江苏省宿迁市高中数学第1章导数及其应用导数第4课时导数导学案(无答案)苏教版选修2-2

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高中数学第一章导数及其应用教案苏教版选修22

第一章导数及其应用1．1导数的概念1．1.1 平均变化率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型．2．过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．3．情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：平均变化率的概念．难点：平均变化率概念的形成过程．为了使得平均变化率概念的引入自然流畅，可创设实际问题情境，如气球吹气时的平均膨胀率、跳板跳水某段起跳后的平均速度，通过具体的实例提出问题；借助天气预报中某天气温的变化曲线，以形助数，让学生有一个直观的认识，然后从数学的角度，描述这种现象就一目了然了．(教师用书独具)●教学建议本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，要注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．●教学流程创设问题情境，提出问题，根据气球的平均膨胀率得出平均变化率的概念.⇒应用平均变化率的概念，完成例1及其变式训练.⇒实际问题中的平均变化率，完成例2及其变式训练.⇒通过例3及其变式训练，进一步理解平均变化率的意义及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.在吹气球时，气球的半径r(单位：dm )与气球空气容量(体积)V(单位：L )之间的函数关系是r(V)＝33V4π.1．当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？【提示】平均膨胀率为r （1）－r （0）1－0≈0.621＝0.62(dm /L )．2．当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？【提示】平均膨胀率为r （V 2）－r （V 1）V 2－V 1.一般地，函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，其中Δy＝f(x 2)－f(x 1)是函数值的改变量．如图所示，函数y ＝f(x)图象上四点A ，B ，D ，E.1．由Δy ＝f(x 2)－f(x 1)能否判断曲线在A→B 段的陡峭程度？【提示】不能．2．平均变化率f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1能否近似刻画曲线在A→B 段的陡峭程度？为什么？曲线段AB 与曲线段DE 哪段更陡峭？【提示】能．因为k AB ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示A ，B 两点所在直线的斜率，所以可近似地刻画曲线段AB 的陡峭程度．由于k DE ＞k AB ，知曲线段DE 更加陡峭．从平均变化率的定义知，其几何意义是经过曲线y ＝f(x)上两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)的直线PQ 的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．已知函数f(x)＝x 2＋x ，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]上的平均变化率．【思路探究】对于给定的三个区间，分别求函数值的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比值ΔyΔx. 【自主解答】 (1)函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为f （3）－f （1）3－1＝32＋3－（12＋1）2＝5.(2)函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝22＋2－（12＋1）1＝4.(3)函数f(x)在区间[1，1.5]上的平均变化率为f （1.5）－f （1）1.5－1＝1.52＋1.5－（12＋1）0.5＝3.5.1．本题主要依据平均变化率的意义代入公式直接计算，解题的关键是弄清自变量与函数值的增量．2．求函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： (1)作差：求Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)作商：求Δy Δx ，即f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1的值．求函数y ＝5x 2＋6在区间[2，3]上的平均变化率．【解】函数在区间[2，3]上的平均变化率为f （3）－f （2）3－2＝5×32＋6－5×22－61＝45－20＝25.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m )与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率；(2)求高度h 在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．【思路探究】 (1)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[0，0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[1，2]上的平均变化率．【自主解答】 (1)运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m /s )．(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m /s )．1．结合物理知识可知，在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.2．平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．已知某物体运动位移与时间的关系为s(t)＝12gt 2，试分别计算t 从3 s 到3.1 s ，3.001s 各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？【解】设物体在区间[3，3.1]，[3，3.001]上的平均速度分别为V 1，V 2，则ΔS 1＝S(3.1)－S(3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g(m )． ∴物体从3 s 到3.1 s 时平均速度V 1＝ΔS 13.1－3＝0.305g 0.1＝3.05g(m /s )，同理V 2＝ΔS 23.001－3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g(m /s )．通过计算可以发现，随着时间间隔Δt 的变小，平均速度在向3g m /s 靠近，而3g m /s 为物体做自由落体运动时，t ＝3 s 时的瞬时速度．2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－1所示，据图回答：图1－1－1(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【思路探究】利用平均变化率的计算公式及其实际意义进行分析．【自主解答】(1)在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率ΔsΔt较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s A3，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s C1＝s B －s C ，显然k BC ＞k AB ，即s B －s C ＞s B －s A3，∴在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．1．本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．2．在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m /s 到0 m /s 花了5 s ，乙车从18 m /s 到0 m /s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能．【解】甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m /s 2)，乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m /s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．实际问题中平均变化率意义不明致误甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图1－1－2中①②所示，试问：图1－1－2(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？【错解】(1)对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为A，B，显然有k OB＞k OA，故乙的平均变化率大于甲的平均变化率，所以乙比甲跑得快．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的时间、路程相同，平均变化率相等，速度相等，所以两人跑得一样快．【错因分析】在(2)中，题意不明，误求甲、乙在[0，t0]上的平均变化率认为是终点附近的平均速度．【防范措施】(1)在实际问题中，理解平均变化率具有的现实意义；(2)弄清题目的要求，区别平均速度与瞬时速度．【正解】(1)同上面解法．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙的变化率逐渐增大，快到终点时，乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得较快．1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．1．函数y＝2x＋2在[1，2]上的平均变化率是________．【解析】（2×2＋2）－（2×1＋2）2－1＝2.【答案】 22．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________．【解析】 ∵S＝πr 2， ∴ΔS Δr ＝S （0.3）－S （0.1）0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π. 【答案】 0.4π3．如图1－1－3，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．图1－1－3【解析】 ∵k AB ＝y A －y B x A －x B ＝3－11－3＝－1，由平均变化率的意义知y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率为－1. 【答案】－14．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)【解】甲企业生产效益的平均变化率为100－1012×2－0＝154.乙企业生产效益的平均变化率为30－106－0＝103.∵154＞103， ∴甲企业的生产效益较好．一、填空题1．函数f(x)＝1x 在[2，6]上的平均变化率为________．【解析】 f （6）－f （2）6－2＝16－126－2＝－112.【答案】－1122．函数f(x)＝log 2x 在区间[2，4]上的平均变化率是________．【解析】函数的平均变化率是f （4）－f （2）4－2＝2－12＝12.【答案】 123．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t 2(单位：米)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为________．【解析】 s （3）－s （1）3－1＝5×32－5×122＝20(m /s )．【答案】 20 m /s4．若函数f(x)＝x 2－c 在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m 等于________．【解析】由题意得（m 2－c ）－（12－c ）m －1＝3，∴m ＝2(m ＝1舍去)．【答案】 25．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m /h .【解析】105.1－102.724＝0.1(m /h )．【答案】 0.16．