检测技术第一章第三节

1.3 几种典型信号的频谱

1．函数的定义

在时间内矩形脉冲或三角形脉冲及其它形状脉冲），其面积为1，当时，

的极限称为函数。

2．函数的性质

(1) 乘积性

若为一连续信号，则有

(1.41）

(1.42)

乘积结果为在发生函数位置的函数值与函数的乘积。

2）筛选性

(1.43)

(1.44)

筛选结果为在函数位置的函数值（又称采样值）。

3）卷积性

(1.45）

(1.46）3.函数的频谱

对取傅立叶变换：

(1.49）

(1.50)

1.3.2 矩形窗函数和常值函数的频谱

1．矩形窗函数的频谱

在例1.3中已经求出了矩形窗函数的频谱，并用其说明傅里叶变换的主要性质。需要强调的是，矩形窗函数在时域中有限区间取值，但频域中频谱在频率轴上连续且无限延伸。由于实际工程测试总是时域中有限长度（窗宽函数）的信号，其本质是被测信号与矩形窗函数在时域中相乘，因而得到的频谱必然应该是被测信号频谱与矩形窗函数频谱频域中的卷积，所以实际工程测试得到的频谱也将是在频率轴上连续且无限延伸。

2．常值函数（又称直流量）的频谱

幅值为1的常值函数的频谱为处的函数。实际上，利用傅里叶变换时间尺度

改变性质，也可以得到同样的结论：当矩形窗的窗宽时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域森克函数即为函数

1.3.3 指数函数的频谱

1．双边指数衰减函数的频谱

双边指数衰减函数表达式为

其傅立叶变换为：

2．单边指数衰减函数的频谱

单边指数衰减函数表达式为

其傅里叶变换为

1.3.4 符号函数和单边阶跃函数的频谱

1．符号函数的频谱

符号函数可以看作是双边指数衰减函数当时的极限形式，即

2．单位阶跃函数的频谱

单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数时的极限形式，即

1.3.5 谐波函数的频谱

1．余弦函数的频谱

利用欧拉公式，余弦函数可以表达为

其傅里叶变换为

2．正弦函数的频谱

同理，利用欧拉公式及其傅里叶变换有

1.3.6 周期单位脉冲序列函数的频谱

周期单位脉冲序列函数（又称采样函数）表达式为：

可见周期单位脉冲序列的频谱仍是周期脉冲序列。时域周期则为；时域脉冲强度为1；

频域脉冲强度则为

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北京理工大学机械工程与自动化学院