2020年重庆一中高2021级高三上期第一次月考数学试题及答案
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷及答案
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟一、单项选择题。
本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有1项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {y |y =ln (1−x )} , B = {y |y =√4−2x },则 A ∩B= ( )A. [0,2)B. (0,2)C. [0,2]D. [0,1)2.a,b ∈(0,+∞), A =√a +√b , B =√a +b ,则 A,B 的大小关系是( )A. A<BB. A>BC. A ≤BD. A ≥ B3.已知直线 l 是曲线 y =√x +2x 的切线,则 l 的方程不可能是A.5x −2y +1=OB.4x −2y +1=OC.13x −6y +9=OD.9x − 4y + 4 = 04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。
一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S 1 ,画面中剩余部分的面积为S 2,当 S 1 与S 2的比值为√5−12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A.(3−√5)πB. (√5−1)πC. (√5+1)πD. (√5−2)π 5. 若函数f (x )={a x ,2<x ≤a log a (x −2),x >a(其中a >0,且a ≠1)存在零点,则实数 a 的取值范围是 A.(12,1)U (1,3) B.(1,3] C.(2,3) D.(2,3]6. 己知0<ω≤2,函数f (x )=sin (ωx )−√3cos (ωx ),对任意x ∈R ,都有f (π3−x)=−f (x ),则 ω 的值为( )A. 12B. 1C.32D. 27. 函数f (x )=2cos x +sin 2x 的一个个单调递减区间是( )A.(π4,π2)B.(0,π6)C.(π2,π)D. (5π6,π)8.设函数 f (x )在 R 上存在导数f ′(x ),对任意的 x ∈R ,有f (x )+f (−x )=2cos x ,且在[0,+∞)上有f′(x)>−sin x ,则不等式f(x)−f(π2−x)≥cos x−sin x的解集是A.(−∞,π4] B.[π4,+∞) C.(−∞,π6] D.[π6,+∞)二、多项选择题。
2020-2021学年重庆一中高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年重庆一中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知sin(π−α)=34，则sinα=( )A. −34B. 34C. −√74D. √742.条件p ：“a ≤0或a ≥4”是条件q ：“f(x)=13ax 3+12ax 2+x +1有极值点”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.11、从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A. 24对B. 30对C. 48对D. 60对4.抛物线y 2=2px 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为N ，则的最大值为A.B.C.D.5.在三角形ABC 中，已知AC =6，BC =10，cos(A −B)=35，则cos(A +B)=( )A. 45B. −45C. 35D. −356.一艘轮船从海面上从A 点出发，以40nmile/ℎ的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A 点正西方有一点B ，AB =10nmile ，该船1小时后到达C 点并立刻转为南偏东60°的方向航行，小时后到达D 点，整个航行过程中存在不同的三点到B 点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是( )A.B.C.D.7.已知集合A ={x ∈N|x(x −2)≤0}，B ={−2,−1,0}，则A ∪B =( )A. {−2,−1}B. {0,1}C. {−2,−1,0，1，2}D. {0,1，2}8.已知直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则( )A. CM ⊥ABB. CM ⊥lC. CA ⊥CBD. CM =12AB9.一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为()A. √3+4B. √3+6C. 2√3+4D. 2√3+610.已知A={x|x+1x−1≤0}，B={−1,0，1}，则card(A∩B)=()A. 0B. 1C. 2D. 311.现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是()A. 函数y=2x图象上的点构成的集合B. 旋转体表面及其内部点构成的集合C. 扇形边界及其内部点构成的集合D. 正四面体表面及其内部点构成的集合12.已知数列{a n}是从第二项起各项均为正数的等差数列，其前13项和S13=132，则1a5+4a9的最小值为()A. 8B. 9C. 12D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0，则目标函数z=x+y最大值与最小值的和为______ ．14.已知数列2，√10，4，…，√2(3n−1)，…，那么8是这个数列的第______ 项．15.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面是ABCD正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD.已知AB=1，E为AB上一个动点，当D1E+CE取得最小值√10时，三棱锥D1−ADE的外接球表面积为______ ．16.直线y=a与曲线y=x2−2|x|−3有四个交点，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3(a−ccosB)=bsinC．(1)求角C的大小；(2)若c =2，则当a ，b 分别取何值时，△ABC 的面积取得最大值，并求出其最大值．18. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，且S n =4a n −3(n ∈N ∗)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)令b n =(n +1)a n ，n ∈N ∗，求证：数列{b n }为递增数列．19. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P −ABCD 中AD//BC ，∠ABC =90°PD ⊥平面ABCD ，AD =1，AB =√3，BC =4． (1)求证：BD ⊥PC ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角；(3)在线段PC 上是否存在一点E ，使得DE//平面PAB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．