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg /mL )来表示，它是时间t(单位：min )的函数，表示为c ＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．)．【解析】c （70）－c （30）70－30＝0.90－0.9840＝－0.002 mg /(mL ·min )．【答案】－0.0027．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t ＋13t 3，则该物体在时间间隔[1，32]内的平均加速度为________．【解析】平均加速度Δv Δt ＝32＋13·（32）3－（1＋13）32－1＝3112.【答案】3112图1－1－48．如图1－1－4所示，显示甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度．【解析】在[0，t 0]内甲、乙的平均速度为s 0t 0，①②错．在[t 0，t 1]上，v 甲＝s 2－s 0t 1－t 0，v乙＝s 1－s 0t 1－t 0. ∵s 2－s 0＞s 1－s 0，且t 1－t 0＞0， ∴v 甲＞v 乙，故③正确，④错误．【答案】 ③ 二、解答题9．求函数f(x)＝x 2＋1x＋4在区间[1，2]上的平均变化率．【解】 f(x)＝x 2＋1x ＋4在区间[1，2]上的平均变化率为22＋12＋4－（12＋11＋4）2－1＝52.10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c(x)＝x 3－6x 2＋15x(元)，而售出x 台的收入是r(x)＝x 3－3x 2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】依题意，生产并售出x 台所获得的利润是 L(x)＝r(x)－c(x)＝3x 2－3x(元)， ∴x 取值从10台至20台的平均利润为L （20）－L （10）20－10＝3×202－3×20－（3×102－3×10）10＝87(元)，故所求平均利润为87元．11．(2013·泰安高二检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图1－1－5【解】山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多．(教师用书独具)已知气球的体积为V(单位：L )与半径r(单位：dm )之间的函数关系是V(r)＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r(V)；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？【自主解答】 ∵V＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，即r(V)＝ 33V4π.(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率约为 r （1）－r （0）1－0＝33×14π－01≈0.62(dm /L )，函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率约为r （2）－r （1）2－1＝ 33×24π－ 33×14π≈0.16(dm /L )．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．一块正方形的铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热铁板会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm ，a 为常数，试求0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率．【解】铁板面积S ＝102(1＋at)2，在区间[0，10]上，S 的平均变化率为S （10）－S （0）10－0＝102（1＋10a ）2－10210＝200a ＋1 000a 2，即0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率为(200a ＋1 000a 2)cm 2/℃.1．1.2 瞬时变化率——导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．2．过程与方法用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣，在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．●重点难点重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数．难点：从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，及函数在开区间内的导函数的理解．为了突出重点、突破难点，在导数概念的教学中，积极创设问题情境，从学生已有的认知入手，例如物理学中的瞬时速度、曲线割线的斜率等，采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，通过反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解导数概念．(教师用书独具)●教学建议新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)——瞬时变化率——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程．因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、观察、分析、类比、抽象、概括，并借助excel及几何画板演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．●教学流程利用割线逼近切线的方法探究曲线上一点处的切线.⇒通过缩小时间间隔，由平均速度得出瞬时速度.⇒会求瞬时速度和瞬时加速度，完成例1与变式训练.⇒利用瞬时变化率得出导数的概念，会求函数在某点处的导数，完成例2及互动探究.⇒根据导数的几何意义，完成例3及其变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？曲线上在某一点处的切线的含义是什么？【提示】切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，曲线C 在点P 处的切线l 与曲线C 还有一个公共点Q.曲线上某一点处的切线，其含义是以该点为切点的切线．2．运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？【提示】不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0，并不是速度为0.1．曲线上一点处的切线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C.当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．2．瞬时速度、瞬时加速度(1)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S （t 0＋Δt ）－S （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．(2)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v （t 0＋Δt ）－v （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．1.导数设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，切线PT 的方程是y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求瞬时速度、瞬时加速度已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求ΔvΔt；(2)求质点M在t＝2时的瞬时加速度．【思路探究】【自主解答】ΔvΔt＝v（t＋Δt）－v（t）Δt＝3（t＋Δt）2＋2－（3t2＋2）Δt＝6t＋3Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，ΔvΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03(cm/s2)．(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2时的瞬时加速度为12 cm/s2.1．求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．2．求瞬时加速度：(1)求平均加速度ΔvΔt；(2)令Δt →0，求出瞬时加速度．质点M 按规律s(t)＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．【解】 ∵Δs ＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a Δt ＋a(Δt)2， ∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt. 当Δt →0时，ΔsΔt→4a. ∵在t ＝2时，瞬时速度为8 m /s ，∴4a ＝8，∴a ＝2.求函数y ＝f(x)＝x －1x在x ＝1处的导数．【思路探究】求Δy ＝f （1＋Δx ）－f （1）―→求Δy Δx→令Δx →0，求ΔyΔx→A 的值【自主解答】 ∵Δy ＝(1＋Δx)－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx.∴ΔyΔx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→1＋1＝2. ∴f ′(1)＝2.1．本题是利用定义求f′(1)，解题的关键是求出ΔyΔx并化简，利用定义求解的步骤为：①求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；②求平均变化率ΔyΔx；③当Δx 无限趋近于0时，确定ΔyΔx的无限趋近值． 2．求f′(x 0)也可先求出导函数f′(x)，再将x ＝x 0代入，即求出f′(x)在点x ＝x 0处的函数值．在例题中，若条件改为f′(x 0)＝54，试求x 0的值．【解】 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)－1x 0＋Δx －(x 0－1x 0)＝Δx ＋Δxx 0（x 0＋Δx ）∴Δy Δx ＝1＋1x 0（x 0＋Δx ）当Δx →0时，Δy Δx →1＋1x 20. 又f′(x 0)＝54，则1＋1x 20＝54.∴x 0＝±2.已知抛物线y ＝2x 2，求抛物线在点(1，2)处的切线方程．【思路探究】根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式即可写出切线方程．【自主解答】因为点(1，2)在抛物线上，所以抛物线在点(1，2)处的切线斜率为函数y ＝2x 2在x ＝1处的导数f′(1)．因为Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2×12Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋2Δx 无限趋近于4，所以f ′(1)＝4. 所以切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.1．本题是“给出曲线和切点(x 0，f(x 0))求切线方程”，此时切线的斜率就是f′(x 0)，则该点处的切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)．2．若求“过点(x 0，y 0)的切线方程”，此时所给的点有可能不是切点，切线的斜率还用f′(x 0)则可能会出错．此时应先设出切点坐标P(x′0，y ′0)，由已知条件列出切点横坐标的方程，求x′0，然后再求解．曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．【解析】 ∵Δy Δx ＝（x 0＋Δx ）3＋11－x 30－11Δx＝3x 0Δx ＋3x 20＋(Δx)2，∴当x 0＝1，Δx →0时，k ＝f′(1)＝3.∴曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线为y ＝3x ＋9. ∴当x ＝0时，y ＝9.因此所求切线与y 轴交点的纵坐标为9. 【答案】 9对导数定义理解不透彻致误已知f′(1)＝－2，则当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx→________．