地球潮汐理论涨潮高度计算公式的质疑

地球潮汐理论涨潮高度计算公式的质疑

我撰写的《地下熔岩层厚度及平均流速的计算》一文最近在本栏目发布后，读者王万欣先生曾询问我其中计算地球涨潮高度的公式(1)的出处；我如实告诉他该公式我是在30多年前，在北京图书馆有关潮汐理论的书籍中抄录得来的；当时忘记记录出处，现已无从考查。他反问说，既然是重要理论计算的通用公式，就不可能只在某一本书中有，其它书本上就没有。我感觉他似乎怀疑我在作假，我又没有什么方法辩解，所以决定自己亲自来推导这个公式，以证明我的清白；同时觉得这样重要的公式竟然在别的有关书籍中都找不到，也有再推导的必要。经过几天思考和计算，推导终于成功；证明该公式是完全正确的。但却发现，相关的体潮落差的计算公式有严重问题，其计算误差超过一个数量级。现将有关分析计算介绍于下，供大家参考，并希望批评指正。

1.对地球涨潮高度计算公式的推导

现以太阴潮为例进行有关推导。如图1所示，S为地球表面一动点，它与地心的向径与地月向径的夹角为θ。F1为该点单位质量物质所受月球引力，因夹角α的最大值小于1度，故可近似看作它与地月向径平行。F2为S点单位质量物质受地球绕地月公转轴线旋转所产生的离心力。r为S点离地球中心线的垂直距离。r0为地月共同质心与地心的距离。R为地球半径。

为简化涨潮高度的计算，现假设地球表面为理想光滑的球面，全球覆盖较厚的粘度很小的海水。在地心处单位质量物质所受月球引力与地球公转离心力完全相等，故可

得：

式中ω1：地球绕地月公转轴线旋转的角速度(s-1)；G：引力常数，等于 6.685×10-11m3·s-2·kg-1；M：月球质量，等于7.35×1022kg；L：地月距离，等于3.84×108m。F1及F2分别在S点向径上的分量F1S和F2S可按下列两式计

算：

将(1)式代入(3)式可得：

(2)式及(4)式分别对θ求微商可得：

按上列两式求得的向量之和，应等于大小相同方向相反的单位质量物质所受重力g对θ的微商才能保持平衡，故可得：

由于(5)式分母中小括号内的后一项远小于1，故将小括号部分展开成级数，并略去所有高次项，使公式得以简化，然后将(5)式及(6)式代入上式并整理后可得：

上式右端小括号内中间一项因远小于前一项和后一项，故可忽略不计。然后两端积分可得：

上式左端积分号下本来应含有R-3h一项，但因它在整个积分区间的变化率不足百万分之几，故把它看作常数而移项到了右端。左端积分后实际就是随θ而变的涨潮高度，设它以

则(10)式可改写为：

分析上式可知，积分常数C就是θ=π/2时的涨潮高度。因此根据地球涨潮后总体积不变的条件可知，将地球半径取为(R+C)所求得的潮汐椭球体的体积，应与地球原来的体积相等。故根据所列出的等式即可解得积分常数C。

如图2所示，设地球半径为(R+C)，现用半锥角为θ及θ+dθ的两个圆锥面在潮峰上切取一环状微元体，那么该处潮汐高度h可按下式计算：

该环形微元体的体积可按下式计算：

两潮峰的体积可由上式在0~π区间内积分求得：

根据前面的设定可得如下等式：

由上式解得C值后，并忽略小括号中微小的后一项可得：

将上式代入（12）式可得地球月潮涨潮高度计算公式的最后表达式：

2. 对公式(18)及(11)的分析和讨论

公式(18)是按地月绕通过地月质心的公转轴线旋转(参看图1)推导出来的；但可以证明，该式同样适用于地球在垂直平面内起潮高度的计算。因此，地球涨潮后实际上是一个与其长轴旋转对称的椭球体。该公式和我在30多年前在北京图书馆抄录得来的公式是完全相同的；只是发现其中h0的计算公式，即(11)式有较大的问题。

