2011年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2011年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则(M∩N)＝() A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}2、函数y＝2(x≥0)的反函数为()A．(x∈R) B．(x≥0)C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0)3、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，，则|a＋2b|＝()A.B．C．D．4、若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为() A．17 B．14 C．5 D．35、下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b36、设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k ＝()A．8 B．7 C．6 D．57、设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A． B．3 C．6 D．98、已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝…()A．2 B．C．D．19、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种10、(5分)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－5/2)＝()A．B．C．D．11、设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4 B．C．8 D．12、已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为() A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题( 本大题共 4 题, 共计20 分)13、(1－x)10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为______．14、已知，tanα＝2，则cosα＝______.15、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为______．16、已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝______.三、解答题( 本大题共 6 题, 共计70 分)17、设等比数列{a n}的前n项和为S n.已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求a n和S n.18、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.（1）求B；（2）若A＝75°，b＝2，求a，c.19、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（2）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20、如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1.（1）证明：SD⊥平面SAB；（2）求AB与平面SBC所成的角的大小．21、已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)．（1）证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)；（2）若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1，3)，求a的取值范围．22、已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P满足. （1）证明：点P在C上；（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．—2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、(5分) DM∩N＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}，又∵U＝{1，2，3，4}，∴(M∩N)＝{1，4}．2、(5分) B由(x≥0)得(y≥0)，∴，∴反函数为(x≥0)．3、(5分) B由|a|＝|b|＝1，，得.4、(5分) C由x，y的约束条件画出可行域如图：设l0：，则过A点时，z的值最小．由得A(1，1)，∴z min＝2×1＋3×1＝5.5、(5分) AA项中a＞b＋1＞b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b ＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．6、(5分) D由S k＋2－S k＝24，∴a k＋1＋a k＋2＝24，∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，∴2a1＋(2k＋1)d＝24.又a1＝1，d＝2，∴k＝5.7、(5分) C由题意得：为函数f(x)＝cosωx的最小正周期的正整数倍，∴(k∈N*)，∴ω＝6k(k∈N*)，∴ω的最小值为6.8、(5分) C如图，AB＝2，AC＝BD＝1，连结BC，则△ABC为直角三角形，∴.又△BCD为直角三角形，∴.9、(5分) B先从4人中选2人选修甲课程，有种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有种方法．10、(5分) A∵f(x)是周期为2的奇函数，∴11、(5分) C由题意可设两圆的方程均为：(x－r)2＋(y－r)2＝r2.将(4，1)代入，可得：(4－r)2＋(1－r)2＝r2，∴r2－10r＋17＝0.∴此方程两根r1，r2分别为两圆半径，∴两圆心的距离12、(5分) D由题意可得截面图形．∵圆M的面积为4π，∴圆M的半径为2.∵α与β所成二面角为60°，∴∠BMC＝60°.在△OMB中，∠OMB＝90°，MB＝2，OB＝4，∴∠OBM＝60°. ∴OB∥CD，.在△OMN中，∠OMN＝30°，，∴.∴.∴圆N的面积为.二、填空题( 本大题共4 题, 共计20 分)13、(5分) 0解析：(1－x)10的通项公式.∴，，∴系数之差为.14、(5分)解析：∵α∈(π，)，tanα＝2，∴.又sin2α＋cos2α＝1，∴5cos2α＝1，∴.15、(5分)解析：如图，连结DE.∵AD∥BC，∴AE与BC所成的角，即为AE与AD所成的角，即∠EAD. 设正方体棱长为a，∴，∴，∴.16、(5分) 6解析：F1(－6，0)，F2(6，0)，M(2，0)，∴|F1M|＝8，|MF2|＝4.由内角平分线定理得：，又|AF1|－|AF2|＝2a＝2×3＝6，∴2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝6.三、解答题( 本大题共6 题, 共计70 分)17、(10分) 解：设{a n}的公比为q，由题设得解得或当a1＝3，q＝2时，a n＝3×2n－1，S n＝3×(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，a n＝2×3n－1，S n＝3n－1.18、(12分) 解：（1）由正弦定理得.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.故，因此B＝45°.（2）sin A＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝. 故，.19、(12分) 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．（1）P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.（2），P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝×0.2×0.82＝0.384.20、(12分)解法一：（1）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2.连结SE，则SE⊥AB，.又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角．由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD. SD与两条相交直线AB、SE都垂直．所以SD⊥平面SAB.（2）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，.作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1.连结SG，则SG⊥BC.又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG. 作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.，即F到平面SBC的距离为.由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为.设AB与平面SBC所成的角为α，则，.解法二：以C为坐标原点，射线CD 为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)．又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，（1）＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由得，故x＝1.由得y2＋z2＝1，又由得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故，.于是，，，，，.故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.（2）设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则，，，.又，，故取p＝2得．又，.故AB与平面SBC所成的角为.21、(12分) 解：（1）f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a.由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a，得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)．（2）由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0.①当时，f(x)没有极小值；②当或时，由f′(x)＝0，得，，故x0＝x2.由题设知1＜－a＋＜3.当时，不等式无解；当时，解不等式，得.综合①②得a的取值范围是(，)．22、(12分) 解：（1）F(0，1)，l的方程为，代入并化简得.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，则，，，，由题意得，y3＝－(y1＋y2)＝－1.所以点P的坐标为．经验证，点P的坐标)满足方程，故点P在椭圆C 上．（2）由P和题设知，Q，PQ的垂直平分线l1的方程为.①设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②由①②得l1、l2的交点为N，，，，，，故|NP|＝|NA|.又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．—。
2011年全国高考文科数学试题(广东卷)及参考答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东B 卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多涂。
答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式V=13Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
线性回归方程^^^y b x a =+中系数计算公式^^^121(1)(1),(1)ni ni x x y y b a y b x x ==--==--∑∑样本数据x 1,x 2, (x)21()2(2)()n x x x x x x -+-+-其中,x y 表示样本均值。
N 是正整数，则1221()(ab)n n n n n n a b a b a a b b -----=-+++…… 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则 A.-i B.i C.-1 D.1（2）.已知集合A=(,),x y x y 为实数，B=(,),x y x y 为实数，且1x y +=则A ⋂B 的元素个数为 A.4 B.3 C.2 D.1（3）已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。
2011年陕西高考数学文科试卷(带答案)
行数 等号左边的项数
1=1
1
2+3+4=9
2
3+4+5+6+7=25 3
4+5+6+7+8+9+10=49 4
则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以，
即．
1 3 5 7
14．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 ．
【测量目标】一元二次方程的求解及充分条件与必要条件的定义. 【考查方式】已知一元二次方程，求其有整数解的充要条件. 【参考答案】或 【试题解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等 进行判断计算． ，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取验证可知符合 题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根． 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题评分） A．（不等式选做题）若不等式对任意R恒成立，则的取值范围是 ． 【测量目标】不等式恒成立问题. 【考查方式】给出不等式，由求出实数的取值范围. 【参考答案】 【试题解析】先确定的取值范围，则只要不大于的最小值即可．当 时，； 当时，； 当时，； 综上可得，所以只要， 即实数的取值范围是． B．（几何证明选做题）如图，，，，且=6，=4，=12，则= ． 【测量目标】空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 【考查方式】给出几何体中线线关系、角的大小、线段长度，求线段 长. 【参考答案】
和的相关系数为直线的斜率 和的相关系数在0到1之间 当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 【测量目标】线性回归直线的特点与性质 【考查方式】给出线性回归直线，判断其性质 【参考答案】 【试题解析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线