21. 设O 为坐标原点，a >b >0，椭圆E 1：x 2a 2+y 2b 2=1，椭圆E 2：x 24a 2+y 24b 2=1，P 是椭圆E 2上一点． (Ⅰ)若直线OP 与椭圆E 1的一个交点Q ，求|OP||OQ|；(Ⅱ)已知点B(0,2)在椭圆E 1上，椭圆E 1的离心率为√22，过点P 的直线l 交于椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =2√2cosθy =√2sinθ(θ为参数)，点P 是曲线C 上一动点，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，设点Q 为NP 的中点(O 为坐标原点)． (Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 1的参数方程；(Ⅱ)过M(1,√3)的直线交曲线C 1于不同两点A ，B ，求1|MA|2+1|MB|2的取值范围．23.已知函数f(x)=(log12x)2−12log12x+5，求在区间[2,4]上f(x)的最大值与最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵sin(π−α)=sinα， ∴sinα=34， 故选：B ．利用诱导公式化简即可．本题主要考查了诱导公式，是基础题．2.答案：B解析：解：“f(x)=13ax 3+12ax 2+x +1有极值点”，则等价为f′(x)=ax 2+ax +1有两个不同的零点，即{a ≠0△=a 2−4a >0得{a ≠0a >4或a <0，即a >4或a <0，则a ≤0或a ≥4是a >4或a <0成立的必要不充分条件， 故选：B ．根据函数极值的性质，转化为f′(x)=0有两个不同的零点，利用判别式△>0进行求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数极值与导数之间的关系求出等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果． 解： 在正方体 中，与上平面中一条对角线 成的直线有 ，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有 对直线，去掉重复，则有 对.故选 C .。
2021届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学(文)试题(原卷版)参照模板
2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试数学(文科)试题卷一、选择题1.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A. {1} B. {12}， C. {0123}，，， D. {10123}-，，，， 2.复数341iz i-=-(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设3434a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，243b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log 2c =，则a ，b ，c的大小顺序是( )A. b a c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<4.设a 为实数，直线1:10l ax y +-=，()2:120l x a y a +--=，则“12a =”是“12l l ⊥”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如下图所示的程序框图，输出的结果是( )A.89B.910C.1011D.11126.一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为( )3mA. 6π+B. 5π+C. 62π+D. 52π+7.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，3AB =，2BD =，则AB AD ⋅=( ) A. 3B. 6C. 9D. 128.已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 在,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的值域为( )A. 2,2⎡-⎣B. (2,2-C. 2⎡⎤-⎣⎦D. (2⎤-⎦9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>离心率为2，其焦点到渐近线的距离为3()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为( )A. 2B. 4C. 6D. 810.一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( ) A. aB. bC. cD. d11.在锐角三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若2a =，且()()cos sin 2sin 22A B C C ππ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，则c 的取值范围为( )A. 2⎫⎪⎪⎝⎭B. 2,23⎛⎫⎪⎝⎭C. ⎝⎭D. 23⎛⎝⎭12.定义在R 上且周期为4的函数()f x 满足：当[)1,3x ∈-时，()1,102ln 2,03xx f x x x ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<<⎩，若在区间[]0,4上函数()()1g x f x ax =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1ln 310,,143+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B. 1ln 310,,133+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ C. 1ln 310,,243+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D. 1ln 310,,233+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭二、填空题13.等比数列{}n a 中，已知15a =，91040a a =，则18a =________.14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()2ln 2f x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2--处的切线斜率为______.15.设不等式组0x y x y y ⎧-≤⎪⎪+≥-⎨⎪≤⎪⎩M ，函数y =x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点不落在N 内的概率为______.16.已知一个圆锥，其母线与底面的夹角的余弦值为13.