信号与系统实验6讲义

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实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
6.4
实验要求
6.4 实验要求
1. 在 MATLAB 中编写和运行程序，记录程序和运行结果，按要求将整理后的电 子文档上传。 2. 规范化撰写实验报告。在实验报告中简述实验目的和原理，列出自编的程序， 给出实验结果，附上相应的信号波形曲线，总结实验得出的主要结论。
可得到并画出各个时刻ht的值。 2. 部分分式展开 用 MATLAB 的residue函数可直接求出有理分式的部分分式展开：
n ∑
N ( s) j=0 H ( s) = = m ∑ D ( s)
i=0
bjsj = ai si
m ∑ i=1
∑ ki + cjsj . s − pi j=0
m−n
如果有理分式的分子或分母存在多项式相乘的情况，可先用卷积函数conv实 现多项式相乘。例如将 H ( s) = 部分分式展开，只需
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6.2
实验原理
b = [0 1 0];
2
实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
a = [1 2 5]; sys = tf(b,a);
4
p = pole(sys); z = zero(sys);
6
pzmap(sys); axis ([-2 1 -3 3]);
可求得并画出 H ( s) =
s s2 +2 s+5
8
yt = dsolve(D2y+5*Dy+6*y==Dx+5*x, y(0)==27, Dy(0)==-30)
注意在使用某些低版本的 symbolic math toolbox 时，以上程序的第一行定义 符号函数y(t)和x(t)的命令可能会给出出错信息，后面各行的语法上也有差 别，可改用以下的程序：
的零、极点图，如图6.1所示。
Pole−Zero Map
3 Imaginary Axis (seconds−1) 2 1 0 −1 −2 −3 −2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Real Axis (seconds−1)
图 6.1 零、极点图
对于因果系统，根据极点分布即可确定系统的稳定性。系统的单位冲激响应 h(t) 可直接用impulse函数求得；对于稳定系统，系统的频率响应可用freqs函 数求得。 4. 系统的响应 LTI 系统的响应可以用 control system toolbox 提供的lsim函数来求解（见实验 三） 。这里仍以实验三的例题为例，介绍另外两种利用 symbolic math toolbox 的方法：拉普拉斯变换方法和求解常微分方程方法。 例 已知系统的微分方程为 y′′ (t) + 5y′ (t) + 6y (t) = x′ (t) + 5 x (t)，输入信号为 x (t) = 5 sin tu(t)，系统的初始条件为 y(0− ) = 27, y′ (0− ) = −30，求系统的零输 入相应、零状态响应和全响应。 解 方法一 （拉普拉斯变换）系统的零状态响应可通过拉普拉斯变换求得：
b = conv ([1 1],[1,3]);
2
( s + 1) ( s + 3) s ( s + 2) ( s + 4)
a = conv ([1 0],[1 2]); a = conv (a,[1 4]);
4
[k,p,c]= residue (b,a);
即可。结果为 H ( s) = 3. 系统的零、极点分析 用 MATLAB 的控制系统工具箱 control system toolbox 提供的tf、pole、zero以 及pzmap等函数可直接求出系统函数的零、极点，并画出零、极点图。例如 31 1 1 3 1 + + . 8s 4s+2 8s+4
syms t s;
2
% Define
symbolic variables
xt = exp (-2*t)* cos ( pi *t); Xs = laplace(xt)
4
Hs = 9*s^2/(s^2+2*s+10); ht = ilaplace(Hs)
s+2 可直接求得 e−2t cos (πt) u (t) 的拉普拉斯变换的数学表达式为 ( s+2) ，以及 2 +π2 ) ( 9 s2 的拉普拉斯逆变换的数学表达式为 9δ (t) − 18e−t cos 3t + 4 sin 3t u (t)。 s2 +2 s+10 3
系统的复频域分析 拉普拉斯变换是分析连续时间系统的重要工具。系统单位冲激响应的拉普拉斯 变换 H ( s) 称为系统函数。如果系统是有理的，则通过分析系统的零、极点可以得 到系统稳定性、因果性等信息，对于有理系统，对系统的微分方程取单边拉普拉斯 变换，可以计入系统的初始条件，直接求出系统的系统的全响应。