2011年山东高考数学文科试卷带详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.设集合 {}|(3)(2)0M x x x =+-<，{}|13,N x x=剟 则MN = （ ）A.[1,2)B.[1,2]C.( 2,3]D.[2,3] 【测量目标】集合间的交集运算. 【考查方式】集合的表达（描述法），化解，求集合的交集. 【参考答案】A【试题解析】因为{}{}|32,|12M x x M N x x =-<<∴=<…，故选A.2.复数2i2iz -=+ (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复数代数的四则运算及复平面.【考查方式】给出复数的除法形式，考查复数的代数四则运算与复数的几何意义. 【参考答案】D【试题解析】因为22i (2i)34i2i 55z ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3.若点（a ,9）在函数3xy =的图象上，则πtan6a 的值为 （ ） A.0 B.33C. 1D. 3 【测量目标】特殊的三角函数值.【考查方式】给出点在函数图象上，求解未知数，通过代入三角函数求解. 【参考答案】D【试题解析】由题意知:93a=,解得a =2,所以π2πtantan 366a ==,故选D. 4.曲线311y x =+在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 （ ） A.-9 B.-3 C.9 D.15【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出函数式与其上一点，用求导的方式求该点的切线与y 轴的焦点纵坐标. 【参考答案】C【试题解析】因为23y x '=，切点为P （1,12），所以切线的斜率为3，故切线方程为390,x y -+=令0,9x y ==5.已知,,a b c ∈R ，命题“若3,a b c ++=则22233,a b c a b c ++++=…”的否命题是（ ） A.若3,a b c ++≠则2223a b c ++< B.若3,a b c ++=则2223a b c ++< C.若3,a b c ++≠则2223a b c ++… D.若3,a b c ++…则3a b c ++< 【测量目标】命题的基本关系.【考查方式】考查命题的基本关系，主要考查否命题. 【参考答案】A【试题解析】命题“若p ,则q ”的否命题是“若,p ⌝则q ⌝”,故选A.6.若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间ππ32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则ω= （ ） A.23 B.32C. 2D.3 【测量目标】三角函数,函数的单调性.【考查方式】给出函数在某段区间上的单调性，求未知数ω. 【参考答案】B【试题解析】由题意知,函数在π3x =处取得最大值1,所以π1sin 3ω=,故选B.7.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩………，则目标函数231z x y =++的最大值为 ( )A.11B.10C.9D.8.5【测量目标】二元线性规划求目标函数的最大值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值. 【参考答案】B【试题解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线231z x y =++平移至点(3,1)A 时, 目标函数231z x y =++取得最大值为10,故选B. 8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元 【测量目标】回归方程，函数在生活的应用.【考查方式】给出方程的数据，及ˆb，求出回归方程，代入x 求解. 【参考答案】B【试题解析】由表可计算4235749263954,42424x y ++++++==== ,因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,且ˆb 为9.4，所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得ˆ9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1yx =+, 令6x =,得ˆ65.5y =，选B. 9.设00(,)M x y 为抛物线2:8C x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是 ( ) A.(0，2) B.[0，2] C.(2，+∞) D.[2，+∞)【测量目标】抛物线的简单几何性质，圆锥曲线中的范围问题，两点之间的距离公式. 【考查方式】给出抛物线方程与椭圆的位置关系，求出圆方程，根据准线相交，限定0y 范围.【参考答案】C【试题解析】设圆的半径为r ,因为F (0,2)是圆心, 抛物线C 的准线方程为2y =-,由圆与准线相切知4r -,因为点00(,)M x y 为抛物线2:8C x y =上一点，所以有2008x y =,又点00(,)M x y 在圆222(2)x y r +-=,所以22200(2)16x y r +-=>,所以2008(2)16y y +->,即有2004120y y +->,解得02y >或06y <-, 又因为00y …, 所以02y >, 选C.10.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 ( )【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】给出函数式，给定四张图象，选出正确图象. 【参考答案】C【试题解析】因为12cos 2y x '=-,所以令12cos 02y x '=->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令12cos 02y x '=-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是第11题图A.3B.2C.1D.0 【测量目标】三视图，命题的概念.【考查方式】给出主视图俯视图，给出三个命题，判断真假. 【参考答案】A【试题解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.12.设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R ，141211(),2,A A A A μμλμ=∈+=R 则称34,A A 调和分割12,A A ,已知点(,0),C c(,0)D d (,)c d ∈R 调和分割点(0,0),(1,0)A B ，则下面说法正确的是 ( )A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.,C D 可能同时在线段AB 上D.,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【测量目标】平面向量的线性运算及向量的坐标运算.【考查方式】给出向量满足的数量关系，求向量的位置关系. 【参考答案】D【试题解析】由13121412(),()A A A A A A A A λλμμ=∈=∈R R 知:四点1234,,,A A A A 在同一条直线上(步骤1)因为,C D 调和分割点,A B ,所以,,,A B C D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D.（步骤2）第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 . 【测量目标】分层抽样.【考查方式】根据分层抽样的特点，结合实际问题按比例求解. 【参考答案】16【试题解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为8401620⨯=. 14.执行右图所示的程序框图，输入12,=3,5m n ==，则输出的y 的值是 .【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环y 的值. 【参考答案】68【试题解析】由输入12,3,5m n ===，计算得出278y =,第一次得新的173y =;第二次得新的68105y =<,输出y .15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .【测量目标】双曲线的简单几何性质、椭圆的简单几何性质. 【考查方式】给出椭圆方程，及双曲线的离心率与椭圆的离心率的数量关系，求双曲线方程.【参考答案】22143x y -= 【试题解析】由题意知双曲线的焦点为(7,0),(7,0),-即7c =，（步骤1）又因为双曲线的离心率为27,4c a =所以2,a =故23b =，（步骤2） 双曲线的方程为22143x y -=（步骤3） 16.已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),,x n n n ∈+∈N 则n = .【测量目标】函数的零点，对数函数的图象与性质.【考查方式】给出函数式，限定函数式里的未知数，求零点位于的区间. 【参考答案】5【试题解析】方程log (0,1)=0a x x b a a +->≠且的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n ∈+∈N （步骤1） 结合图象,因为当(24)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;（步骤2） 当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,（步骤3）故所求的5n =.（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共74分．17.（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.(I)求sin sin CA的值；(II)若1cos ,4B ABC =△的周长为5，求b 的长. 【测量目标】余弦定理正弦定理，利用正余弦定理解决有关长度问题.【考查方式】给出三角形三边与三角满足的关系式，求解两角正弦值的比值;给出三角形的周长，求边长.【试题解析】(1)由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===所以cos 2cos 22sin sin ,cos sin A C c a C AB b B---==（步骤1）即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-, 即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin sin 2sin ,2sin CC A A==所以.（步骤2） (2)由(1)知sin 2sin C A =,所以有2ca=,即2c a =,（步骤3） 又因为ABC △的周长为5,所以53,b a =-（步骤4） 由余弦定理得：222222212cos ,(53)(2)44b c a ac B a a a a =+--=+-⨯，解得1a =，所以2b =.（步骤5） 18.（本小题满分12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【测量目标】随机事件与概率，古典概型.【考查方式】给出每个学校的人员具体情况，求从中选出一定人员的概率.【试题解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；（步骤1）选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为49.（步骤2） （2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；（步骤3）选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为62155=.（步骤4） 19.（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，2AB AD =，11,60AD A B BAD =∠=.（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：1CC 平面1A BD .【测量目标】线面平行的判断，平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】利用余弦定理求直线数量关系，线面垂直推出线线垂直;线线平行推出线面平行 【试题解析】（Ⅰ）证明：因为2AB AD =，所以设AD a =,则2AB a =（步骤1） 又因为60BAD ∠=,所以在ABD △中,由余弦定理得：2222(2)22cos 603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以3BD a =（步骤2）所以222AD BD AB +=,故BD AD ⊥,（步骤3） 又因为1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D BD ⊥,（步骤4） 又因为1ADD D D =, 所以11BD ADD A ⊥平面,故1AA BD ⊥.（步骤5）(2)连结,AC 设AC BD O =, 连结1A O ,由底面ABCD 是平行四边形得:O 是AC 的中点（步骤6）由四棱台1111ABCD A B C D -知:平面ABCD 平面1111A B C D ,因为这两个平面同时都和平面11ACA C 相交,交线分别为11,AC A C ，故11ACA C （步骤7）又因为2,AB a BC a ==, 120ABC ∠=，所以可由余弦定理计算得7AC a =（步骤8）又因为11113,2A B a B C a ==, 111120A B C ∠=，所以可由余弦定理计算得1172A C a =（步骤9）所以11A C OC 且11A C OC =，故四边形11OCC A 是平行四边形，所以11CC A O （步骤10）又1CC Ü平面11,A BD AO ⊂平面1A BD . 1CC ∴平面1A BD （步骤11）20.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 【测量目标】等比数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【考查方式】将数值放在图象中，求解通项公式;给出n n b a 与的关系，求和. 【试题解析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,（步骤1）因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=.（步骤2） （Ⅱ）因为11(1)ln 23(1)ln 23,n n n n n b a a --=+-=+-所以21n n S b b b =+++=1212122(13)()(ln ln ln )ln()13n n n n a a a a a a a a a -+++-+++=--=-(1)121231ln(21333)31ln(23)n n nnn nn--=--⨯⨯⨯⨯=--（步骤3）2(21)2222231ln(23)912ln 2(2)ln 3.n n nnn n S n n n -∴=--=----（步骤4）21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3立方米，且2l r ….假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >.设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .【测量目标】球的表面积公式，圆柱的体积公式，导数在实际问题中的应用【考查方式】给出图象，将所给关系表达为函数表达式，根据函数式，求出最小值【试题解析】（Ⅰ）因为容器的体积为80π3立方米，所以324π80ππ33r r l +=,解得280433rl r =-,所以圆柱的侧面积为22804160π8π2π2π()3333r r rl r r r =-=-,两端两个半球的表面积之和为24πr ,所以22160π8π4πy r cr r =-+,定义域为(0,)2l. （Ⅱ）因为3228(2)20160π16π8πc r y r cr r r π⎡⎤--⎣⎦'=-+=,所以令0y '>得:3202r c >-; 令3320200,0,22y r r c c '<<<∴=--米时, 该容器的建造费用最小. 22.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD OE =，（i ）求证：直线l 过定点； （ii ）试问点,B G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG △的外接圆方程；若不能，请说明理由.【测量目标】直线与椭圆的位置关系，韦达定理，圆的简单几何性质， 【考查方式】给出椭圆方程及图象，求俩数据和的最小值;给出向量的数量关系，求直线过定点和外接圆问题.【试题解析】（Ⅰ）由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠, 由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330,k x knx n +++-=（步骤1） 1122(,),(,)A x y B x y AB 设，的中点00(,)E x y ,则由韦达定理得: 122613kn x x k -+=+, 即00022233,131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++ , 所以中点E 的坐标为223(,)1313kn n E k k-++（步骤2） 因为,,O E D 三点在同一直线上，所以,OE OD k k =即1,33m k -=- 解得222211,2m m k k k k =∴+=+…（步骤3） 当且仅当1k =时取等号,即22m k +的最小值为2.（步骤4）（Ⅱ）（i ）证明:由题意知:0n >,因为直线OD 的方程为,3m y x =- 所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+（步骤5） 又因为2,13E D n y y m k==+ ,且2OG OD OE =，所以222313m n m m k =++（步骤6） 又由（Ⅰ）知: 1m k=,所以解得k n =, 所以直线l 的方程为:,l y kx k =+即有:(1)l y k x =+，（步骤7）令1,x =-得0y =与实数k 无关,所以直线l 过定点(-1,0).（步骤8）（ii ）假设点,B G 关于x 轴对称,则有ABG △的外接圆的圆心在x 轴上,又在线段AB 的中垂线上,（步骤9）由（i ）知点223(,),33m G m m -++所以点223(,)33m B m m --++,（步骤10）又因为直线l 过定点(-1,0),所以直线l 的斜率为223,313mm k m -+=-++，（步骤11） 又因为1m k=所以解得21m =或6（步骤12） 又因为230,m ->所以26m =舍去，21m =（步骤13）此时311,1,(,)44k m E ==-,AB 的中垂线为2210x y ++=，圆心坐标为131(,0),(,)222G --,圆半径为52，圆的方程为2215().24x y -+=（步骤14） 综上所述, 点,B G 关于x 轴对称,此时ABG △的外接圆的方程为2215().24x y -+=（步骤15）。