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.三、解答题17.已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.(1)求证：数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .18.对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T (单位：吨)的频率分布直方图，如图一.(1)求a 的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T 月；(2)已知该居民月用水量T 与月平均气温t (单位：℃)的关系可用回归直线0.42ˆTt =+模拟.2019年当地月平均气温t 统计图如图二，把2019年该居民月用水量高于和低于T 月的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过T 月的概率. 19.已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =.点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SFSCλ=，SA 平面BEF .(1)求实数λ的值；(2)求四棱锥F EBCD -的体积.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过圆22:4230Q x y x y +--+=的圆心Q ，且右焦点与抛物线23y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQBSAQB =∠，求直线l 的方程.21.已知函数()ln f x x m x =-，m R ∈，()f x '是()f x 的导函数. (1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若0m >，120x x <<，若存在0x ，使得()()()12012f x f x f x x x --'=，试比较12x x +与02x 的大小.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为212222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为：()23cos24ρθ-=.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程;(2)若点M 在曲线2C 上运动，求点M 到曲线1C 距离的最小值及对应的点M 的坐标. 23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>. (1)当1ab =时，证明：()2f x ≥；(2)若()f x 的值域为[)2,+∞，且()35f =，解不等式()4f x ≥.百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。
重庆市重庆一中2021届高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教A版
秘密★启用前2013年重庆一中高2014级高三上期第一次月考数 学 试 题 卷（理科） 2013.9.20数学试题共4页，共21个小题。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分)1．已知集合},8,7,6,4,3,1{=A }6,5,4,2,1{=B ，则集合B A 有（ ）个子集A.3B.4C.7D.82．（原创）函数xx x x x f +--=)2ln()(2的定义域是（ ）A.)1,(--∞B.),2(+∞C.),2()1,(+∞--∞D.)2,0(3．（原创）函数),(,4sin )(322R b a bx x a x f ∈++=，若2013)20141(lg=f ，则=)2014(lg f （ ）A.2018B.2009-C.2013D.2013-4．（原创）已知关于x 的方程0322=-+-m mx x 的两个实数根21,x x 满足)0,1(1-∈x ，),3(2+∞∈x ，则实数m 的取值范围是（ ）A.)3,56( B.)3,32( C.)56,32( D.)32,(-∞ 5．（原创）已知条件11:≤xp ，则使得条件p 成立的一个充分不必要条件是（ ） A.1>x B.0>x C.0≤x 或1≥x D.0<x 或1≥x6．（原创）若R y x ∈,且x y x 322=+，则2y x -的取值范围是（ ） A.]0,1[- B.]3,0[ C.]3,1[- D.),1[+∞-7．（原创）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(x x ax a x f x 在实数集R 上单调递增，且0)6()5(2≤-+a f a f ，则实数a 的取值范围是（ ）A.]3,2[B.]5,4[C.]5,1(D.)8,4[ 8．（原创）已知11)(1+-=x x x f ，对任意*N n ∈，恒有)]([)(11x f f x f n n =+，则=)2013(2014f （ ） A.10071006 B.10061007- C.2013 D. 20131- 9．（原创）将)(x f y =的图象先右移1个单位,再下移2个单位，然后再将横坐标缩短为原来的21（纵坐标不变）后所得的图象与x y 2log =的图象关于直线1=x 对称,则=)(x f （ ）A.)8(log 2x -B.)88(log 2--xC.)42(log 2+-xD.)62(log 2+-xP M =∅，记[3,]PM a =-且]32,3[--=ΩΩa M P ，其中3->a ，则实数a 的取值范围是（ ）A.}3{B.),3[+∞C.]6,0(D.]6,3[二、填空题.(共5小题，每小题5分，共25分) 11. （原创）已知幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在0=x 处有定义，则实数m＝ ；12. （原创） 设R b a ∈,，且463==ba，则=-ba 11 ； 13．（原创）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时,21)(x x f -=，则不等式0)(≥x f 的解集是 ；14．（原创）定义在R 上的函数)(x f 满足)2(-x f 是偶函数，且对任意R x ∈恒有2014)1()3(=-+-x f x f ，又2013)4(=f ，则=)2014(f ；15. （原创） 已知()f x 是定义在),0(+∞上的单调函数，且对任意),0(+∞∈x ，恒有三、解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 16．（13分）（原创）已知函数R x x a e x f x∈⋅+=,)(的图像在点))1(,1(f 处的切线的斜率为0．（1）求实数a 的值； （2）求)(x f 的单调区间．17．（13分）（原创）已知条件:p 函数x x f a )10(2log )(-=在),0(+∞上单调递增；条件:q 存在]2,1[-∈m 使得不等式55222+≤--m a a 成立．如果“p 且q ”为真命题，求实数a的取值范围．18．（13分）（原创）已知函数)1,0(,22log )(≠>+-=a a xxx f a． （1）当3=a 时，求函数)(x f 在]1,1[-∈x 上的最大值和最小值； （2）求函数)(x f 的定义域，并求函数4)42()()(2++--=x f ax ax x g 的值域（用a 表示）．