实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
6.1 实验目的
1. 理解连续时间信号的拉普拉斯变换及其逆变换； 2. 掌握连续时间信号和系统的复频域分析方法； 3. 使用 MATLAB 分析连续时间信号和系统的复频域特性，实现系统的零极点分 析、稳定性分析和系统函数的求解； 4. 了解 symbolic math toolbox 工具箱的基本用法。
syms y(t) x(t);
2
x = 5* sin (t); Dx = diff (x);
4
Dy = diff (y); D2y = diff (y,2);
6
yzit = dsolve(D2y+5*Dy+6*y==0, y(0)==27, Dy(0)==-30) yzst = dsolve(D2y+5*Dy+6*y==Dx+5*x, y(0)==0, Dy(0)==0)
MATLAB 的应用 MATLAB 提供了一系列的工具和函数帮助我们进行信号和系统的复频域分析： 1. 信号的拉普拉斯及逆变换 MATLAB 的符号运算工具箱 symbolic math toolbox 提供了能直接求解单边信 号拉普拉斯变换及逆变换的数学表达式的函数，分别为laplace和ilaplace函 数。例如
s3
+ (3/2)
s2
(a) 分别对系统函数进行部分分式展开，求出系统的单位冲激响应 h(t) 和 g(t)，画出其时域波形。h(t) 和 g(t) 有什么关系？ (b) 画出系统的零、极点分布图，判断系统的稳定性。 4. 已知某因果 LTI 系统的微分方程为 y′′ (t) + 3y′ (t) + 2y (t) = x (t)，系统的初始 条件为 y(0− ) = 3, y′ (0− ) = −5，输入信号为 x (t) = 2u(t)。 (a) 求出系统在初始松弛条件下的单位冲激响应和单位阶跃响应； (b) 根据系统的初始条件和输入求出系统的零输入相应、零状态响应和全响 应。
0−
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6.2
实验原理
实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
拉普拉斯逆变换 拉普拉斯逆变换的定义式为 1 x (t) = 2π j ∫
σ+ j∞
σ − j∞
X ( s) e st ds .
通常 X ( s) 是有理函数，可用部分分式展开的方法将其分解为低价分式的线性组合， 根据收敛域确定各分式的拉普拉斯逆变换，从而求出 x(t)。
6.2 实验原理
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换可用来分析非绝对可积的信号、非稳定系统等一些用傅里叶变换 不能解决的问题。它的定义式为 ∫ X ( s) =
−∞ ∞
x (t) e− st dt ,
其中复变量 s = σ + jω 称为复频率，(σ, jω) 构成的复平面称为 s 平面。X ( s) 是复 频率 s 的复函数。拉普拉斯变换存在收敛域（ROC） ，即 σ = Re { s} 有一定的选取 范围，不同的选取范围对应不同的时间信号。在 s 平面 ROC 的边界是平行于 jω 轴 的区域。当信号拉普拉斯变换的 ROC 包含 jω 轴时，信号的傅里叶变换收敛。 如果研究的是 0− 系统，则有单边拉普拉斯变换 ∫ ∞ X ( s) = x (t) e− st dt .
syms t y;
2
yzit = dsolve('D2y+5*Dy+6*y=0',... 'y(0)=27', 'Dy(0)=-30','t')
4
yzst = dsolve('D2y+5*Dy+6*y=5*cos(t)+25*sin(t)',... 'y(0)=0', 'Dy(0)=0', 't')
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实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
syms t s;
2
6.2
实验原理
Hs = (s+5)/(s^2+5*s+6); xt = 5* sin (t);
4
Xs = laplace(xt); yzst = ilaplace(Hs*Xs);
方法二 （符号运算求解常微分方程）系统的响应可以用函数dsolve来求解：
lx=matlabFunction(Xs);
某些低版本的 symbolic math toolbox 中可能没有提供matlabFunction函数， 此时可以用subs函数将自变量（或参量）的值代入函数，例如对于上面求出 的ht，以下的程序
t=0:0.1:10; fht=subs(ht); plot (t,fht);
其中第一行的syms用来生成符号变量和函数。注意这里得到的结果也是符号 对象。如果要计算函数的值，可以用matlabFunction将符号表达式转换为相应 的函数，例如62Fra bibliotek实验六