大学高等数学经典课件12-5
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《大学高等数学经典》PPT课件
记作U
0
(a).
教 案
U 0 (a) {x | 0 x a }
注意：邻域总是开集。
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等 二、映射
数 学
1、概念
电 子
设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对
教 案
X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与
之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f ：X→Y .
高
等
数
学
电
子 教
(函 数与 极 限)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数
第一章 函数与极限
学
电 子
第一节 映射与函数
教 案
一、集合
1、概念 具有某种特定性质的事物的总体;
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
武
汉 科
元素a属于集合M, 记作 aM
技
学 院
元素a不属于集合M, 记作 aM
数
理
科
技
学 院
g[ f (x)] 1 (x2 1) 2 x2 1 x 2
数
理
系
高 等 三、函数 数 学 1、函数概念 电 子 定义1 设数集D R,则称映射 f : D→R为定义在D上的 教 案 函数，记作 y f (x), x D
其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自
数
理
系
高
等
数
2、区间
学
电
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个
子
教 案
实数叫做区间的端点.
a,b R, 且a b.
高等数学课件详细
分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
南开大学高等数学课件12极限-PPT精品文档
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大学文科数学
例5 等比级数的求和． 解. 等比级数： a0+a0q+a0q2+…+a0qn+… = 部分和sn: a0+a0q+…+a0qn-1 =
2.2极限
部分和数列{sn}: s1=a0，s2=a0+a0q，…，sn=a0+a0q+…+a0qn1，…．
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通项1/2n无限接近0，但又永远不会等于0． 正如《庄子》所说：“万世不竭”． 哲学辩证的思想：有限和无限的统一 数学的思想：数列极限
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大学文科数学
2.2 极限
例2刘徽运用割圆术算出圆周率． 东汉科学家张衡：=3.16;东汉天文学家王蕃：=3.156 三国时代数学家刘徽：割圆术，用圆的内接正n边形周长逼 近圆周．n无限增大时，其周长无限接近圆周d，算出 =3.1416。南北朝数学家祖冲之：用刘徽割圆术计算11 次，分割圆为12288边形，=3.14159265 ，成为此后千 年世界上最准确的圆周率。
n 1 1 , 1 , 1 , 1 , ,( 1 ) 无极限
1 ， 3 ， 5 ， 7 ， ， ( 2 n 1 ), 无极限
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大学文科数学
2.2 极限
数列与函数的关系 x n ) ,它的定义域是全体正整数 n f( 用Mathematica在平面上画出数列的散点图 Table [f[n]，{n，min，max，step} ] 利用ListPlot[ ]和Table[ ]语句作图，如画出{n/(n+1)} ListPlot[Table[ n/(n+1),{n,1,100}]]
高等数学第十二章《常数项》复习 课件
12
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1234
x
13
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1 ,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
8
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
2! 3!
n0 n!
(5) sin x x x3 x5
3! 5!
(1)n
1 (2n1)!
x 2n1
,
x
(,
)
n0
(6) cos x 1 x2 x4
2! 4!
n320
(1)n
1 (2n)!
x2n ,
x
(, )
注意： 把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化
函数 转化 展开式已知的新函数
n
有
lim
高等数学完整版详细 ppt课件
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函 数 f(x)连 续 ,若f(x0)f(x0)则 称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
5高等数学课件完整版详细
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 nf2 nfn n极限运算与对数运算换序得
i 1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
i 1
1
lim
x
1
x(2x
1)
lim
x
2x 1
1
ln
2,
1
lim n(2n 1) ln 2,
12高等数学课件详细
发散 .
例4.
判别级数
ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n
2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’ALEMBERT
判别法)
设 un 为正项级数, 且 lim n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un1 un
,
则
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
例如, p – 级数
1 n1 n p
:
lim un1 n un
1
lim
.
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
lim (S2n Sn ) 0
n
但
S2n
Sn
1 n 1
1 n2
1 n3
1 n 1 2n 2n 2
矛盾! 所以假设不真 .