19．（12分）市场营销人员对最近一段时间内某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析后发现如下规律：当该商品的价格上涨x %(0>x )时，其日销售数量就减少kx %(其中k 为正数)，预测此规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计得到此时每日的销售量为1000件．（1）当12k =时，问该商品该定价多少，才能使日销售总金额达到最大？并求出此最大值； （2）如果在涨价过程中只要x 不超过100，其日销售总金额就不断增加，求k 的取值范围．20．（12分）（原创）定义二元函数,)1(),(yx y x F +=其中R y x ∈+∞∈),,0(，如31)21()1,2(1=+=--F ．已知二次函数)(x g 过点)0,0(，且满足13134))(,1()21(2++≤≤x x x g F 对R x ∈恒成立． （1）求)1(-g 的值，并求函数)(x g 的解析式；（2）若关于x 的方程0)1()1(=-++xxe t e g （e 为自然对数的底数，t 为参数）在]5ln ,2[ln上有解，求实数t 的取值范围；（3）记函数),1()(n nF n h =，试证明：)(n h 是关于n 的增函数，其中*N n ∈．21．（12分）（原创）定义“][x ”，其中][x 表示不超过．．．x 的最大整数．．．．．，记函数[]R x x x x f ∈=,][)(．（1）若集合[][]{},0322≤--=x x x A {}11)(≤-=x f x B ，求集合B A ,；（2）当*),2,0[N n x n ∈∈时，记函数)(x f 的值域中的元素个数为n a ，求证：*21,911111111N n a a a n ∈<-++-+- ． 2013年重庆一中高2014级高三上期第一次月考数 学 试 题 参 考 答 案（理科） 2013.9一、选择题．DBCAA CBDDA 二、填空题.三、解答题. 16．（13分）解：a e x f x+=)(/．（1）由题知e a a e f -=⇒=+=0)1(/；（2）由e e x f x -=)(/在)1,(-∞上为负，在),1(+∞上为正，故)(x f 在↑+∞↓-∞),1(,)1,(． 17．（13分）解：p 真)3,3(911022-∈⇔<⇔>-⇔a a aq 真[]]2,1[,552max22-∈+≤--⇔m m a a ]4,2[3522-∈⇔≤--⇔a a a“p 且q ”为真命题p ⇔为真且q 为真)3,2[]4,2[)3,3(-∈⇔--∈⇔a a ． 18．（13分） 解：（1）令12422-+=+-=x x x u ，显然u 在]1,1[-∈x 上单调递减，故∈u ]3,31[， 故]1,1[log 3-∈=u y ，即当]1,1[-∈x 时，1)(max =x f ，（在3=u 即1-=x 时取1)(min -=x f ，（在31=u 即1=x 时取得） （2）由)(022x f xx⇒>+-的定义域为)2,2(-，由题易得：)2,2(,2)(2-∈+-=x x ax x g ，因为1,0≠>a a ，故)(x g 的开口向下，且对称轴01>=ax ，于是：1 当)2,0(1∈a 即),1()1,21(+∞∈ a 时，)(x g 的值域为（]1),1(4()]1(),2((a a a g g +-=-；2 当21≥a 即]21,0(∈a 时，)(x g 的值域为（))1(4),1(4())2(),2((a a g g -+-=-19．（12分）解：销售总额x y +=1(10%kx -⨯1(1000)%)0(,10000)1(100)2>+-+-=k x k kx（1）当12k =时，22115010000(50)1125022y x x x =-++=--+，故当50=x 时，即商品价格上涨50%时，即定价为每件15元时，销售总额达到最大，最大为11250；（2）)0(,10000)1(1002>+-+-=k x k kx y ，开口向下，对称轴为50(1)k x k-=，题意即]100,0(∈x 时，函数是增函数，于是50(1)100k k -≥，又0>k ，解得：103k <≤即符合题意的k 的范围是1(0,]3．20．（12分） 解：（1）R x x x g x x g F x x g x x x ∈+≤≤--⇔≤≤⇔≤≤+--++,26)(132224))(,1()21(226)(13131322 发现，在令1-=x 时可得4)1(4)1(4-=-⇒-≤-≤-g g 设)0(,)(2≠+=a bx ax x g ，由b a g -=-=-4)1(得4+=a b ，于是x a ax x g )4()(2++=，由题：R x x a ax x x g ∈≤--+⇔+≤,02)2(26)(22，⇒-=⇒⎩⎨⎧≤+=+-=∆<⇔20)2(8)2(022a a a a a x x x g 22)(2+-=， 检验知此时满足R x x x g ∈--≥,13)(2，故x x x g 22)(2+-=；【或解：当没有发现4)1(-=-g 时，下面给出一种解答：设)0(,)(2≠+=a bx ax x g ，由⎪⎩⎪⎨⎧⊗≥+++⊕≤--+⇔⎪⎩⎪⎨⎧--≥++≤+⇔+≤≤-- 01)3(02)6(132626)(13222222bx x a x b ax x bx ax x bx ax x x g x ⎩⎨⎧≤+-=∆<⇔⊕08)6(021a b a ，⎩⎨⎧≤-->⇔⎩⎨⎧≤+-=∆>+⇔⊗a b a a b a 4123)3(403222 于是8)6()12(2)6(2122≤+-=∆≤-+-a b b b 可得20)2(01212322=⇒≤-⇒≤+-b b b b代回08)6(21≤+-=∆a b 及0)3(422≤+-=∆a b 中可得22-≥-≤a a 且，于是得到2-=a ；】 （2）令1+=x e u ，因为]5ln ,2[ln ∈x ，故]6,3[∈u ，题意⇔关于u 的方程0)2()(=-+u t u g0)2(222=-++-⇔u t u u 在]6,3[上有解，分离参数，得到]6,3[,2222∈--=u u uu t ，t 的范围即为右式的值域，令]4,1[,2∈=-m m u ，则右式]4,1[,6)2(2)2(2)2(22∈++=+-+=m m m m m m ，由双勾函数知其值域为]15,246[+，也即满足题意的t 的范围为]15,624[+∈t ；（3）即证)1()(+<n h n h ，等价于证*1,)111()11()1,11(),1(N n n n n n F nF n n ∈++<+⇔++<+． )111ln()1()11ln(+++<+⇔n n n n考查函数]1,0(,)1ln()(∈+=x x x x h ，则2/)1ln(1)(xx x xx h +-+=，令 ]1,0(),1ln(1)(∈+-+=x x xxx ϕ，因为0)1()1(1)1(1)(22/<+-=+-+=x x x x x ϕ，所以)(x ϕ在↓]1,0(，所以]1,0(∈x 时，⇒=<0)0()(ϕϕx ]1,0(∈x 时0)(/<x h ，故)(x h 在↓]1,0(，令21111x n n x =+>=，则)11()1(+<n h n h ，即)111ln()1()11ln(+++<+n n n n ，证毕；1+n 阶均值不等式）右个=⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++<⋅+⋅⋅+=++++111111111)11()11()11(1)11()11()11(n n nn n n n n n n n n n n ． 