教学目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。
当前，许多教师没有意识到制定教学目标的重要性，他们往往只从“课标”或“教参”上抄录，而且表述目标时，“八股”现象严重。
我们主张，课堂教学目标不以“三维目标”(知识与技能、过程与方法、情感态度价值观)或“四维目标”(知识技能、数学思考、解决问题、情感态度)分列，而以内容及由内容反映的思想方法为载体，将数学能力、情感态度等隐性目标融于其中，并用了解、理解、掌握等及相应的行为动词经历、体验、探究等表述目标，特别要阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。
为了更加清晰地把握教学目标，以给课堂中教和学的行为做出准确定向，需要对教学目标中的关键词进行解析，即要解析了解、理解、掌握、经历、体验、探究等的具体含义，其中特别要明确当前内容所反映的数学思想方法的教学目标。
三角函数教案优秀3篇
三角函数教案优秀3篇角函数教学设计篇一教材分析：本章包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念)，以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。
锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。
研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章内容与已学#39;相似三角形#39;#39;勾股定理#39;等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
学情分析：锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。
难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。
至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
第一课时教学目标：知识与技能：1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
重难点：1.重点：理解认识正弦(sinA)概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实。
2.难点与关键：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
高中数学新课三角函数教案
三角函数教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础本章教学时间约用36课时，具体分配如下(仅供参考)：4.1角的概念的推广约2课时4.2弧度制约2课时4.3任意角的三角函数约2课时4.4同角三角函数的基本关系式约2课时4.5正弦、余弦的诱导公式约3课时4.6两角和与差的正弦、余弦、正切约7课时4.7二倍角的正弦、余弦、正切约3课时4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质约4课时4.9函数y=Asin(ωx+φ) 的图象约3课时4.10正切函数的图象和性质约2课时4.11已知三角函数值求角约2课时小结与复习约4课时一、内容与要求(一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等(二)章头引言安排了一个实际问题——求半圆内接矩形的最大面积．这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值第一大节是“任意角的三角函数”教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用第二大节是“两角和与差的三角函数”教科书先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明)，用距离公式推出余弦的和角公式，然后顺次推出(尽量用启发式)其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解第三大节是“三角函数的图象和性质”教科书先利用正弦线画出函数x y sin = ，x ∈[0,π2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2π个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx 、arccosx 、arctanx 等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案(三)本章的教学要求是：1．使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算2．使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式3．使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力 4．使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）5． 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A 、ω、φ的物理意义6．使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示二、 考点要求1．理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算2．掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求)sin(ϕω+=x A y 的周期，或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式3．了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数)sin(ϕω+=x A y 的简图，并能解决正弦、曲线有关的实际问题4．能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式5．了解三角函数的积化和差与和差化积公式6．能正确地运用上述公式简化三角函数式、求某些角的三角函数值证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题7．掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程、并能运用它们解斜三角形三、考点分析三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双基的重要内容之一本章分两部分，第一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上 试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查复习时应把握好以下几点：1．理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来，二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数2．要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念3．在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取4．单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的数值来代替三角函数值，比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多，因此，三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具5．要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性6．函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小7．对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象8．对于θθ33cos sin +，θθ44cos sin +，θθ66cos sin +等表达式，要会进行熟练的变形，并利用1cos sin 22=+θθ等三角公式进行化简本章第二部分是两角和与差的三角函数，考查的知识共7个，高考中在选择题、填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识，题目多为求值题，有直接求某个三角函数值的，也有通过三角变换求函数的变量范围，周期，最小、大值和讨论其他性质；以及少量的化简，证明题考查的题量一般为3—4个，分值在12—22分，都是容易题和中等题，重点考查内容是两角和与差的正弦、余弦及正切公式，和差化积、各积化和差公式考生丢分的原因主要有以下两点：一是公式不熟，二是运算不过关，因此复习时要注意以下几点：1．熟练掌握和、差、倍、半角的三角函数公式复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧①常值代换，特别是“1”的代换，如：θθctg tg =1，θθ22cos sin 1+=，θθ22csc 1ctg -=，θθ22sec 1tg -=等等②项的分拆与角的配凑③降次与升次④万能代换另外，注意理解两角和、差、倍、半角公式中角的实质，可以把公式中的角看成一种整体形式，可以锦成其他变量或函数，这样可加大公式的应用范围和力度2．要会运用和差化积与积化和差公式对三角函数和差式，要善于转化为积的形式，反之亦然，对于形如θθcos sin b a +的式子，要引入辅助角ϕ并化成)sin(22ϕθ++b a 的形式，这里辅助角ϕ所在的象限由b a ,的符号决定，ϕ角的值由ab tg =ϕ确定对这种思想，务必强化训练，加深认识 3．归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧①三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等②三角函数的求值问题，主要有两种类型一关是给角求值问题；另一类是给值求角问题它们都是通过恰当的变换，设法再与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题4．