高三理科数学圆锥曲线及答案详解

高三理科数学《圆锥曲线》强化训练（一）
1．（本题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，
，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线
在点处的切线分别为，且与交于点.
(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.
?
·
|
|
1C 1(2,0)F -2F ()
20,(2,3)A 1C A L 2
2:4C x y =B C ,2C B C ,12l l ,1l 2l P 1C 1212PF PF AF AF +=+P P P
2． （本小题满分14分）已知点P 是椭圆上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦 点， O 为坐标原点，动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→
，。

(I)求动点Q 的轨迹E 的方程； (II)若与坐标轴不垂直的直线交轨迹E 于两点且，求三角形面积的取值范围。

【
~
—
、
2
212
x y +=l ,A B OA OB ⊥OAB S
）
3．（本小题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为， 动点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM （O 为坐标原点）为直径且 被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线
段ON 的长为定值，并求出这个定值．
`
'
；
【
22221(0)x y a b a b
+=>
>1,)2
P 2(2,)(0)M t t >3450x y --=
:
4．（本题满分14分）已知双曲线的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为
，过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点（A 、B 在轴的上方）. （1）求双曲线的标准方程；
（2）探究是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.
》
；
!
Γ3
3
2ΓP Γ,A B x ΓOA OB ⋅。

:
高三理科数学《圆锥曲线》强化训练（一）答案
1．（本题满分14分）解法1：设椭圆的方程为,
依题意: 解得: ∴ 椭圆的方程为. 解法2：设椭圆的方程为，
根据椭圆的定义得，即， ………1分
∵， ∴. ………2分
∴ 椭圆的方程为
. ?
(2)解法1：设点,，则， ，∵三点共线, （∴. ∴,
化简得：. ① 由,即得. 1C 22
221x y a b
+=()0a b >>222222231,4.
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
2
216,
12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1C 2211612x y +=1C 22
221x y a b
+=()0a b >>1228a AF AF =+=4a =2c =222
12b a c =-=1C 22
11612
x y +=)41,
(211x x B )41,(222x x C ))(4
1,(212212x x x x --=)4
13,2(2
11x x -
-=C B A ,,BC BA //()()()22
2
2
11211
113244x
x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝
⎭12122
12x x x x ()+-=24x y =2
14y x ,=y '=12
x
∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ② 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ 设点，由②③得：， 而，则 .代入②得 ， 则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.
—
若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上， ∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点. ∴满足条件 的点有两个. 解法2：设点,，，
由,即得. ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ∵， ∴ . ∵点在切线上, ∴. ① 同理， . ② 综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过的直线是唯一的，∴直线的方程为，∵点在直线上， ∴. ∴点的轨迹方程为
. 若 ，则点在椭圆上，又在直线上，
∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.
!
2C B 1l )(2411121x x x x y -=-
2114
1
2x x x y -=2C C 2l 2
224
12x x x y -=
),(y x P =-211412x x x 2
224
12x x x -21x x ≠)(2121x x x +=
214
1
x x y =212x x x +=214x x y =1244=-y x P 3-=x y 1212PF PF AF AF +=+P 1C P 3-=x y 3-=x y 1C (3,0)3-=x y 1C 1212PF PF AF AF +=+P ),(11y x B ),(22y x C ),(00y x P 2
4x y =2
14y x ,=
y '=12
x 2C B 1l )(2111x x x y y -=
-2111212x y x x y -+=2114
1
x y =112y x x y -=),(00y x P 1l 101
02
y x x y -=
202
02
y x x y -=
),(),,(2211y x C y x B y x x
y -=
002),(),,(2211y x C y x B L y x x
y -=002)3,2(A L 300-=x y P 3-=x y 1212PF PF AF AF +=+P 1C 3-=x y 3-=x y 1C (3,0)3-=x y 1C
∴满足条件 的点有两个.
2．解：(I)如图由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →
，
设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x
2
，－y 2，又P 在
椭圆上，则有，即. (II) 当斜率不存在或为零时，由图可知
当斜率存在且不为零时，设：，代入
得
以代换同理可得
当且仅当时等号成立。

·
而时，与轴或轴垂直，不合题意。

而三角形面积的取
值范围为
3．解：（1）由题意得
① 因为椭圆经过点，所以 ②又 ③由①②③解得
，．所以椭圆的方程为
．
（2）以OM 为直径的圆的圆心为，半径，
1212PF PF AF AF +=+P 2
2()2()122
x
y -+-=22184x y +=OA 1
2
2
S =
⨯⨯=OA OA (0)y kx k =≠2
2
28x y +=2
2
222
22
8
8,2121
k x y k x k k =∴==++22
2
2
28(1)
||21
k OA x y k +∴=+=+OA OB ⊥1k
-k 22
28(1)||2k OB k +=+224222
22
224242
116(1)16(21)||||8(1)4(21)(2)252252
k k k k S OA OB k k k k k k +++∴====-++++++2218(1)2
25k k
=-
+
+2222
222224k k k k +
≥=1k =±1k =±AB x y 2222(4,)k k ∴+
∈+∞2
6489S ∴<<83S ∴<<OAB S 8
(,3
c a =1,)2
P 22221
(
)()221a b
+=222a b c =+22a =22
1b c ==22
12x y +=(1,)2t r =
故圆的方程为． 因为以为直径的圆被直线截得的弦长为
，所以圆心到直线的距离
．…7分所以
，即， 故，或，解得，或． 又，故．所求圆的方程为．………………………….……..9分
（3）方法一：过点作的垂线，垂足设为． 直线的方程为，直线的方程为． 由，解得，故．……11分
；
又.
所以线段
．
方法二：设，则，， ，．
，． ．又
，．．
4．解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为(）………1分
∵c=2，………2分
………3分 ∴ ………4分 2
2
2(1)()124
t t x y -+-=+OM 3450
x y --=23450x y --=2
t d ===|325|52t t
--=2|22|5t t +=445t t +=445t t +=-4t =4
9
t =-
0t >4t =2
2
(1)(2)5x y -+-=F OM K OM 2t y x =
FN 2
(1)y x t
=--22(1)t y x y x t ⎧
=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
244x t =+2242(,)44t K t t ++∴||OK ==||OM =2
||||||2ON OK OM =⋅=
=||ON ∴=ON 00(,)N x y 00(1,)FN x y =-(2,)OM t =00(2,)MN x y t =--00(,)ON x y =FN OM ⊥∴002(1)0x ty -+=∴0022x ty +=MN ON ⊥∴
0000(2)()0x x y y t -+-=∴22
000022x y x ty +=+=∴0||ON x ==12222=-b
x a y 0,0>>b a 3
3
2=
a c 1,3==
b a
∴双曲线的标准方程为. ………5分
（2）是定值2，理由如下：………6分
设直线AB ：（没有b>0，不得分这1分）………7分
由得
………8分
解得………9分
设
双曲线渐近线方程：与联立，………10分
得 ，…11分
，………12分 =3 ………13分
∴==2 ………14分（没有导致情况多种的扣2分）
13
22
=-x y OA OB ⋅0,>+=b b kx y ⎩⎨
⎧=-+=3
32
2x y b
kx y (
)
03232
22
=-++-b kbx x k 0)3)(3(4)2(,032222=---=∆≠-b k kb k 32
2
=+b k 00),(),(212211>>y y y x B y x A ，，则、032
2
=-x y b kx y +=02)32
2
2
=++-b kbx x k （0)3(4)2(,032
2
2
2
>--=∆≠-b k kb k 1-3
2
221=-=
k b x x ||32121x x y y ⋅=OA OB ⋅2121y y x x +021>y y 、。