21．（12分）解：（1）03][2][2≤--x x )4,1[)4,1[3][1-=⇒-∈⇔≤≤-⇔A x x []2][011)(≤≤⇔≤-x x x f ……………………☆，下面分区间进行分析： 当)1,0[∈x 时，[]0][0][0][=⇒=⇒=x x x x x ，满足☆，故)1,0[∈x 可以； 当)2,1[∈x 时，[]1][)2,1[][1][=⇒∈=⇒=x x x x x x ，满足☆，故)2,1[∈x 可以； 当),2[+∞∈x 时，[]4][42][2][≥⇒≥≥⇒≥x x x x x x ，不满足☆，故此时无解； 当)0,1[-∈x 时，[]0][]1,0(][1][=⇒∈-=⇒-=x x x x x x ，满足☆，故)0,1[-∈x 可以； 当)1,2[--∈x 时，]4,2(2][2][∈-=⇒-=x x x x ，为使[]2][≤x x ，则必须且只需)3,2(2∈-x ，即)1,23(--∈x ，即此时解集为)1,23(--∈x ；当)2,(--∞∈x 时，[]6][6][3][≥⇒>⇒-≤x x x x x ，不满足☆，故此时无解； 上述各种情况取并得到)2,23(-=B ；（2）先研究),0[n x ∈时函数)(x f 的值域中的元素个数，记为n b ，下研究n b 的递推关系： 因为)1,[+∈n n x 时，n x =][，),[][22n n n nx x x +∈=，其含有n n n n =-+22个正整数， 故n b b n n +=+1，由（1）知11=b ，叠加可得22112)1(2+-=++++-=n n n b n即当),0[n x ∈时函数)(x f 的值域中的元素个数为222+-n n于是当)2,0[n x ∈时函数)(x f 的值域中的元素个数为n n n n n a =+-=+---122222)2(1122（说明：也可直接研究1+n a 与n a 的关系） 于是：)2(,4138)22(21)122(21)12(21221112111111112≥⋅=+⋅≤-+⋅=-⋅=-=----------n a n n n n n n n n n n n n 第一项保留不动，从第二项起，利用上式放缩，得：)411(921)414141(38111111113221--+=+++⋅+≤-++-+-n n n a a a 911921=+<，证毕．111111241221)12(2122111------=⋅≤-⋅=-=-n n n n n n n n a 在保留前三个项（或更少项）时是证不出来的，需要至少保留前四项才可以证得出来,下面给出证明：19211201281611)414141(120128161111111115421++++<+++++++≤-++-+--n n a a a ，利用分析法得：919616011411811921120128192192112012816191119211201281611<++⇔<++⇔<+++⇔<++++72004914481506378635483078635481301126514191961601<⇔⨯<⨯⇔<⨯⇔<+⇔=-<+⇔，此式成立，证毕． Over 了．。
2020-2021学年重庆第一中学高一数学理月考试卷含解析
2020-2021学年重庆第一中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数零点个数为( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：C2. 函数在上的最大值为（）A．2 B．1 C． D．无最大值参考答案：3. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A．B．2 C．D．参考答案：A4. 设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：B【考点】对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出结论．【解答】解：∵，0＜log32＜1，lg（sin2）＜lg1=0．∴a＞1，0＜c＜1，b＜0．∴b＜c＜a．故选B．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．5. 一个算法的程序框图如上图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A．？ B．？C．？D．？参考答案：D6. 若函数f（x）=lnx+2x﹣3，则f（x）的零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性与连续性，利用零点判定定理求解即可．【解答】解：函数f（x）=lnx+2x﹣3，在x＞0时是连续增函数，因为f（1）=2﹣3=﹣1＜0，f（2）=ln2+4﹣3=ln2+1＞0，所以f（1）f（2）＜0，由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．故选：B．7. 下列函数中，周期为2π的是（）A．y=sin B．y=|sin| C．y=cos2x D．y=|sin2x|参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，函数y=|Asin（ωx+φ）|的周期为?，得出结论．【解答】解：由于函数y=sin的最小正周期为=4π，故排除A；根据函数y=|sin|的最小正周期为=2π，故B中的函数满足条件；由于y=cos2x的最小正周期为=π，故排除C；由于y=|sin2x|的最小正周期为?=，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，函数y=|Asin（ωx+φ）|的周期为?，属于基础题．8. 已知向量，，，的夹角为45°，若，则（）A. B. C. 2 D. 3参考答案：C【分析】利用向量乘法公式得到答案.【详解】向量，，，的夹角为45°故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.9. 设，，，则的大小关系是（）A． B. C. D.参考答案：C10. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象的解析式是（）A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果一个等差数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于 .参考答案：120略12. 已知一个扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为_________________.参考答案：略13. 已知tanα=3，则的值为．参考答案：【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=3，则==，故答案为：．14. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）参考答案：设该女子织布每天增加尺，由题意知，尺，尺又由等差数列前项和公式得，解得尺15. 幂函数的图象经过点，则的值为__________．参考答案：216. （5分）一个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3π，则正方体的棱长．参考答案：1考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先确定球的半径，再利用正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．解答：∵球的表面积为3π，∴球的半径为∵正方体的顶点都在一个球面上，∴正方体的对角线为球的直径设正方体的棱长为a，则∴a=1故答案为：1点评：本题考查球的内接几何体，考查学生的计算能力，属于基础题．17._______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