【错解】当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx →－2.【答案】－2【错因分析】产生错解的原因是对导数定义的理解不透彻，一味地套用公式．本题分子中自变量的增量是2Δx ，即(1＋2Δx)－1＝2Δx ，而错解中分母中的增量为Δx ，二者不是等量的．【防范措施】在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但无论如何变化，其实质是分子中的自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．【正解】f （1＋2Δx ）－f （1）Δx ＝2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →f ′(1)，∴2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →2f ′(1)＝2×(－2)＝－4. 【答案】－41．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤都是一样的——(1)计算Δy ，(2)求Δy Δx ，(3)看Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于哪个常数．2．准确理解导数的概念，正确求y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数注意两点：(1)Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)不能误认为Δy ＝f(Δx)；(2)求解时不给出Δx 的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率(导数)．3．求过某点曲线的切线方程的类型及求法．(1)若已知点(x 0，y 0)为切点，则先求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．因此求曲线的切线方程一定要明确切点的位置，分清楚是“曲线在某点处的切线”还是“过某点的曲线切线”．1．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．【解析】 Δs Δt ＝3（3＋Δt ）2－3×32Δt＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 182．已知f(x)＝2x ＋5，则f(x)在x ＝2处的导数为________．【解析】 Δy ＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx ， ∴ΔyΔx＝2，∴f ′(2)＝2. 【答案】 23．抛物线y ＝14x 2在点Q(2，1)处的切线方程为______．【解析】 Δy Δx ＝14（2＋Δx ）2－14×22Δx ＝1＋14Δx.当Δx →0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1，由导数的几何意义，点Q 处切线斜率k ＝f′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝1(x －2)即y ＝x －1. 【答案】 y ＝x －14．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】法一 ∵Δy ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1无限趋近于12， ∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.法二Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x，当Δx →0时，Δy Δx →12x ，所以y′＝12x. 当x ＝1时，y ′＝12.∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.一、填空题1．设函数f(x)在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f （x 0＋h ）－f （x 0）h 的值，以下说法中正确的是________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f(x)在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．(2013·徐州高二检测)函数f(x)＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．(2013·合肥高二检测)函数y ＝f(x)的图象在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，若P 点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________．【解析】由导数的几何意义，f ′(4)＝－2. 又f(4)＝－2×4＋9＝1. 故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1. 【答案】－14．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t(t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－(8×2－12×22)＝6Δt －12(Δt)2，则Δs Δt ＝6－12Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→6. 【答案】 65．曲线f(x)＝x 3在x ＝0处的切线方程为________．【解析】 Δy Δx ＝f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝（Δx ）3－0Δx＝(Δx)2.当Δx →0时，ΔyΔx→0. ∴由导数的几何意义，切线的斜率k ＝f′(0)＝0. 因此所求切线方程为y ＝0. 【答案】 y ＝06．若点(0，1)在曲线f(x)＝x 2＋ax ＋b 上，且f′(0)＝1，则a ＋b ＝________．【解析】 ∵f(0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx ＝f （0＋Δx ）2－f （0）Δx＝Δx ＋a. ∴当Δx →0时，ΔyΔx→a ，则f′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 27．高台跳水运动员在t 秒时距水面高度h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．【解析】 Δh Δt ＝－4.9（Δt ）2＋6.5·（Δt ）＋10－10Δt＝6.5－4.9Δt∵当Δt 无限趋近于0时，－4.9Δt ＋6.5无限趋近于6.5， ∴该运动员的初速度为6.5米/秒．【答案】 6.58．(2013·泰州高二检测)已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图1－1－6所示，记k 1＝f′(1)，k 2＝f′(2)，k 3＝f(2)－f(1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．图1－1－6【解析】 k 1表示曲线在x ＝1处的切线的斜率，k 2表示曲线在x ＝2处的切线的斜率， k 3表示两点(1，f(1))，(2，f(2))连线的斜率，由图可知：k 1＞k 3＞k 2. 【答案】 k 1＞k 3＞k 2 二、解答题9．已知函数f(x)＝2x 2＋4x ，试求f′(3)．【解】 Δy ＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－30＝2(Δx)2＋16Δx ， ∴ΔyΔx＝2Δx ＋16，当Δx →0时，ΔyΔx→16. 因此f′(3)＝16.10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s ＝12at 2，如果它的加速度是a ＝5×105m /s 2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．【解】运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a(t 0＋Δt)2－12at 20＝at 0(Δt)＋12a(Δt)2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a(Δt)．所以当Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知，a ＝5×105m /s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800(m /s )，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m /s . 11．已知曲线y ＝1t －x 上两点P(2，－1)，Q(－1，12)．求：(1)曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．【解】将P(2，－1)代入y ＝1t －x ，得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f(x)＝11－x， ∵f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝11－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝1（1－x －Δx ）（1－x ），∴当Δx →0时，1（1－x －Δx ）（1－x ）→1（1－x ）2.∴f ′(x)＝1（1－x ）2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.(教师用书独具)已知曲线y ＝2x ＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y ＝－2x ＋3垂直，并求切线方程．【自主解答】设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝2x 0＋Δx ＋1－（2x 0＋1）Δx＝2x 0＋Δx －2x 0Δx ＝2[（x 0＋Δx ）2－（x 0）2]Δx （x 0＋Δx ＋x 0）＝2x 0＋Δx ＋x 0.当Δx →0时，2x 0＋Δx ＋x 0→2x 0＋x 0＝1x 0，又直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2，所以所求切线的斜率为12，故1x 0＝12.所以x 0＝4，y 0＝5，所以切点坐标为(4，5)，切线方程为y －5＝12(x －4)，即x －2y ＋6＝0.已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】设切点为P(t ，t 2＋1)．∵Δy Δx ＝（t ＋Δx ）2＋1－（t 2＋1）Δx＝2t ＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→2t. 由导数的几何意义，在点P(t ，t 2＋1)处切线的斜率k ＝f′(t)＝2t ， ∴切线方程为y －(t 2＋1)＝2t(x －t)，将(1，a)代入，得a －(t 2＋1)＝2t(1－t)，即t 2－2t ＋(a －1)＝0，因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)＞0，解得a ＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．1．2导数的运算1．2.1 常见函数的导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．2．过程与方法使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．3．情感、态度与价值观通过本节的学习进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．●重点难点重点：利用导数公式，求简单函数的导数．难点：对导数公式的理解与记忆．在初等函数的求导公式中，对数函数与指数函数的求导公式比较难记忆，要区分公式的结构特征，找出他们之间的差异去记忆．(教师用书独具)●教学建议导数的定义不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法，但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的，因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．●教学流程创设情境，回忆导数的概念与导数的求法.⇒利用导数的定义求y＝x n(n＝1，2，3，。