2011山东高考数学试卷(文、理)及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4πR2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,niii ni i x yn x ybay b x x n x==-⋅==--∑∑. 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3] （2）复数z=22i i-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为：（A ）0 （B ）33（C ）1 （D ）3(4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞)（5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴”是“y=f （x ）是奇函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32（D ）23（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元）4 2 3 5销售额y （万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元 （B ）65.5万元 （C ）67.7万元 （D ）72.0万元 （8）已知双曲线22221x y ab-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154xy-= （B ）22145xy-= （C ）221xy36-= （D ）221xy63-=（9）函数2sin 2x y x =-的图象大致是（10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 （A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（A ）3 （B ）2（C ）1 （D ）0（12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R)，1412A A A A μ= (μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是（A ）C 可能是线段AB 的中点 （B ）D 可能是线段AB 的中点 （C ）C ，D 可能同时在线段AB 上（D ）C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入2l =，m=3，n=5，则输出的y 的值是 . (14)若62a x x ⎛⎫-⎪⎪⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . （15）设函数()2x f x x =+（x ＞0），观察： ()()12x f x fx x ==+f 2 (x)=f(f 1（x ）)= 34xx + f 3 (x)=f(f 2（x ）)= 78x x + f 4 (x)=f(f 3（x ）)=1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m （x ）=f （f m-1（x ））= . （16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A -2cos C2c-a =cos Bb.（Ⅰ）求sin sin C A的值；（Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
2011年高考数学文科试卷(全国1卷)(内含答案)(新课标卷卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b += （A（B（C（D【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年高考新课标卷文科数学试题(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P MN =，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 【解析】P M N =={1,3}，故P 的子集有224=个．2．复数5i12i=- A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【答案】C 【解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)+==-+--+． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C D ．2【答案】D【解析】由221168x y +=可知216a =，28b =，∴2228c a b =-=，∴22212c e a ==，∴22e =． 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此31()93P A ==． 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由题知tan 2θ=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，||AB =12，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为_____．A ．18B ．24C ．36D ．48 【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =，则焦点坐标为(,0)2p ，将2px =代入22y px =可得22y p =，||AB =12，即2p =12，∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6，所以ABP ∆面积为1612362⨯⨯=． 10．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为_____． A ．1(,0)4- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044f e e =+⨯-=-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，所以()43xf x e x =+-的零点所在的区间为11(,)42．11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++=2sin(2)2x π+=2cos 2x ， 所以2cos 2y x =，在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即2k x π=(k ∈Z )．12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有_____．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ．【答案】1【解析】∵+a b 与k -a b 垂直，∴(+a b )·(k -a b ) =0，化简得(1)(1)0k -⋅+=a b ，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得10⋅+≠a b ，得10k -=，即1k =． 14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4，-5)时，min 6z =-．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．153【解析】根据sin sin AB ACC B=得5353sin sin 7AB C B AC === 25311cos 1()1414C =-=， 所以sin sin[()]sin cos sin cos A B C B C C B π=-+=+3111533321421414=⨯-⨯=． 因此ABC S ∆=1133153sin 7522144AB AC A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 【答案】13【解析】设球心为1O ，半径为1r ，圆锥底面圆圆心为2O ，半径为2r ，则有22123416r r ππ⨯=，即212r r =，所以1122r O O ==， 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h 、2h ，则1111211232r r h r h r -==+．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．(Ⅰ)n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；(Ⅱ)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【解析】（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而222BD AD AB +=，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC //AD ，所以BC ⊥BD ． 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ． 则DE ⊥平面PBC ．由题设知，PD =1，则BD =3，PB =2，根据BE ·PB =PD ·BD ，得DE =23， 即棱锥D —PBC 的高为.2319．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表(Ⅰ)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(Ⅱ)已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解析】(Ⅰ)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．(Ⅱ)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥，由试验结果知，质量指标值94t ≥的频率为0．96．所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96． 用B 配方生产的产品平均一件的利润为1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=(元)．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值． 【解析】（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（Ⅱ）设A (11,y x )，B (22,y x )，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a因此，,441656)28(22,1a a a x --±-=从而2120,422121+-=-=+a a x x a x x①由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【解析】（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以 )1ln 2(111ln )(22xx x x x x x f -+-=-=考虑函数()2ln h x x =+xx 12-(0)x >，则22222)1()1(22)(xx x x x x x h --=---=' 所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h x x h 可得当),1(+∞∈x 时，;0)(11,0)(2>-<x h xx h 可得从而当.1ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x xx f x x x f x x 即且请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．EB(Ⅰ)证明：,,,C B D E 四点共圆；(Ⅱ)若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．【解析】(Ⅰ)连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，即AD AEAC AB=． 又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ∆∽ACB ∆． 因此ADE ACB ∠=∠． 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(Ⅱ)4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =． 故2AD =，12AB =．取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH ． 因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ．由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ，从而5HF AG ==，()112252DF =-=． 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． (Ⅰ)求2C 的方程；ADB C GEM(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .【解析】(Ⅰ)设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩． 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集．(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为｛x |1}x ≤-，求a 的值． 【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-． (Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩．由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩．由题设可得12a-=-，故2a =．。
2011年高考湖南省数学试卷-文科(含详细答案)
（II）设 若 大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
解析：（I）当 时，数列 是首项为120，公差为 的等差数列．
当 时，数列 是以 为首项，公比为 为等比数列，又 ，所以
因此，第 年初，M的价值 的表达式为
(II)设 表示数列 的前 项和，由等差及等比数列的求和公式得
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在 中，角 所对的边分别为 且满足
（I）求角 的大小；
（II）求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小．
解析：（I）由正弦定理得
因为 所以
（II）由（I）知 于是
取最大值2．
综上所述， 的最大值为2，此时
5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由
附表：
0．050
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828
参照附表，得到的正确结论是（）
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
参考公式（1）柱体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高．
（2）球的体积公式 ，其中 为球的半径．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 则 （）
2011年高考福建省数学试卷-文科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）本试卷第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页。
满分150分。
注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据12,,,n x x x …的标准差 s =． 其中x 为样本平均数．柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中R 为球的半径．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．若集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ∩等于（ ）．A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 【解】{}0,1M N =∩．故选A ． 2．i 是虚数单位31i +等于（ ）.A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【解】31i 1i +=-．故选D ．3．若a ∈R ，则“1a =”是“1a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【解】当1a =时，有1a =．所以“1a =”是“1a =”的充分条件，反之，当1a =时，1a =±，所以“1a =”不是“1a =”的必要条件．故选A ． 4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
《2011年高考真题解析版—数学文(全国卷)解析版1》
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I (2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A（B（C（D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5. (5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B （C （D ）1 【答案】C【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5(2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)(C)8 (D)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=,∴12ON OM ==,故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年高考北京市数学试卷-文科（含详细答案）
