北师大版高中数学必修1-知识点总结

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高中数学北师大版(2019)选择性必修1-第二章章末知识梳理课件

高中数学北师大版(2019)选择性必修1-第二章章末知识梳理课件

章末知识梳理要点专项突破知识体系构建知识体系构建圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线线圆锥曲线圆锥曲线要点专项突破要点一直接法求动点的轨迹方程的方法求动点的轨迹方程,实质是建立动点的坐标(x,y)间的关系f(x,y)=0,解题的关键是认真分析形成轨迹的动点与已知条件的内在联系,选择恰当的方法构建动点的轨迹方程.探求动点轨迹问题的常用方法有:直接法、定义法、相关点法、交轨法.在平面直角坐标系xOy 中,已知点F (1,0),直线l :x =-1,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,动点Q 满足RQ ⊥PF ,PQ ⊥l .求动点Q 的轨迹方程E.要点二定义法当动点所满足的条件恰符合某曲线的定义时,如到定点的距离等于定长,或到两定点距离之和等于定值(且大于两定点之距),或到两定点距离之差的绝对值等于定值(且小于两定点之距)等,常利用定义法确定动点的轨迹,结合已知条件求出基本量即得动点的轨迹方程.(1)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.(2)已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且|O1O2|=4,动圆M与圆O1内切,且与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.(2)如图,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由|O1O2|=4,得点O1(-2,0),O2(2,0).设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆O1内切,有|MO1|=r-1;由动圆M与圆O2外切,有|MO2|=r+2.所以|MO2|-|MO1|=3<|O1O2|=4.要点三相关点法要点四交轨法当动点是两动曲线的交点时,常采用交轨法求动点轨迹方程,即引入变量表示两条动曲线的方程,将两曲线方程联立为方程组并消去变量,所得x,y的方程即为动点的轨迹方程.A ,B 是抛物线y 2=4ax (a >0)上的两动点,且OA ⊥OB ,OP ⊥AB ,垂足为点P ,求动点P的轨迹.。

新高一数学北师大版知识点

新高一数学北师大版知识点

新高一数学北师大版知识点北师大版的新高一数学教材是高中数学学习的重要工具,涵盖了广泛的数学知识点。

本文将重点介绍新高一数学北师大版的一些核心知识点,包括函数、立体几何、三角函数以及数列等内容。

1. 函数函数是高中数学的基本概念之一。

在新高一数学北师大版中,函数的定义和性质是学习的重点。

函数是一个集合与集合之间的对应关系,其中输入的集合称为定义域,输出的集合称为值域。

函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

另外,函数的运算和复合函数也是需要掌握的知识点。

2. 立体几何立体几何是新高一数学北师大版的重点内容之一。

立体几何的基本概念包括平行四边形、正方体、棱柱、棱锥、球体等。

学生需要熟悉各种几何体的性质、表面积和体积的计算方法。

此外,立体几何的投影和旋转是立体几何中的重要内容,也需要进行深入学习和理解。

3. 三角函数三角函数是高中数学的基础知识之一,也是新高一数学北师大版的必备知识点。

学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质和运算法则。

特别是在解三角函数方程和证明中的应用,需要熟练掌握三角函数的各种技巧和公式。

4. 数列数列是新高一数学北师大版中的核心概念。

数列是按照一定规律排列的一组数,包括等差数列、等比数列和通项公式等。

学生需要学习数列的表示方法、性质以及求和公式。

此外,数列在数学中的应用广泛,包括金融、物理等领域,对数列的理解和应用有助于学生进一步提高数学素养。

5. 不等式不等式是新高一数学北师大版中的重要内容。

学生需要学习不等式的性质、解法和应用。

常见的不等式包括一元一次不等式、二次不等式等。

解不等式需要灵活运用代数方法和图像法,对数学建模和现实问题的分析都离不开不等式的运用。

综上所述,新高一数学北师大版的知识点涵盖了函数、立体几何、三角函数、数列和不等式等重要内容。

学习这些知识点有助于学生建立数学思维和解决问题的能力,为日后的高中数学学习和考试打下坚实的基础。

希望同学们能够通过系统的学习,掌握这些知识点,并能够将其灵活运用于实际问题中。

高中数学北师大版(2019)选择性必修1-第一章章末知识梳理课件

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典例1
2.直线方程的六种形式及应用 直线方程的六种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择,尤其在 选用四种特殊形式的方程时,注意其适用条件,必要时要对特殊情况进 行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法,在使用待定系数法求直 线方程时,要注意直线方程形式的选择及适用范围.
典例2
3.两条直线的位置关系及应用
3.直线关于直线的对称 (1)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A+B≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(A +B≠0), 求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1 上找一点P,求出点P关于直线l2的对称点P′(x′,y′),再代入A1x+B1y+m =0即可解出m. 如果l1不平行于l2,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点(不 同于交点),找出这一点关于l2的对称点P′,由直线的两点式方程确定所 求直线方程.
(2)常见的直线的对称有以下几种情况: 对于直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 关于x轴的对称直线为Ax+B(-y)+C=0; 关于y轴的对称直线为A(-x)+By+C=0; 关于直线y=x的对称直线为Bx+Ay+C=0; 关于直线y=-x的对称直线为A(-y)+B(-x)+C=0.
典例4 自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射 光线所在的直线与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在的直线 方程.
要点二
对称问题
2.点关于直线的对称 (1)如图所示,已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 若直线l的斜率存在,求点P关于直线l的对称点P′(x′,y′)可以分两步来进 行.
(2)常见的点与其关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下: ①点A(a,b)关于x轴的对称点为A′(a,-b); ②点B(a,b)关于y轴的对称点为B′(-a,b); ③点C(a,b)关于直线y=x的对称点为C′(b,a); ④点D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D′(-b,-a); ⑤点P(a,b)关于直线x=m的对称点为P′(2m-a,b); ⑥点Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q′(a,2n-b).

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高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.(2)常用数集及其记法表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数N N *N +Z Q 集,表示实数集.R (3)集合与元素间的关系对象与集合的关系是,或者,两者必居其一.a M a M ∈a M ∉(4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素.x x x ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().∅【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图子集B A ⊆(或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B (1)A A⊆(2)A ∅⊆(3)若且,则B A ⊆B C ⊆A C ⊆(4)若且,则B A ⊆B A ⊆A B=A(B)或B A真子集A B≠⊂(或B A )≠⊃,且B A ⊆B 中至少有一元素不属于A(1)(A 为非空子A ≠∅⊂集)(2)若且,则A B ≠⊂B C ≠⊂A C ≠⊂B A 集合相等A B =A 中的任一元素都属于B ,B 中的任一元素都属于A (1)A B ⊆(2)B A⊆A(B)(7)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它A (1)n n ≥2n 21n -有个非空子集,它有非空真子集.21n -22n -【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集3∁u (∁uA )=A,4∁u (A ∩B )=(∁uA )∪(∁uB ),5∁u(A ∪B)=(∁uA)∩(∁uB)⑼ 集合的运算律:交换律:.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==0-1律:,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ=== 等幂律:.,A A A A A A == 求补律:A∩ A∪=U ∁uA =∅CuA ∁uU =∅∁u∅=U反演律:(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)∁u ∁u ∁u ∁u ∁u ∁u 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1.映射:设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的元素,在集合B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 .2.象与原象:如果f :A→B 是一个A 到B 的映射,那么和A 中的元素a 对应的 叫做象, 叫做原象。