重庆一中2021届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
2020 年重庆一中高 2021 级高三上期第一次月考数学试题卷 2020.9本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟一、单项选择题。
本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {y |y =ln (1−x )} ， B = {y |y =√4−2x }，则 A ∩B= ( )A. [0，2)B. (0，2)C. [0，2]D. [0，1)2.a,b ∈(0,+∞)， A =√a +√b ， B =√a +b ，则 A ，B 的大小关系是() A. A<B B. A>B C. A ≤B D. A ≥ B3.已知直线 l 是曲线 y =√x +2x 的切线，则 l 的方程不可能是A.5x −2y +1=OB.4x −2y +1=OC.13x −6y +9=OD.9x − 4y + 4 = 04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。
一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1 ，画面中剩余部分的面积为S 2，当 S 1 与S 2的比值为√5−12 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为() A.(3−√5)π B. (√5−1)πC. (√5+1)πD. (√5−2)π 5. 若函数f (x )={a x ，2<x ≤a log a (x −2)，x >a(其中a >0,且a ≠1)存在零点，则实数 a 的取值范围是 A.(12,1)U (1,3) B.(1,3] C.(2，3) D.(2，3]6. 己知0<ω≤2，函数f (x )=sin (ωx )−√3cos (ωx )，对任意x ∈R ，都有f (π3−x)=−f (x )，则 ω 的值为() A. 12 B. 1 C.32 D. 27. 函数f (x )=2cos x +sin 2x 的一个个单调递减区间是()A.(π4,π2)B.(0,π6)C.(π2,π)D. (5π6,π) 8.设函数 f (x )在 R 上存在导数f ′(x )，对任意的 x ∈R ，有f (x )+f (−x )=2cos x ，且在 [0，+∞)上有f ′(x )>−sin x ，则不等式 f (x )−f (π2−x)≥cos x −sin x 的解集是A.(−∞,π4]B.[π4,+∞)C.(−∞,π6]D.[π6,+∞)二、多项选择题。
2020-2021学年重庆市某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年重庆市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列关系正确的是（）A.{0}∈{0, 1, 2}B.{0, 1}≠{1, 0}C.{0, 1}⊆{(0, 1)}D.⌀⊆{0, 1}2. 已知集合A＝{1, 3a}，B＝{a, b}，若A∩B={13}，则a2−b2＝（）A.0B.43C.89D.2√233. 设x>0，y>0，M=x+y1+x+y ，N=x1+x+y1+y，则M，N的大小关系是（）A.M＝NB.M<NC.M>ND.不能确定4. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a, b)=√a2+b2−a−b，那么φ(a, b)＝0是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知不等式ax2−bx−1≥0的解集是{x|−12≤x≤−13}，则不等式x2−bx−a<0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|x<2或x>3}C.{x|13<x<12}D.{x|x<13x>12}6. 若a>0，b>0且a+b＝7，则4a +1b+2的最小值为（）A.89B.1 C.98D.102777. 关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A.−2<a≤−1或3≤a<4B.−2≤a≤−1或3≤a≤4C.−2≤a<−1或3<a≤4D.−2<a<−1或3<a<48. 下列说法正确的是（）A.若命题p，￢q都是真命题，则命题“(￢p)∨q”为真命题B.命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”与命题“若x＝2且y＝3，则x+y＝5”真假相同C.“x＝−1”是“x2−5x−6＝0”的必要不充分条件D.命题“∀x>1，2x>0”的否定是“∃x0≤1，2x0≤0”二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）下列各不等式，其中不正确的是（）A.a2+1>2a(a∈R)B.|x+1x|≥2(x∈R,x≠0)C.√ab ≥2(ab≠0) D.x2+1x2+1>1(x∈R)下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有（）A.x<1B.0<x<1C.−1<x<0D.−1<x<1下列命题正确的是（）A.∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0B.∀a∈R，∃x∈R，使得ax>2C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件D.若a≥b>0，则a1+a ≥b1+b给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A.集合M＝{−4, −2, 0, 2, 4}为闭集合B.正整数集是闭集合C.集合M＝{n|n＝3k, k∈Z}为闭集合D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知集合A＝{x∈Z|x2−4x+3<0}，B＝{0, 1, 2}，则A∩B＝________．若“x>3”是“x>a“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．若不等式ax2+2ax−4<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．已知x>0，y>0，且x+3y＝xy，若t2+t<x+3y恒成立，则实数t的取值范围是________四、解答题：（本大题共6小题，共70分。
重庆市第一中学2021届高三下学期第一次月考数学(理)试题(pdf版,无答案)