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
n1
un 也收敛 ;
n1
vn 也发散 .
n1
例1.
讨论
P
高等数学课件完整版
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
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所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第7页/共175页
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
xa ,
xa
在 U 0(a, )内任取一点x, 在以 a 与 x 为端点的区间上,
f1( x), F1( x)满足柯西中值定理的条件, 则有
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) F ( x) F ( x) F (a) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim f ( x) A, xa F ( x)
x0 1
第19页/共175页
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 .
三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x 1 x2 2
( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nbn1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
第6页/共175页
几何解释:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
12-XT高等数学微积分十二章全绝对详细市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
d
y x
xdy x2
ydx y2
d arctg
y x
xdy ydx d ln xy
xy
xdx x2
ydy y2
d
1 2
ln(
x
2
y 2 )
xdy x2
ydx y2
d 1 ln 2
x x
y y
可选用积分因子
x
1
y
,
1 x2
,
1 x2 y2
,
x2
1
y2
,
x y2
,
y x2
ydx xdy dx dy 2
x2 y2
d( y)
2 1
x (y
)2
,
x
1 y
x
y
ln 1
x y
ln C ,
x
故方程旳通解为 e x y C x y . x y
例5 求通解 y 1 y2 . 2y
解 方程不显含 x .
令 y P, y P dP , 代入方程，得 dy
dP 1 P 2
2ucos u
x
两边积分
ln(ucos u) ln x2 lnC ,
ucos u C , x2
y yC cos ,
x x x2
所求通解为 xy cos y C. x
4
例2 求通解 xy 2 y 3x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
欧拉方程
微分方程解题思绪
《高等数学经典讲义》课件
第二章：导数与微分
探讨导数和微分的概念及其应用，包括求导法则和 微分的几何和物理意义。
第四章：多元函数和一元多次函数积分
研究多元函数的极限、连续和可微性，以及二重积 分和三重积分的计算方法。
无穷级数
收敛级数
介绍收敛级数和其性质，讲解判别 级数收敛的各种方法。
发散级数
探索发散级数和其特性，详细讨论 级数的发散性质。
《高等数学经典讲义》 PPT课件
本课程旨在向学生介绍《高等数学经典讲义》的重要内容，帮助他们深入了 解该学科的关键概念和理论，并应用于实际问题中。
课件结构
第一章：函数与极限
介绍函数和极限的基本概念，讲解相应的定理和计 算方法。
第三章：积分与应用
介绍积分的概念和性质，解决定积分和定积的概念和性质，以及 级数求和的不同方法。
微分方程
1
常微分方程
介绍常微分方程的定义和求解方法，讨论
偏微分方程
2
一阶、二阶和高阶微分方程。
从物理问题出发，研究偏微分方程的定义
和解法，探索它们在不同领域的应用。
3
微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题，如生物学、 经济学等多个领域。
《高等数学课件》课件
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率 。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数 函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具， 通过链式法则可以将复合函数的导数转化为 简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键 ，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在 数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰 勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物 理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以 用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
感谢您的观看
THANKS
重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程 的分类，如线性微分方程、非线性微 分方程、一阶微分方程、高阶微分方 程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并 举例说明每种解法的应用。
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率 。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数 函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具， 通过链式法则可以将复合函数的导数转化为 简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键 ，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在 数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰 勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物 理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以 用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
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重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程 的分类，如线性微分方程、非线性微 分方程、一阶微分方程、高阶微分方 程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并 举例说明每种解法的应用。
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
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高 等 数 学 电
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后,
如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:
du(x, y) P(x,y)dx Q(x,y)dy, u u P( x, y), Q( x, y ) x y
隐函数.
高 等 数 学 电 子 教 案
另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x),
则
u[ x, ( x)] C
上式两端对x求导,我们得到
u u y u u 0 dx dy 0 p( x, y )dx Q( x, y)dy 0 x y x x y
y
x (2) 在区域G内恒成立,且当条件满足时,全微分方程
(1) 的通解为
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u( x, y) p( x, y)dx Q( x0 , y)dy C (3)
x0 y0
x
y
其中 x0,y0 是在适当选定的点M0(x0,y0)的坐标.