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =½£，那么U P =ð(A)(,1-¥-) (B)(1,+¥) (C)（-1，1) (D)()()11-¥,-,+¥【解析】：2111x x £Þ-££，U P =ð()()11-¥,-,+¥ ，故选D （2）复数212ii-=+(A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i i i i ---------+====++----，选A 。
（3）如果1122log log 0x y <<，那么，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 【解析】：1122log log x y x y <Þ>，12log 01y y <Þ>，即1y x <<故选D（4）若p 是真命题，q 是假命题，则是假命题，则（A ）p q Ù是真命题是真命题 (B)p q Ú是假命题是假命题 (C)p Ø是真命题是真命题 (D)q Ø是真命题是真命题 【解析】：或（Ú）一真必真，且（Ù）一假必假，非（Ø）真假相反，故选D（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，表面积2142244161622´´´+=+故选B 。
2011年高考安徽省数学试卷-文科(含详细答案)
(C) 4
(C) 3
(C) ( ,b+1)
a
(B) 2， 2 (C ) 1， 2
（7）若数列an的通项公式是 an (1)n (3n 2) ,则 a a L a
（A） 15
(B) 12
(8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为
第（8）题图
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ 卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项：
（1） 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题 卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
（2） 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
（3） 答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体 工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫 米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案 无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
（A） 48
(B)32+8
(C )
(C) 48+8
(9) 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率
等于
（A）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (B)
(C)
(10) 函数 f (x) axn g( x) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则 n 可能是
2011全国卷II 数学 文科试题及答案
2011年全国高考卷II 数学试题·文科一、选择题（1）设集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=⋂ð（M N ）（ ）（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求{2,3}M N = ,进而补集为{}1，4.【精讲精析】选D. {2,3},(){1,4}U MN M N =∴= ð. （2）函数0)y x =≥的反函数为（ ）（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B .在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）设向量,a b 满足||||1a b ==,则2a b += （ ）（A（B（C（D【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项. 【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,ab a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
（4）若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（ ）（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。
然后要把握住线性目标函数=23z x y +的z 的取值也其在y 轴的截距是正相关关系，进而确定过直线x=1与x-3y=-2的交点时取得最小值。
【精讲精析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.（5）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（ ）（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项. 【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,ab a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
2011年高考全国卷文科数学解析版
2011年高考(全国卷)文科数学解析版第Ⅰ卷一、选择题（1）设集合{}1,2,3,4U =，{}1,2,3M =，{}2,3,4N =。
则()=U C M N（A ）{}1,2 （B ）{}2,3 （C ）{}2,4 （D ）{}1,4 [答案]（D ）[解析]依题意知答集中的元素不在集合M N 中，2M N ∈ ，∴排出（A ）、（B ）、（C ），故选（D ）。
（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2()4x y x =≥0 （C ）()24y x x R =∈ （D ）24()y x x =≥0[答案]（B ）[解析]依题意知原函数的值域不会是负数，即反函数的定义域是x ≥0，∴排出（A ）、（C ），又点()1,2在原函数上，∴点()2,1必在反函数上，再排出（D ），故选（B ）（3）设向量a 、b 满足1a b == ，12a b ⋅=- ,则2a b +=（A（B（C（D[答案]（B ）[解析]运用公式得：()22222222()(2)2244a b a ba b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅1423=+-=2a b ∴+=，故选（B ）（4）若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3[答案]（C ）[解析]（如图）显然当目标函数23z x y =+过直线1x =与32x y -=-的交点(1，1) 时取得最小值5，故选（C ）（5）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b >+ （B ）1a b >- （C ）22a b > （D ）33a b >[答案]（A ）[解析] 1a b b a b >+>⇒> ，而反之不成立，故选（A ）（6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5[答案]（D ）[解析] 21211242422241112115k k k k k k S S a a a a k k +++++-=⇒+=⇒+=⇒=⇒+=⇒=故选（D ）（7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 [答案]（C ）[解析]因为，()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合 所以，函数()cos (0)f x x ωω=>的周期的整数倍是3π即，2()63k k Z k ππωω⋅=∈⇒=，又0ω>，1k ∴=时，ω取得最小值6。
2011年湖北高考真题数学文科试卷及答案解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5U A B ===则()UA B = ( )A ．{}6,8B ．{}5,7C ．{}4,6,7D ．{}1,3,5,6,8【测量目标】集合的补集和并集.【考查方式】用列举法表示集合的全集和两个子集，求两个子集并集的补集. 【参考答案】A 【试题解析】先求出AB ={1,2,3,4,5,7}，再求()UA B ={}6,82．若向量()()1,2,1,1==-a b ，则2+a b 与-a b 的夹角等于 ( )A ．π4-B ．π6C ．π4D ．3π4【测量目标】平面向量的夹角.【考查方式】给定两个向量，求两向量相加和向量相减的夹角. 【参考答案】C【试题解析】分别求出2+a b 与-a b 的坐标，再求出，()23,3+=a b ，()0,3-=a b 求2+=a b =3-=a b 得cos 2-a +b,a b =()()22+-+-a b a b a b a b=2，所以2+a b 和-a b 得夹角为π4，故选C. 3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()e xf xg x +=，则()g x = ( ) A ．e e xx-- B ．()1e e 2x x -+ C ．()1e e 2x x -- D ．()1e e 2x x -- 【测量目标】函数的奇偶性的综合应用.【考查方式】一个奇函数和一个偶函数，给出奇函数和偶函数和的表达式求解奇函数的表达式.【参考答案】D 【试题解析】()f x 为定义域在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=又()g x 为定义在R上的奇函数()()g x g x ∴-=-由()()e xf xg x +=()()f x g x ∴-+-=e x-()()1e e 2x x g x -∴=- 4．将两个顶点在抛物线()220y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则 ( ) A ．n =0B ．n =1C ．n =2D ．3n【测量目标】抛物线的简单几何性质. 【考查方式】三角形的两点在抛物线上，一点在焦点上求三角形是正三角形的个数. 第4题图 【参考答案】C【试题解析】根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30和150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，所以正三角形的个数记为n ，n =2，所以选C ．5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[)10,12内的频数为( )A ．18B ．36C ．54D ．72 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出样本频率直方图，计算某区间内的频数.【参考答案】B 【试题解析】因为组距为2，所以[)10,12的频率为0．18，所以频数为200×0．18=36 第5题图 6．已知函数()3sin cos ,f x x x x =-∈R ，若()1f x ，则x 的取值范围为 ( )A ．π|2π+2π+π,k 3x k xk ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ZB ．π|π2ππ,3x k xk k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ZC ．π5π|2π2π,66x k xk k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z D ．π5π|ππ,66x k xk k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 【测量目标】三角函数的定义域、值域.【考查方式】给定三角函数的表达式和函数的值域求函数的定义域. 【参考答案】A3cos 1x x-得π1sin 62x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则π5π2π2π66k x k ++，解得π2π2ππ,3k x k k ++∈Z ，所以选A ．7．设球的体积为1V ，它的内接正方体的体积为2V ，下列说法中最合适的是 ( ) A ．1V 比2V 大约多一半 B ．1V 比2V 大约多两倍半C ．1V 比2V 大约多一倍D ．1V 比2V 大约多一倍半【测量目标】球的体积公式和正方体的体积公式【考查方式】有圆和圆的内接正方体，求圆与正方体的体积比. 【参考答案】D【试题解析】设球的半径为r ，所以球的体积为1V =34π3r ，球的内接正方体的对角线就是球的直径，所以正方体的棱长为3正方体的体积为323V = ⎪⎝⎭，123πV V =≈2．6 8．直线2100x y +-=与不等式组0024320x y x y x y ⎧⎪⎪⎨--⎪⎪+⎩表示的平面区域的公共点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【测量目标】线性规划 【考查方式】给出目标函数和可行域方程组求目标函数与可行域的公共点.【参考答案】B【试题解析】如图直线2x +y -10=0与不等式组表示的平面区域只有一个公共点9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 ( )A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升 【测量目标】等差数列通项公式【考查方式】给出前四项和5,6,7三项的和求第5项. 【参考答案】B【试题解析】由题意 143432a d ⨯+=, 11986596422a d a d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11322a =，d =766，所以易求a 5=6766．10．若实数a ，b 满足0,0a b，且0ab =，则称a 与b 互补，记(),,a b a b ϕ=-那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的 ( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 【测量目标】命题的充分，必要条件.【考查方式】给出一新的命题和一条件，判断命题和条件的关系. 【参考答案】C【试题解析】若(),a b a b ϕ=-（a +b ）两边平方解得ab =0，故a ，b 至少有一为0，不妨令a =0则可得|b |-b =0，故b0，即a 与b 互补，而当a 与b 互补时，易得ab =0a b -=0，即(),a b ϕ=0，故(),a b ϕ=0是a 与b 互补的充要条件．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家． 【测量目标】分层抽样【考查方式】分层抽样中从某一层中应该抽取的样本数. 【参考答案】20【试题解析】大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家． 共有超市200+400+1400=2000按分层抽样方法抽取一个容量为100样本，每个个体被抽到的概率是1002000=120，中型超市要抽取400×120=20家12．18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为__________．（结果用数值表示） 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给定二项式，求展开式中某项的系数. 【参考答案】17【试题解析】二项展开式的通项为1r T +=3182181C 3rrr x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，令18－32r =15得r =2，所以展开式中含x 15的项的系数为22181C 173⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________．（结果用最简分数表示） 【测量目标】事件发生的概率【考查方式】产品中有次品，求随机抽样抽到次品的概率. 【参考答案】28145【试题解析】227230C 281C 145p =-=． 14．过点（—1,—2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________．【测量目标】直线和圆的位置关系【考查方式】过定点的直线与圆相交且弦长确定求直线的斜率. 【参考答案】1或177【试题解析】设直线斜率是k ，直线方程为()21y k x +=+，由题意得圆心到直线的距离为d==2，得k =1或17715．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【测量目标】对数运算，函数模型.【考查方式】由实际生活引出对数函数，并提出实际问题. 