高等数学-第六章-定积分的应用(1)

y
R
O R (x, y) x
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
边界方程 参数方程
极坐标方程
2. 平面曲线的弧长
弧微分: d s (d x)2 (d y)2
直角坐标方程 曲线方程 参数方程方程
极坐标方程 d s r 2 ( ) r2 ( ) d
3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积
x
例13. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
O x ax
则 V 2 a π y2 dx 0
(利用对称性)
2
π
b2 a2
a (a2 x2 ) dx
0
2
π
b2 a2
a
2
x
1 3
x3
a 0
4 π ab2 3
方法2 利用椭圆参数方程
y
Vx
2π a πy2 dx 2
0
π a πy2 dx
0
O
y πa 2πa x
2 π π a2 (1 cos t)2 a(1 cost) d t 0
利用对称性
2 π a3 π (1 cos t)3 d t 16 π a3 π sin6 t d t (令 u t )
0
02
2
32 π a3
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长
三、已知平行截面面积函数的 立体体积
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
y y f (x)
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
Oa x bx x dx
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
a2 2
1
3
3
2π 0
4 π3 a2 3
对应 从 0 变
2πa
O
x
d
例6. 计算心形线
面积 . 解:
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2
π
4
cos
4
d
0
2
令t
2
π
8a2 2 cos4t dt 0
3π a2 2
所围图形的
(利用对称性)
d
O
2a x
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
Fy
2 k m a
l 2
dx
0
(a2
x2
3
)2
y a M d Fx d Fay
k
m
a
a2
x
l 2
a2 x2
0
dF xdx
2k m l 1
l 2
O x lx
2
a 4a2 l 2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 .
故棒对质点的引力大小为
F
2k m
a
l
1
4a 2 l2
说明:
一段的弧长 .
解: ds r2( ) r2( ) d a2 2 a2 d
a 1 2 d
2πa
O
r
r a
2π
sa
1 2 d
0
a2
1 2 1 ln
2
1 2
2π 0
三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x
y b
O x ax
则
V 2
a
π
y2 dx
2π
ab2 sin3t d t
0
2 π ab2 2 1 3
4 π ab2 3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4 3
πa3 .
例14. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 0≤ t ≤2π
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R
30
y
Ox
R x
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) 2x y tan 2 tan y R2 y2
V 2 tan Ry R2 y2 dy 0
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注
例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
O xx d x1 x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
A
d
A 4
2
(
y
4
1 2
y
2
)
dy
O
yx4 x
(2, 2)
18
例3. 求椭圆
第六章 定积分的应用
利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
第一节
第六章
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
y
解:
ds
(
d d
xt )2
(
d d
y t
)
2
d
t
O
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
a 2(1 cos t) d t
2a sin t dt 2
s
2 0
π
2a
sin
t 2
d
t
2a
2
cos
t 2
2 0
π
8a
2πa x
例12. 求阿基米德螺线 r a (a 0)相应于 0≤≤2
π 2
sin 6
u
du
32 π a3
5
3
1
π
0
6422
5π2 a3
y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
x x1( y)
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
弧线段部分
3
1 1 4 y2 dy
直线段部分
3
dy
1
O 1
x2y3 0 x
x y2
作业
P284 3; 12; 18
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
dW F(x)dx
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
b
W a F (x) dx
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
y
1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,
b
此时引力大小为 2k m
y
a
方向与细棒垂直且指向细棒 .
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
R
P
R
0
2g
x
R2
x2
dx
2g R3 x
小窄3 条上各点的压强
pgx
说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 g (R x), 侧压力元素 dP 2 g (R x) R2 x2 dx ,
故端面所受侧压力为
4R g R R2 x2 dx 0 令 x R sin t
奇函数
4R g x R2 x2 R2 arcsin x R
因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A(x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V
b
π[
f
(
x)]2
dx
a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
O ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d π[( y)]2dy c
y
d
y x (y)
c
O
q 1 1
则功的元素为
dW
k r
q
2
d
r
O
a
r r dr b r
所求功为
kq
1 r
b
a
kq
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 .
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
O
x
例5. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解: A 2π 1 (a )2 d 02
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
面积为 A 的平板
所受侧压力问题就需用积分解决 .
例4. 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为
的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.
解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 方程为
(0 x R)
利用对称性 , 侧压力元素
dP 2 g x R2 x2 dx
O
x
y
xdx
端面所受侧压力为
旋转体的体积
绕 x 轴 : A(x) π y2
绕y轴:
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
提示: 交点为(1, 1), (9, 3), 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
y
A 3 (2y 3) y2 dy 32
1
3
3 y
s
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
O a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
y a M d Fx
[x , x d x] 对质点的引力大小为
d Fy
d
F
k
m dx
a2 x2
dF
故铅直分力元素为
d Fy dF cos
xdx
l 2
O x lx
2
k
m dx
a2 x2
a a2
x2
km a
(a2
dx
Baidu Nhomakorabea
x2
3
)2
棒对质点的引力的铅直分力为
2
2
R0
g R3
O
x
y
xdx
R
x
三、 引力问题
质量分别为
的质点 , 相距 r ,
m2
二者间的引力 :
r
大小:
m1
方向: 沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在
其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
O axxdx b x
例1. 计算两条抛物线 图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1) d A ( x x2)dx
1 3
在第一象限所围
y
y2 x (1,1) y x2
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
x a cos t y bsin t
(0 t 2 π)
y
b
O xxdxa x
应用定积分换元法得
4
ab
1 2
π 2
π ab
π
4ab 2 sin2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比 , 即
故作用在活塞上的
力为 功元素为 所求功为
S
O a x x dx b x
二、液体的侧压力
设液体密度为
深为 h 处的压强: p g h
• 当平板与水面平行时,
h
平板一侧所受的压力为
P pA
• 当平板不与水面平行时,