关于三角函数式的简单证明三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种，证明方法灵活多样一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定①不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法、在特定的条件下，也可使用数学归纳法②附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系常用的方法是代入法和消元法 三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式，掌握等价转化的思想和变量代换的方法选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证βα=，先证明βα,的同名三角函数值相等，即)()(βαf f =，再证明βα,在三角函数)(x f y =的同一单调区间内，而后由函数的单调性得出βα=5．在解有关三角形的问题中，锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具ah S 21=，C ab S sin 21=的妙用和三角形内角和π=++C B A 的制约关系的作用6．求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值 四、三角函数中应注意的问题(一)本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性质难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与正弦曲线的关系关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲1cos sin 22=+αα，αααtan cos sin =，1cot tan =⋅αα三个；除απαtan )2tan(=+k （k ∈Z ）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan 0120可通过用科学计算器或者转化为 00120cos 120sin 来求；在推导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求学生记忆；积化和差与和差化积公式、半角公式也只是作为和(差)角公式的应用出现一下，结果不要求记忆，更不要求运用；此外，也不要补充“把ααcos sin b a +化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题(二)在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R 及之间建立起一种一一对应的关系说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候，我们总是十进制、六十进制并用的，例如角'''0122161其中61、21、12都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的，这样，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进数)，要经过一番计算，这就不太方便了 (三)定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有 x y sin =，R x ∈才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数，例如R x x y ∈=,2sin 可以说是2x 的正弦函数(这时可说它是三角函数)，也可以说是正弦函数R t t y ∈=,sin 与正比例函数 R x x t ∈=,2的复合函数，但不能说是x 的正弦函数另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说(或写)“正弦函数y=sinx ”，需知“函数x y sin =，]2,0[π∈x ”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体(四)关于已知三角函数值求角，在讲解相关例题时，可以利用设辅助角(即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用)来求解，把求解过程调整为：1、如果函数值为正数，则先求出对应的锐角0x ，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值相应的锐角x2、决定角x 可能是第几象限角3、如果函数值为负数，则根据角x 可能是第几象限角，得出 )2,0(π内对应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为 0x -π;如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 0x +π或02x -π也可以把上述辅助角看作参变量(x 为自变量)，那么所提供的方法就可以看作参数的应用新大纲把参数的知识分散在有关的教学内容中，教学时适时提醒学生注意使用，这是有好处的(五)本章所使用的符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，在板书中逐渐达到规范化物理教科书也是这样做的因此在布置和批改作业时，对于本章中的几道与物理(力学、电学)有关的习题，解答时使用的符号及其用法，应与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适从(六)注意符合学生的认识规律除了从实际问题引入数学概念之外，在这方面的措施有：(1)首先通过平面直角坐标系 (数形结合)定义任意角α的三角函数，在得到“终边相同的角的同一三角函数的值相等”即第一组诱导公式后，就引入与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式(三角函数线)表示出来；然后学习同角三角函数的两个基本关系式，其他诱导公式，以及两角和与差的三角函数，这一部分属于式的化简、求值、恒等关系的证明以及它们的简单应用，研究方法以数为主，以形为辅；最后学习三角函数的图象和性质、其应用包括已知三角函数值求角，这一部分的研究方法则以形为主，以数为辅 (2)利用学生已有的认知结构数的知识来解决问题；建立任意角的概念时，利用学生观看体操节目已有的例如对于“转体720度”的直觉和语词记忆；画余弦函数的图象时，利用正弦曲线和诱导公式，已知三角函数值求角时，利用三角函数的图象和性质 (3)精简认知结构，略去或简化不必要的程序例如，从锐角三角函数直接推广到任意角三角函数，略去了讲钝角三角函数这一程序这样做不仅节约了课时，而且密切了“任意角”与 “任意角三角函数”的联系，反而加强了后者这一知识的发生和形成过程-温馨提示：如不慎侵犯了您的权益，可联系文库删除处理，感谢您的关注！。
高中数学新课程创新教学设计案例50篇__34_诱导公式
诱导公式的应用教材分析这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．教学目标1. 在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．3. 让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．任务分析诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180°＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°～360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°＋α，270°±α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．教学设计一、问题情境教师提出系列问题1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由．二、建立模型1. 分析1在教师的指导下，学生独立推出公式（一），即2. 应用1在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．练习：求下列各三角函数值．（1）cosπ．（2）tan405°．3. 分析2如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝．4. 分析3一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生独立完成下述推导：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin （180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝．从而得到：5. 分析4在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．由学生独立完成如下推导：如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝从而得到：进而推出：注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．6. 教师归纳公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？这种变化是否存在着某种规律？引导学生进行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．三、解释应用［例题］1. 求下列各三角函数值．通过应用，让学生体会诱导公式的作用：①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为评注：本题中，若代入cosα·cot3α形式，就须先求得cosα的值．由于不能确定角α所在象限，解题过程将变得烦锁．以此提醒学生注意选取合理形式解决问题．四、拓展延伸教师出示问题：前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数与角α的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：均为180°的整数倍加、减α．但是，在解题过程中，还会遇到另外的情况，如前面遇到的120°角，它既可以写成180°－60°，也可以写成90°＋30°，那么90°＋α的三角函数与α的三角函数有着怎样的关系呢？学生探究：经过独立探求后，有学生可能会得到如下结果：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角90°＋α的终边与单位圆交于点P′（x′，y′）（如图），则cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′．过P作PM⊥x轴，垂足为M，过P′作P′M′⊥y轴，垂足为M′，则△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．进而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．对此结论和方法，教师不宜作任何评论，而应放手让学生展开辩论和交流，最后得到正确结果：由于OM与OM′，MP与M′P′仅是长度相等，而当点P在第一象限时，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x．