高中数学第3章导数及其应用第4课时导数教案苏教版选修1_1

第三章导数及其应用第4课时导数教学目标：1.理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；2.理解导数的几何意义；3.理解导函数的概念和意义.教学重点：导数的求解方法和过程, 导数的灵活运用教学难点：导数概念的理解教学过程：Ⅰ.问题情境1.求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率.2.直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度.Ⅱ.建构数学1.导数的概念：2.导数的几何意义：Ⅲ.数学应用例1：求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x（3）3)(=x f ，2=x练习：求1)(2+=x x f 在a x =处的导数.例2：函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）→-+x f x f 2)1()1(（2）→-+x f x f )1()21(练习：设f(x)在x=x 0处可导，（1）x x f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________（2）x x f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=________________（3）当△x 无限趋近于0，x x x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系为_______________例3：若2)1()(-=x x f ，求：（1）)2('f 和((2))'f ；（2）()x f '.练习：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线.Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P 67 习题2,41.求下列函数在已知点处的导数（1）31y x =+在3x =处的导数；（2）2y x =在x a =处的导数；（3）1y x=在2x =处的导数2.质点运动方程为31S t =+(位移单位:m,时间单位:s),分别求1,2t s t s ==时的速度精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

江苏省宿迁市泗洪中学高中数学 3.4导数的应用1教案苏教版选修1-1

导数在实际生活中的应用（一）班级_____________姓名_______________教学目标：1．通过对利润最大、用料最省、效率最高等优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用。

2．通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题及数学建模能力的提高。

任务1：根据已学知识回答下列问题：（1）利用导数求函数最值的步骤是：。

（2）解应用题的步骤是：任务2：根据所完成的例题，总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各之间的关系，列出实际问题的，写出相应的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和，确定最值；(4)回到实际问题，。

练习：1.在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)60的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做2.在边长为cm成一个无盖的方底铁皮箱。

箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？任务3：在解决实际问题过程中体会数学建模思想。

【典型例题】例1 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，使的所用材料最省？注意：本题还有其他的解法吗？。

例2 94P 如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为ε，外电阻R 为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例3 强度分别为b a ,的两个光源B A ,，它们之间的距离为d 。

试问在连接这两个光源的线段AB 上何处照度最小？试就3,1,8===d b a 时回答上面问题（照度与光的强度成正比，与光远距离的平方成反比）。

《导数在实际生活中的应用》反馈练习1．把长为cm 60的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时面积最大？2．把长cm 100的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积和最小？3. 出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150cm 2，上、下边要留1.5cm 空白，左、右要留1cm 空白。

【配套K12】江苏省宿迁市高中数学第3章导数及其应用第5课时常见函数的导数导学案(无答案)苏教版选修1

课题：常见函数的导数（1）一、学习目标1. 能由导数的定义三个步骤推导如y kx b =+、y c =、y x =、2y x =、1y x=等最简单函数的导数公式。

2. 熟记幂函数、指数对数函数、正弦余弦函数的导数公式。

3. 初步会利用导数公式求简单函数的导数。

二、课前预习1. 导数的定义：，。

导数的几何意义。

2. 求函数的导数的基本步骤是什么？并画出流程图3. 求下面两个函数的导数（1）2y x =；（2）2y x =三、课堂研讨例1：求函数()f x kx b =+的导函数几个常见函数的导数的求导公式：① ② ③ ④展示：基本初等函数的导数公式①幂函数②指数函数③对数函数④正弦函数、余函数例2：利用求导公式求下列函数导数①5y x -=； ②23y x =-+； ③5y x =+； ④4t y =；⑤3log n m =； ⑥y =⑦sin 3y π=； ⑧sin()2y x π=+例3：①已知3y x =，求(2)f '；②已知13x y =，求(0)f '；③已知cos(2)y x π=-，求()3f π'四、学后反思第32课时课题：常见函数的导数自主学习1、导数的定义：；2、导数的几何意义：；3、求函数()y f x=的导数的流程图：(1) 求函数的改变量()(xfxxfy-∆+=∆＝；(2) 求平均变化率xxfxxfxy∆-∆+=∆∆)()(；合作探究1、基本初等函数的求导公式：公式一：函数y=f(x)=kx+b（k，b为常数）的导数.推导：(3)0,()yx f xx∆'∆→→∆当填空：（1）')32(+-x = （2） ')2(x -= （3） 3’= （4）'x = （5） ')5(+x = （6）（-4）’= 公式二：函数y=f(x)=a x （a 为常数）的导数，推导a =2、12、－1时的导数。