【参考答案】6，10000【试题解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0．01，则M =lg A －lg A 0=lg1000－lg0．001=3－（－3）=6． 设9级地震的最大振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9=lg x +3,5=lg y +3，解得x =106，y =102，所以62101000010x y ==．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,cos 4a b C === （I ） 求△ABC 的周长； （II ）求()cos A C -的值．【测量目标】余弦定理，两角差的余弦，同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出三角形两边和一角的余弦值，求三角形周长和两角差的余弦值.【试题解析】（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯= 2.c ∴=（步骤1）ABC ∴△的周长为122 5.a b c ++=++=（步骤2）（Ⅱ）1cos ,sin 4C C =∴===sin 4sin 28a C A c ∴===（步骤3）,a c A C <∴<，故A 为锐角，7cos .8A ∴===（步骤4）7111cos()cos cos sin sin .848416A C A C A C ∴-=+=⨯+=（步骤5）17．（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的345b b b 、、．（I ） 求数列{}n b 的通项公式；（II ） 数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列． 【测量目标】等差数列等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式【考查方式】由等差数列的等差中项得等比数列中的三项，求等比数列的通项和关于前n 项和的证明.【试题解析】（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+ 依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得（步骤1） 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去） 故{}n b 的第3项为5，公比为2．（步骤2）由22311152,52,.4b b b b ===即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --==(步骤3)（Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==--，即25524n n S -+=（步骤4）所以1112555524, 2.542524n n n nS S S -+-++===+ 因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列．（步骤5）18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长2，侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且22AE =,2BF =．（I ） 求证：1CF C E ⊥； （II ） 求二面角1E CF C --的大小．【测量目标】两条直线的位置关系和二面角.【考查方式】正三棱柱中给出底边和侧棱长侧棱上点的位置，证明线线垂直和求二面角大小. 【试题解析】（Ⅰ）由已知可得221132,2(22)23CC CE C F ===+=222221(),2(2)6EF AB AE BF EF C E =+-==+=（步骤1）于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+=所以11,C E EF C E CE ⊥⊥又1,.EF CE E C E CEF =⊥所以平面由1,.CF CEF CF C E ⊂⊥平面故（步骤2）（Ⅱ）在△CEF 中，由（Ⅰ）可得6,23EF CF CE ===于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以.CF EF ⊥（步骤3） 又由（Ⅰ）知CF ⊥C 1E ，且1EFC E E =，所以CF ⊥平面C 1EF ，又1C F ⊂平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F ．于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角．（步骤4）由（Ⅰ）知△1C EF 是等腰直角三角形，所以145BFC ∠=︒，即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒．（步骤5） 19．（本小题满分12分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（I ）当0200x 时，求函数v （x ）的表达式；（II ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【测量目标】分段函数模型.【考查方式】从实际问题中提出问题，求函数表达式，在特定的定义域内求解函数的最大值.【试题解析】（Ⅰ）当020,()60x v x =时；当20200,()x v x ax b =+时设再由已知得1,2000,32060,200.3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得（步骤1）故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003x v x x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩（步骤2）（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),202003x x f x x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩（步骤3）当020,()x f x 时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；（步骤4）当20200x时，211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-=当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．（步骤5）所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000.3（步骤6） 综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．（步骤7）20．（本小题满分13分）设函数()()3222,32f x x ax bx a g x x x =+++=-+，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l ． （I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x mx +=有三个互不相同的实根0、12x x 、，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()()1f x g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围． 【测量目标】导数的几何意义，利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出两函数的表达式，某点切线相同求该店切线方程.构造新的函数求解不等式.【试题解析】（Ⅰ）2()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=-由于曲线()()y f x y g x ==与在点（2，0）处有相同的切线，故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====（步骤1）由此得8820,2,1281, 5.a b a a a b b +++==-⎧⎧⎨⎨++==⎩⎩解得所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --=（步骤2）（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-，所以32()()32.f x g x x x x +=-+ 依题意，方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x ， 故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根．（步骤3） 所以194(2)0,.4m m ∆=-->>-即又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立，（步骤4） 特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立，得0.m < 由根与系数的关系，可得12121230,20,0.x x x x m x x +=>=-><<故 对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x x x ∈-->有（步骤5） 则12111()()()()0,()()0f x g x mx x x x x x f x g x mx +-=--+-=又所以函数12()()[,]f x g x mx x x x +-∈在的最大值为0．（步骤6）于是当0m <时，对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立，综上，m 的取值范围是1(,0).4-（步骤7）21．（本小题满分14分）平面内与两定点()1,0A a -、()()2,00A a a >连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，如上12,A A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的),0()0,1(+∞-∈ m ，对应的曲线为2C ，设12,F F 是2C 的两个焦点．试问：在1C 上，是否存在点N ，使得△12F NF 的面积2S m a =．若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由．【测量目标】圆锥曲线的轨迹问题.【考查方式】由圆锥曲线的定义命题，讨论a 范围不同时圆锥曲线的形状，当圆锥曲线为圆和焦点为12((F F -的曲线下的综合证明. 【试题解析】（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a =⋅==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±，（步骤1）又12(,0),(,0)A a A a -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -=（步骤2）当1,m <-时曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆；（步骤3） 当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；（步骤4）当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；（步骤5）当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线．（步骤6）（II ）由（I ）知，当m =－1时，C 1的方程为222;x y a +=当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，C 2的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，（步骤7） C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <由②得0||y =当150,0,2a m -<<即或1502m +<时，存在点N ，使S =|m|a 2；（步骤8） 1,2a m >即-1<<或12m +>时， 不存在满足条件的点N ，（步骤9）当115,00,22m ⎡⎫⎛+∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦时，由100200(1),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-， 可得22221200(1),NF NF x m a y ma =-++=-（步骤10）令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=，则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ==-=-可得， 从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-， 于是由2||S m a =，可得2212||tan ||,tan .2m ma m a mθθ-==-即（步骤11） 综上可得：① ②当1,02m ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在C 1上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF ==且当10,2m ⎛∈ ⎝⎦时，在C 1上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF ==-且当115(1,(,)22m +-+∞时，在C 1上，不存在满足条件的点N ．（步骤12）。
2011年江西高考数学文科试卷带详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若(i)i 2i,,x y x y -=+∈R ，则复数i=x y +（ ）A .2i -+B .2i +C .12i -D .12i + 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，直接根据复数的四则运算计算求解. 【参考答案】B【试题解析】()2i i 2i,i i 2i x y x y -=+-=+ ， 1,2y x ∴==，（步骤1）i 2i x y ∴+=+.（步骤2）2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）A .M NB .M NC .()()U U C M C ND .()()U U C M C N 【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】给出集合,利用集合元素互异性，集合的交集，补集，并集等运算,判断结果. 【参考答案】D【试题解析】{}1,2,3,4M N = ，M N =Φ ，()(){}1,2,3,4,5,6U U C M C N = ，()(){}5,6U U C M C N =3. 若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A .1(,0)2-B .1(,)2-+∞C .1(,0)(0,)2-+∞ D .1(,2)2-【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给出函数，利用对数函数的性质，分式的性质，判断范围. 【参考答案】C【试题解析】()12log 210,210,211x x x +≠∴+>+≠()1,00,2x ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭4.曲线e xy =在点0,1A （）处的切线斜率为（ ）A .1B .2C .eD .1e【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出函数，直接对函数求导，代入求值. 【参考答案】A【试题解析】0e ,0,e 1x y x '===5.设{}n a 为等差数列，公差d 2=-，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A .18 B .20 C .22 D .24 【测量目标】等差数列通项公式、求和公式的基本关系.【考查方式】给出公差，和的等式，直接利用等差数列通项公式，前n 项和的公式求解. 【参考答案】B【试题解析】1011S S = ，110a ∴=，11110a a d =+，120a ∴=.6.观察下列各式：则2749=，37343=，472401=，…，则20117的末两位数字为（ ）A .01B .43C .07D .49 【测量目标】归纳推理的应用.【考查方式】给出各等式，归纳总结找规律. 【参考答案】B【试题解析】()7xf x = ，()249f =，()3343f =，()42401f =，()516807f =201122009-=，()2011***343f ∴=7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A .e o m m x== B .e o m m x =<C .e o m m x <<D .o e m m x << 第7题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】通过对条形通统计图的分析，判断中位数，众数和平均值的关系. 【参考答案】D【试题解析】计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D .