从而得到：教师进一步引导：（1）推导上面的公式时，利用了点P在第一象限的条件．当点Ｐ不在第一象限时，是否仍有上面的结论？（通过多媒体演示角α的终边在不同象限的情景，使学生理解公式六中的角α可以为任意角）（2）推导公式六时，采用了初中的平面几何知识．是否也能像推导前五组公式那样采用对称变换的方式呢？学生探究：学生先针对α为锐角时的情况进行探索，再推广到α为任意角的情形．设角α的终边与单位圆交点为P（x，y），＋α的终边与单位圆的交点为P′（x′，y′）（如图）．由于角α的终边经过下述变换：2（－α）＋2a＝，即可得到＋α的终边．这是两次对称变换，即先作P关于直线y＝x的对称点M（y，x），再作点M关于y轴的对称点P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．由此，可进一步得到：教师归纳：公式六、七、八、九也称作诱导公式，利用它们可以把90°±α，270°±α的三角函数转化为α的三角函数．引导学生总结出：90°±α，270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．两套公式合起来，可统一概括为对于k·90°±α（k∈Z）的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名函数值．然后，均在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可编成口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．点评这篇案例从学生的实际出发，充分尊重学生的思维特点，通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神．在教学设计中，教师以学生活动为主，注意师生互动，体现学生的自主学习．实际的课堂教学表明，在教学过程中，教师对每名同学的发言都给以充分地鼓励，即使他的解法不完美，甚至不正确．这对保护学生大胆尝试、认真思考的积极性至关重要．只有这样，才能将教学效果落实到学生个体的学习行为上，进而实现预期的教学目标．总之，这篇案例的突出特点就是，注意通过问题驱动的方式，激发学生主动探究的热情，完成五组诱导公式的推导．缺陷是，在关注五组诱导公式推导的“一气呵成”的同时，巩固、强化工作显得单薄．这是一对棘手的矛盾！。
高中数学三角函数教案设计
高中数学三角函数教案设计教案设计：高中数学三角函数一、教学内容描述：本节课将重点学习高中数学中的三角函数概念，包括正弦、余弦、正切等的定义与性质，并进行相关的计算与应用。
二、教学目标：1.了解三角函数的定义与性质，包括角度与弧度的转换；2.掌握三角函数的基本计算方法；3.能够运用三角函数解决实际问题。
三、教学重点与难点：教学重点：三角函数的定义及性质，角度与弧度的转换，计算方法；教学难点：能够灵活运用三角函数解决实际问题。
四、教学准备：教学课件、黑板、笔记本、练习册、计算器等。
五、教学过程：1.引入：通过播放视频或展示图片，引入三角函数的概念，创设学生对三角函数的学习兴趣。
2.知识讲解：（1）三角函数的定义与性质：通过讲解三角函数的定义和基本性质，包括正弦、余弦、正切等的概念及其在坐标系中的图像表示。
（2）角度与弧度的转换：讲解角度与弧度的定义及其转换方法，并通过例题的演示与学生一起进行练习。
（3）三角函数的计算方法：讲解各种三角函数的计算方法，如通过图象读取、基本恒等式的运用等。
3.练习与实践：（1）基础练习：通过课堂练习册等材料，带领学生进行基本的计算练习，巩固所学内容。
（2）应用实例：将所学三角函数的概念与计算方法应用到实际问题中，引导学生运用所学知识解决实际问题，并提示学生注意问题中的角度与弧度的换算。
4.总结与拓展：（1）总结：对本节课所学内容进行总结，强调三角函数的重要性及其在数学与实际中的应用。
（2）拓展：对学生进行进一步的拓展与巩固，提供一些拓展问题或练习，以培养学生的创造性思维和解决问题的能力。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生可以了解三角函数的定义及其性质，掌握角度与弧度的转换方法，运用三角函数解决实际问题。
在课堂上，教师应注重以学生为主体的教学方式，引导学生自主学习、讨论与合作，提高学生的学习兴趣和思维能力。
同时，在教学过程中应注意与学生互动，及时纠正错误，帮助学生消除困惑，提高学生的学习效果。
高中数学三角函数教案设计
高中数学三角函数教案设计一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是“高中数学三角函数教案设计”。
三角函数是高中数学的重要组成部分，既是数学理论的基础，也是解决实际问题的有力工具。
通过本节课的学习，学生将掌握正弦、余弦、正切函数的定义、图像、性质和应用，培养解决与三角函数相关问题的能力。
2、教学对象本节课的教学对象为高中二年级学生。
经过之前的学习，他们已经具备了基本的代数运算、几何知识和一定的解决问题的能力。
然而，三角函数对学生来说是一个全新的概念，需要从零开始引导他们逐步理解、掌握和应用。
此外，学生之间的个体差异较大，因此在教学过程中要注意因材施教，激发学生的学习兴趣，提高他们的自信心。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解正弦、余弦、正切函数的定义，掌握其基本性质和图像特点；（2）掌握三角函数的诱导公式、和差公式、倍角公式等基本变形公式，并能熟练运用；（3）运用三角函数解决实际问题，如测量物体高度、计算物体运动速度等；（4）通过运用三角函数，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
2、过程与方法（1）采用启发式教学，引导学生自主探究、发现三角函数的性质和图像特点；（2）通过小组合作、讨论交流，培养学生团队合作精神和解决问题的能力；（3）运用数形结合、分类讨论等数学思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力；（4）利用信息技术手段，如几何画板、计算器等，辅助学生观察、分析和理解三角函数的性质。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣，激发他们学习三角函数的热情；（2）通过解决实际问题，使学生体会数学在现实生活中的应用价值，增强他们的社会责任感和使命感；（3）培养学生勇于探索、严谨求实的科学态度，让他们认识到数学学习需要刻苦钻研、持之以恒；（4）鼓励学生积极参与课堂讨论，敢于发表自己的观点，培养他们自信、自主、自强的品质；（5）注重培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，使他们形成终身学习的观念。
高中数学《三角函数》全部教案
平移、伸缩、对称等变换方法。
三角函数的变换与化简
三角函数的和差化积
sin(x+y)、cos(x+y)、 tan(x+y)的化简方法。
三角函数的倍角公式
sin(2x)、cos(2x)、tan(2x)的化 简方法。
三角函数的半角公式
sin(x/2)、cos(x/2)、tan(x/2) 的化简方法。
辅助角公式
将复杂的三角函数表达式化为 简单的形式。
03
教学方法与手段
讲解与演示相结合
讲解
通过教师讲解，使学生理解三角函数的基本概念、性质和公 式。
演示
利用教学软件、图形计算器等工具，演示三角函数的图像和 性质，帮助学生直观理解。
练习与讨论相结合
练习
通过大量的练习题，让学生熟悉三角函数的各种题型和解题方法。
三角函数的应用
由于三角函数的应用领域广泛，学生可能难以理解和掌握，需要教师结合实际案例进行讲 解，帮助学生理解并掌握。
综合应用
综合应用是学生学习三角函数的难点之一，需要教师通过设计综合性题目，引导学生逐步 掌握综合应用的能力。同时，教师也可以通过小组讨论、合作学习等方式，鼓励学生互相 交流、互相帮助，共同提高。
三角函数的图像和变换
学生需要理解三角函数的图像特点，掌握图像变 换的方法，如平移、伸缩、对称等。
3
三角函数的应用
学生需要了解三角函数在各个领域的应用，如物 理、工程、经济等，掌握利用三角函数解决实际 问题的能力。
教学难点及解决方法
三角函数的图像和变换
由于三角函数的图像变换涉及多个知识点，学生容易混淆，需要教师通过实例演示和讲解 ，帮助学生理解并掌握。
高中数学新课程创新教学设计案例50篇31-34-三角函数
31 角的概念的推广教材分析这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．教学目标1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．教学设计一、问题情境［演示］1. 观览车的运动．2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作．3. 钟表秒针的转动．4. 自行车轮子的滚动．［问题］1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？3. 钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．二、建立模型1. 正角、负角、零角的概念在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角．2. 象限角当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．3. 终边相同的角在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即390°＝30°＋360°，（k＝1）；－330°＝30°－360°，（k＝－1）．设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．三、解释应用［例题］1. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．（1）－150°．（2）650°．（3）－950°5′．2. 分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来．（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′．3. 写出终边在y轴上的角的集合．解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°，270°．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有与270°角终边相同的角构成的集合为S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝．于是，终边在y轴上的角的集合为S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k ∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．注：会正确使用集合的表示方法和符号语言．［练习］1. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°．2. 辨析概念．（分别用集合表示出来）（1）第一象限角．（2）锐角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角．3. 一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．4. 终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．四、拓展延伸1. 若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是．2. 如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢？）32 任意角的三角函数教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．教学目标1. 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．2. 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题．3. 通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．教学设计一、情景设置初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．二、建立模型一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：那么，OP＝，记作r，（r＞0）．对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为对于定义，思考如下问题：1. 当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？为什么？2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？三、解释应用［例题］1. 已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值．思考：若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？（m≠0）2. 求下列角的六个三角函数值．注：强化定义．［练习］1. 已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）．2. 计算．（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．四、拓展延伸1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．2. 根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota 的值在各个象限的符号．3. 计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．（1）sin30°，sin390°．（2）cos45°，cos（－315°）．规律：终边相同的角有相同的三角函数值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．五、应用与深化［例题］1. 确定下列三角函数值的符号．2. 求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0．证明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上．又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限．∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．必要性：若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0．从而结论成立．［练习］1. 设α是三角形的一个内角，问：在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函数可能取负值？为什么？2. 函数的值域是____________ ．33 同角三角函数的基本关系式教材分析这节课主要是根据三角函数的定义，导出同角三角函数的两个基本关系式sin2a＋cos2a ＝1与，并初步进行这些公式的两类基本应用．教学重点是公式sin2a＋cos2a ＝1与的推导及以下两类基本应用：（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其余两个三角函数．（2）化简三角函数式及证明简单的三角恒等式．其中，已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，正负号的选择是本节的一个难点，正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键；证明恒等式是这节课的另一个难点．课堂上教师应放手让学生独立解决问题，优化自己的解题过程．教学目标1. 让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程，培养学生的动手实践、探索、研究能力．2. 理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题，培养学生的运算能力，逻辑推理能力．3. 通过同角三角函数基本关系的学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生的辩证唯物主义世界观．任务分析这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式：sin2a＋cos2a＝1及，并进行初步的应用．由于该节内容比较容易，所以，课堂上无论是关系式的探索还是例、习题的解决都可以放手让学生独立完成，即由学生自己把要学的知识探索出来，并用以解决新的问题．必要时，教师可以在以下几点上加以强调：（1）“同角”二字的含义．（2）关系式的适用条件．（3）化简题最后结果的形式．（4）怎样优化解题过程．教学设计一、问题情境教师出示问题：上一节内容，我们学习了任意角α的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线，你知道它们之间有什么联系吗？你能得出它们之间的直接关系吗？二、建立模型1. 引导学生写出任意角α的六个三角函数，并探索它们之间的关系在角α的终边上任取一点P（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），则角α的六个三角函数值是2. 推导同角三角函数关系式引导学生通过观察、分析和讨论，消元（消去x，y，r），从而获取下述基本关系．（1）平方关系：sin2a＋cos2a＝1．（2）商数关系：t：说明：①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时，部分学生可能会利用三角函数线，借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论．对于这种推导方法，教师也应给以充分肯定，并进一步引导学生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．②除以上两个关系式外，也许部分学生还会得出如下关系式：.教师点拨：这些关系式都很对，但最基本的还是（1）和（2），故为了减少大家的记忆负担，只须记住（1）和（2）即可．以上关系式均为同角三角函数的基本关系式．教师启发：（1）对“同角”二字，大家是怎样理解的？（2）这两个基本关系式中的角α有没有范围限制？（3）自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现．刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式，那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？三、解释应用［例题］1. 已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．2. 已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．说明：这两个题是关系式的基本应用，应让学生独立完成．可选两名同学到黑板前板书，以便规范解题步骤．变式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”，该题的解答过程又将如何？师生一起完成该题的解答过程．解：由题意和基本关系式，列方程组，得由②，得sinα＝－cosα，代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝．∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，cosα＝－，代入②式，得；当α是第四象限角时，cosα＝，代入②式，得.小结：由平方关系求值时，要涉及开方运算，自然存在符号的选取问题．由于本题没有具体指明α是第几象限角，因此，应针对α可能所处的象限，分类讨论．变式2 把例2变为：已知tanα＝－，求的值．解法1：由tanα＝－及基本关系式可解得针对两种情况下的结果居然一致的情况，教师及时点拨：观察所求式子的特点，看能不能不通过求sinα，cosα的值而直接得出该分式的值．学生得到如下解法：由此，引出变式3．已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．有了上一题的经验，学生会得到如下解法：教师归纳、启发：这个方法成功地避免了开方运算，因而也就避开了不必要的讨论．遗憾的是，因为它不是分式形式，所以解题过程不像“变式2”那样简捷．那么，能解决这一矛盾吗？学生得到如下解法：教师引导学生反思、总结：（1）由于开方运算一般存在符号选取问题，因此，在求值过程中，若能避免开方的应尽量避免．（2）当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n（n∈N且n≥1）次幂的齐次式时，采用上述方法可优化解题过程．［练习］当学生完成了以上题目后，教师引导学生讨论如下问题：（1）化简题的结果一定是“最简”形式，对三角函数的“最简”形式，你是怎样理解的？（2）关于三角函数恒等式的证明，一般都有哪些方法？你是否发现了一些技巧？四、拓展延伸教师出示问题，启发学生一题多解，并激发学生的探索热情．已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求t anα的值．解法1：由sinα－cosα＝－，得反思：（1）解法1的结果比解法2的结果多了一个，看来产生了“增根”，那么，是什么原因产生了增根呢？（2）当学生发现了由sinα－cosα＝－得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的过程中，α的范围变大了时，教师再点拨：怎样才能使平方变形是等价的呢？