高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结全文编辑修改

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精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集;N *或N +表示正整数集;Z 表示整数集;Q 表示有理数集;R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈;或者a M ∉;两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来;写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质};其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素;则它有2n 个子集;它有21n-个真子集;它有21n -个非空子集;它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律:交换律:.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律:,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律:.,A A A A A A == 求补律:A ∩ A ∪=U反演律:(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1.映射:设A 、B 是两个集合;如果按照某种对应关系f ;对于集合A 中的 元素;在集合B 中都有 元素和它对应;这样的对应叫做 到 的映射;记作 .2.象与原象:如果f :A →B 是一个A 到B 的映射;那么和A 中的元素a 对应的 叫做象; 叫做原象.二、函数1.定义:设A 、B 是 ;f :A →B 是从A 到B 的一个映射;则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ;记作 .2.函数的三要素为 、 、 ;两个函数当且仅当 分别相(3)A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 (%1%1%1 %1同时;二者才能称为同一函数.3.函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域:1.函数的定义域就是使函数式 的集合. 2.常见的三种题型确定定义域:① 已知函数的解析式;就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域;就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域;就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域:1.函数y =f (x )中;与自变量x 的值 的集合.2.常见函数的值域求法;就是优先考虑 ;取决于 ;常用的方法有:①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧有界性法;⑨换元法(又分为 法和 法)例如:① 形如y =221x +;可采用 法;② y =)32(2312-≠++x x x ;可采用法或 法;③ y =a [f (x )]2+bf (x )+c ;可采用 法;④ y =x -x-1;可采用 法;⑤ y =x -21x -;可采用 法;⑥ y =xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1.定义:如果函数y =f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2;当x 1、<x 2时;①都有 ;则称f (x )在这个区间上是增函数;而这个区间称函数的一个 ;②都有 ;则称f (x )在这个区间上是减函数;而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间;则f (x )称为 .2.判断单调性的方法:(1) 定义法;其步骤为:① ;② ;③ .(2) 导数法;若函数y =f (x )在定义域内的某个区间上可导;①若 ;则f (x )在这个区间上是增函数;②若 ;则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1.若f (x ), g (x )均为增(减)函数;则f (x )+g (x ) 函数; 2.若f (x )为增(减)函数;则-f (x )为 ; 3.互为反函数的两个函数有 的单调性;4.复合函数y =f [g(x )]是定义在M 上的函数;若f (x )与g(x )的单调相同;则f [g(x )]为 ;若 f (x ), g(x )的单调性相反;则f [g(x )]为 .5.奇函数在其对称区间上的单调性 ;偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1.奇偶性:① 定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ;则称f (x )为奇函数;若 ;则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质;则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质;则f (x ) . ② 简单性质:1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2) 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2.与函数周期有关的结论:①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()((a 、m 均为非零常数;0>a );都可以得出)(x f 的周期为 ;②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称;均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1.正整数指数函数函数y =a x (a>0;a≠1;x ∈N +)叫作________指数函数;形如y =ka x (k ∈R ;a >0;且a ≠1)的函数称为________函数. 2.分数指数幂(1)分数指数幂的定义:给定正实数a ;对于任意给定的整数m ;n (m ;n 互素);存在唯一的正实数b ;使得b n =a m ;我们把b 叫作a 的mn 次幂;记作b=m na ;(2)正分数指数幂写成根式形式:m na =nam(a >0); (3)规定正数的负分数指数幂的意义是:m na-=__________________(a >0;m 、n ∈N +;且n >1);(4)0的正分数指数幂等于____;0的负分数指数幂__________. 3.有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n =________(a >0); (2)(a m )n =________(a >0); (3)(ab )n=________(a >0;b >0).§3 指数函数(一)1.指数函数的概念一般地;________________叫做指数函数;其中x 是自变量;函数的定义域是____.2.指数函数y =a x (a >0;且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1.对数的运算性质如果a >0;且a ≠1;M >0;N >0;则: (1)log a (MN )=________________; (2)log a MN=________;(3)log a M n =__________(n ∈R ). 2.对数换底公式 log b N =logaNlogab(a ;b >0;a ;b ≠1;N >0); 特别地:log a b ·log b a =____(a >0;且a ≠1;b >0;且b ≠1).a >10<a <1图像定义域 R 值域(0;+∞) 性 质过定点过点______;即x =____时;y =____ 函数值 的变化 当x >0时;______; 当x <0时;________ 当x >0时;________; 当x <0时;________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1.对数函数的定义:一般地;我们把______________________________叫做对数函数;其中x 是自变量;函数的定义域是________.________为常用对数函数;y =________为自然对数函数. 2.对数函数的图像与性质 对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数.第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2.函数y =f (x )的零点就是方程f (x )=0的实数根;也就是函数y =f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标.定义 y =log a x (a >0;且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0;+∞)上是增函数 在(0;+∞)上是减函数共点性 图像过点______;即log a 1=0函数值 特点 x ∈(0,1)时; y ∈______; x ∈[1;+∞)时;y ∈______.x ∈(0,1)时; y ∈______; x ∈[1;+∞)时; y ∈______.对称性函数y =log a x 与y =1log a x 的图像关于______对称3.方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有________⇔函数y=f(x)有________.4.函数零点的存在性的判定方法如果函数y=f(x)在闭区间[a;b]上的图像是连续曲线;并且在区间端点的函数值符号相反;即f(a)·f(b)____0;则在区间(a;b)内;函数y=f(x)至少有一个零点;即相应的方程f(x)=0在区间(a;b)内至少有一个实数解.1.2 利用二分法求方程的近似解1.二分法的概念每次取区间的中点;将区间__________;再经比较;按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.由函数的零点与相应方程根的关系;可用二分法来_________________________________________________________________.2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a;b];使____________.(2)求区间(a;b)的中点;x1=__________.(3)计算f(x1).①若f(x1)=0;则________________;②若f(a)·f(x1)<0;则令b=x1(此时零点x0∈(a;x1));③若f(x1)·f(b)<0;则令a=x1(此时零点x0∈(x1;b)).(4)继续实施上述步骤;直到区间[a n;b n];函数的零点总位于区间[a n;b n]上;当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时;这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点;计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.。

北师大版高中数学必修知识点总结

北师大版高中数学必修知识点总结

北师大版高中数学必修知识点总结高中数学是高中阶段的一门重要学科,对学生的思维逻辑能力、数学分析能力以及解决实际问题的能力有很大的帮助。

下面是北师大版高中数学必修的知识点总结。

一、函数与方程1.函数的定义与性质:定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

2.初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

3.函数的图像与性质:函数图像的平移、翻折和缩放等。

4.方程与不等式:一元一次方程、一元一次不等式、二次方程、二次不等式等。

二、数列与数学归纳法1.数列的概念与表示:等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的相互转化。

2.数列的通项公式:求通项公式、求和公式等。

3.数列的前n项和与无限项和:有限等差数列求和、有限等比数列求和、无限等差数列求和、无限等比数列求和等。

4.数学归纳法的基本思想与应用。

三、平面向量1.向量的概念与运算:向量的表示、向量的加法、向量的数乘、数量积、向量积等。

2.向量的模、方向角、坐标与坐标运算:向量的模、方向角与坐标之间的关系、向量的坐标运算等。

3.平面向量的应用:向量的共线性、向量的法则等。

四、三角函数与解三角形1.角度与弧度制:角度与弧度的转化、正角和负角等。

2.三角函数:正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。

3.三角函数的诱导公式:和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等。

4.三角函数的图像与性质:正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、最小正周期与变换等。

5.解三角形:海伦公式、正弦定理、余弦定理等。

6.三角函数的应用:三角函数的模型求解等。

五、平面几何和立体几何1.平面几何基本概念:点、直线、线段、射线、角的概念与性质等。

2.平面几何的证明方法:直接证明、间接证明、反证法等。

3.圆的性质与判定:圆的定义、弧、弦、切线、正切、割线、弓形与线段的关系等。

4.圆锥曲线:椭圆、双曲线的定义与性质。

5.空间几何基本概念:点、直线、平面、直线与平面的位置关系等。

6.空间几何的投影:点到线的距离、点到平面的距离、线到平面的距离等。

第一章-1.1-集合的概念与表示高中数学必修第一册北师大版

第一章-1.1-集合的概念与表示高中数学必修第一册北师大版

(3)偶数集;
【解析】可表示为{| = 2, ∈ }.(【举一反三】奇数集可表示为
{| = 2 + 1, ∈ })
(4)被3除余2的正整数组成的集合.
【解析】可表示为{| = 3 + 2, ∈ }.
设被3除余2的数为,则 = 3 + 2, ∈ ,但此题要求为正整数,故
第一章 预备知识
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
教材帮|必备知识解读
知识点1 集合与元素的相关概念
例1-1 [教材改编P5 T2] 用符号“∈ ”或“∉ ”填空:


(1)设为素数集,则1___,2___;
【解析】素数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然
数,所以1不是素数,2是素数.即1 ∉ ,2 ∈ .
对于D,当 = −34时,3 − 1 = −34,解得 = −11 ∈ ,所以−34 ∈ ,所以D正确.
例14 已知集合 = {| = + 2,, ∈ }.
(1)试分别判断1 = − 2,2 =
1
,3
2− 2
= (1 − 2 2)2 与集合的关系;
【解析】1 = − 2 = 0 + −1 × 2,
C.集合{| = − 1}与{| = − 1}表示同一个集合
D.方程 + 1 + − 1 = 0的解集是{−1,1}
【解析】A中方程 2 − − 6 = 0的解确实是−2,3,故正确;
B中两个集合都是数集,但前者表示实数集,后者表示的是{| ≥ −1},故不正确;
= 3 + 2, ∈ ,也可以写成 = 3 − 1, ∈ + .(【注意】此时从1开始)

北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点

北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点

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01-第一节 集合-课时1 集合的概念与表示高中数学必修一北师大版

01-第一节 集合-课时1 集合的概念与表示高中数学必修一北师大版

{| − 3 < ≤ 2},故选C.
17.用区间表示下列集合:
−1, +∞
(1){| > −1} =__________;
【解析】 集合{| > −1}可用开区间表示为 −1, +∞ ;
(2,5]
(2){|2 < ≤ 5} =______;
【解析】 集合{|2 < ≤ 5}可用左开右闭区间表示为(2,5];
知识点3 集合的表示方法及分类 4年1考
8.集合{ ∈ | − 2 < 2}用列举法表示为( D )
A.{1,2,3}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4}
D.{0,1,2,3}
【解析】 { ∈ − 2 < 2} = { ∈ < 4} = {0,1,2,3}.
579
所有素数”是“2,3,5,7”,是确定的,能构成集合;选项C中“一些点”无明确的
标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“平面直角坐标系内第一
象限的一些点”不能构成集合;选项D中“比较小”没有明确的标准,不能构
成集合.故选B.
2.[2024河北石家庄一中期中]若梯形的边长构成集合,则集合中元素个
(2)若 2 ∈ ,求实数的值.
【解析】 若 2 ∈ ,则 2 = 0或 2 = 1或 2 = ,得 = 0或 = 1或 = −1.
由集合中元素的互异性,得 ≠ 0且 ≠ 1,
所以 = −1.
【温馨提示】
求解元素与集合的关系的问题时,要注意集合中的元素需满足互异性.
数的最小值和最大值分别为( D )
A.1,3
B.2,3
C.3,4
D.2,4

高一数学北师大版知识点

高一数学北师大版知识点

高一数学北师大版知识点
高一数学北师大版涵盖了丰富的数学知识点,对于学生来说,掌握这些知识点是提高数学能力的关键。

以下是一些高一数学北师大版的重要知识点概述:
首先,集合的概念和运算是高一数学的基础。

学生需要理解集合的定义,包括集合的表示方法、元素与集合的关系,以及集合之间的基本运算,如交集、并集、补集和差集。

其次,函数的概念和性质是高一数学的核心内容。

学生需要掌握函数的定义、函数的三种表示方法、函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等性质。

此外,函数的图像变换,如平移、伸缩和对称变换,也是重要的知识点。

接着,指数函数和对数函数作为初等函数的重要组成部分,学生需要了解它们的图像和性质,包括指数函数的单调性、特殊点以及对数函数的定义域、值域和单调性。

在三角函数方面,学生需要掌握任意角的三角函数定义,以及特殊角的三角函数值。

此外,三角函数的图像和性质,如周期性、奇偶性和单调性,也是必须掌握的内容。

数列作为数学中的一个重要概念,学生需要了解等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式。

同时,数列的极限概念也是高一数学中的一个重要知识点。

不等式的解法和性质也是高一数学中的重要内容。

学生需要掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法,以及不等式的基本性质,如传
递性、加法性和乘法性。

最后,立体几何部分,学生需要了解空间直线和平面的位置关系,包括平行、垂直和相交等概念。

同时,学生还需要掌握空间几何体的体积和表面积的计算方法。

通过系统学习和不断练习,学生可以逐步掌握高一数学北师大版的知识点,为进一步的数学学习打下坚实的基础。

高一北师大数学知识点总结

高一北师大数学知识点总结

高一北师大数学知识点总结高中数学是学生们学习的重要科目之一,北师大数学作为高中数学的重要教材之一,涵盖了许多重要的数学知识点。

下面是对高一北师大数学知识点的总结。

1. 代数基础1.1. 字母表示法1.2. 算术基本性质1.3. 一元一次方程与一元一次方程组1.4. 一元二次方程及其根的判别式1.5. 二次函数与一元二次方程1.6. 无理方程1.7. 已知条件下求实数解与证明方法2. 函数基础2.1. 函数的概念和表示2.2. 函数的性质及其分类2.3. 一次函数与二次函数的图象与性质2.4. 一元二次函数的图象与性质2.5. 绝对值函数与正比例函数的图象与性质2.6. 幂函数与对数函数的图象与性质3. 三角函数基础3.1. 角的概念及其度与弧度的相互转化3.2. 三角函数的定义和基本性质3.3. 三角函数的图象与性质3.4. 三角函数的应用4. 平面解析几何4.1. 点与坐标4.2. 矢量的概念与运算4.3. 平面向量的坐标表示与运算4.4. 向量的共线与均分点4.5. 两向量的数量积与向量积4.6. 平面解析几何图形的方程与性质5. 数列与数列极限5.1. 数列的概念及表示5.2. 等差数列与等比数列的性质5.3. 数列的极限与收敛性5.4. 数列求和与数列函数6. 概率初步6.1. 随机事件与概率6.2. 概率的运算与应用6.3. 事件独立性与条件概率6.4. 排列与组合的计数原理7. 三角函数进阶7.1. 三角恒等变换7.2. 三角方程与三角不等式7.3. 三角函数的图象与性质7.4. 三角函数的和差化积与积化和差8. 导数与函数的应用8.1. 导数的定义与求导法则8.2. 函数的单调性与极值点8.3. 函数的最值与最值问题8.4. 函数的凹凸性与拐点8.5. 函数的增减性与导函数9. 不等式与线性规划9.1. 不等式的性质与解集9.2. 一元二次不等式9.3. 线性规划问题与解法这些数学知识点是高一北师大数学课程的核心内容,掌握这些知识点对于学生们的数学学习和考试成绩至关重要。

