《概率论与数理统计》习题及答案 第八章

《概率论与数理统计》习题及答案

第 八 章

1.设12,,,n X X X L 就是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指数分布,λ未知,给定00λ>与显著性水平(01)αα<<,试求假设00:H λλ≥的2

χ检验统计量及否定域、 解 00:H λλ≥ 选统计量 2

001

22n

i

i X

nX χλλ===∑

记

2

1

2n

i

i X

χ

λ==∑%

则2

2

~(2)n χ

χ%,对于给定的显著性水平α,查2

χ分布表求出临界值2

(2)n αχ,使 22

((2))P n αχ

χα≥=% 因 2

2χ

χ>%,所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥%,从而 2222

{(2)}{(2)}P n P n αααχ

χχχ=≥≥≥% 可见00:H λλ≥的否定域为22

(2)n αχχ≥、

2.某种零件的尺寸方差为2

1.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):32、56, 29、66, 31、64, 30、00, 21、87, 31、03。设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为就是32、50毫米(0.05α=)、

解 问题就是在2

σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中

29.4632.50

2.45 6.771.1

X u -=

=

⨯=-

0.025

1.96u =,因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ,即不能认为平均尺寸就是32、5

毫米。

3.设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=,今抽了一个容量为26的样本,计算平均值1580,问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600。

解 问题就是在2

σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥

0H 的否定域为/2u u α<-,其中

15801600

5.1 1.02100X u -==⨯=-、

0.05

1.64u -=-、

因为0.051.02 1.64u u =->-=-,所以接受0H ,即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600、

4.一种元件,要求其使用寿命不低于1000小时,现在从这批元件中任取25件,测得其寿命平均值为950小时,已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布,问这批元件就是否合格？(0.05α=)

解 设元件寿命为X ,则2

~(,100)X N μ,问题就是检验假设

0:1000H μ≥、 0H 的否定域为0.05u u ≤-,其中

9501000

5 2.5100

X u -=

=

⨯=-

0.05 1.64u = 因为

0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ,即元件不合格、

5.某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X : 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24

设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？

解 问题就是在2

σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=

0H 的否定域为 /2||(4)t t α>

52

2

1

13.252,(5)0.00017,

0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑

0.005(4) 4.6041t =

3.252 3.25

2.240.3450.013

X t -==⨯=

因为

0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=

所以接受0H ,即可以认为这批矿砂的镍含量为3、25、

6.糖厂用自动打包机打包,每包标准重量为100公斤,每天开工后要检验一次打包机工作就是否正常,某日开工后测得9包重量(单位:公斤)如下: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5

问该日打包机工作就是否正常(0.05α=;已知包重服从正态分布)？

解 99.98X =,92

2

1

1(()) 1.478i i S X X ==-=∑, 1.21S =,

问题就是检验假设0:100H μ=

0H 的否定域为/2||(8)t t α≥、 其中

99.98100

30.051.21

X t -==⨯=-

0.025(8) 2.306t =

因为

0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ,即该日打包机工作正常、

7.按照规定,每100克罐头番茄汁中,维生素C 的含量不得少于21毫克,现从某厂生产的一批罐头中抽取17个,测得维生素C 的含量(单位:毫克)如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.

已知维生素C 的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量就是否合格。

(0.025)α=

解

设

X 为维生素C 的含量,则

2~(,)X N μσ,220,419.625X S ==,20.485S =,17n =、 问题就是检验假设0:21.H μ≥

(1)0:21H μ≥、

(2)选择统计量t 并计算其值:

0.20X t =

==- (3)对于给定的0.025α=查t 分布表求出临界值0.025()(16) 2.2t n t α==、

(4)因为0.025(16) 2.200.20t t -=-<-=。所以接受0H ,即认为维生素含量合格、

8.某种合金弦的抗拉强度2

~(,)X N μσ,由过去的经验知10560μ≤(公斤/厘米2),今用新工艺生产了一批弦线,随机取10根作抗拉试验,测得数据如下: 10512,10623,10668,10554,10776, 10707,10557,10581,10666,10670、 问这批弦线的抗拉强度就是否提高了？(0.05α=)