由学生得出如下正确答案：∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．强调：非等价变形是解法1出错的关键！34 诱导公式教材分析这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．教学目标1. 在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．3. 让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．任务分析诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180°＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°～360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°＋α，270°±α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．教学设计一、问题情境教师提出系列问题1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由．二、建立模型1. 分析1在教师的指导下，学生独立推出公式（一），即2. 应用1在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．练习：求下列各三角函数值．（1）cosπ．（2）tan405°．3. 分析2如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝．4. 分析3一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生独立完成下述推导：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin （180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝．从而得到：5. 分析4在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．由学生独立完成如下推导：如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝从而得到：进而推出：注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．6. 教师归纳公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？这种变化是否存在着某种规律？引导学生进行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．三、解释应用［例题］1. 求下列各三角函数值．通过应用，让学生体会诱导公式的作用：①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为评注：本题中，若代入cosα·cot3α形式，就须先求得cosα的值．由于不能确定角α所在象限，解题过程将变得烦锁．以此提醒学生注意选取合理形式解决问题．四、拓展延伸教师出示问题：前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数与角α的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：均为180°的整数倍加、减α．但是，在解题过程中，还会遇到另外的情况，如前面遇到的120°角，它既可以写成180°－60°，也可以写成90°＋30°，那么90°＋α的三角函数与α的三角函数有着怎样的关系呢？学生探究：经过独立探求后，有学生可能会得到如下结果：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角90°＋α的终边与单位圆交于点P′（x′，y′）（如图），则cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′．过P作PM⊥x轴，垂足为M，过P′作P′M′⊥y轴，垂足为M′，则△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．进而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．对此结论和方法，教师不宜作任何评论，而应放手让学生展开辩论和交流，最后得到正确结果：由于OM与OM′，MP与M′P′仅是长度相等，而当点P在第一象限时，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x．从而得到：教师进一步引导：（1）推导上面的公式时，利用了点P在第一象限的条件．当点Ｐ不在第一象限时，是否仍有上面的结论？（通过多媒体演示角α的终边在不同象限的情景，使学生理解公式六中的角α可以为任意角）（2）推导公式六时，采用了初中的平面几何知识．是否也能像推导前五组公式那样采用对称变换的方式呢？学生探究：学生先针对α为锐角时的情况进行探索，再推广到α为任意角的情形．设角α的终边与单位圆交点为P（x，y），＋α的终边与单位圆的交点为P′（x′，y′）（如图）．由于角α的终边经过下述变换：2（－α）＋2a＝，即可得到＋α的终边．这是两次对称变换，即先作P关于直线y＝x的对称点M（y，x），再作点M关于y轴的对称点P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．由此，可进一步得到：教师归纳：公式六、七、八、九也称作诱导公式，利用它们可以把90°±α，270°±α的三角函数转化为α的三角函数．引导学生总结出：90°±α，270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．两套公式合起来，可统一概括为对于k·90°±α（k∈Z）的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的余名函数值．然后，均在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可编成口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．。
高中数学新课程创新教学设计案例 任意角的三角函数
32 任意角的三角函数教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．教学目标1. 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．2. 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题．3. 通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．任务分析在初中，我们只是学习了锐角三角函数，现在学习的是任意角的三角函数．定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角函数．定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系．为了便于学生体会和理解，突出定义适用于任意角，通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来（注意表示角时不用箭头），学习时，必须弄清并强调：这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，符合函数的定义，从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义．对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式（一），可放手让学生探索、研究、讨论和归纳，用以培养学生的数学思维能力．教学设计一、情景设置初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．二、建立模型一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：那么，OP＝，记作r，（r＞0）．对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为对于定义，思考如下问题：1. 当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？为什么？2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？三、解释应用［例题］1. 已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值．思考：若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？（m≠0）2. 求下列角的六个三角函数值．注：强化定义．［练习］1. 已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）．2. 计算．（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．四、拓展延伸1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．2. 根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota的值在各个象限的符号．3. 计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．（1）sin30°，sin390°．（2）cos45°，cos（－315°）．规律：终边相同的角有相同的三角函数值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．五、应用与深化［例题］1. 确定下列三角函数值的符号．2. 求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0．证明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上．又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限．∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．必要性：若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0．从而结论成立．［练习］1. 设α是三角形的一个内角，问：在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函数可能取负值？为什么？2. 函数的值域是____________ ．点评这节课在设计上特别注意了以下几点：①前后知识的联系，知识的产生、发展过程，如任意角的三角函数的定义，由初中所讲“0°～360°”的情况逐渐过渡到“任意角”的情况，讲清了推广的必要性及意义．②注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号，及诱导公式（一）．这里由学生自己去研究，讨论，探索得出一般性结论，培养了学生获取知识、探究知识的能力，强化了自主学习的意识．③注意了跟踪练习的设计．例题典型，练习有层次和变化，巩固知识到位．总体来说，这是一节实用较强，形式又不乏新颖的较好案例．。