高中数学北师大版(2019)选择性必修1-第五章章末知识梳理课件

高中数学北师大版(2019)选择性必修1-第五章章末知识梳理课件

章末知识梳理要点专项突破知识体系构建知识体系构建要点专项突破要点一两个计数原理的应用1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理很少单独命题,多与排列、组合等问题相结合,以选择题或填空题的形式考查,难度适中,属中档题.2.应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成,而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件,能完成便是分类,否则便是分步.对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步,此时,应注意层次分明,不重不漏.从数字1,2,3,4,5中取出3个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和等于6,这样的三位数的个数为( )A .7 B .9C .10D .13C[规律方法] 用两个计数原理解决实际问题时,往往从特殊元素入手,通过对其分析,展开讨论,将复杂问题分解为几类简单问题加以解决.要点二排列与组合的综合应用求解排列组合综合问题的常用策略:(1)特殊元素优先安排的策略.(2)合理分类和准确分步的策略.(3)排列、组合混合问题先选后排的策略.(4)正难则反、等价转化的策略.(5)相邻问题捆绑处理的策略.(6)不相邻问题插空处理的策略.(7)定序问题除法处理的策略.(8)分排问题直排处理的策略.(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.(10)构造模型的策略.已知六人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人两两不相邻,甲、丁两人必须相邻,则满足要求的排队方法数为( )A .72 B .96 C .120 D .288A目.(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序?[规律方法] 解决排列组合的综合问题时,通常都是从特殊元素、特殊位置入手,先安排特殊元素、特殊位置,再安排其他元素、其他位置,根据分步乘法计数原理解决问题.要点三二项式定理的应用对于二项式定理的考查常出现两类问题:一类是直接运用通项公式来求特定项;另一类需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.从近几年高考命题趋势来看,对于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主,难度不大,但不排除与其他知识交汇,具体归纳如下:(1)考查通项公式问题.(2)考查系数问题:①涉及项的系数、二项式系数以及系数的和;②一般采用通项公式或赋值法解决;③可转化为二项式定理解决问题.[分析] 先利用“第7项与倒数第7项的比是1︰6”求出n 的值,然后再利用通项求第7项.展开式的通项T k+1,根据需要对通项T k+1中的k进行赋值.[分析] 先根据条件求出n的值,再求出特定项.已知(x +2)(2x -1)5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6,则a 0+a 2+a 4=( )A .123B .91C .-152 D .-120[解析] (x +2)(2x -1)5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中,取x =1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=3,取x =-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6=-243,所以2(a 0+a 2+a 4+a 6)=-240,即a 0+a 2+a 4+a 6=-120,又a 6=32,则a 0+a 2+a 4=-152.C 要点四分类与整合的思想解决两个计数原理的综合应用问题时,很多时候都需要既分类又分步才能完成.解题时,先根据问题分析是先分类还是先分步.对于先分类后分步的题目,应明确分类的标准,做到不重不漏;对于先分步后分类的题目,往往是一个元素的位置选择对另一个元素的位置选择有影响.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片中至多有两张红色卡片,并且其余卡片颜色不能相同,那么不同取法的种数为______.(用数字作答)328[规律方法] 寻找合理的分类方法是解此类题目的关键.对于计数问题,分类的依据主要是特殊元素或特殊位置.。