公式(11)也可用于计算太阳潮落差，只要将有关参数作相应的改变即可。其中参数r0可根据地球绕太阳和地球共同质心公转离心力与受太阳引力相等的条件算出，约等于 1.484×1011m。从该式可算出h0=0.246m，这和按现有潮汐理论计算的结果不差丝毫。但按该式计算的太阴潮落差h0=15m，而按现有潮汐理论计算的结果为0.563m，前者比后者大了26倍。按同一公式计算出的结果，一个完全正确，一个相差非常悬殊，我认为不能用公式本身的问题来解释。那么，问题究竟出在哪里，下面我们用事实和观测结果来进行验证。

据“潮汐_百度百科”报导，杭州湾的最大潮差为8.93m，北美加拿大芬地湾的最大潮差为19.6m，这种实际与计算的差别目前尚无确切的解释；还报导说，世界上较大的潮差值约为13～15m，这和按(11)式计算的太阴潮落差(15m)非常接近。这也许是某种未知因素在推波助澜使潮差达到它应有的理论高度。但由于该式在推导时的假设条件与实际情相差太悬殊，从而使它在多数情况下远远达不到应有的理论高度。现将其理由叙述于下。

(1) 我们根据前面的理论推导过程发现，每kg海水所受月球最大起潮力仅为4.6×10-5N，不足所受重力的百万分之五；海面就是通过产生微小的斜率形成的压差来平衡该处起潮力的变化率的。据粗略计算，海面因月球起潮力引起的平均斜率不足百万分之二，就是靠这种微小的斜率，才使所假设的相当半个地球面积的海域内使海水逐步推高而形成15m高的潮峰。这说明潮差大小与海域面积有一定的比例关系。我们知道，世界上最大的太平洋的面积也不到半个地球面积的三分之一，其中正是产生高潮的赤道地带还分布着大量小岛；单是这一因素的影响就足以使其最大潮差比理论潮差降低一大半。据报导，与大西洋相通的地中海，几乎观察不到潮汐涨落现象，这可能就是因为它的面积太小的缘故。

(2) 当月球从美洲大陆进入太平洋上空时，要重新在太平洋上建立潮峰；但海水仅受到不足重力百万分之几的起潮力，要克服粘滞阻力、惯性力和岛屿的阻碍，在短短的几个小时内，经过行程数千千米向潮峰集中，其困难之大可想而知。单是这一因素的影响就足以使其最大潮差比理论潮差降低一个数量级。

(3) 据观测，地壳体潮潮差达0.5~0.8m，照理海底地壳潮差也应接近这一数值。那么，在海岛上即使观察不到涨潮，海面实际上已有0.5~0.8m的潮差；加上很多海岛上实际观察到0.9m 左右的潮差，其实际潮差已接近1.5m，远远超过按现有潮汐理论计算的结果(0.563m)。这证明这种理论计算结果一定存在很大的差错。

(4) 能流动自如的海水要涨潮都那么困难，比海水抗变形能力强千万倍的由岩石构成的固体地壳，在微弱的起潮力作用下要产生潮汐变形，更要难上加难。但其实测的体潮落差竟比按地球全部覆盖海洋的假设算出的潮汐落差还高，这实在是无法设想的怪事。

(5) 分析(11)式可知，影响潮汐落差大小的主要是该式小括号内的后一项。它反映地球绕地月共同质心旋转离心力的影响。对于太阳潮参数r0与L几乎相等，该项的数值接近于1/2，最后计算出的潮汐落差与现有理论计算结果完全相同；对于太阴潮，L接近为r0的80倍，该项的数值约为41，最后计算出的潮汐落差比现有理论计算结果大了约26倍。我怀疑是该公式计算有误，但经反复仔细核对，没有发现什么演算和理论错误。所以没有理由怀疑该公式的正确性。