填空：（1）'x = ；（3）'3)(x = ；（2）'4)(x = ；（4）')1(x= 。

江苏省宿迁中学高中数学选修1-1导学案：第3章导数及

课题：3.2.2函数的和、差、积、商的导数(1) 姓名：一：学习目标1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数二：课前预习 1、基本公式：[]='±)()(x g x f _______________[]=')(x Cf ______________[]=')()(x g x f ______________________2、函数2y x x =+的导数为 3.求下列函数的导数：（1）23x y =：（2）x y xe =： 4、求223y x x =+-在2x =处的切线方程三：课堂研讨例题1 求下列函数的导数：（1）2()sin f x x x =+；（2）323()622g x x x x =--+变式1 求下列函数的导数：（1）()22ln xf x x =- （2）y =x 2+sin x备注例题2 求下列函数的导数：（1）()sin h x x x =； (2) ()(21)(3)g x x x =-+变式2求下列函数的导数：(1 2)12(-=x y （2）2(23)(32)y x x =+- (3) y =x1·cos x (4) 2cos 2sin x x x y -=四：学后反思课堂检测——3.2.2函数的和、差、积、商的导数姓名： 1. 函数3223y x x x =-+-的导数是 2. cos 'y x x y =的导数= 3.已知函数ln 2,'xy x x y =+则=4. 已知(1)(2)y x x =++，则'y = ______________________5已知32()32f x ax x =++，若'(1)4f -=，则a 的值为 6曲线212y x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为作业——3.2.2函数的和、差、积、商的导数名：1. 函数()23x f x x =+的导数为2函数32()(23)(5),'()f x x x f x =--则= 3. 已知()cos sin f x x x =，则'()3f π=4. 已知函数'6a b y ax y x +==的导数为，则a= ，b=5. 求下列函数的导数：（1）2cos y x x = （2）12cos sin 3y x x =+第1课时任意角【学习目标】1.了解正角、负角、零角、象限角以及轴线角的概念；2.能熟练写出终边相同的角的集合，能熟练判断任意角所在象限.【问题情境】1.日出日落,寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象.这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象，你能否举出生活中类似的例子呢？2. 初中所学的角的概念是什么？主要学了哪些角？这些角能解决生活中的所有有关角的问题吗？是举例说明.【合作探究】 1.探究一如图所示，射线OP 以圆O 上OA 为起始位置旋转，（1）若∠AOB=120°，射线OP 按怎样的方式旋转就能与OB 重合？有什么规律？用什么样的数学模型来刻画？（2）若 OB 是角α的终边，射线OP 按怎样的方式旋转就能与OB 重合？有什么规律？用什么样的数学模型来刻画？2. 探究二在直角坐标系中，Ox 为起始边，OB 为第四象限的角平分线，（1）终边与OB 重合的角有多少个？写出他们的集合？（2）终边与y 轴正半轴重合的角的集合是什么？与坐标轴重合呢?3.知识建构（1）角的概念_____________________________________________.（2）任意角：_______________叫做正角，_______________叫做负角，_________________叫做零角.（3）象限角_________________________________________.（4）与角α终边相同的角的集合为___________________________________ 4.概念巩固（1）判断下列说法是否正确: ①第二象限角比第一象限角大;②若0°≤α≤90°,则α是第一象限角; ③第一象限角一定不是负角;④钝角一定是第二象限角;第二象限角一定是钝角； ⑤三角形内角一定是第一或第二象限角。

高中数学第1章导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数学案苏教版选修2-2(2021年整理)

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1.2.1 常见函数的导数1．能利用导数定义，求几个常见函数的导数,领悟求导数算法的基本思想．(难点) 2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数．(重点）3．掌握函数y＝a x(a>0,a≠1)与y＝log a x（a〉0，a≠1）的求导公式．(易混点）[基础·初探]教材整理常见函数的导数阅读教材P18~P20“练习”以上部分，完成下列问题．基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）＝C（C为常数）f′(x）＝0f（x）＝xα（α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝a x f′(x)＝a x ln_a（a>0，且a≠1)f(x)＝e x f′(x）＝e xf（x）＝log a x f′(x）＝错误!（a>0，且a≠1）f(x)＝ln x f′（x)＝错误!f(x）＝sin x f′(x)＝cos_xf(x）＝cos x f′(x)＝－sin_x1．判断正误：(1）指数函数的导数还是同底数的指数函数．( )(2）错误!′＝cos 错误!＝错误!。

( )(3)若f（x）＝x5,则f′(x）＝5x4。

江苏省宿迁中学高中数学选修1-1导学案：第3章导数及

第18课时导数复习与小结【学习目标】1.复习复数的概念、表示形式以及复数代数形式的四则运算，理解复数几何意义.2.体会数系的扩充是实际的需要也是数学内部矛盾在数学发展中作用的结果，认识人类理性思维在数学发展中的作用. 【基础训练】1.函数()cos 2f x x x =- ，则()4f π'= .2.函数()1sin 2xf x x =+-,则()f x 的单调增区间是_________________.3.若函数32()1f x x ax =-+ 在(0,2) 内单调递减，则实数a 的取值范围为 .4.若不等式43420x x a --+> 对一切x R ∈ 都成立，则实数a 的取值范围为 .5.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意，x R ∈都有(1)(1)f x f x +=- 成立，且当(,1)x ∈-∞ 时，(1)()0x f x '-< .设1(0)()()2a f f f =，b ＝，c ＝３，则a b c ，，三者的大小关系是 .6. 设直线x t ＝与函数2()()ln f x x g x x =＝，的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为_________________答案：1.3； 2.5(,)33ππ； 3. [3,)+∞ ； 4.(29,)+∞ ； 5.c a b << ；；设计意图：教学建议：通过知识点的训练让学生梳理本章的知识点和知识网络. 【合作探究】例1.求下列函数的导数：（1）22()(2)y x x x =-+ ；（2）tan y x =设计意图：复习复数相关概念；（1）~（3）复习复数相等、共轭复数等概念、复数是实数的条件；（4）巩固复数的几何意义；教学建议：让学生叙述相关定义并板演。

解：例2．确定下列函数的单调减区间：（1）y =；（2）cos 23y x x =--；设计意图：复习复数的运算法则；（1）复习复数除法、模的运算，（2）复习复数加减乘除乘方综合运算；（3）复习i n的规律，或用错位相减法；教学建议：让学生先观察再用简洁的方法求解。

