石子合并

动态规划案例

【石子合并】

在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。

试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

【输入文件】

包含两行，第1 行是正整数n（1<=n<=100），表示有n堆石子。

第2行有n个数，分别表示每堆石子的个数。

【输出文件】

输出两行。

第1 行中的数是最小得分；第2 行中的数是最大得分。

【输入样例】【输出样例】

4 43

4 4

5 9 54

【分析】

本题初看以为可以使用贪心法解决问题，但是事实上因为有必须相邻两堆才能合并这个条件在，用贪心法就无法保证每次都能取到所有堆中石子数最多的两堆。例如下面这个例子：

6

3 4 6 5 4 2

如果使用贪心法求最小得分，应该是如下的合并步骤：

第一次合并3 4 6 5 4 2 2,3合并得分是５

第二次合并5 4 6 5 4 5,4合并得分是9

第三次合并9 6 5 4 5,4合并得分是9

第四次合并9 6 9 9,6合并得分是15

第五次合并15 9 15,9合并得分是24

总得分＝5＋9＋9＋15＋24＝62

但是如果采用如下合并方法，却可以得到比上面得分更少的方法：

第一次合并3 4 6 5 4 2 3,4合并得分是7

第二次合并7 6 5 4 2 7,6合并得分是13

第三次合并13 5 4 2 4,2合并得分是6

第四次合并13 5 6 5,6合并得分是11

第五次合并13 11 13,11合并得分是24

总得分＝7＋13＋6＋11＋24＝61

由此我们知道本题是不可以使用贪心法求解的，上例中第五次合并石子数分别为13和11的相邻两堆。这两堆石头分别由最初的第1，2，3堆（石头数分别为3，4，6）和第4，5，6堆（石头数分别为5，4，2）经4次合并后形成的。于是问题又归结为如何使得这两个子序列的N－2次合并的得分总和最优。为了实现这一目标，我们将第１个序列又一分为二：第１、２堆构成子序列１，第３堆为子序列２。第一次合并子序列１中的两堆，得分７；第二次再将之与子序列２的一堆合并，得分13。显然对于第１个子序列来说，这样的合并方案是最优的。同样，我们将第２个子序列也一分为二；第４堆为子序列１，第５，６堆构成子序列２。第三次合并子序列２中的２堆，得分６；第四次再将之与子序列１中的一堆合并，得分13。显然对于第二个子序列来说，这样的合并方案也是最优的。由此得出一个结论──６堆石子经过这样的５次合并后，得分的总和最小。

动态规划思路：

阶段i：石子的每一次合并过程，先两两合并，再三三合并，...最后N堆合并

状态s：每一阶段中各个不同合并方法的石子合并总得分。

决策：把当前阶段的合并方法细分成前一阶段已计算出的方法，选择其中的最优方案

具体来说我们应该定义一个数组s[i,j]用来表示合并方法，i表示从编号为i的石头开始合并，j表示从i开始数j堆进行合并，s[i,j]为合并的最优得分。

对于上面的例子来说，初始阶段就是s[1,1],s[2,1],s[3,1],s[4,1],s[5,1],s[6,1]，因为一开始还没有合并，所以这些值应该全部为0。

第二阶段：两两合并过程如下，其中sum(i,j)表示从i开始数j个数的和

s[1,2]=s[1,1]+s[2,1]+sum(1,2)

s[2,2]=s[2,1]+s[3,1]+sum(2,2)

s[3,2]=s[3,1]+s[4,1]+sum(3,2)

s[4,2]=s[4,1]+s[5,1]+sum(4,2)

s[5,2]=s[5,1]+s[6,1]+sum(5,2)

s[6,2]=s[6,1]+s[1,1]+sum(6,2)

第三阶段：三三合并可以拆成两两合并，拆分方法有两种，前两个为一组或后两个为一组

s[1,3]=s[1,2]+s[3,1]+sum(1,3)或s[1,3]=s[1,1]+s[2,2]+sum(1,3)，取其最优

s[2,3]=s[2,2]+s[4,1]+sum(2,3)或s[1,3]=s[2,1]+s[3,2]+sum(2,3)，取其最优

第四阶段：四四合并的拆分方法用三种，同理求出三种分法的得分，取其最优即可。以后第五阶段、第六阶段依次类推，最后在第六阶段中找出最优答案即可。

由此得到算法框架如下：

For j←2 to n do {枚举阶段，从两两合并开始计算}

For i←1 to n do {计算当前阶段的n种不同状态的值}

For k←1 to j-1 do {枚举不同的分段方法}

begin

If i+k>n then t←(i+k) mod n else t←i+k {最后一个连第一个的情况处理}

s[i,j]←最优{s[i,k]+s[t,j-k]+sum[1,3]} {sum[i,j]表示从i开始数j个数的和}

end;

【问题描述】

在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。

【输入文件】

输入文件fruit.in包括两行，第一行是一个整数n（1 <= n <= 10000），表示果子的种类数。第二行包含n个整数，用空格分隔，第i 个整数ai（1 <= ai <= 20000）是第i种果子的数目。

【输出文件】

输出文件fruit.out包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于231。

【样例输入】【样例输出】

3 15

1 2 9

【数据规模】

对于30%的数据，保证有n <= 1000；对于50%的数据，保证有n <= 5000；对于全部的数据，保证有n <= 10000。

分析：

咋一看，觉得此题目和经典的石子合并很相似，其实不然，石子的合并必须是相邻的2堆，要按照一定得顺序进行合并，而果子合并则不需要是相邻的，可以采取以下的步骤进行合并：

（1）先将所有的数按从大到小的顺序排序，取最后两个数合并；（之所以从大到小排列，是为了方便后面的数组维护）

（2）将两个数的和插入到数组中，（插入排序）随时保持数组有序；（如果在整理数组的时候仍然调用快速排序，则速度会降慢，因为此时的数组是有序的，只需要将合并后的数放入到有序数组的适当位置，使用插入排序更合适。）

（3）合并过程中做数组维护，合并到一堆时结束