高 等 数 学 电 子 教 案
高 下面我们给出一些积分因子的方法: 等 数 当方程(1)的左端含有xdx+ydy的项,而其他项中都含有因 学 式x2+y2,则方程可能有积分因子: 1 电 x2 y2 子 教 案 当方程(1)的左端含有ydx+xdy的项,而其他项中都含有因式
高 等 数 学 电 子 教 案
P Q y x
(2)
当条件 (2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程. 这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y) (μ(x,y) ≠0), 使方程(1)乘上μ(x,y) 后得到的方程
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
μ(x,y)p(x,y)dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0 为全微分方程,则函数μ(x,y) 叫做方程(1)的积分因子.
d ( xe y ) d ( y 2 ) d ( xe y y 2 ) 0 xe y y 2 C
高 等 数 学 电 子 教 案
我们把一些常见的全微分表达式写出来,使同学能清楚. x2 y 2 xdx ydy 1 2 2 (1) xdx ydy d ( ) (2) 2 d [ ln( x y )] 2 22 x y 2 2 x y xdx ydy 1 2 2 (3) xdx ydy d ( ) (4) 2 d [ ln( x y )] 2 2 x y 2 xdy ydx (5) xdy ydx d ( xy) (6) d (ln xy) xy
0
x
y
0
3 3 y y 2 dy x 5 x 2 y 2 xy 3 2 3
于是,方程的通解为
3 2 2 y3 3 x x y xy C 2 3
5
高 等 数 学 电 子 教 案
除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 是全微分方程,我们把方程的左端凑成某一函数u(x,y)的全微 分: p(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y). 即可得方程通解: u(x,y)=C 例2 求方程的通解 eydx+(xey-2y)dy=0
例1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 分析: 这里 这是全微分方程,可取x0=0 y0=0. 根据公式(3),有
p Q 6 xy 3 y 2 y x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u ( x, y) (5 x 4 3xy 2 y 3 )dx
高 等 数 要使方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)为全微分方程,函数μ(x,y) 学 电 必须满足方程 子 ( p) ( Q) 教 y x 案
p
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
p Q Q ( )0 y x y x
这是一阶的偏微分方程,在一般的情况下, 它比原方程更难求.
ydx xdy y (7) d( ) 2 x x ydx xdy x (8) d( ) 2 y y
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
ydx xdy x xdy ydx y (9) 2 d (arctg ) (10) d (arctg ) 2 2 x y y x x ydx xdy 1 x y xdy ydx 1 x y (11) 2 d ( ln ), (12) 2 d ( ln 2 2 x y 2 x y x y 2 x y
这表示由方程u(x,y)=C所确定的隐函数是方程(1)的解.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
因此,如果方程(1)的左端是函数u(x,y)的全微分,那么 u(x,y)=C就是全微分方程(1)的隐式通解,C是任意常数.
高 等 数 学 由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具 电 子 有一阶连续偏导数时,要使方程(1)是全微分方程,充要条件是 教 案 P Q
P( x, y ) e y , Q( x, y ) xe y 2 y, P Q ey y x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
e y dx ( xe y 2 y)dy 0 (e y dx xe y dy) 2 ydy 0
(e y dx xey dy) d ( xey ), 2 ydy d ( y 2 ) (e y dx xey dy) 2 ydy 0
那么方程(1)就称为全微分方程. 而方程(1)就是 du(x,y)=0 (1’ )
如果y=φ(x)是方程(1)的解,那么这解满足方程(1‘),故有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
du[ x, ( x)] 0 u[ x, ( x)] C
这表示方程(1)的解y=φ(x)是由方程u[x,φ(x)]=C所确定的
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后,
如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:
du(x, y) P(x,y)dx Q(x,y)dy, u u P( x, y), Q( x, y ) x y
隐函数.