江苏省宿迁市高中数学第3章导数及其应用第4课时导数导学案(无答案)苏教版选修1-1

课题：导数的概念姓名 ______________ 班级 _______ 日期:【学习任务】 1•了解导数的概念.2 •掌握用导数的定义求导数的一般方法.3•在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解. 【课前预习】21、函数y 2x 3x 在x 3时的导数为 ______________________ ，在x a 时的导数为 ________2、导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t 的瞬时速度即为v ( t )= _______【合作探究】(1 )求f (x)在x=1处的导数。

(2) 求 f (x)在x=a 处的导数。

变式1 求下列函数在已知点处的导数：(1) y 3x 1在x 3处的导数；(2) y x 2 1在x a 处的导数; 1(3) y 在x 2处的导数•3、函数y f (x)在点经x o 处的导数f '(X o )的几何意义就是曲线f (x)在点 P(x o,, f '(x o ))处的如图，函数yf (x)的图象在点P 处的切线方程是x 8, f (5),f (5)例题i.已知 f (x)2 小=x +2.x1 38例题2 已知曲线y —x3上一点P 2,—•求：（1）点P处的切线的斜率；（2）点P处的3 3切线方程.2 1 19变式2 已知曲线y x2—5上一点P 2, ，求点P处的切线方程.2课题：3.1.2导数的概念当堂检测姓名1. 已知过点P (2, 0)的曲线f(x) 2x 2 4x ，则该曲线在处的切线的斜率为 __________2. 如右图，函数 y f(x)的图象在点 P 处的切线方程是y 2x 9，则 f (4) f '(4)的值为 ___________________ 3.设 f(x) ax 4,若 f'(1)=2，则 a= .34•若 f (x) x , f'(X o ) 3,则X o = ______________5已知曲线y x 1与曲线y 1 x 在点x o 处的切线互相平行，则 x o = ______ 6过点P (— 1, 2),且与曲线y 3x 2 4x 2在点M( 1 , 1)处的切线平行的直线方程。

高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2_

1.4 导数在实际生活中的应用的能力.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中有着广泛的应用．例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的______问题，从而可用________来解决．预习交流1 做一做：有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为______ m 2.预习交流2做一做：做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为______．预习交流3用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？预习导引最值导数预习交流1：提示：设矩形长为x m ，则宽为(8－x ) m ，矩形面积S ＝x (8－x )(8＞x ＞0)，令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4.此时S 最大＝42＝16(m 2)．预习交流2：提示：设半径为r ，则高h ＝27r 2，∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr＋πr 2，令S ′＝2πr －54πr2＝0，得r ＝3，∴当r ＝3时，用料最省．预习交流3：提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．一、面积、体积最大问题如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD =2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，有利于解决问题．二、费用最省问题如图所示，设铁路AB =50，B ，C 之间距离为10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？思路分析：可从AB 上任取一点M ，设MB =x ，将总费用表示为变量x 的函数，转化为函数的最值求解．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？⎝⎛注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平⎭⎪⎫均购地费用＝购地总费用建筑总面积1．求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不2．在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；3．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．三、利润最大问题某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的关系为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x 元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：第一步，分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )．第二步，求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. 第三步，比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．1．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为______．2．一个箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，x 的值为__________．3．将8分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于__________．4．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为__________． 5．某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？答案：活动与探究1：解：(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，满足方程222214x y r r+=(y ＞0)，解得y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2),0＜x ＜r ，则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )．令f ′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0＜x ＜12r 时，f ′(x )＞0；当12r ＜x ＜r 时，f ′(x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＝332r 2，即梯形面积S 的最大值为332r 2.迁移与应用：解：设容器底面短边的边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x (m)．由题意知x ＞0，x ＋0.5＞0，且3.2－2x ＞0，∴0＜x ＜1.6.设容器的容积为V m 3，则有V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)．∴V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，有15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．∴当x ∈(0,1)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数， x ∈(1,1.6)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数． ∴V 在x ∈(0,1.6)时取极大值V (1)＝1.8，这个极大值就是V 在x ∈(0,1.6)时的最大值，即V max ＝1.8.这时容器的高为1.2 m.∴当高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大值为1.8 m 3. 活动与探究2：解：设MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x )，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p (x )＝2(50－x )＋4100＋x 2(0≤x ≤50)．p ′(x )＝－2＋4x100＋x 2，令p ′(x )＝0，解得x 1＝103，x 2＝－103(舍去)．当x ＜103时，p ′(x )＜0；当x ＞103时，p ′(x )＞0，所以当x ＝103时，取得最小值．即在离B 点距离为1033的点M 处筑公路至C 时，货物运费最省．迁移与应用：解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N*),f ′(x )=48－210800x令f ′(x )=0,得x =15或x =－15(舍去)，当x ＞15时，f ′(x )＞0；当10≤x ＜15时，f ′(x )＜0，因此当x =15时，f (x )取最小值f (15)=2000.故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层. 活动与探究3：解：(1)由题意得：上年度的年利润为(13－10)×5 000＝15 000(万元)；本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )；本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x )；本年度年销售量为5 000×(1＋0.4x )，因此本年度的年利润为y ＝[13×(1＋0.7x )－10×(1＋x )]×5 000×(1＋0.4x ) ＝(3－0.9x )×5 000×(1＋0.4x )＝－1 800x 2＋1 500x ＋15 000(0＜x ＜1)，由－1 800x 2＋1 500x ＋15 000＞15 000，解得0＜x ＜56.所以当0＜x ＜56时，本年度的年利润比上年度有所增加．(2)本年度的年利润为f (x )＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53＝3 240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3 240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．所以当x ＝59时，f (x )取极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000万元．因为f (x )在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．迁移与应用：解：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．当堂检测1．2πr 2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则R =r cos θ，L =2r sinθ，所以侧面积S =2πr cos θ·2r sin θ=4πr 2sin θcos θ.令S′=4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)=0，解得ππ0,42θθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即当π4θ=，也就是R =2r 时，侧面积S 最大，且最大值为2πr 2. 2．40 解析：V (x )＝－12x 3＋30x 2，V ′(x )＝－32x 2＋60x ，令V ′(x )＝0，得x ＝40(x ＝0舍去)，且当0＜x ＜40时V ′(x )＞0；当40＜x ＜60时V ′(x )＜0，故V (x )在x ＝40时取得最大值．3．44 解析：设其中一个数为x ，则另一个数为8－x ，且0≤x ≤8，则y ＝x 3＋(8－x )2＝x 3＋x 2－16x ＋64， y ′＝3x 2＋2x －16＝0，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－83舍去，且当0≤x ≤2时，y ′≤0；当2≤x ≤8时，y ′≥0，故当x ＝2时，y 取最小值44.4．25 解析：设矩形垂直于直径的一边长为x ，则另一边长为225－x 2，于是矩形面积S (x )＝2x ·25－x 2，则S ′(x )＝50－4x 225－x2，令S ′(x )＝0得x ＝522⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－522舍去，因此当x ＝522时面积取最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25.5．解：(1)设商品降价x 元时，多卖出的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则由题意，得f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件24＝k ·22，得k ＝6.∴f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)由(1)，知f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x故x 又f (0)＝9 072，f (2)＝8 664，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18元，能使一个星期的商品销售利润最大．。

