冯慈璋马西奎工程电磁场导论课后重点习题解答

1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。

(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a 和b （a b >），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为τ-。

解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l 半径为r （b r a <<）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得

l S D s

τ=⋅⎰

d

考虑到此问题中的电通量均为r e

即半径方向，所以电通量对圆柱体前后

两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是

l rD l τπ=2

即 r e r

D πτ2=

， r e r E

02πετ= 由此可得 a b r e e r r E U b

a r r

b a

ln 2d 2d 00

⎰

⎰

επτ=⋅επτ=⋅=

1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为cm 2，内外导体间电介质的击穿场强为kV/cm 200。内导体的半径为a ，其值可以自由选定但有一最佳值。因为a 太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过介质的击穿场强。另一方面，由于

E 的最大值m E 总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。

（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够

脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。

解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为

r E πετ2=

， a

E πετ

2max = 而内外导体之间的电压为

a

b

r r r E U b

a b

a ln 2d 2d πετπετ⎰

⎰===

或 )ln(max a

b aE U =

0]1)[ln(a d d max =-+=a

b

E U 即 01ln =-a b ， cm 736.0e

==b

a V)(1047.1102736.0ln 5

5max max ⨯=⨯⨯==a

b aE U

1—3—3、两种介质分界面为平面，已知014εε=，022εε=，且分界面一侧的电场强度V /m 1001=E ，其方向与分界面的法线成045的角，求分界面另一侧的电场强度2E 的值。

解：25045sin 10001==t E ，25045cos 10001==n E

220040101εε==n n E D 根据 t t E E 21=，n n D D 21=得

2502=t E ，220002ε=n D ， 210020

22==

εn

n D E 于是： V/m)(1050)2100()250(2222222=+=+=n

t E E E 1—4—2、两平行导体平板，相距为d ，板的尺寸远大于d ，一板的电位为0，另一板的电位为0V ，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即x x 0)(ρρ=。试求两极板之间的电位分布（注：0=x 处板的电位为0）。

解：电位满足的微分方程为

x x

002

2d d ερϕ

-= 其通解为： 213

06C x C x ++-

=ερϕ 定解条件为：00==x ϕ； 0V ==d x ϕ 由00==x ϕ得 02=C 由0V ==d x ϕ得 01300V 6=+-

d C d ερ，即 20

0016d V d C ερ

+= 于是 x d d x )6V (62

00300ερερϕ++-

= 1—4—3、写出下列静电场的边值问题：

（1）、电荷体密度为1ρ和2ρ（注：1ρ和2ρ为常数），半径分别为a 与b 的

双层同心带电球体（如题1—4—3图（a））；

ε（2）、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为

1ε的均匀介质，内球壳带总电量为Q，外球壳接地（题1—4—3图b））；与

2

（3）、半径分别为a与b的两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度的电量为τ，外圆柱面导体接地（题1—4—3图（c））。

由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中的电位ϕ和φ及z 无关，即ϕ只是r 的函数，所以

0)(1=∂∂∂∂r

r r r ϕ

电位参考点： 0==b r ϕ； 边界条件：τεπ==a

r r E a 2，即

τϕεπ=∂∂-=a

r r a )(2

1－7－3、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷1q 和2q ，与导体平板的距离均为d ，求空间的电位分布。

解：设接地平板及1q 和2q 如图（a ）所示。选一直角坐标系，使得z 轴经

过1q 和2q 且正z 轴方向由2q 指向1q ，而x ，y 轴的方向与z 轴的方向符合右手螺旋关系且导体平板的表面在x ，y 平面内。计算0>z 处的电场时，在（d -,0,0）处放一镜像电荷1q -，如图（b ）所示，用其等效1q 在导体平板上的感应电荷，因此

))

(1

)(1(4222222011d z y x d z y x q +++--++πε=

ϕ

计算0