必修一数学北师大版

必修一数学北师大版

必修一数学北师大版
以下是北师大版必修一数学的主要内容:
1. 集合:集合的表示方法、集合之间的关系、集合的运算(交集、并集、补集)。

2. 函数概念与性质:函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性。

3. 一次函数与反比例函数:一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质。

4. 指数函数与对数函数:指数函数的图像和性质、对数函数的图像和性质。

5. 幂函数:幂函数的图像和性质。

6. 任意角的三角函数:任意角的三角函数的概念、三角函数的诱导公式、三角函数的图像和性质。

7. 三角恒等变换:三角函数的和差化积、三角函数的倍角公式。

8. 三角函数的实际应用:三角函数在解决实际问题中的应用。

以上内容仅供参考,具体的教学内容可能因教材版本、地区差异等因素有所不同。

新教材北师大版高中数学必修第一册第一章预备知识 知识点重点难点归纳总结汇总

新教材北师大版高中数学必修第一册第一章预备知识 知识点重点难点归纳总结汇总

第一章预备知识1 集合 (1)1、集合的含义 (1)2、集合的表示 (4)3、集合的基本关系 (9)4、交集与并集 (12)5、全集与补集 (16)2 常用逻辑用语 (19)1、必要条件与充分条件 (19)2、全称量词与存在量词 (23)3不等式 (27)1、不等式的性质 (27)2、基本不等式 (32)4一元二次函数与一元二次不等式 (36)1、一元二次函数 (36)2、一元二次不等式及其解法 (43)3、一元二次不等式的应用 (47)1 集合1、集合的含义知识点1 元素与集合的相关概念1.集合:把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.2.元素:集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.3.集合中元素的性质:一个集合中的任何两个元素都不相同,也就是说,集合中的元素没有重复,集合中元素的特性:确定性,互异性,无序性.知识点2 元素与集合的关系1.属于:如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a∈A.2.不属于:如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作a∉A.元素与集合之间有第三种关系吗?[提示]没有,对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果.知识点3 常见的数集及符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N+或N*Z Q R R+N与N+(N*)有何区别?[提示]N+(N*)是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N+(N*)多一个元素0.疑难解惑类型1 集合的概念【例1】下列给出的对象中,能构成集合的是( )①小于0的所有实数;②与0非常接近的实数;③中国著名的高等院校;④中国双一流的高等院校A.①③B.②④C.①④D.③④C[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性,故选C.]判断所描述的对象构成集合的标准判断所描述的对象能否构成集合,关键看所描述的对象是否具有确定性,如果具有确定性,就可以组成集合;否则,就不能组成集合.在集合元素的三个特性中,元素的确定性是其本质属性.类型2 元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R;②2∉Q;③0∈N*;④|-5|∉N*.A.1 B.2C.3 D.4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,那么a为( )A.2 B.2或4C.4 D.0(1)B(2)B[(1)π是实数,2是无理数,0不是正整数;|-5|=5,5是正整数,则①②正确,故选B.(2)由题知,a=2∈A,6-a=4∈A,∴a=2或者a=4∈A,6-a=2∈A,∴a =4,综上知,a=2,4.故选B.]1.判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法:如果集合中的元素是直接给出,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法:对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2.已知元素与集合的关系求参数的思路当a∈A时,则a一定等于集合A中的某个元素.反之,当a∉A时,结论恰恰相反.利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可,注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.类型3 集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A含有两个元素a和a2,则实数a的取值范围是________.a≠0且a≠1[因为A中有两个元素a和a2,所以a≠a2,解得a≠0且a≠1.]本例若加上条件“1∈A”,其他条件不变,求实数a的值.[解]若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A有重复元素,不符合元素的互异性,∴a≠1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1符合元素的互异性.∴a=-1.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤0或1 [∵3∈A ,∴⎩⎨⎧a +3=32a +1≠3或⎩⎨⎧a +3≠3,2a +1=3,解得:a =0或a =1.]2、集合的表示知识点1 列举法把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{__}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a ,b ,c ,…}.一一列举元素时,需要考虑元素的顺序吗?[提示] 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.例如:{a ,b }与{b ,a }表示同一个集合.知识点2 描述法通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x 及x 的范围|x 满足的条件},即在花括号内先写上集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.集合A ={x |x -1=0}与集合B ={1}表示同一个集合吗? [提示] A ={x |x -1=0}={1}与集合B 表示同一个集合. 知识点3 集合的分类1.有限集:含有有限个元素的集合. 2.无限集:含有无限个元素的集合. 3.空集:不含任何元素的集合,记作∅.{0}与∅相同吗?[提示] 不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而∅表示空集,其不含有任何元素,故{0}与∅不相同.知识点4 区间及相关概念1.区间的概念及记法设a,b是两个实数,且a<b,我们规定:定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b闭区间[a,b]}{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b]2.无穷大实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.3.特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}[a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤b}(-∞,b]{x|x<b}(-∞,b)(1)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗?(2)“∞”是数吗?以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端可以是中括号吗?[提示](1)不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.(2)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.疑难解惑类型1 用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x3=x的所有实数解组成的集合;(3)一次函数y=2x+1的图象与y轴的交点所组成的集合.[解](1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x3=x的解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的解组成的集合为{0,1,-1}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素;(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;(3)用花括号括起来.注意:用列举法表示集合,要求元素不重复、不遗漏、不计次序,且元素与元素间用“,”隔开.类型2 用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合:(1)被3除余1的正整数的集合;(2)坐标平面内第一象限的点的集合;(3)大于4的所有偶数.[解](1)根据被除数=商×除数+余数,可知此集合表示为{x|x=3n+1,n∈N*}.(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零,故此集合可表示为{(x,y)|x>0,y>0}.(3)偶数可表示为2n,n∈Z,又因为大于4,故n≥3,从而用描述法表示此集合为{x|x=2n,n∈Z且n≥3}.描述法表示集合的2个步骤注意:描述法的特点是形式简单、应用方便,通常用于表示元素具有明显共同特征的集合,当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时,就不宜采用描述法.类型3 用区间表示集合【例3】将下列集合用区间及数轴表示出来:(1){x|x<2};(2){x|x≥3};(3){x|-1≤x<5}.[解](1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如下:(2){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如下:(3){x|-1≤x<5}用区间表示为[-1,5),用数轴表示如下:区间的几何意义可用数轴表示,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点.类型4 集合表示法的应用【例4】若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.[解]当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2}.当k≠0时,则关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实数根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x 1=x 2=4,集合A ={4},满足题意.综上所述,实数k 的值为0或1.当k =0时,A ={2};当k =1时,A ={4}.1.(变条件)若集合A 中有2个元素,求k 的取值范围. [解] 由题意得⎩⎨⎧k ≠0,Δ=-82-4×k ×16>0,解得k <1,且k ≠0.2.(变条件)若集合A 中至多有一个元素,求k 的取值范围. [解] ①当集合A 中含有1个元素时,由例4知,k =0或k =1; ②当集合A 中没有元素时,方程kx 2-8x +16=0无解,即⎩⎨⎧k ≠0,Δ=-82-4×k ×16<0,解得k >1.综上,实数k 的取值集合为{k |k =0或k ≥1}.集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数,求参数的问题,常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax 2+bx +c =0,当a =0,b ≠0时,方程有一个解;当a ≠0时,若Δ=0,则方程有两个相等的实数解;若Δ<0,则方程无解;若Δ>0,则方程有两个不等的实数解.(2)集合与方程的综合问题,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程实数根的情况,进而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.3、集合的基本关系1.Venn图用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.2.