信号与系统实验6讲义

63
6.2
实验原理
b = [0 1 0];
2
实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
a = [1 2 5]; sys = tf(b,a);
4
p = pole(sys); z = zero(sys);
6
pzmap(sys); axis ([-2 1 -3 3]);
可求得并画出 H ( s) =
s s2 +2 s+5
系统的复频域分析 拉普拉斯变换是分析连续时间系统的重要工具。系统单位冲激响应的拉普拉斯 变换 H ( s) 称为系统函数。如果系统是有理的，则通过分析系统的零、极点可以得 到系统稳定性、因果性等信息，对于有理系统，对系统的微分方程取单边拉普拉斯 变换，可以计入系统的初始条件，直接求出系统的系统的全响应。
8
yt = dsolve(D2y+5*Dy+6*y==Dx+5*x, y(0)==27, Dy(0)==-30)
注意在使用某些低版本的 symbolic math toolbox 时，以上程序的第一行定义 符号函数y(t)和x(t)的命令可能会给出出错信息，后面各行的语法上也有差 别，可改用以下的程序：
0−
61
6.2
实验原理
实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
拉普拉斯逆变换 拉普拉斯逆变换的定义式为 1 x (t) = 2π j ∫
σ+ j∞
σ − j∞
X ( s) e st ds .
通常 X ( s) 是有理函数，可用部分分式展开的方法将其分解为低价分式的线性组合， 根据收敛域确定各分式的拉普拉斯逆变换，从而求出 x(t)。
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实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
syms t s;
2
6.2
实验原理
Hs = (s+5)/(s^2+5*s+6); xt = 5* sin (t);
4
Xs = laplace(xt); yzst = ilaplace(Hs*Xs);
方法二 （符号运算求解常微分方程）系统的响应可以用函数dsolve来求解：
b = conv ([1 1],[1,3]);
2
( s + 1) ( s + 3) s ( s + 2) ( s + 4)
a = conv ([1 0],[1 2]); a = conv (a,[1 4]);
4
[k,p,c]= residue (b,a);
即可。结果为 H ( s) = 3. 系统的零、极点分析 用 MATLAB 的控制系统工具箱 control system toolbox 提供的tf、pole、zero以 及pzmap等函数可直接求出系统函数的零、极点，并画出零、极点图。例如 31 1 1 3 1 + + . 8s 4s+2 8s+4
lx=matlabFunction(Xs);
某些低版本的 symbolic math toolbox 中可能没有提供matlabFunction函数， 此时可以用subs函数将自变量（或参量）的值代入函数，例如对于上面求出 的ht，以下的程序
t=0:0.1:10; fht=subs(ht); plot (t,fht);
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6
yt = dsolve('D2y+5*Dy+6*y=5*cos(t)+25*sin(t)',... 'y(0)=27', 'Dy(0)=-30','t')
使用符号运算的好处是可以求得解析式（但对于较复杂的问题，可能不一定 能求得显式的和准确的解析式） ，本例求得的解析结果是： yzi (t) = 51e−2t − 24e−3t yzs (t) = 3e−2t − e−3t − 2 cos t + 3 sin t y (t) = 54e−2t − 25e−3t − 2 cos t + 3 sin t = yzi (t) + yzs (t) 以下的脚本可画出和图3.4相同的结果：
实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
6.1 实验目的
1. 理解连续时间信号的拉普拉斯变换及其逆变换； 2. 掌握连续时间信号和系统的复频域分析方法； 3. 使用 MATLAB 分析连续时间信号和系统的复频域特性，实现系统的零极点分 析、稳定性分析和系统函数的求解； 4. 了解 symbolic math toolbox 工具箱的基本用法。
MATLAB 的应用 MATLAB 提供了一系列的工具和函数帮助我们进行信号和系统的复频域分析： 1. 信号的拉普拉斯及逆变换 MATLAB 的符号运算工具箱 symbolic math toolbox 提供了能直接求解单边信 号拉普拉斯变换及逆变换的数学表达式的函数，分别为laplace和ilaplace函 数。例如
6.2 实验原理
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换可用来分析非绝对可积的信号、非稳定系统等一些用傅里叶变换 不能解决的问题。它的定义式为 ∫ X ( s) =
−∞ ∞
x (t) e− st dt ,
其中复变量 s = σ + jω 称为复频率，(σ, jω) 构成的复平面称为 s 平面。X ( s) 是复 频率 s 的复函数。拉普拉斯变换存在收敛域（ROC） ，即 σ = Re { s} 有一定的选取 范围，不同的选取范围对应不同的时间信号。在 s 平面 ROC 的边界是平行于 jω 轴 的区域。当信号拉普拉斯变换的 ROC 包含 jω 轴时，信号的傅里叶变换收敛。 如果研究的是 0− 系统，则有单边拉普拉斯变换 ∫ ∞ X ( s) = x (t) e− st dt .