江苏省宿迁市高中数学第1章导数及其应用导数第10课时单调性(1)导学案(无答案)苏教版选修22

第10课时单调性（1）【学习目标】1.理解通过导数的正负来刻画函数的单调性；2.掌握若()f x 在区间(,)a b 上总有()0f x '> ，则 ()f x 在(,)a b 上是单调增函数，其逆命题不真. 【问题情境】1.导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，那么，导数与函数的单调性有什么联系呢？2. 如果函数()f x 在区间(,)a b 上是增函数，则2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 0。

.【合作探究】1.探究一对于可导函数()y f x =，(1) 如果在某个区间上/()0f x >，那么()f x 为该区间上的函数；(2)如果在某个区间上/()0f x <，那么()f x 为该区间上的函数；2. 探究二探究一的结论的逆命题是什么？是真命题吗？3.知识建构对于可导函数()y f x =，(1) 如果在某个区间上/()0f x >，那么()f x 为该区间上的函数(2)如果在某个区间上/()0f x <，那么()f x 为该区间上的函数；4.概念巩固（1）函数3y x x =-的单调增区间是，单调减区间是。

（2）函数()x f x e x =-在区间(,0)-∞上是（增，减）函数。

【展示点拨】【例1】确定函数2()43f x x x =-+在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数。

【例2】确定函数32()267f x x x =-+在哪些区间上是增函数。

【例3】确定函数()sin ((0,2))f x x x π=∈的单调减区间。

拓展延伸：函数3()f x x ax =+在区间(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.【学以致用】1.确定下列函数的单调区间：（1）2;y x x =- (2) ()ln f x x x =2.讨论下列函数的单调性：（1）()f x kx b =+ (2)()k f x x =（3）2()(0)f x ax bx c a =++≠3.用导数证明：(1)()x f x e = 在区间(,)-∞+∞ 上是增函数； (2) ()x f x e x =- 在区间(,0)-∞ 上是减函数；4. 已知函数kx e k x x f 2)()(-=.求)(x f 的单调区间第10课时单调性训练【基础训练】1.若函数()f x 在区间(,)a b 上是一个可导函数，则()0f x '> 是()f x 在区间(,)a b 上递增的__________条件.2.函数3()32f x x x =-+ 的单调递增区间是________________________.3. 函数ln ()x f x x = 的单调递减区间是___________________________.4.用“增”或“减”填空：(1)函数41y x=- 在区间(,0)-∞ 上是______________函数； (2)函数sin 2x y x =-+ 在区间 (,)-∞+∞上是______________函数.5.函数()42f x x =-+ 的单调减区间是________________;2()(1)g x x =-的单调增区间是________________;6.确定下列函数的单调减区间：(1)3122y x x =-+ （2）21x y x+=【思考应用】7. 确定下列函数的单调区间：（1）2()2ln ;f x x x =- ；（2）();x x f x a a -=-8. 证明：函数()f x 在区间1(0,)2 上是增函数.9. 求函数22y x x=-的单调增区间.ln10.已知函数32f x的单调区间.=+++∈讨论函数()f x x ax x a R()1,【拓展提升】11.求函数2sin cos2((0,2))=+∈的单调减区间y x x xπ12. 求函数323()(3)612f x ax a x x =+--+ 的单调区间；。

江苏省宿迁市高中数学第1章导数及其应用导数第15课

第15课时导数在研究函数中的综合应用【学习目标】1.学会通过函数的导数的取值分析可以研究函数的单调性、极值，进而可以研究函数的最值.2.体会利用导数研究函数的思想方法以及导数在研究函数中的作用. 【基础训练】1.若函数()f x 在(,)a b 上恒有()0f x '> 则()f x 在(,)a b 上单调 (填“递增”或“递减”)2.函数()ln f x x x = 的单调递减区间为_________________.3. 已知函数()f x 的导数为2()f x x x '=- ，则当_____x = 时，函数()f x 取得极大值.4.若0,0a b >> ，且函数32()422f x x ax bx =--+ 在1x = 处有极值，则ab 的最大值等于_____.5.已知3x = 是函数2()ln +-10f x a x x x = 的一个极值点，则实数a = .6. 已知函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]- 上有最大值3，则此函数在[2,2]- 上的最小值是 . 【合作探究】例1．例2．例3．例4．【拓展创新】【学以致用】1. 若1＋i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b= ,c= .2.满足条件|z+i|+|z －i|=4的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 .3.复数z 满足条件2i 2z -=，（1）复数z 的所对应点的轨迹是；（2）1i z ++最小值是 .4.复数12,z z 对应点分别为12,M M ，且线段12M M 的中点对应的复数为4+3i ，则2212z z +的值为 .5.若z 为复数，且2zz - 为纯虚数，则i z +的取值范围是 . 6. 已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．答案：1.-2，3； 2.以（0，-1）（0,1）为焦点，4为长轴的椭圆；3. 以（0,2）为圆心，2为半径的圆22 ； 4.14；5. 1]-；6. 1；设计意图：教学建议：通过知识点的训练让学生梳理本章的知识点和知识网络.【同步训练】1．函数()y f x =的定义域为(,)a b 导数()y f x ''= 在 (,)a b 上的图像如图所示，则()f x 在(,)a b 内有_________个极小值点.2．若三次函数()f x 当1x = 时有极大值4，当3x = 时有极小值0，且图像过原点，则满足此条件的函数表达式是_____________________; 3．若函数223y x x =--+ 在区间[,2]a 上的最大值为154，则实数a 等于__________;. 4．若函数3()()f x a x x =- 的单调递减区间为( ，则实数a 的取值范围是___________;5．函数21x y x =- 的极大值与极小值的差是___________;6．已知函数32(),(,)f x x ax bx c x =+++∈-∞+∞ .(1)试确定函数()f x 的图像有与x 轴平行的切线的条件；(2)试确定函数在(,)-∞+∞ 上是单调增函数的条件.7．求函数221(),[,2]2f x x x x =+∈ 的值域.8．已知3211()232f x x ax x =-++ 在区间[1,1]- 上是增函数.(1)求实数a 的范围；(2)设关于x 的方程5()3f x x = 有两个非零实根12,x x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式21212m tm x x ++≥- 对任意[1,1]a A t ∈∈-及恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.9.设函数2()ln(23)f x x x =++ . (1)讨论()f x 的单调性；(2)求()f x 在区间31[,]44- 的最大值和最小值.10. 已知函数321()3,()3f x x ax x x f x =--=是的极值点，求()f x 在[1,]a 上的最大值.11．已知函数()()()()f x x a x b x c =--- .(1)求证：()()()()()(x b)(x c)f x x a x b x a x c '=--+--+-- ；(2)若()f x 是R 上的增函数，是否存在点P ，使()f x 的图像关于点P 中心对称？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.12．已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab R +=-++∈,且其导函数()f x ' 的图像过原点.(1)当1a = 时，求函数()f x 的图像在3x =处的切线方程； (2)若存在0x < ，使得()9f x '=- ，求a 的最大值； (3) 当0a > 时，求函数()f x 的零点个数.第15课时复数复习与小结同步训练答案。