3 2绝密★启用前注意事项：高 2020 级高三下期第一次月考数学试题卷(理科)1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题)一、选择题：本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1．设 z =11+ i+ i (其中i 是虚数单位),则 z = （ ）A ．1 B ．222C ．32D ．22.已知命题 p 为真命题，命题 q 为假命题．在命题① p ∧ q ；② p ∨ q ；③ p ∧ (⌝q ) ；④ (⌝p ) ∨ q 中，真命题是( )A ．① ③B ．① ④C ．② ③D ．② ④3.已知函数 f (x ) = 2x - 3,若在[-2,5] 上随机取一个实数 x ,则 f (x ) ≥1 的概率为（ ）x -11 3A ．B ．7746C ．D ．774．等比数列{ a n }中， a 4 = 2 ， a 7 = 5 ，则数列{ lg a n }的前 10 项和等于( )A ．2B ．lg 50C ．5D ．105.若函数 f (x ) = log [(2a -1) x + 3]⎛ a ≠1 ⎫的定义域为R ,则下列叙述正确的是（ ）12 ⎪ 3⎝⎭A. f (x ) 在 R 上是增函数B. f (x ) 在R 上是减函数C. f (x ) 在⎛ 1 , +∞ ⎫上是减函数 D. f (x ) 在[0, +∞) 上是增函数2 ⎪ ⎝ ⎭x 2 y 26. 设 F 1 , F 2 分 别 是 双 曲 线 C : a 2 - b 2 = 1(a > 0, b > 0) 的 左 右 焦 点 ， 点 M (a ,b ) ，∠MF 1 F 2 = 30︒ ，则双曲线的离心率为（）A. 4B. C. D. 27.已知甲、乙、丙三人中,一人是公务员,一人是医生,一人是教师.若丙的年龄比教师的年龄大; 甲的年龄和医生的年龄不同;医生的年龄比乙的年龄小.则下列判断正确的是（ ）3 A ．甲是公务员，乙是教师，丙是医生 B ．甲是教师，乙是公务员，丙是医生 C ．甲是教师，乙是医生，丙是公务员D ．甲是医生，乙是教师，丙是公务员8. 一个几何体的平面展开图如右图所示，其中四边形 ABCD 为正方形， E 、 F 分别为PB 、 PC 的中点，在此几何体中，下面结论中一定正确的是()A.直线 AE 与直线 DF 平行B.直线 AE 与直线 DF 异面C.直线 BF 和平面 PAD 相交D.直线 DF ⊥ 平面 PBC9.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在 A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节， 另外一节上自习，则他不同的选课方法有( ) 第一节 第二节 第三节 第四节 地理 B 层 2 班 化学 A 层 3 班 地理 A 层 1 班 化学 A 层 4 班 生物 A 层 1 班 化学 B 层 2 班 生物 B 层 2 班 历史 B 层 1 班 物理 A 层 1 班 生物 A 层 3 班 物理 A 层 2 班 生物 A 层 4 班 物理 B 层 2 班 生物 B 层 1 班 物理 B 层 1 班 物理 A 层 4 班 政治 1 班 物理 A 层 3 班 政治 2 班 政治 3 班 A ．8 种B ．10 种C ．12 种D ．14 种10．下列说法中正确的个数是()(1)已知沙坪坝明天刮风的概率 P(A)=0.5,下雨的概率 P(B)=0.3,则沙坪坝明天又刮风又下雨的概率 P(AB)=P(A)P(B)=0.15.(2)命题 p :直线ax + y +1 = 0 和3x + (a - 2) y - 3 = 0 平行; 命题 q : a = 3 . 则 q 是 p 的必要条件.(3) 502019 +1被7 除后所得的余数为5(4) 已知i 是虚数单位, x , y ∈ R ,复数 z = x + yi , z 1 = 3 - 4i , | z - z 1 |= 1,则| z |的最小值是 2.A ．1B ．2C ．3D ．4 11．已知a , b 为单位向量，则| a + b | + | a - b |的最大值为（ ） A ． 2 B ． 2 C ． + 1D ．323yn n -1 A 12．已知曲线 f (x ) = -x 3 + ax 2 - 2x 与直线 y = kx -1相切，且满足条件的k 值有且只有 3 个，则实数a 的取值范围是（）A ． [2, +∞)B ． (2, +∞)C ． [3, +∞)D ． (3, +∞)第 II 卷（非选择题)二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.各题答案必须填写在答题卷相应位置上，只填结果，不要过程.13.已知公差不为 0 的等差数列{ a }中, a , a , a 依次成等比数列,则a 5 = ．n125114.若椭圆x 2 m + 6 2- = 1(-6 < m < -3) 上的点到两焦点距离之和为 4，则该椭圆的短轴长 m为.g (x ) = 0n 11 1n -1 222n -2nnn 015.已知C n f ( n )x (1- x ) + C n f ( n )x (1- x ) + C n f ( n)x (1- x ) + + C n f ( n )x (1- x ) ,其中 f (x ) = x .若r ≥1时,有 rC r= nC r -1成立,则 g (6) = .16．如图，在四棱锥 E - ABCD 中， EC ⊥ 底面 ABCD ， FD / /EC ，底面 ABCD 为矩形，G 为线段 AB 的中点， CG ⊥ DG ，CD = DF = CE = 2 ，则四棱锥 E - ABCD 与三棱锥 F - CDG 的公共部分的体积为．三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内.必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.17．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = (4cos 2x - 2)sin 2x + cos 4x .（1）求 f (x ) 的最小正周期及最大值．（2）设 A , B ,C 为∆ABC 的三个内角，若cos B =, f ( ) = -1 ,且角 A 为钝角，求sin C 的值. 3218．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形， PA ⊥ 平面 ABCD ， PA = AB ， M 是 PC 上一点，且 BM ⊥ PC .（1）求证： PC ⊥ 平面 MBD ；（2）求直线 PB 与平面 MBD 所成角的正弦值.2 2 a19．（本小题满分12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100 颗芯片，所调查的芯片得分均在[7，19]内,将所得统计数据分为如下[7,9),[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17),[17,19]六个小组，得到如图所示的频率分布直方图，其中a -b = 0.06 ．（1）求这100 颗芯片评测分数的平均数;（2）芯片公司另选100 颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3 个工程手机中进行初测。
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2020 年重庆一中高 2021 级高三上期第一次月考
数学试题卷 2020.9
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、单项选择题。
本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题目要求的.