可得到并画出各个时刻ht的值。 2. 部分分式展开 用 MATLAB 的residue函数可直接求出有理分式的部分分式展开：
n ∑
N ( s) j=0 H ( s) = = m ∑ D ( s)
Leabharlann Baidui=0
bjsj = ai si
m ∑ i=1
∑ ki + cjsj . s − pi j=0
m−n
如果有理分式的分子或分母存在多项式相乘的情况，可先用卷积函数conv实 现多项式相乘。例如将 H ( s) = 部分分式展开，只需
其中第一行的syms用来生成符号变量和函数。注意这里得到的结果也是符号 对象。如果要计算函数的值，可以用matlabFunction将符号表达式转换为相应 的函数，例如
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实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
matlabFunction(Xs,'file','lx.m');
6.2
实验原理
可在当前目录下新建一个lx.m文件，通过调用lx函数即可得到函数值。或者 可直接生成一个虚拟函数句柄供后面的程序调用：
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实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
6.4
实验要求
6.4 实验要求
1. 在 MATLAB 中编写和运行程序，记录程序和运行结果，按要求将整理后的电 子文档上传。 2. 规范化撰写实验报告。在实验报告中简述实验目的和原理，列出自编的程序， 给出实验结果，附上相应的信号波形曲线，总结实验得出的主要结论。
s3
+ (3/2)
s2
(a) 分别对系统函数进行部分分式展开，求出系统的单位冲激响应 h(t) 和 g(t)，画出其时域波形。h(t) 和 g(t) 有什么关系？ (b) 画出系统的零、极点分布图，判断系统的稳定性。 4. 已知某因果 LTI 系统的微分方程为 y′′ (t) + 3y′ (t) + 2y (t) = x (t)，系统的初始 条件为 y(0− ) = 3, y′ (0− ) = −5，输入信号为 x (t) = 2u(t)。 (a) 求出系统在初始松弛条件下的单位冲激响应和单位阶跃响应； (b) 根据系统的初始条件和输入求出系统的零输入相应、零状态响应和全响 应。
的零、极点图，如图6.1所示。
Pole−Zero Map
3 Imaginary Axis (seconds−1) 2 1 0 −1 −2 −3 −2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Real Axis (seconds−1)
图 6.1 零、极点图
对于因果系统，根据极点分布即可确定系统的稳定性。系统的单位冲激响应 h(t) 可直接用impulse函数求得；对于稳定系统，系统的频率响应可用freqs函 数求得。 4. 系统的响应 LTI 系统的响应可以用 control system toolbox 提供的lsim函数来求解（见实验 三） 。这里仍以实验三的例题为例，介绍另外两种利用 symbolic math toolbox 的方法：拉普拉斯变换方法和求解常微分方程方法。 例 已知系统的微分方程为 y′′ (t) + 5y′ (t) + 6y (t) = x′ (t) + 5 x (t)，输入信号为 x (t) = 5 sin tu(t)，系统的初始条件为 y(0− ) = 27, y′ (0− ) = −30，求系统的零输 入相应、零状态响应和全响应。 解 方法一 （拉普拉斯变换）系统的零状态响应可通过拉普拉斯变换求得：
syms y(t) x(t);
2
x = 5* sin (t); Dx = diff (x);
4
Dy = diff (y); D2y = diff (y,2);
6
yzit = dsolve(D2y+5*Dy+6*y==0, y(0)==27, Dy(0)==-30) yzst = dsolve(D2y+5*Dy+6*y==Dx+5*x, y(0)==0, Dy(0)==0)
6
6.3 实验内容
( ) π 1. 已知单边信号 x (t) = e−3t cos 2t + 3 u (t)，试计算其拉普拉斯变换的解析式。 2. 求 4 s3 − 6 s2 − 3 s + 4 X ( s) = 4 , Re { s} > 0 s − 4 s3 + 5 s2 − 2 s
的拉普拉斯反变换。 （注意：对于较为复杂的运算，符号运算可能不一定得到 正确的结果。 ） 3. 已知两个因果 LTI 系统的系统函数为 H ( s) = 和 G ( s) = s3 s (2 s + 1) . + (3/2) + (13/16) s + (5/16) s2 2s + 1 + (13/16) s + (5/16)
syms t s;
2
% Define
symbolic variables
xt = exp (-2*t)* cos ( pi *t); Xs = laplace(xt)
4
Hs = 9*s^2/(s^2+2*s+10); ht = ilaplace(Hs)
s+2 可直接求得 e−2t cos (πt) u (t) 的拉普拉斯变换的数学表达式为 ( s+2) ，以及 2 +π2 ) ( 9 s2 的拉普拉斯逆变换的数学表达式为 9δ (t) − 18e−t cos 3t + 4 sin 3t u (t)。 s2 +2 s+10 3
syms t y;
2
yzit = dsolve('D2y+5*Dy+6*y=0',... 'y(0)=27', 'Dy(0)=-30','t')
4
yzst = dsolve('D2y+5*Dy+6*y=5*cos(t)+25*sin(t)',... 'y(0)=0', 'Dy(0)=0', 't')
tt = 0:0.01:10;
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6.3
实验内容
2
实验六
连续时间信号和系统的复频域分析
fyzit = matlabFunction(yzit); fyzst = matlabFunction(yzst);
4
fyt = matlabFunction(yt); plot (tt,fyzit(tt),'r:',tt,fyzst(tt),'g--',tt,fyt(tt)); xlabel ('Time ␣(seconds)'); ylabel ('Amplitude'); legend ('Zero ␣ Input ␣ Response','Zero␣ State ␣ Response','Total ␣ Response');