则y 对x 的线性回归方程为A . x 1y =-B .1y x =+C .1882y x =+D . 176y = 【测量目标】线性回归方程的求法.【考查方式】直接利用表中数据，利用线性回归方程的公式求解. 【参考答案】C【试题解析】线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni ini iix x yyx x b 121，x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）A B C D第9题图（1） 【测量目标】空间立体几何中三视图的考查.【考查方式】直接从四棱锥的左侧进行观察，得图. 【参考答案】D【试题解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案.10.如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及 中心M 在Y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）A BC D第10题图（2） 【测量目标】立体几何的移动.【考查方式】滚动凸轮，判断中心M 的移动，得图，也可根据选项，利用排除法. 【参考答案】A【试题解析】根据中心M 的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M 的位置会先变高，当C 到底时，M 最高，排除CD 选项，而对于最高点，当M 最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A .第II 卷二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为π3，若向量1122=-b e e ，21234=+b e e ，则12= b b ___.【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出单位向量和两个向量，直接利用向量的乘法运算，和数量积运算，求值. 【参考答案】6-【试题解析】要求12 b b ，只需将题目已知条件带入，得： ()()221212121122234328=-+=-- b b e e e e e e e e （步骤1）其中211=e ，12= e e 12cos60︒ e e 1112=⨯⨯12=，221=e ，（步骤2） 代入，原式13128162=⨯-⨯-⨯=-.（步骤3） 12.若双曲线22116y x m-=的离心率2e =，则m =____. 【测量目标】双曲线的定义和性质.【考查方式】给出双曲线和离心率，直接利用双曲线的性质求值. 【参考答案】48【试题解析】根据双曲线方程：12222=-bx a y 知，m b a ==22,16，并在双曲线中有：222c b a =+，∴离心率2c e a ==⇒224c a==1616m+，⇒48m =. 12.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____.【测量目标】循环结构的程序框图的运算.【考查方式】根据运行程序框图中的循环语句，直接判断求值. 【参考答案】27【试题解析】由框图的顺序，()()0,1,0111,12S n S S n n n n ===+=+⨯==+=，依次循环() 1226,3S n =+⨯==，注意此刻3n >仍然是否，所以还要循环一次()63327,4S n =+⨯==，此刻输出，27S =.14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终边上一点，且sin θ=y =_______. 【测量目标】正弦值的概念.【考查方式】给出正弦值，直接利用其概念求解. 【参考答案】8-【试题解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角.斜边对边=θsin =8-=⇒y .15．对于x ∈R ，不等式1028x x +--…的解集为_______【测量目标】含绝对值不等式的求解.【考查方式】给出含绝对值的不等式，去掉绝对值，求解.也可利用绝对值的几何意义，根据数轴求解.【参考答案】{0}x x …【试题解析】两种方法，方法一：分三段，当10x <-时，1028x x --+-…， ϕ 当102x -剟时， 1028x x +-+…， 02x 剟当2x >时， 1028x x +-+…， 2x >∴综上：0x …方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点10-和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到10-的距离为110d =，到2的距离为22d =，821=-d d ，并当x 往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x 的范围是0x ≥.三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工 一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． （1）求此人被评为优秀的概率；（2）求此人被评为良好及以上的概率． 【测量目标】排列、组合的综合运用.【考查方式】对优秀、良好分开讨论，根据题设要求求解.【试题解析】 解：（1）员工选择的所有种类为35C ，而3杯均选中共有33C 种，故概率为3335C 1C 10=.（步骤1） （2）员工选择的所有种类为35C ，良好以上有两种可能①：3杯均选中共有33C 种； ②：3杯选中2杯共有2132C C 种.（步骤2）故概率为32133235C C C 7C 10+=.（步骤3）17.(本小题满分12分）在ABC △中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知C b B c A a cos cos cos 3+=. （1）求A cos 的值； （2）若332cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值． 【测量目标】解三角形和三角函数中正弦定理的基础知识. 【考查方式】给出三角形的边角关系，利用正弦定理求解. 【试题解析】解：（1）由 C b B c A a cos cos cos 3+=正弦定理得：)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=（步骤1）A A A sin cos sin 3=所以31cos =A .（步骤2）（2）由332cos cos =+C Bcos(π)cos A C C --+=展开易得： 36sin 3sin 2cos =⇒=+C C C （步骤3） 正弦定理：23sin sin =⇒=c C c A a （步骤4）18.(本小题满分12分）如图，在ABC △中，π2B ∠=，2AB BC ==,P 为AB 边上一动点，PD BC 交AC于点D ，现将PDA △沿PD 翻折至PDA △，使平面PDA ⊥平面PBCD ．（1）当棱锥A PBCD '-的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为AC 中点，求证：AB DE ⊥．【测量目标】空间立体几何的基本概念、函数的单调性、线线平行、线线垂直.【考查方式】根据棱锥体积公式列出函数，利用函数单调性求解；根据线线平行、线线垂直的关系求证．【试题解析】解：（1）设x PA =，则211(2)33A PBCDPDCB x V PA S x x'-==- 底面（步骤1） 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f 则232)(2x x f -='（步骤2）由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值.（步骤3）证明：（2）作B A '的中点F ，连接EF FP 、由已知得：FP ED PD BC EF ////21//⇒ A PB '△为等腰直角三角形，PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.（步骤4）19.(本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+，求λ的值．【测量目标】抛物线的方程性质、抛物线与直线的位置关系.【考查方式】给出抛物线和直线的位置关系，根据抛物线的几何性质求解.【试题解析】解：（1）直线AB 的方程是)2py x =-，与22y px =联立，从而有22450x px p -+=所以：4521p x x =+，（步骤1） 由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以4p =，（步骤2） 抛物线方程为：x y 82=（步骤3）（2）由4p =，22450x px p -+=，化简得0452=+-x x ，从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ，（步骤4）从而(1,A -，(4,B （步骤5）设33()(1,OC x y λ==-+ ，=)2422,41(λλ+-+，又3238x y =，即()[]=-21222λ()81λ+，即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或（步骤6）20.(本小题满分13分）设()nx mx x x f ++=2331. （1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式； （2）如果()10,m n m n ++<∈N ，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -）【测量目标】函数的最值问题、函数的单调性、函数的导数.【考查方式】给出函数及与其导数相关的另一函数，利用函数导数的性质和最值问题求解. 【试题解析】解：（1）已知()nx mx x x f ++=2331，()22f x x mx n '∴=++.（步骤1） 又()()()223223g x f x x x m x n '=--=+-+- 在2-=x 处取极值，则()()()2222203g m m '-=-+-=⇒=，又在2-=x 处取最小值5-.（步骤2） 则()()()25342222=⇒-=-+⨯-+-=-n n g .（步骤3）()x x x x f 233123++=∴.（步骤4） （2）要使()nx mx x x f ++=2331单调递减，则()220f x x mx n '∴=++<（步骤5）又递减区间长度是正整数，所以()220f x x mx n '=++=两根设做,a b .即有：b a -为区间长度.（步骤6）又),b a m n +-===∈N又b a -为正整数，且10m n +<，所以2,3m n ==或5,3==n m 符合.（步骤7）21.(本小题满分14分）（1）已知两个等比数列{}{}n n b a ,，满足()3,2,1,03322111=-=-=->=a b a b a b a a a ， 若数列{}n a 唯一，求a 的值；（2）是否存在两个等比数列{}{}n n b a ,，使得44332211,,,a b a b a b a b ----成公差不为0 的等差数列？若存在，求 {}{}n n b a , 的通项公式；若不存在，说明理由． 【测量目标】等比数列的性质以及等差数列和等比数列的综合运用. 【考查方式】给出两个等比数列间的关系，根据等比数列和等差数列的性质求首项及论证存在性.【试题解析】解：（1）{}n a 要唯一，∴当公比01≠q 时， 由332213,2,21a b a b a b +=+==+=，且⇒=3122b b b ()()()01343121212121=-+-⇒++=+a aq aq aq a aq ，（步骤1）0>a ，0134121=-+-∴a aq aq 最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）（步骤2）()()()244310410a a a a a ∴--⇒+厖，此时满足条件的a 有无数多个，不符合.（步骤3）∴当公比01=q 时，等比数列{}n a 首项为a ，其余各项均为常数0，唯一，此时由()()()01343121212121=-+-⇒++=+a aq aq aq a aq ，可推得31,013==-a a 符合（步骤4）综上：31=a .（步骤5） （2）假设存在这样的等比数列{}{}12,,n n ab q q 公比分别为，，则由等差数列的性质可得：()()()()44113322a b a b a b a b -+-=-+-，整理得：()()()()11131231--=--q a a q b b （步骤6）要使该式成立，则12-q =101211==⇒=-q q q 或03131====a a b b 此时数列22a b -，33a b -公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列{}{}n n b a ,.（步骤7）。
2011年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)解析版
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合{1U =，2，3，4}，{1M =，2，3}，{2N =，3，4}，则()(U MN =ð)A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{2，4}D ．{1，4}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】11：计算题【分析】先根据交集的定义求出MN ，再依据补集的定义求出()U MN ð．【解答】解：{1M =，2，3}，{2N =，3，4}，{2MN ∴=，3}，则(){1U MN =ð，4}，故选：D ．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5分）函数0)y x =…的反函数为( ) A ．2()4xy x R =∈B ．2(0)4x y x =…C ．24()y x x R =∈D ．24(0)y x x =…【考点】4R ：反函数 【专题】11：计算题【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）． 【解答】解：20)y x x =…，24y x ∴=，0y …，故反函数为2(0)4xy x =…．故选：B ．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量a 、b 满足||||1a b ==，12a b =-，|2|(a b += )A． BC ．D．【考点】91：向量的概念与向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】11：计算题【分析】由222|2|(2)44a b a b a a b b +=+=++，代入已知可求 【解答】解：||||1a b ==，12ab =-，222|2|(2)44124a b a b a a b b +=+=++=-+故选：B ．【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基本应用，属于基础试题4．（5分）若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +<⎧⎪--⎨⎪⎩……，则23z x y =+的最小值为( )A ．17B ．14C ．5D ．3【考点】7C ：简单线性规划 【专题】31：数形结合【分析】我们先画出满足约束条件6321x y x y x +<⎧⎪--⎨⎪⎩……的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值． 【解答】解：约束条件6321x y x y x +<⎧⎪--⎨⎪⎩……的平面区域如图所示：由图可知，当1x =，1y =时，目标函数23z x y =+有最小值为5 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5分）下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( ) A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】5L ：简易逻辑【分析】利用不等式的性质得到1a b a b >+⇒>；反之，通过举反例判断出a b >推不出1a b >+；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：1a b a b >+⇒>；反之，例如2a =，1b =满足a b >，但1a b =+即a b >推不出1a b >+， 故1a b >+是a b >成立的充分而不必要的条件． 故选：A ．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则(k =) A ．8B ．7C ．6D ．5【考点】85：等差数列的前n 项和 【专题】11：计算题【分析】先由等差数列前n 项和公式求得2k S +，k S ，将224k k S S +-=转化为关于k 的方程求解．【解答】解：根据题意：22(2)k S k +=+，2k S k = 224k k S S +∴-=转化为：22(2)24k k +-= 5k ∴=故选：D ．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5分）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A ．13B ．3C ．6D ．9【考点】HK ：由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式 【专题】56：三角函数的求值 【分析】函数图象平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． 【解答】解：()f x 的周期2T πω=，函数图象平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以23kππω=，k Z ∈．