高 等 数 学 电 子 教 案
另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x),
则
u[ x, ( x)] C
上式两端对x求导,我们得到
u u y u u 0 dx dy 0 p( x, y )dx Q( x, y)dy 0 x y x x y
y
x (2) 在区域G内恒成立,且当条件满足时,全微分方程
(1) 的通解为
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u( x, y) p( x, y)dx Q( x0 , y)dy C (3)
x0 y0
x
y
其中 x0,y0 是在适当选定的点M0(x0,y0)的坐标.
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高 下面我们给出一些积分因子的方法: 等 数 当方程(1)的左端含有xdx+ydy的项,而其他项中都含有因 学 式x2+y2,则方程可能有积分因子: 1 电 x2 y2 子 教 案 当方程(1)的左端含有ydx+xdy的项,而其他项中都含有因式
高 等 数 学 电 子 教 案
P Q y x
(2)
当条件 (2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程. 这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y) (μ(x,y) ≠0), 使方程(1)乘上μ(x,y) 后得到的方程
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
μ(x,y)p(x,y)dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0 为全微分方程,则函数μ(x,y) 叫做方程(1)的积分因子.
d ( xe y ) d ( y 2 ) d ( xe y y 2 ) 0 xe y y 2 C
高 等 数 学 电 子 教 案
我们把一些常见的全微分表达式写出来,使同学能清楚. x2 y 2 xdx ydy 1 2 2 (1) xdx ydy d ( ) (2) 2 d [ ln( x y )] 2 22 x y 2 2 x y xdx ydy 1 2 2 (3) xdx ydy d ( ) (4) 2 d [ ln( x y )] 2 2 x y 2 xdy ydx (5) xdy ydx d ( xy) (6) d (ln xy) xy
0
x
y
0
3 3 y y 2 dy x 5 x 2 y 2 xy 3 2 3
于是,方程的通解为
3 2 2 y3 3 x x y xy C 2 3
5
高 等 数 学 电 子 教 案
除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 是全微分方程,我们把方程的左端凑成某一函数u(x,y)的全微 分: p(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y). 即可得方程通解: u(x,y)=C 例2 求方程的通解 eydx+(xey-2y)dy=0
例1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 分析: 这里 这是全微分方程,可取x0=0 y0=0. 根据公式(3),有
p Q 6 xy 3 y 2 y x
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u ( x, y) (5 x 4 3xy 2 y 3 )dx
高 等 数 要使方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)为全微分方程,函数μ(x,y) 学 电 必须满足方程 子 ( p) ( Q) 教 y x 案
p
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p Q Q ( )0 y x y x
这是一阶的偏微分方程,在一般的情况下, 它比原方程更难求.
ydx xdy y (7) d( ) 2 x x ydx xdy x (8) d( ) 2 y y
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
ydx xdy x xdy ydx y (9) 2 d (arctg ) (10) d (arctg ) 2 2 x y y x x ydx xdy 1 x y xdy ydx 1 x y (11) 2 d ( ln ), (12) 2 d ( ln 2 2 x y 2 x y x y 2 x y
这表示由方程u(x,y)=C所确定的隐函数是方程(1)的解.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
因此,如果方程(1)的左端是函数u(x,y)的全微分,那么 u(x,y)=C就是全微分方程(1)的隐式通解,C是任意常数.
高 等 数 学 由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具 电 子 有一阶连续偏导数时,要使方程(1)是全微分方程,充要条件是 教 案 P Q
P( x, y ) e y , Q( x, y ) xe y 2 y, P Q ey y x
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e y dx ( xe y 2 y)dy 0 (e y dx xe y dy) 2 ydy 0
(e y dx xey dy) d ( xey ), 2 ydy d ( y 2 ) (e y dx xey dy) 2 ydy 0
那么方程(1)就称为全微分方程. 而方程(1)就是 du(x,y)=0 (1’ )
如果y=φ(x)是方程(1)的解,那么这解满足方程(1‘),故有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
du[ x, ( x)] 0 u[ x, ( x)] C
这表示方程(1)的解y=φ(x)是由方程u[x,φ(x)]=C所确定的