子集、集合相等、真子集子集集合相等真子集概念一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,称集合A是集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”)如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B对于两个集合A与B,如果A⊆B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示结论(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A(2)空集是任何集合的子集,即∅⊆A(3)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C若A=B且B=C,则A=C(1)若A B且B C,则A C(2)若A⊆B且A≠B,则A B(1)任意两个集合之间是否有包含关系?(2)符号“∈”与“⊆”有什么区别?[提示](1)不一定,如集合A={1,3},B={2,3},这两个集合就没有包含关系.(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如1∈N,-1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系,比如N⊆R,{1,2,3}⊆{3,2,1}.③“∈”的左边是元素,右边是集合,而“⊆”的两边均为集合.疑难解惑类型1 集合间的关系的判断【例1】 判断下列各组中集合间的关系.(1)A ={} |x x 是等腰三角形,B ={x |x 是等边三角形}; (2)A ={} |x x ()x -1=0,B ={}0,1; (3)A ={} |x -1<x <4,B ={} |x x <5;(4)A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x =n +12,n ∈Z ,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =12n +1,n ∈Z .[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等边三角形,故B A .(2)A =B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来,根据定义易得A B .(4)A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x =2n +12,n ∈Z ,B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x =n +22,n ∈Z ,又{} |x x =2n +1,n ∈Z {} |x x =n +2,n ∈Z ,所以AB .判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时,可列举出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系.(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系.一般地,设A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},①若由p (x )可推出q (x ),则A ⊆B ;②若由q (x )可推出p (x ),则B ⊆A ;③若p (x ),q (x )可互相推出,则A =B ;④若由p (x )推不出q (x ),由q (x )也推不出p (x ),则集合A ,B 无包含关系.(3)数形结合法利用数轴或Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系,其中不等式的解集之间的关系,适合用数轴法.类型2 子集个数问题【例2】 已知{}1,2M ⊆{}1,2,3,4,5,试写出满足条件的所有集合M .[解] 集合M 含有元素1,2,且含有3,4,5中的至少一个元素,依据集合元素的个数分类列举如下:含有3个元素:{}1,2,3,{}1,2,4,{}1,2,5;含有4个元素:{}1,2,3,4,{}1,2,3,5,{}1,2,4,5; 含有5个元素:{}1,2,3,4,5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合.求集合子集、真子集个数的3个步骤类型3 集合间的关系的应用【例3】 已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},且B ⊆A ,求实数m 的取值范围.[解] 当B =∅时,有m +1≥2m -1,得m ≤2,当B ≠∅时,有⎩⎨⎧m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4.综上得m ≤4.1.对于本例中的集合A ,B ,是否存在实数m 使A ⊆B? [解] 若A ⊆B ,则⎩⎨⎧m +1<-22m -1>7,该不等式组无解,故实数m 不存在.2.若将本例中的“A ={x |-2≤x ≤7}”改为“A ={}x | x ≤-2,或x ≥7”,其他条件不变,求实数m 的取值范围.[解] 当B =∅时,有m +1≥2m -1,得m ≤2, 当B ≠∅时,有⎩⎨⎧m +1<2m -1,2m -1≤-2,或⎩⎨⎧m +1<2m -1,m +1≥7,解得m ≥6,综上得m ≤2或m ≥6.由集合的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续实数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论;(2)当集合为连续实数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,应注意端点处是实点还是虚点.注意:(1)不能忽视集合为∅的情形.(2)当集合中含有字母参数时,一般要分类讨论.4、交集与并集知识点1 交集 文字语言一般地,由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的集合,叫作集合A 与B 的交集,记作A ∩B 读作“A 交B ”符号语言 A ∩B ={x |x ∈A ,且x ∈B } 图形语言运算性质A ∩B =B ∩A ,A ∩A =A ,A ∩∅=∅∩A =∅,(A ∩B )⊆A ,(A ∩B )⊆B ,A ⊆B ⇔A ∩B =A(1)当集合A ,B 无公共元素时,A 与B 有交集吗? (2)若A ∩B =A ,则A 与B 有什么关系? [提示] (1)有,交集为空集.(2)若A ∩B =A ,则A ⊆B . 知识点2 并集 文字语言一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,叫作集合A 与B 的并集,记作A ∪B 读作“A 并B ”符号语言 A ∪B ={x |x ∈A ,或x ∈B } 图形语言运算性质A ∪B =B ∪A ,A ∪A =A ,A ∪∅=∅∪A =A ,A ⊆(A ∪B ),B ⊆(A ∪B ),A ⊆B ⇔A ∪B =B(1)集合A ∪B 的元素个数是否等于集合A 与集合B 的元素个数和? (2)在什么条件下,集合A ∪B 的元素个数等于集合A 与B 的元素个数之和? [提示] (1)不一定,A ∪B 的元素个数小于或等于集合A 与集合B 的元素个数和.(2)A ∩B =∅.疑难解惑类型1 交集运算【例1】 (1){} |x x 是等腰三角形∩{x |x 是等边三角形}=________. (2){} |x -1≤x ≤2∩{} |x 0≤x ≤4=( ) A.{} |x 0≤x ≤2 B .{} |x 1≤x ≤2 C.{} |x 0≤x ≤4D .{} |x 1≤x ≤4(3)已知集合A ={}x | x =3n +2,n ∈Z ,B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 元素的个数为( )A .5B .4C .3D .2(1){x |x 是等边三角形} (2)A (3)D [(1)因为{} |x x 是等边三角形⊆{x |x 是等腰三角形},所以{} |x x 是等腰三角形∩{} |x x 是等边三角形={x |x 是等边三角形}.(2)如图,所以{x |-1≤x ≤2}∩{x |0≤x ≤4}={}x | 0≤x ≤2. (3)因为8=3×2+2;14=3×4+2, 所以A ∩B ={}8,14.]1.在进行集合的交集运算时,要根据交集的定义进行运算,尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时要用Venn 图表示;集合元素是连续时用数轴表示,但要注意端点值的取舍.2.恰当地运用交集的交换律与结合律,可简化运算过程. 类型2 并集运算【例2】 (1)设集合A ={}x | x 2+2x =0,B ={x |x 2-2x =0},则A ∪B =( )A.{}0 B .{}0,2 C.{}-2,0D .{}-2,0,2(2)已知集合M ={} |x -3<x ≤5,N ={}x | x <-5,或x >5,则M ∪N =( )A.{}x | x <-5,或x >-3 B .{} |x -5<x <5 C.{} |x -3<x <5D .{}x | x <-3,或x >5(3)已知集合A ={}1,4,x ,B ={}1,x 2,且A ∪B ={1,4,x 2},则满足条件的实数x 的个数为( )A .1B .2C .3D .4(1)D (2)A (3)A [(1)因为A ={}0,-2,B ={0,2},所以A ∪B ={-2,0,2}.(2)如图,在数轴上表示两集合,所以M ∪N ={}x | x <-5,或x >-3.(3)由A ∪B ={}1,4,x 2,得x =x 2,又x ≠1,所以x =0.]在进行集合的并集运算时(1)若集合是用列举法表示的,可以直接用并集的定义求解,但要注意集合元素的互异性.(2)若集合是连续的数集,可以借助数轴进行运算.类型3 由集合的并集、交集求参数【例3】 已知集合A ={x |-3<x ≤4},集合B ={x |k +1≤x ≤2k -1},且A ∪B =A ,试求k 的取值范围.[解] ①当B =∅时,即k +1>2k -1时,k <2,满足A ∪B =A . ②当B ≠∅时,要使A ∪B =A ,只需⎩⎨⎧-3<k +1,4≥2k -1,k +1≤2k -1,解得2≤k ≤52.综合①②可知k ≤52.1.(变条件)把本例条件“A ∪B =A ”改为“A ∩B =A ”,试求k 的取值范围. [解] 由A ∩B =A 可知A ⊆B . 所以⎩⎨⎧-3≥k +1,2k -1≥4,即⎩⎨⎧k ≤-4,k ≥52,所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2.(变条件)把本例条件“A ∪B =A ”改为“A ∪B ={x |-3<x ≤5}”,求k 的值.[解] 由题意可知⎩⎨⎧-3<k +1≤4,2k -1=5,解得k =3.所以k 的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A ∩B =A ,A ∪B =B 等这类问题,解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,如A ∩B =A ⇔A ⊆B ,A ∪B =B ⇔A ⊆B 等,解答时应灵活处理.(2)当集合B ⊆A 时,如果集合A 是一个确定的集合,而集合B 不确定,运算时一定要考虑B =∅的情况,切不可漏掉.5、全集与补集1.全集:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U 表示.全集包含所要研究的这些集合.在集合运算问题中,全集一定是实数集吗?[提示] 全集是一个相对性的概念,只包含研究问题中涉及的所有的元素,所以全集因问题的不同而异.2.补集:(1)定义:设U 是全集,A 是U 的一个子集(即A ⊆U ),则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫作U 中子集A 的补集,记作∁U A .(2)符号:∁U A ={x |x ∈U ,且x ∉A }. (3)Venn 图(4)补集的性质①A∪(∁U A)=U.②A∩(∁U A)=∅.③∁U U=∅,∁U∅=U,∁U(∁U A)=A.④(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B).⑤(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B).A,A,U三者之间有什么关系?∁U[提示]A⊆U,∁U A⊆U,A∪(∁U A)=U,A∩(∁U A)=∅.疑难解惑类型1 补集运算【例1】已知全集U,A={x|2<x≤3},∁U A={x|x>3},B={x|4≤x<6},求∁U B.[解]因为A={x|2<x≤3},∁U A={x|x>3},如数轴:所以U=A∪(∁U A)={x|x>2},所以∁U B={x|2<x<4或x≥6}.求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时,直接用定义或借助Venn图求解;(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解.类型2 交、并、补的综合运算【例2】设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及(∁A)∩B.R[解]把全集R和集合A、B在数轴上表示如下:由图知,A∪B={x|2<x<10},(A∪B)={x|x≤2或x≥10},∴∁RA={x|x<3或x≥7},∵∁R∴(∁R A )∩B ={x |2<x <3或7≤x <10}.