令1k =，可得6ω=．故选：C ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，点B β∈，BD l ⊥，D 为垂足，若2AB =，1AC BD ==，则(CD = )A ．2B CD ．1【考点】MK ：点、线、面间的距离计算 【专题】11：计算题【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC CB ⊥，ACB ∆为直角三角形，利用勾股定理可得BC 的值；进而在Rt BCD ∆中，由勾股定理可得CD 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，可得AC ⊥面β， 则AC CB ⊥，ACB ∆为Rt △，且2AB =，1AC =，由勾股定理可得，BC在Rt BCD ∆中，BC 1BD =，由勾股定理可得，CD =； 故选：C ．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( ) A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种【考点】3D ：计数原理的应用 【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有24C 种结果，余下的两个人各有两种选法，共有22⨯种结果，根据分步计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有246C =种结果， ∴余下的两个人各有两种选法，共有224⨯=种结果，根据分步计数原理知共有6424⨯=种结果 故选：B ．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5分）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x 剟时，()2(1)f x x x =-，则5()(2f -=) A ．12-B ．14-C ．14D ．12【考点】3I ：奇函数、偶函数；3Q ：函数的周期性 【专题】11：计算题【分析】由题意得 51()(22f f -=- 1)()2f =-，代入已知条件进行运算．【解答】解：()f x 是周期为2的奇函数，当01x 剟时，()2(1)f x x x =-， ∴51()(22f f -=- 11)()222f =-=-⨯1(12- 1)2=-，故选：A ．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5分）设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离12||(C C =)A ．4B ．C ．8D ．【考点】1J ：圆的标准方程 【专题】5B ：直线与圆【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为(,)a a ，(,)b b ，利用条件可得a 和b 分别为210170x x -+= 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离212||2()C C a b -的值．【解答】解：两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，故圆在第一象限内， 设两个圆的圆心的坐标分别为(,)a a ，(,)b b ，由于两圆都过点(4,1)，||a ，||b =， 故a 和b 分别为222(4)(1)x x x -+-= 的两个实数根，即a 和b 分别为210170x x -+= 的两个实数根，10a b ∴+=，17ab =，22()()432a b a b ab ∴-=+-=，∴两圆心的距离212||()8C C a b -=，故选：C ．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【考点】MJ ：二面角的平面角及求法 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出求出OM 的长，找出二面角的平面角，从而求出ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆N 的半径，从而求出面积． 【解答】解：圆M 的面积为4π∴圆M 的半径为2根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面得圆N30OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，ON∴圆N 则圆的面积为13π 故选：D ．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为： 0 ． 【考点】DA ：二项式定理 【专题】11：计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数分别取1；9求出展开式的x 的系数与9x 的系数；求出两个系数的差．【解答】解：展开式的通项为110(1)r r rr T C x +=- 所以展开式的x 的系数10-9x 的系数10-x 的系数与9x 的系数之差为(10)(10)0---=故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知3(,)2a ππ∈，tan 2α=，则cos α= ． 【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系 【专题】11：计算题【分析】先利用α的范围确定cos α的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cos α的值．【解答】解：3(,)2a ππ∈， cos 0α∴<cos α∴==故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为23． 【考点】LM ：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想【分析】根据题意知//AD BC ，DAE ∴∠就是异面直线AE 与BC 所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE ，设2AD = 易知//AD BC ，DAE ∴∠就是异面直线AE 与BC 所成角，在RtADE ∆中，由于DE =，2AD =，可得3AE = 2cos 3AD DAE AE ∴∠==，故答案为：23．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5分）已知1F 、2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2||AF = 6 ． 【考点】KC ：双曲线的性质 【专题】16：压轴题【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径． 【解答】解：不妨设A 在双曲线的右支上AM 为12F AF ∠的平分线∴1122||||82||||4AF F M AF MF === 又12||||26AF AF a -== 解得2||6AF = 故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知26a =，13630a a +=，求n a 和n S ． 【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n 项和 【专题】54：等差数列与等比数列【分析】设出等比数列的公比为q ，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n 项和的公式即可． 【解答】解：设{}n a 的公比为q ，由题意得： 12116630a q a a q =⎧⎨+=⎩， 解得：132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩，当13a =，2q =时：132n n a -=⨯，3(21)n n S =⨯-； 当12a =，3q =时：123n n a -=⨯，31n n S =-．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin sin sin a A c C C b B +=，（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若75A =︒，2b =，求a ，c ． 【考点】HU ：解三角形 【专题】11：计算题【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cos B 的值，进而求得B ．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sin A 的值，进而利用正弦定理分别求得a 和c ． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得222a c b +=， 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，故cos B =45B =︒（Ⅱ）sin sin(3045)sin30cos45cos30sin 45A =︒+︒=︒︒+︒︒故sin 1sin A a b B =⨯==sin2sinCc bB∴=⨯==【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】5C：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型【专题】5I：概率与统计【分析】()I设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得(10.5)0.3P-=，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．()II该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：()I设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得(10.5)0.3p⨯-=，解可得0.6p=，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2--=，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率10.20.8-=()II每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率1230.20.80.384P C=⨯⨯=．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12分）如图，四棱锥S ABCD-中，//AB CD，BC CD⊥，侧面SAB为等边三角形，2AB BC==，1CD SD==．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW ：直线与平面垂直；MI ：直线与平面所成的角 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD 垂直于面SAB 中两条相交的直线SA ，SB ；在证明SD 与SA ，SB 的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB 与平面S B C 所成的角的大小即利用平面S B C 的法向量n A B 与间的夹角关系即可，当n AB 与间的夹角为锐角时，所求的角即为它的余角；当n AB 与间的夹角为钝角时，所求的角为,2n AB π<>-【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中， //AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD =AD ∴==侧面SAB 为等边三角形，2AB = 2SA ∴= 1SD =222AD SA SD ∴=+ SD SA ∴⊥同理：SD SB ⊥ SASB S =，SA ，SB ⊂面SABSD ∴⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则(2A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，作出S 在底面上的投影M ，则由四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形知，M 点一定在x 轴上，又2AB BC ==，1CD SD ==．可解得12MD =，从而解得SM =1(2S ，0则331(,1,),(,1,22SB SC =-=-设平面SBC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则0SB n=，0SCn = 即302102x y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 取0x =，y =，1z = 即平面SBC 的一个法向量为(,,)(0n x y z ==，1) 又(0AB =，2，0)cosAB <，3||||7AB n n ABn >===AB ∴<，n >= 即AB 与平面SBC 所成的角的大小为【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12分）已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ （Ⅰ）证明：曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2)；（Ⅱ）若()f x 在0x x =处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围．【考点】6E ：利用导数研究函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）求出函数()f x 在0x =处的导数和(0)f 的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）()f x 在0x x =处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a 的大致取值范围，然后通过极小值对应的0(1,3)x ∈，解关于a 的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）2()3636f x x ax a '=++- 由(0)124f a =-，(0)36f a '=-，可得曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(36)124y a x a =-+-， 当2x =时，2(36)1242y a a =-+-=，可得点(2,2)在切线上∴曲线()y f x =在0x =的切线过点(2,2)（Ⅱ）由()0f x '=得 22120x ax a ++-=⋯（1）方程（1）的根的判别式244(12)4(1(1a a a a =--=+++①当11a 剟时，函数()f x 没有极小值②当1a <或1a >时，由()0f x '=得12x a x a =--=-+故02x x =，由题设可知13a <-<()i 当1a >时，不等式13a <-没有实数解；()ii 当1a <时，不等式13a <-+<化为13a a +<<+，解得512a -<<综合①②，得a 的取值范围是5(,1)2-【点评】将字母a 看成常数，讨论关于x 的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a 的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=． （Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）要证明点P 在C 上，即证明P 点的坐标满足椭圆C 的方程2212y x +=，根据已知中过F 且斜率为l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=，我们求出点P 的坐标，代入验证即可．（2）若A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y椭圆22:12y C x +=①，则直线AB 的方程为：1y =+②联立方程可得2410x --=，则12x x +，1214x x ⨯=-则1212)21y y x x +=++= 设1(P p ，2)p ，则有：10(A x =，1)y ，20(B x =，2)y ，10(P p =，2)p ；∴1200(A B x x +=+，12)(2y y +=，1)；10(P p =，2)(00)(2p A B =-+=，1)-p ∴的坐标为(1)-代入①方程成立，所以点P 在C 上．（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．设线段AB 的中点坐标为12(2x x +，12)2y y +，即1)2，则过线段AB 的中点且垂直于AB 的直线方程为：12y x -=，即14y x =+；③ P 关于点O 的对称点为Q ，故0(0.0)为线段PQ 的中点，则过线段PQ 的中点且垂直于PQ 的直线方程为：y x =④；③④联立方程组，解之得：8x =，18y =③④的交点就是圆心1(O ，1)8，22221199||(((1)864r O P ==-+--=故过P Q 两点圆的方程为：22199(()864x y ++-=⋯⑤，把1y =+ ⋯②代入⑤，有122x x +=，121y y += A ∴，B 也是在圆⑤上的．A ∴、P 、B 、Q 四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。
近十年(2011——2020)高考全国卷