高中数学新课程创新教学设计案例篇同角三角函数的基本关系式
高中数学新课程创新教学设计案例篇同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式是高中数学中的重要内容，在传统教学中，通常会通过纯理论的讲解和求解题目来教授。
然而，这种教学方法往往缺乏互动和实际动手操作的环节，学生对于相关知识的理解和记忆也不够深刻。
为了提高学生的学习兴趣和知识掌握程度，我设计了以下创新的教学方案。
一、教学目标1.理解同角三角函数的基本概念和定义。
2.掌握同角三角函数之间的基本关系式。
3.能够熟练运用同角三角函数的基本关系式解答实际问题。
二、教学内容1.同角三角函数的定义和基本概念。
2.同角三角函数之间的基本关系式。
三、教学步骤1.导入环节：通过实例启发学生对同角三角函数的认知。
通过投影仪或白板展示一幅关于三角函数的实例图片，让学生观察图片并回答一些问题，如“这幅图片中有哪些角？”“有没有相同大小的角？”等等。
通过引导的方式激发学生的思考和讨论，提前预热学生的兴趣。
2.概念讲解：通过多媒体展示和讲解同角三角函数的定义和基本概念。
利用多媒体课件或视频资源，结合形象生动的动画和示例，讲解同角三角函数的定义和基本概念。
通过图像和文字化的解释，帮助学生更好地理解相关概念，并引导学生积极参与讨论与互动。
3.实验操作：设计实验环节，让学生亲自操作测量角度和计算三角函数的值。
在实验室或者课堂上，设置一个计算机或者手机上已经安装了三角函数计算器的实验台。
学生分组轮流进行操作，通过测量不同角度，在计算器中输入角度值并得出三角函数的值。
教师可以提前准备一些角度值让学生进行测量和计算。
这样能够让学生亲身体验和操作，提高他们对同角三角函数的理解和记忆。
4.小组合作：设计小组合作讨论与解题环节。
将学生分为小组，每个小组选取一个角度值，通过计算器计算出该角度的正弦、余弦、正切等同角三角函数的值，并通过纸质工作表记录下来。
然后学生进行交流与讨论，比较不同角度值下同角三角函数的变化规律，进一步探究同角三角函数之间的关系。
高中数学新课程创新教学设计案例篇范文同角三角函数的基本关系式
33 同角三角函数的基本关系式教材剖析这节课主假如依据三角函数的定义，导出同角三角函数的两个基本关系式sin2a＋cos 2a＝1与，并初步进行这些公式的两类基本应用．教课要点是公式sin2a＋cos 2a＝1与的推导及以下两类基本应用：（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其他两个三角函数．（2）化简三角函数式及证明简单的三角恒等式．此中，已知某角的一个三角函数值，求它的其他各三角函数值时，正负号的选择是本节的一个难点，正确运用平方根及象限角的观点是打破这一难点的要点；证明恒等式是这节课的另一个难点．讲堂上教师应松手让学生独立解决问题，优化自己的解题过程．教课目的1.让学生经历同角三角函数的基本关系的探究、发现过程，培育学生的着手实践、探究、研究能力．2.理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题，培育学生的运算能力，逻辑推理能力．3.经过同角三角函数基本关系的学习，揭露事物之间的广泛联系规律，培育学生的辩证唯物主义世界观．任务剖析这节课的主要任务是指引学生依据三角函数的定义探究出同角三角函数的两个基本关系式： sin 2a＋ cos2a＝ 1 及，并进行初步的应用．因为该节内容比较简单，所以，讲堂上不论是关系式的探究仍是例、习题的解决都能够松手让学生独立达成，即由学生自己把要学的知识探究出来，并用以解决新的问题．必需时，教师能够在以下几点上加以重申：（ 1）“同角”二字的含义．（ 2）关系式的合用条件．（3）化简题最后结果的形式．（4）如何优化解题过程．教课方案一、问题情境教师出示问题：上一节内容，我们学习了随意角α 的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线，你知道它们之间有什么联系吗？你能得出它们之间的直接关系吗？二、成立模型1.指引学生写出随意角α 的六个三角函数，并探究它们之间的关系P（ x， y），它与原点的距离是r （ r ＞ 0），则角α 的六个三角函数值在角α 的终边上任取一点是2.推导同角三角函数关系式x， y，r ），进而获得下述基本关系．指引学生经过察看、剖析和议论，消元（消去22（ 1）平方关系： sin a＋ cos a＝ 1．（2）商数关系： t ：说明：①当松手让学生推导同角三角函数的基本关系时，部分学生可能会利用三角函数线，借助勾股定理及相像三角形的知识来得出结论．对于这类推导方法，教师也应给予充足必定，并进一步指引学生得出｜ sin α｜＋｜ cosα｜≥ 1．②除以上两个关系式外，或许部分学生还会得出以下关系式：.教师点拨：这些关系式都很对，但最基本的仍是（ 1）和（ 2），故为了减少大家的记忆负担，只须记着（ 1）和（ 2）即可．以上关系式均为同角三角函数的基本关系式．教师启迪：（ 1）对“同角”二字，大家是如何理解的？（2）这两个基本关系式中的角α 有没有范围限制？（3）自然界的万物都有着千头万绪的联系，大家只需养成擅长察看的习惯，或许每日都会有新的发现．方才我们发现了同角三角函数的基本关系式，那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？三、解说应用［例题］1.已知 sin α＝，且α 是第二象限角，求角α 的余弦值和正切值．2.已知 tan α＝－，且α 是第二象限角，求角α 的正弦和余弦值．说明：这两个题是关系式的基本应用，应让学生独立达成．可选两名同学到黑板前板书，以便规范解题步骤．变式 1在例2中若去掉“且α 是第二象限角”，该题的解答过程又将如何？师生一同达成该题的解答过程．解：由题意和基本关系式，列方程组，得由②，得 sin α＝－cosα，代入①整理，得6cos 2α＝ 1， cos 2α＝．∵tan α＝－＜０，∴角α 是第二或第四象限角．当α 是第二象限角时，cosα＝－，代入②式，得；当α 是第四象限角时，cosα＝，代入②式，得.小结：由平方关系求值时，要波及开方运算，自然存在符号的选用问题．因为此题没有详细指明α 是第几象限角，所以，应针对α 可能所处的象限，分类议论．变式 2把例2变成：已知tan α＝－，求的值．解法1：由tan α＝－及基本关系式可解得针对两种状况下的结果竟然一致的状况，教师实时点拨：察看所求式子的特色，看能不可以不经过求sin α， cosα的值而直接得出该分式的值．学生获得以下解法：由此，引出变式3．已知： tan α＝－，求（sinα－cosα） 2 的值．有了上一题的经验，学生会获得以下解法：教师概括、启迪：这个方法成功地防止了开方运算，因此也就避开了不用要的议论．遗憾的是，因为它不是分式形式，所以解题过程不像“变式2”那样简捷．那么，能解决这一矛盾吗？学生获得以下解法：教师指引学生反省、总结：（1）因为开方运算一般存在符号选用问题，所以，在求值过程中，若能防止开方的应尽量防止．（ 2）当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n（ n∈ N 且 n≥1）次幂的齐次式时，采纳上述方法可优化解题过程．［练习］当学生达成了以上题目后，教师指引学生议论以下问题：（1）化简题的结果必定是“最简”形式，对三角函数的“最简”形式，你是如何理解的？（2）对于三角函数恒等式的证明，一般都有哪些方法？你能否发现了一些技巧？四、拓展延长教师出示问题，启迪学生一题多解，并激发学生的探究热忱．已知 sin α－ cosα＝－，180°＜α＜270°，求tan α的值．解法 1：由 sin α－ cosα＝－，得反省：（ 1）解法 1 的结果比解法 2 的结果多了一个，看来产生了“增根”，那么，是什么原由产生了增根呢？（ 2）当学生发现了由sin α－ cosα＝－获得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的过程中，α 的范围变大了时，教师再点拨：如何才能使平方变形是等价的呢？由学生得出以下正确答案：∵180°＜α＜ 270°，且sin α－ cosα＝－＜ 0，∴ sin α＜0，cosα＜0，且｜ sin α｜＞｜cosα｜，所以｜tan α｜＞1，只好取tan α＝ 2．重申：非等价变形是解法 1 犯错的要点！点评这篇事例力争表现新课程理念下的以人为本的思想，充足发挥了学生的主体作用．教师充任着学生学习的指引者、支持者和帮助者的角色．教师和学生是本课的共同参加者，共同努力达成了这一节课的教课活动．在这节课上，学生的踊跃性被充足调换起来，进而使学生在踊跃思想的活动中获得了成功并饱尝到了成功的愉悦．事例中的教课活动表现了研究性学习和探究性学习的方法．总之，充足调换学生数学学习的主动性，重申怀疑和化疑，是这篇事例的成功之处．。
高中数学三角函数教案
高中数学三角函数教案高中数学三角函数教案作为一位杰出的教职工，可能需要进行教案编写工作，通过教案预备可以更好地依据详细状况对教学进程做适当的必要的调整。
如何把教案做到重点突出呢？以下是我细心整理的高中数学三角函数教案，供大家参考借鉴，期望可以帮忙到有需要的朋友。
高中数学三角函数教案1一、教学目标把握三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。
经受三角函数的单调性的探究过程，提升规律推理力量。
在猜想计算的过程中，提高学习数学的爱好。
二、教学重难点三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。
探究三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围过程。
三、教学过程(一)引入新课提出问题：如何讨论三角函数的单调性(四)小结作业提问：今日学习了什么?引导同学回顾：基本不等式以及推导证明过程。
课后作业：思索如何用三角函数单调性比较三角函数值的大小。
高中数学三角函数教案2教材：已知三角函数值求角(反正弦，反余弦函数)目的：要求同学初步(了解)理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。
过程：一、简洁理解反正弦，反余弦函数的意义。
由1在R上无反函数。
2在上， x与y是一一对应的`，且区间比较简洁在上，的反函数称作反正弦函数，记作，(奇函数)。
同理，由在上，的反函数称作反余弦函数，记作二、已知三角函数求角首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。
已知三角函数值求角是多值的。
例一、1、已知，求x解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 (即 )2、已知解：，是第一或其次象限角。