解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn 图来求解.(2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.类型3 补集及补集思想的应用【例3】 设全集U =R ,A ={}x | x +m ≥0,B ={x |-2<x <4},若()∁U A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.[解] 法一:∁U A ={}x | x +m <0={}x | x <-m , ∵()∁U A ∩B =∅,∴-m ≤-2,∴m ≥2.法二:A ={}x | x ≥-m ,由()∁U A ∩B =∅,得A ⊇B ,∴-m ≤-2,∴m ≥2.1.若将本例中的“()∁U A ∩B =∅”改为“()∁U A ∩B =B ”,求实数m 的值. [解] 由已知得∁U A ={}x | x <-m ,∁U A ⊇B ,所以-m ≥4,解得m ≤-4. 2.若将本例中的“()∁U A ∩B =∅”改为“()∁U B ∪A =R ”,求实数m 的值. [解] 由已知得,A ={}x | x ≥-m ,A ⊇B ,所以-m ≤-2,解得m ≥2. 3.若将本例中的“()∁U A ∩B =∅”改为“()∁U A ∩B ≠∅”,求实数m 的值. [解] 由例3知,当()∁U A ∩B =∅时,m ≥2,所以当()∁U A ∩B ≠∅时,m <2.1.要注意下面五个关系式A ∩B =A 、A ∪B =B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩()∁U B =∅、()∁U A∪B=U都与A⊆B等价.2.对于一些难于从正面入手的问题,在解题时,可以从问题的反面入手,往往能化难为易,从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略.该策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,则可先求∁U A,再∁U A=A求A.由∁U()2 常用逻辑用语1、必要条件与充分条件知识点1 必要条件与性质定理一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.知识点2 充分条件与判定定理一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.综上,对于真命题“若p,则q”,即p⇒q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同?(2)以下五种表述形式:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗?[提示](1)相同,都是p⇒q.(2)这五种表述形式是等价的.知识点3 充要条件(1)一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p 是q的充要条件,记作p⇔q.(2)p 是q 的充要条件也常常说成“p 成立当且仅当q 成立”,或“p 与q 等价”.(3)当p 是q 的充要条件时,q 也是p 的充要条件.(1)若p 是q 的充要条件,则命题p 和q 是两个相互等价的命题,这种说法对吗?(2)“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”的区别在哪里? [提示] (1)正确.若p 是q 的充要条件,则p ⇔q ,即p 等价于q . (2)①p 是q 的充要条件说明p 是条件,q 是结论. ②p 的充要条件是q 说明q 是条件,p 是结论.疑难解惑类型1 充分、必要、充要条件的判断【例1】 下列各题中,p 是q 的什么条件?(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p :x =1或x =2,q :x -1=x -1;(2)p :四边形是正方形,q :四边形的对角线互相垂直平分; (3)p :xy >0,q :x >0,y >0;(4)p :四边形的对角线相等,q :四边形是平行四边形.[解] (1)因为x =1或x =2⇒x -1=x -1,x -1=x -1⇒x =1或x =2,所以p 是q 的充要条件.(2)若一个四边形是正方形,则它的对角线互相垂直平分,即p ⇒q .反之,若四边形的对角线互相垂直平分,该四边形不一定是正方形,即q p .所以p 是q 的充分不必要条件.(3)因为xy >0时,x >0,y >0或x <0,y <0. 故p q ,但q ⇒p .所以p 是q 的必要不充分条件.(4)因为⎩⎨⎧四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,所以p 是q 的既不充分也不必要条件.充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p ⇒q ,q p ,则p 是q 的充分不必要条件; 若p q ,q ⇒p ,则p 是q 的必要不充分条件; 若p ⇒q ,q ⇒p ,则p 是q 的充要条件;若p q ,q p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. (2)集合法对于集合A ={x |x 满足条件p },B ={x |x 满足条件q },具体情况如下: 若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件; 若A ⊇B ,则p 是q 的必要条件; 若A =B ,则p 是q 的充要条件; 若A B ,则p 是q 的充分不必要条件; 若A B ,则p 是q 的必要不充分条件. 类型2 必要条件、充分条件的应用【例2】 已知p :-2≤x ≤10,q :1-m ≤x ≤1+m ,若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.[解] 由p 是q 的充分不必要条件,得集合{x |-2≤x ≤10}是集合{x |1-m ≤x ≤1+m }的真子集,所以⎩⎨⎧1+m >1-m 1-m <-21+m ≥10,或⎩⎨⎧1+m >1-m 1-m ≤-21+m >10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围是m ≥9.1.把本例中的“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”,其他条件不变,试求实数m 的取值范围.[解] 由p 是q 的必要不充分条件,得集合{x |1-m ≤x ≤1+m }是集合{x |-2≤x ≤10}的真子集,当{} |x 1-m ≤x ≤1+m =∅,即m <0时,符合题意; 当{} |x 1-m ≤x ≤1+m ≠∅,即m ≥0时,可得⎩⎨⎧ m ≥01-m >-21+m ≤10 ,或⎩⎨⎧m ≥01-m ≥-21+m <10,解得0≤m ≤3.综上得,实数m 的取值范围是m ≤3.2.本例中,是否存在实数m ,使p 是q 的充要条件,若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由.[解] 若p 是q 的充要条件,则{} |x 1-m ≤x ≤1+m ={} |x -2≤x ≤10, 即⎩⎨⎧1-m =-21+m =10,由于该方程组无解,所以实数m 不存在.利用必要条件与充分条件求参数的取值范围 (1)化简p 与q ;(2)把p 与q 之间的关系转化为相应集合之间的关系; (3)利用集合之间的关系建立不等式; (4)解不等式求参数的取值范围.类型3 充要条件的探求与证明【例3】 求证:一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是c a<0.[证明] ①必要性:因为方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根,所以两根之积小于零,即c a<0.②充分性:由ca<0,得ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,设这两个实根分别为x1,x2,由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=ca<0,所以两根异号.综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是c a<0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时,要注意:若证明“p的充要条件是q”,那么“充分性”是q⇒p,“必要性”是p⇒q;若证明“p是q的充要条件”,则与之相反.(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立.若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明.注意:证明时一定要注意证明的方向性,分清充分性与必要性的证明方向.2、全称量词与存在量词知识点1 全称量词命题与全称量词1.全称量词命题在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题.2.全称量词在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“∀”表示,读作“对任意的”.“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题?[提示]该命题是全称量词命题,只不过省略了全称量词.知识点2 存在量词命题与存在量词1.存在量词命题在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题.2.存在量词在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“存在”.“不等式x2-1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题?用符号表示该命题.[提示]是存在量词命题,可表示为“∃x∈R,x2-1<0”.知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定1.全称量词命题的否定(1)全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)全称量词命题p:∀x∈M,x具有性质p(x)的否定为:∃x∈M,x不具有性质p(x).2.存在量词命题的否定(1)存在量词命题的否定是全称量词命题.(2)存在量词命题p:∃x∈M,x具有性质p(x)的否定为:∀x∈M,x不具有性质p(x).如何对省略量词的命题进行否定?[提示]对于含有一个量词的命题,容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地,省略了量词的命题是全称量词命题,可加上“所有的”或“对任意”,它的否定是存在量词命题.反之,亦然.疑难解惑类型1 全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)矩形的对角线不相等;(3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;(4)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;(5)方程3x -2y =10有整数解.[解] (1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,故为全称量词命题.(2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”,故为全称量词命题. (3)“若一个四边形是菱形”,也就是“所有的菱形”,故为全称量词命题. (4)含存在量词“有些”,故为存在量词命题.(5)可改表述为“存在一对整数x ,y ,使3x -2y =10成立”.故为存在量词命题.1.判断一个命题是全称量词命题,还是存在量词命题,主要看命题中是否含有全称量词,或者存在量词,有些全称量词命题虽然不含全称量词,但是可以根据命题的意义去判断.2.存在量词命题真假的判断要判断存在量词命题“存在x ∈M ,p ()x ”是真命题,只需在集合M 中找到一个元素x 0,使得p ()x 0成立即可;如果在集合M 中,使得p ()x 成立的x 不存在,那么这个存在量词命题就是假命题.注意:全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略.类型2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 【例2】 判断下列命题的真假: (1)∃x ∈Z ,x 3<1;(2)存在一个四边形不是平行四边形;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x ,y )都对应一点P ; (4)∀x ∈N ,x 2>0.[解] (1)因为-1∈Z ,且(-1)3=-1<1,所以“∃x ∈Z ,x 3<1”是真命题. (2)真命题,如梯形.(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题. (4)因为0∈N,02=0,所以命题“∀x ∈N ,x 2>0”是假命题.。