1. 设集合 A = {y |y =ln (1−x )} ， B = {y |y =√4−2x }，则 A ∩B= ( )
A. [0，2)
B. (0，2)
C. [0，2]
D. [0，1)
2.a,b ∈(0,+∞)， A =√a +√b ， B =√a +b ，则 A ，B 的大小关系是(
) A. A<B B. A>B C. A ≤B D. A ≥ B
3.已知直线 l 是曲线 y =√x +2x 的切线，则 l 的方程不可能是
A.5x −2y +1=O
B.4x −2y +1=O
C.13x −6y +9=O
D.9x − 4y + 4 = 0
4.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。
一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1 ，画面中剩余部分的面积为S 2，当 S 1 与S 2的比值为
√5−12 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为(
) A.(3−√5)π B. (√5−1)π
C. (√5+1)π
D. (√5−2)π 5. 若函数f (x )={a x ，2<x ≤a log a (x −2)，x >a
(其中a >0,且a ≠1)存在零点，则实数 a 的取值范围是 A.(12,1)U (1,3) B.(1,3] C.(2，3) D.(2，3]
6. 己知0<ω≤2，函数f (x )=sin (ωx )−√3cos (ωx )，对任意x ∈R ，都有f (π3−x)=−f (x )，则 ω 的值
为(
) A. 12 B. 1 C.32 D. 2
7. 函数f (x )=2cos x +sin 2x 的一个个单调递减区间是(
)
A.(π4,π2)
B.(0,π6)
C.(π2,π)
D. (5π6
,π) 8.设函数 f (x )在 R 上存在导数f ′(x )，对任意的 x ∈R ，有f (x )+f (−x )=2cos x ，且在 [0，+∞)上有f ′(x )>−sin x ，则不等式 f (x )−f (π2−x)≥cos x −sin x 的解集是
A.(−∞,π4]
B.[π4,+∞)
C.(−∞,π6]
D.[π6,+∞)
二、多项选择题。
本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.已知ΔABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c 且 sin 2B =sin A sin C ，则角 B 的值不可能是( )
A.450
B.600
C. 75°
D. 90°
10.下列说法正确的是( )
A “x =π4”是“tan x =1”的充分不必要条件: B. 命题 P : “若a >b ，则am 2>bm 2” 的否定是真命题:
C.命题“∃x 0∈R ，x 0+1
x 0≥2”的否定形式是“∀x ∈R ，x +1x
≥2” D. 将函数f (x )=cos 2x +x 的图像向左平移π4个单位长度得到 g(x)的图像，则 g(x)的图像关于点(0,π4)对称
11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成 一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家 鲁伊兹·布劳威尔 (L.E.J. Brouwer) ，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )存在 一个点x 0，使得 f (x 0)=x 0，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为 “不动点函数”的是
A.f (x )=2x +x
B.f (x )=x 2−x −3
C.f (x )={2x 2−1,x ≤1|2−x |,x >1
D. f (x )=ln x −1 12. 已知函数f (x )=sin [cos x ]+cos [sin x ]，其中 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数，关于f (x )有下述四个结论，正确的是
A.f (x )的一个周期是2π
B.f (x )是非奇非偶函数
C.f (x )在(0,π)上单调递减
D.f (x )的最大值大于√2
三、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分.
13. 若幂函数f (x )过点 (2，8)，则满足不等式f (a −3)≤f (1−a )的实数 α 的取值范围是
14. 已知a > 1，b > 1 ，则2log a b +16log b a 的最小值是
15. 化简:4cos50°−tan 400=
16. 在ΔABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.若 b =2 。
cos 2A +5cos (B +C )=−3，点P 是ΔABC 的重心，且AP =
2√73，则c=
四、解答题。
本大题共 6 小题，共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分〉己知点 P(−2，1)在角 α 的终边上，且0≤α<2π
(1)求值：2sin α−cos α
4sin α+cos α
(2)若 π<β<
3π2，且sin (β−α2)=√1010，求β+α2的值
18. （本小题满分12分）已知函数f(x)=2sin2(x+π
4
)−√3cos2x
(1)当x∈[π
4,π
2
]时，求f(x)的值域；
(2) 是否存在实数t∈(2,+∞)，使得 f(x) 在(2,t)上单调递增?若存在，求出 t 的取值范围，若不存在，说明理由。
19. (本小题满分 12 分)己知a∈R，函数f(x)=ax−1−ln x在 x=1 处取得极值 .
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx−2恒成立，求实数 b 的最大值。
20. (本小题满分 12 分〉已知函数f(x)=x|1−ax|，其中a>0
的解集；
(1 )求关于 x的不等式f(x)>2
a
，求x∈[0,m]时，函数f(x)的最大值
(2) 若a=1
2。