高中数学第一章导数及其应用第4课时常见函数的导数教案苏教版选修2-2(2021年整理)

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常见函数的导数【教学目标】1、理解常见函数的导数的推导过程；2、掌握常见函数的导数公式，会灵活运用公式解决问题【教学难点、重点】利用导数定义推导常见函数的导数公式【教学过程】一、复习引入1、导数的概念及其几何意义；2、导函数的定义；3、求函数的导数的步骤：（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆;（2)求平均变化率x x f x x f x y∆-∆+=∆∆)()(；(3）取极限，得导数()y f x ''=.二、知识要点1、基本初等函数的导数公式:（1） ()kx b k '+= （,k b 为常数) （2） 0)(='C （C 为常数）（3） ()1x '= （4) 2()2x x '= （5) 32()3x x '=（6）211()x x '=- （7） '=由（3）～（7）你能发现什么规律?（8） 1()x x ααα-'=（α为常数）（9） ()ln (0x x a a a a '=>且1)a ≠（10） 11(log )log e (0ln a a x a x x a '==>且1)a ≠(11） ()x x e e '= (12）1(ln )x x '=（13） (sin )cos x x '= （14） (cos )sin x x '=－三、例题分析例1、求下列函数的导数：（1)100x y = （2）53x y = （3）21x y = （4)x y )2(ln =练习： ='-)(2x _______________ =)'3(x _______________=')(log 3x _______________ =')(ln x _______________=)'3(sin π_______________ =)'5(cos π_______________例2、求函数x y cos =在点)23,6( πA 处的切线方程.变1：求2x y =过点（0，—1)的切线.变2：求3x y =过点(1，1）的切线。

江苏省宿迁中学高中数学选修1-1导学案：第3章导数及

.【合作探究】 1.探究一对于可导函数()y f x =，(1) 如果在某个区间上/()0f x >，那么()f x 为该区间上的函数； (2)如果在某个区间上/()0f x <，那么()f x 为该区间上的函数；2. 探究二探究一的结论的逆命题是什么？是真命题吗？3.知识建构对于可导函数()y f x =，(1) 如果在某个区间上/()0f x >，那么()f x 为该区间上的函数 (2)如果在某个区间上/()0f x <，那么()f x 为该区间上的函数； 4.概念巩固（1）函数3y x x =-的单调增区间是，单调减区间是。

（2）函数()x f x e x =-在区间(,0)-∞上是（增，减）函数。

【展示点拨】【例1】确定函数2()43f x x x =-+在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数。

【例2】确定函数32()267f x x x =-+在哪些区间上是增函数。

【例3】确定函数()sin ((0,2))f x x x π=∈的单调减区间。

拓展延伸：函数3()f x x ax =+在区间(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.【学以致用】1.确定下列函数的单调区间：（1）2;y x x =- (2) ()ln f x x x =2.讨论下列函数的单调性：（1）()f x kx b =+ (2)()kf x x= （3）2()(0)f x ax bx c a =++≠3.用导数证明：(1)()x f x e = 在区间(,)-∞+∞ 上是增函数； (2) ()x f x e x =- 在区间(,0)-∞ 上是减函数；4. 已知函数kx ek x x f 2)()(-=.求)(x f 的单调区间第10课时单调性训练【基础训练】1.若函数()f x 在区间(,)a b 上是一个可导函数，则()0f x '> 是()f x 在区间(,)a b 上递增的__________条件.2.函数3()32f x x x =-+ 的单调递增区间是________________________.3. 函数ln ()xf x x=的单调递减区间是___________________________.4.用“增”或“减”填空： (1)函数41y x=-在区间(,0)-∞ 上是______________函数； (2)函数sin2xy x =-+ 在区间 (,)-∞+∞上是______________函数. 5.函数()42f x x =-+ 的单调减区间是________________;2()(1)g x x =-的单调增区间是________________;6.确定下列函数的单调减区间：(1)3122y x x =-+ （2）21x y x+=【思考应用】7. 确定下列函数的单调区间：（1）2()2ln ;f x x x =- ；（2）();x x f x a a -=-8. 证明：函数()f x 在区间1(0,)2上是增函数.9. 求函数22y x x=-的单调增区间.ln10.已知函数32f x的单调区间.=+++∈讨论函数()f x x ax x a R()1,【拓展提升】11.求函数2sin cos2((0,2))=+∈的单调减区间y x x xπ12. 求函数323()(3)612f x ax a x x =+--+ 的单调区间；。

江苏省宿迁市高中数学第1章导数及其应用导数第4课时导数导学案(无答案)苏教版选修2-2

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