高一数学北师大版必修一-知识点

高一数学北师大版必修一-知识点

高一数学北师大版必修一-知识点北师大版高一数学必修一知识点在高一数学北师大版的必修一中,学生将学习一些基本的数学知识和技巧,为将来的学习打下坚实的基础。

本文将介绍必修一中的几个重要知识点,帮助学生在学习过程中更好地理解和掌握这些内容。

一、集合在数学中,集合是由一些特定对象组成的整体。

在必修一中,我们主要学习了集合的概念、表示方法和基本运算。

1. 集合的概念集合是一种数学概念,用来表示一组具有相同性质的对象。

例如,全班同学的名字可以构成一个集合,全国人口也可以构成一个集合。

2. 集合的表示方法表示集合有多种方法,常见的有列举法和描述法。

列举法是通过将集合中的元素逐个列出来表示;描述法是通过给出满足某个规则的元素的特点来表示。

3. 集合的基本运算在集合中,我们可以进行并集、交集、差集和补集等基本运算。

并集表示两个集合中所有元素的总集合;交集表示两个集合中共有的元素组成的集合;差集表示在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合;补集表示某个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合。

二、函数函数是数学中非常重要的概念,用来描述一种映射关系。

在必修一中,我们学习了函数的定义、性质和表示方法。

1. 函数的定义函数是指对每一个自变量值,都有唯一确定的因变量值与之对应。

简单来说,函数是一种输入和输出之间的关系。

2. 函数的性质函数有一些重要的性质,包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

其中,定义域是指函数中自变量的取值范围;值域是指函数中因变量的取值范围;单调性是指函数图像在某个区间内的增减趋势;奇偶性是指函数在特定条件下对称的性质。

3. 函数的表示方法表示函数的方法主要有解析式、图像和数据表。

解析式是用公式或方程表示函数的方法;图像是用坐标系表示函数的方法;数据表是将自变量和因变量的值一一对应列出的方法。

三、数列与数列的运算数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。

在必修一中,我们学习了数列的定义、性质和常见的数列类型。

数学高一必修一知识点北师大版

数学高一必修一知识点北师大版

数学高一必修一知识点北师大版数学高一必修一知识点高一数学必修一是北师大版的教材,主要包含了代数、函数、数列和立体几何等内容。

这些知识点是学习高中数学的基础,并为以后更深入的学习奠定了坚实的基础。

下面将对其中的几个重要知识点进行介绍。

一、代数代数是数学的一个重要分支,它研究数的运算规则和数关系。

在高一必修一的代数部分主要包含多项式的运算和因式分解。

1. 多项式的运算多项式是由若干项通过加法和减法连接而成的算式。

多项式的运算包括加法、减法和乘法,其中乘法也涉及到多项式与多项式的乘法和多项式与常数的乘法。

2. 因式分解因式分解是将一个多项式分解成若干个因子的乘积。

因式分解有基本公式法、公因式法和提取公因式法等方法。

二、函数函数是数学中一个重要的概念,函数是一种特殊的关系,它将自变量与因变量建立起一一对应的关系。

1. 函数的概念函数的概念包括定义域、值域、图像和性质等内容。

了解函数的概念是后续学习函数的基础。

2. 一次函数和二次函数一次函数和二次函数是高中数学中最基本的函数类型。

一次函数是指函数的最高次幂为1的函数,形如y=kx+b;二次函数是指函数的最高次幂为2的函数,形如y=ax^2+bx+c。

三、数列数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的序列,在高一必修一的数列部分主要包括等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是指数列中每两项之间的差等于一个常数,这个常数称为公差。

等差数列有通项公式和求和公式。

2. 等比数列等比数列是指数列中每两项之间的比等于一个固定的常数,这个常数称为公比。

等比数列也有通项公式和求和公式。

四、立体几何立体几何是研究物体形状和空间关系的分支学科,在高一必修一的立体几何部分主要包括了点、线、面的性质和空间直角坐标系等内容。

1. 点、线、面的性质点、线、面是几何中最基本的几何元素,了解它们的性质对于后续学习立体几何很重要。

2. 空间直角坐标系空间直角坐标系是在三维空间中引入直角坐标系,通过三个坐标轴确定一个点的位置。

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高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈(1)A A A=(2)A∅=∅(3)A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈(1)A A A=(2)A A∅=(3)A B A⊇A B B⊇BA补集{|,}x x U x A∈∉且⑴(⑵⑶⑷⑸⑼集合的运算律:交换律:.;ABBAABBA==结合律:)ABCA==B((()C));(CACBBA分配律:)BACABA==CA));(()B()(BAA(C)C(0-1律:,,,Φ=ΦΦ===A A A U A A U A U等幂律:.A==AA,AAA求补律:A∩ A∪=U反演律:(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1.映射:设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的元素,在集合B中都有元素和它对应,这样的对应叫做到的映射,记作 .2.象与原象:如果f:A→B是一个A到B的映射,那么和A中的元素a对应的叫做象,叫做原象。

二、函数1.定义:设A、B是,f:A→B是从A到B的一个映射,则映射f:A→B叫做A到B的,记作 .2.函数的三要素为、、,两个函数当且仅当分别相同时,二者才能称为同一函数。

3.函数的表示法有、、。

§2函数的定义域和值域一、定义域:1.函数的定义域就是使函数式 的集合. 2.常见的三种题型确定定义域:① 已知函数的解析式,就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域,就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域:1.函数y =f (x )中,与自变量x 的值 的集合.2.常见函数的值域求法,就是优先考虑 ,取决于 ,常用的方法有:①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧有界性法;⑨换元法(又分为 法和 法)例如:① 形如y =221x +,可采用 法;② y =)32(2312-≠++x x x ,可采用法或 法;③ y =a [f (x )]2+bf (x )+c ,可采用 法;④ y =x -x-1,可采用 法;⑤ y =x -21x -,可采用 法;⑥ y =xxcos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1.定义:如果函数y=f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、<x2时,①都有,则称f (x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个;②都有,则称f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个 .若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为 . 2.判断单调性的方法:(1) 定义法,其步骤为:①;②;③ .(2) 导数法,若函数y=f (x)在定义域内的某个区间上可导,①若,则f (x)在这个区间上是增函数;②若,则f (x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1.若f (x), g(x)均为增(减)函数,则f (x)+g(x) 函数;2.若f (x)为增(减)函数,则-f (x)为;3.互为反函数的两个函数有的单调性;4.复合函数y=f [g(x)]是定义在M上的函数,若f (x)与g(x)的单调相同,则f[g(x)]为,若f (x), g(x)的单调性相反,则f[g(x)]为 . 5.奇函数在其对称区间上的单调性,偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1.奇偶性:① 定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ,则称f (x )为奇函数;若 ,则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质,则 f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质,则 f (x ) . ② 简单性质:1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2) 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2.与函数周期有关的结论:①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()((a 、m 均为非零常数,0>a ),都可以得出)(x f 的周期为 ;②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称,均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1.正整数指数函数函数y =a x (a>0,a≠1,x ∈N +)叫作________指数函数;形如y =ka x (k ∈R ,a >0,且a ≠1)的函数称为________函数. 2.分数指数幂(1)分数指数幂的定义:给定正实数a ,对于任意给定的整数m ,n (m ,n 互素),存在唯一的正实数b,使得b n=a m,我们把b叫作a的mn次幂,记作b=mna;(2)正分数指数幂写成根式形式:mna=na m(a>0);(3)规定正数的负分数指数幂的意义是:m na =__________________(a>0,m、n∈N+,且n>1);(4)0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________.3.有理数指数幂的运算性质(1)a m a n=________(a>0);(2)(a m)n=________(a>0);(3)(ab)n=________(a>0,b>0).§3指数函数(一)1.指数函数的概念一般地,________________叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是____.2.指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的图像和性质a>10<a<1 图像定义域R值域(0,+∞)性质过定点过点______,即x=____时,y=____函数值的变化当x>0时,______;当x<0时,________当x>0时,________;当x<0时,________ 单调性是R上的________是R上的________§4对数(二)1.对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,则:(1)log a(MN)=________________;(2)log a MN=________;(3)log a M n=__________(n∈R).2.对数换底公式log b N=log a Nlog a b(a,b>0,a,b≠1,N>0);特别地:log a b·log b a=____(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1).§5对数函数(一)1.对数函数的定义:一般地,我们把______________________________叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是________.________为常用对数函数;y=________为自然对数函数.2.对数函数的图像与性质定义y=log a x (a>0,且a≠1)底数a>10<a<1图像定义域______值域______单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数共点性图像过点______,即log a1=0函数值特点x∈(0,1)时,y∈______;x∈[1,+∞)时,y∈______.x∈(0,1)时,y∈______;x∈[1,+∞)时,y∈______.3.对数函数y=log a x(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数.第四章函数应用§1函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.3.方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有________⇔函数y=f(x)有________.4.函数零点的存在性的判定方法如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)____0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.1.2 利用二分法求方程的近似解1.二分法的概念每次取区间的中点,将区间__________,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来_________________________________________________________________.2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a,b],使____________.(2)求区间(a,b)的中点,x1=__________.(3)计算f(x1).①若f(x1)=0,则________________;②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).(4)继续实施上述步骤,直到区间[a n,b n],函数的零点总位于区间[a n,b n]上,当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.。

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