即( )。
3、已知解： x是第三或第四象限角。
(即或 )这里用到是奇函数。
例二、1、已知，求解：在上余弦函数是单调递减的，且符合条件的角只有一个2、已知，且，求x的值。
解：， x是其次或第三象限角。
3、已知，求x的值。
解：由上题：。
介绍：∵上题例三、(见课本P74-P75)略。
新课标高中数学优秀教案
新课标高中数学优秀教案
课题：三角函数的性质与应用
教学目标：学生能够掌握三角函数的基本性质，能够应用三角函数解决实际问题。
教学重点：三角函数的性质，三角函数在实际问题中的应用。
教学难点：三角函数性质的理解与应用。
教学准备：教案、教材、投影仪、计算器等。
教学过程：
一、引入
1. 老师介绍本节课的学习内容：三角函数的性质与应用。
2. 老师通过一个简单的例子引入三角函数的概念，并提问学生对三角函数的认识和了解。
二、讲解
1. 老师讲解三角函数的基本概念和性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
2. 老师通过示意图和实例详细讲解三角函数的周期性、奇偶性等性质。
三、练习
1. 老师设计一些综合性的练习题，让学生进行实践操作，巩固所学知识。
2. 学生分组进行讨论和解答，老师及时纠正学生答案并解释错误之处。
四、应用
1. 老师通过实际问题引导学生思考如何应用三角函数解决实际问题。
2. 学生根据所学知识，分析问题、建立方程并求解，提高解决问题的能力。
五、总结
1. 老师带领学生总结本节课学习的内容，强化学生对三角函数性质与应用的理解。
2. 学生进行小结，复习掌握的知识点，巩固学习成果。
六、作业
1. 布置作业，要求学生独立完成，巩固本节课所学内容。
2. 提醒学生及时复习、总结，为下节课的学习做好准备。
教学评价：
本节课通过理论讲解、练习和应用实践相结合的教学方式，使学生在掌握三角函数的基本
性质的同时，能够灵活应用于解决实际问题。
同时，通过总结与作业让学生巩固所学知识，提高学习效果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
31 角的概念的推广教材分析这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．教学目标1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．教学设计一、问题情境［演示］1. 观览车的运动．2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作．3. 钟表秒针的转动．4. 自行车轮子的滚动．［问题］1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？3. 钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．二、建立模型1. 正角、负角、零角的概念在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角．2. 象限角当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．3. 终边相同的角在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即390°＝30°＋360°，（k＝1）；－330°＝30°－360°，（k＝－1）．设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．三、解释应用［例题］1. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．（1）－150°．（2）650°．（3）－950°5′．2. 分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来．（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′．3. 写出终边在y轴上的角的集合．解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°，270°．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有与270°角终边相同的角构成的集合为S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝．于是，终边在y轴上的角的集合为S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．注：会正确使用集合的表示方法和符号语言．［练习］1. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°．2. 辨析概念．（分别用集合表示出来）（1）第一象限角．（2）锐角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角．3. 一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．4. 终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．四、拓展延伸1. 若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是．2. 如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢？）32 任意角的三角函数教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．教学目标1. 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．2. 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题．3. 通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．教学设计一、情景设置初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．二、建立模型一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：那么，OP＝，记作r，（r＞0）．对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为对于定义，思考如下问题：1. 当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？为什么？2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？三、解释应用［例题］1. 已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值．思考：若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？（m≠0）2. 求下列角的六个三角函数值．注：强化定义．［练习］1. 已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）．2. 计算．（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．四、拓展延伸1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．2. 根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota 的值在各个象限的符号．3. 计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．（1）sin30°，sin390°．（2）cos45°，cos（－315°）．规律：终边相同的角有相同的三角函数值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．五、应用与深化［例题］1. 确定下列三角函数值的符号．2. 求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0．证明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上．又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限．∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．必要性：若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0．从而结论成立．［练习］1. 设α是三角形的一个内角，问：在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函数可能取负值？为什么？2. 函数的值域是____________ ．33 同角三角函数的基本关系式教材分析这节课主要是根据三角函数的定义，导出同角三角函数的两个基本关系式sin2a＋cos2a ＝1与，并初步进行这些公式的两类基本应用．教学重点是公式sin2a＋cos2a ＝1与的推导及以下两类基本应用：（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其余两个三角函数．（2）化简三角函数式及证明简单的三角恒等式．其中，已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，正负号的选择是本节的一个难点，正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键；证明恒等式是这节课的另一个难点．课堂上教师应放手让学生独立解决问题，优化自己的解题过程．教学目标1. 让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程，培养学生的动手实践、探索、研究能力．2. 理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题，培养学生的运算能力，逻辑推理能力．3. 通过同角三角函数基本关系的学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生的辩证唯物主义世界观．任务分析这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式：sin2a＋cos2a＝1及，并进行初步的应用．由于该节内容比较容易，所以，课堂上无论是关系式的探索还是例、习题的解决都可以放手让学生独立完成，即由学生自己把要学的知识探索出来，并用以解决新的问题．必要时，教师可以在以下几点上加以强调：（1）“同角”二字的含义．（2）关系式的适用条件．（3）化简题最后结果的形式．（4）怎样优化解题过程．