2011年高考新课标卷文科数学试题(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P MN =，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 【解析】P M N =={1,3}，故P 的子集有224=个．2．复数5i12i=- A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【答案】C 【解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)+==-+--+． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C D ．2【答案】D【解析】由221168x y +=可知216a =，28b =，∴2228c a b =-=，∴22212c e a ==,∴22e =． 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1,乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1;甲2，乙2；甲2,乙3；甲3,乙1；甲3,乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,其中事件A 有“甲1，乙1;甲2，乙2；甲3，乙3”,共3个．因此31()93P A ==． 7．已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由题知tan 2θ=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++,选B ．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点,||AB =12,P为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为_____．A ．18B ．24C ．36D ．48 【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =，则焦点坐标为(,0)2p ,将2px =代入22y px =可得22y p =，||AB =12，即2p =12,∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6,所以ABP∆面积为1612362⨯⨯=． 10．在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为_____． A ．1(,0)4- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044f e e =+⨯-=-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，所以()43xf x e x =+-的零点所在的区间为11(,)42．11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++=2sin(2)2x π+=2cos 2x ， 所以2cos 2y x =，在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即2k x π=(k ∈Z )．12．已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有_____．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直,则k = ．【答案】1【解析】∵+a b 与k -a b 垂直，∴（+a b ）·（k -a b ) =0，化简得(1)(1)0k -⋅+=a b ，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得10⋅+≠a b ，得10k -=，即1k =． 14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知,当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5）时，min 6z =-．15．ABC ∆中,120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．153【解析】根据sin sin AB ACC B=得5353sin sin 7AB C B AC === 25311cos 1()1414C =-=, 所以sin sin[()]sin cos sin cos A B C B C C B π=-+=+3111533321421414=⨯-⨯=． 因此ABC S ∆=1133153sin 7522144AB AC A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 【答案】13【解析】设球心为1O ，半径为1r ，圆锥底面圆圆心为2O ，半径为2r ，则有22123416r r ππ⨯=，即212r r =,所以1122r O O ==， 设两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h 、2h ，则1111211232r r h r h r -==+．三、解答题:解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =． （Ⅰ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；(Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n18．（本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ）证明:PA BD ⊥；(Ⅱ）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【解析】（Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而222BD AD AB +=，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD 。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则(M∩N)＝() A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}2、函数y＝2(x≥0)的反函数为()A．(x∈R) B．(x≥0)C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0)3、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，，则|a＋2b|＝()A.B．C．D．4、若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为() A．17 B．14 C．5 D．35、下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b36、设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k ＝()A．8 B．7 C．6 D．57、设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A． B．3 C．6 D．98、已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝…()A．2 B．C．D．19、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种10、(5分)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－5/2)＝()A．B．C．D．11、设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4 B．C．8 D．12、已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为() A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题( 本大题共 4 题, 共计20 分)13、(1－x)10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为______．14、已知，tanα＝2，则cosα＝______.15、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为______．16、已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝______.三、解答题( 本大题共 6 题, 共计70 分)17、设等比数列{a n}的前n项和为S n.已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求a n和S n.18、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.（1）求B；（2）若A＝75°，b＝2，求a，c.19、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（2）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20、如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1.（1）证明：SD⊥平面SAB；（2）求AB与平面SBC所成的角的大小．21、已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)．（1）证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)；（2）若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1，3)，求a的取值范围．22、已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P满足. （1）证明：点P在C上；（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、(5分) DM∩N＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}，又∵U＝{1，2，3，4}，∴(M∩N)＝{1，4}．2、(5分) B由(x≥0)得(y≥0)，∴，∴反函数为(x≥0)．3、(5分) B由|a|＝|b|＝1，，得.4、(5分) C由x，y的约束条件画出可行域如图：设l0：，则过A点时，z的值最小．由得A(1，1)，∴z min＝2×1＋3×1＝5.5、(5分) AA项中a＞b＋1＞b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b ＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．6、(5分) D由S k＋2－S k＝24，∴a k＋1＋a k＋2＝24，∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，∴2a1＋(2k＋1)d＝24.又a1＝1，d＝2，∴k＝5.7、(5分) C由题意得：为函数f(x)＝cosωx的最小正周期的正整数倍，∴(k∈N*)，∴ω＝6k(k∈N*)，∴ω的最小值为6.8、(5分) C如图，AB＝2，AC＝BD＝1，连结BC，则△ABC为直角三角形，∴.又△BCD为直角三角形，∴.9、(5分) B先从4人中选2人选修甲课程，有种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有种方法．10、(5分) A∵f(x)是周期为2的奇函数，∴11、(5分) C由题意可设两圆的方程均为：(x－r)2＋(y－r)2＝r2.将(4，1)代入，可得：(4－r)2＋(1－r)2＝r2，∴r2－10r＋17＝0.∴此方程两根r1，r2分别为两圆半径，∴两圆心的距离12、(5分) D由题意可得截面图形．∵圆M的面积为4π，∴圆M的半径为2.∵α与β所成二面角为60°，∴∠BMC＝60°.在△OMB中，∠OMB＝90°，MB＝2，OB＝4，∴∠OBM＝60°. ∴OB∥CD，.在△OMN中，∠OMN＝30°，，∴.∴.∴圆N的面积为.二、填空题( 本大题共4 题, 共计20 分)13、(5分) 0解析：(1－x)10的通项公式.∴，，∴系数之差为.14、(5分)解析：∵α∈(π，)，tanα＝2，∴.又sin2α＋cos2α＝1，∴5cos2α＝1，∴.15、(5分)解析：如图，连结DE.∵AD∥BC，∴AE与BC所成的角，即为AE与AD所成的角，即∠EAD. 设正方体棱长为a，∴，∴，∴.16、(5分) 6解析：F1(－6，0)，F2(6，0)，M(2，0)，∴|F1M|＝8，|MF2|＝4.由内角平分线定理得：，又|AF1|－|AF2|＝2a＝2×3＝6，∴2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝6.三、解答题( 本大题共6 题, 共计70 分)17、(10分) 解：设{a n}的公比为q，由题设得解得或当a1＝3，q＝2时，a n＝3×2n－1，S n＝3×(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，a n＝2×3n－1，S n＝3n－1.18、(12分) 解：（1）由正弦定理得.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.故，因此B＝45°.（2）sin A＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝. 故，.19、(12分) 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．（1）P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.（2），P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝×0.2×0.82＝0.384.20、(12分)解法一：（1）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2.连结SE，则SE⊥AB，.又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角．由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD. SD与两条相交直线AB、SE都垂直．所以SD⊥平面SAB.（2）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，.作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1.连结SG，则SG⊥BC.又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG. 作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.，即F到平面SBC的距离为.由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为.设AB与平面SBC所成的角为α，则，.解法二：以C为坐标原点，射线CD 为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)．又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，（1）＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由得，故x＝1.由得y2＋z2＝1，又由得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故，.于是，，，，，.故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.（2）设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则，，，.又，，故取p＝2得．又，.故AB与平面SBC所成的角为.21、(12分) 解：（1）f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a.由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a，得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)．（2）由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0.①当时，f(x)没有极小值；②当或时，由f′(x)＝0，得，，故x0＝x2.由题设知1＜－a＋＜3.当时，不等式无解；当时，解不等式，得.综合①②得a的取值范围是(，)．22、(12分) 解：（1）F(0，1)，l的方程为，代入并化简得.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，则，，，，由题意得，y3＝－(y1＋y2)＝－1.所以点P的坐标为．经验证，点P的坐标)满足方程，故点P在椭圆C 上．（2）由P和题设知，Q，PQ的垂直平分线l1的方程为.①设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②由①②得l1、l2的交点为N，，，，，，故|NP|＝|NA|.又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．。