教学设计一、问题情境教师出示问题：上一节内容，我们学习了任意角α的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线，你知道它们之间有什么联系吗？你能得出它们之间的直接关系吗？二、建立模型1. 引导学生写出任意角α的六个三角函数，并探索它们之间的关系在角α的终边上任取一点P（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），则角α的六个三角函数值是2. 推导同角三角函数关系式引导学生通过观察、分析和讨论，消元（消去x，y，r），从而获取下述基本关系．（1）平方关系：sin2a＋cos2a＝1．（2）商数关系：t：说明：①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时，部分学生可能会利用三角函数线，借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论．对于这种推导方法，教师也应给以充分肯定，并进一步引导学生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．②除以上两个关系式外，也许部分学生还会得出如下关系式：.教师点拨：这些关系式都很对，但最基本的还是（1）和（2），故为了减少大家的记忆负担，只须记住（1）和（2）即可．以上关系式均为同角三角函数的基本关系式．教师启发：（1）对“同角”二字，大家是怎样理解的？（2）这两个基本关系式中的角α有没有范围限制？（3）自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现．刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式，那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？三、解释应用［例题］1. 已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．2. 已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．说明：这两个题是关系式的基本应用，应让学生独立完成．可选两名同学到黑板前板书，以便规范解题步骤．变式1在例2中若去掉“且α是第二象限角”，该题的解答过程又将如何？师生一起完成该题的解答过程．解：由题意和基本关系式，列方程组，得由②，得sinα＝－cosα，代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝．∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，cosα＝－，代入②式，得；当α是第四象限角时，cosα＝，代入②式，得.小结：由平方关系求值时，要涉及开方运算，自然存在符号的选取问题．由于本题没有具体指明α是第几象限角，因此，应针对α可能所处的象限，分类讨论．变式2把例2变为：已知tanα＝－，求的值．解法1：由tanα＝－及基本关系式可解得针对两种情况下的结果居然一致的情况，教师及时点拨：观察所求式子的特点，看能不能不通过求sinα，cosα的值而直接得出该分式的值．学生得到如下解法：由此，引出变式3．已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．有了上一题的经验，学生会得到如下解法：教师归纳、启发：这个方法成功地避免了开方运算，因而也就避开了不必要的讨论．遗憾的是，因为它不是分式形式，所以解题过程不像“变式2”那样简捷．那么，能解决这一矛盾吗？学生得到如下解法：教师引导学生反思、总结：（1）由于开方运算一般存在符号选取问题，因此，在求值过程中，若能避免开方的应尽量避免．（2）当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n（n∈N且n≥1）次幂的齐次式时，采用上述方法可优化解题过程．［练习］当学生完成了以上题目后，教师引导学生讨论如下问题：（1）化简题的结果一定是“最简”形式，对三角函数的“最简”形式，你是怎样理解的？（2）关于三角函数恒等式的证明，一般都有哪些方法？你是否发现了一些技巧？四、拓展延伸教师出示问题，启发学生一题多解，并激发学生的探索热情．已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα的值．解法1：由sinα－cosα＝－，得反思：（1）解法1的结果比解法2的结果多了一个，看来产生了“增根”，那么，是什么原因产生了增根呢？（2）当学生发现了由sinα－cosα＝－得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的过程中，α的范围变大了时，教师再点拨：怎样才能使平方变形是等价的呢？由学生得出如下正确答案：∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．强调：非等价变形是解法1出错的关键！34 诱导公式教材分析这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．教学目标1. 在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．3. 让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．任务分析诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180°＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°～360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°＋α，270°±α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．教学设计一、问题情境教师提出系列问题1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由．二、建立模型1. 分析1在教师的指导下，学生独立推出公式（一），即2. 应用1在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．练习：求下列各三角函数值．（1）cosπ．（2）tan405°．3. 分析2如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝．4. 分析3一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生独立完成下述推导：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin （180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝．从而得到：5. 分析4在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．由学生独立完成如下推导：如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝从而得到：进而推出：注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．6. 教师归纳公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？这种变化是否存在着某种规律？引导学生进行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．三、解释应用［例题］1. 求下列各三角函数值．通过应用，让学生体会诱导公式的作用：①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为评注：本题中，若代入cosα·cot3α形式，就须先求得cosα的值．由于不能确定角α所在象限，解题过程将变得烦锁．以此提醒学生注意选取合理形式解决问题．四、拓展延伸教师出示问题：前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数与角α的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：均为180°的整数倍加、减α．但是，在解题过程中，还会遇到另外的情况，如前面遇到的120°角，它既可以写成180°－60°，也可以写成90°＋30°，那么90°＋α的三角函数与α的三角函数有着怎样的关系呢？学生探究：经过独立探求后，有学生可能会得到如下结果：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角90°＋α的终边与单位圆交于点P′（x′，y′）（如图），则cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′．过P作PM⊥x轴，垂足为M，过P′作P′M′⊥y轴，垂足为M′，则△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．进而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．对此结论和方法，教师不宜作任何评论，而应放手让学生展开辩论和交流，最后得到正确结果：由于OM与OM′，MP与M′P′仅是长度相等，而当点P在第一象限时，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x．从而得到：教师进一步引导：（1）推导上面的公式时，利用了点P在第一象限的条件．当点Ｐ不在第一象限时，是否仍有上面的结论？（通过多媒体演示角α的终边在不同象限的情景，使学生理解公式六中的角α可以为任意角）（2）推导公式六时，采用了初中的平面几何知识．是否也能像推导前五组公式那样采用对称变换的方式呢？学生探究：学生先针对α为锐角时的情况进行探索，再推广到α为任意角的情形．设角α的终边与单位圆交点为P（x，y），＋α的终边与单位圆的交点为P′（x′，y′）（如图）．由于角α的终边经过下述变换：2（－α）＋2a＝，即可得到＋α的终边．这是两次对称变换，即先作P关于直线y＝x的对称点M（y，x），再作点M关于y轴的对称点P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．由此，可进一步得到：教师归纳：公式六、七、八、九也称作诱导公式，利用它们可以把90°±α，270°±α的三角函数转化为α的三角函数．引导学生总结出：90°±α，270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．两套公式合起来，可统一概括为对于k·90°±α（k∈Z）的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名函数值．然后，均在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可编成口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．。