高三理科数学圆锥曲线及答案详解

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高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图,已知椭圆,双曲线(a>0,b>0),若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分,则C2的离心率为()A.5B.C.D.【答案】C【解析】由已知,|OA|=a=设OA所在渐近线的方程为y=kx(k>0),于是A点坐标可表示为A(x0,kx)(x>0)于是,即A(),进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上,有,即,得k=2即=2,于是,所以离心率,选C【考点】圆的方程,椭圆的性质,双曲线的性质,双曲线的渐近线,直线与圆锥曲线的位置关系,双曲线的离心率.2.已知抛物线C:的焦点为F,准线为,P是上一点,Q是直线PF与C得一个焦点,若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示,因为,故,过点作,垂足为M,则轴,所以,所以,由抛物线定义知,,选B.【考点】1、抛物线的定义;2、抛物线的标准方程;3、向量共线.3.已知椭圆C:()的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.【答案】(1) ;(2)【解析】(1)因为焦距为4,所以,又,由此可求出的值,从而求得椭圆的方程.(2)椭圆方程化为.设PQ的方程为,代入椭圆方程得:.(ⅰ)设PQ的中点为,求出,只要,即证得OT 平分线段PQ.(ⅱ)可用表示出PQ,TF可得:.再根据取等号的条件,可得T的坐标.试题解答:(1),又.(2)椭圆方程化为.(ⅰ)设PQ的方程为,代入椭圆方程得:.设PQ的中点为,则又TF的方程为,则得,所以,即OT过PQ的中点,即OT平分线段PQ.(ⅱ),又,所以.当时取等号,此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线;3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线:上,为抛物线的焦点,点为的中点,;(1)若,求点的坐标;(2)求面积的最大值.【答案】(1)或;(2).【解析】(1)根据抛物线方程为,写出焦点为,准线方程为,设,由抛物线的定义知,,把代入求得点的坐标,再由求得点的坐标;(2)设直线的方程为,,,,联立方程组,整理得,先求出的中点的坐标,再由,得出,用弦长公式表示,构造函数,用导数法求的面积的最大值.(1)由题意知,焦点为,准线方程为,设,由抛物线的定义知,,得到,代入求得或,所以或,由得或,(2)设直线的方程为,,,,由得,于是,所以,,所以的中点的坐标,由,所以,所以,因为,所以,由,,所以,又因为,点到直线的距离为,所以,记,,令解得,,所以在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,又,所以当时,取得最大值,此时,所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,三角形的面积公式,平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C:的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,的面积为.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭圆”,直线与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“椭圆”分别为P,Q.(1)求椭圆C的标准方程;(2)问是否存在过左焦点的直线,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式,解方程组,得到基本量a和b的值,从而得到椭圆的方程;第二问,直线l过左焦点,所以讨论直线的斜率是否存在,当斜率不存在时,可以直接写出直线方程,令直线与椭圆联立,得到交点坐标,验证以PQ为直径的圆不过坐标原点,当斜率存在时,直线与椭圆联立,消参,利用韦达定理,证明,解出k的值.(1)由题意,,即,,即 2分又得:∴椭圆的标准方程:. 5分(2)①当直线的斜率不存在时,直线的方程为联立,解得或,不妨令,,所以对应的“椭点”坐标,.而所以此时以为直径的圆不过坐标原点. 7分②当直线的斜率存在时,设直线的方程为消去得,设,则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得: 9分若使得以为直径的圆过坐标原点,则而,∴即,即代入,解得:所以直线方程为或. 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B是椭圆C上的两点,△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称,E为线段AB 的中点,射线OE交椭圆C于点P.如果=t,求实数t的值.【答案】(1)+y2=1(2)t=2或t=【解析】(1)设椭圆C的方程为:(a>b>0),则,解得a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由于A、B两点关于x轴对称,可设直线AB的方程为x=m(-<x<,且m≠0).将x=m代入椭圆方程得|y|=,所以S△AOB=|m| =.解得m2=或m2=.①又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),又点P在椭圆上,所以=1.②由①②得t2=4或t2=.又因为t>0,所以t=2或t=.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,∴焦点为,即,∵,∴,即,∴,则,即,∴.【考点】抛物线的标准方程及几何性质.8.已知双曲线=1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18,N是线段MF2的中点,O是坐标原点,则|ON|等于()A.4B.2C.1D.【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1,由双曲线的定义知,|MF2|-|MF1|=2a,即18-|MF1|=10,所以|MF1|=8.又ON为△MF1F2的中位线,所以|ON|=|MF1|=4,所以选A.9.已知F1、F2为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,且满足||=3||,则此双曲线的渐近线方程为________.【答案】y=±x【解析】由双曲线的性质可推得||=b,则||=3b,在△MF1O中,||=a,||=c,cos∠F1OM=-,由余弦定理可知=-,又c2=a2+b2,可得a2=2b2,即=,因此渐近线方程为y=±x.10.如图,已知,,,分别是椭圆的四个顶点,△是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆.(1)求椭圆及圆的方程;(2)若点是圆劣弧上一动点(点异于端点,),直线分别交线段,椭圆于点,,直线与交于点.(ⅰ)求的最大值;(ⅱ)试问:,两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.【答案】(1),,(2)(ⅰ),(ⅱ).【解析】(1)求椭圆标准方程,只需两个独立条件. 由题意知,,,所以,,所以椭圆的方程为,求圆的方程,有两个选择,一是求圆的标准方程,确定圆心与半径,二是求圆的一般方程,只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单,如易得圆心,,所以圆的方程为(2)(ⅰ)本题关键分析出比值暗示的解题方向,由于点在轴上,所以,因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为,与直线的方程联立,解得点,联立,消去并整理得,,解得点,因此当且仅当时,取“=”,所以的最大值为.(ⅱ)求出点的横坐标,分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为,与直线的方程联立,解得点,所以、两点的横坐标之和为.试题解析:(1)由题意知,,,所以,,所以椭圆的方程为, 2分易得圆心,,所以圆的方程为.4分(2)解:设直线的方程为,与直线的方程联立,解得点, 6分联立,消去并整理得,,解得点,9分(ⅰ),当且仅当时,取“=”,所以的最大值为. 12分(ⅱ)直线的方程为,与直线的方程联立,解得点, 14分所以、两点的横坐标之和为.故、两点的横坐标之和为定值,该定值为. 16分【考点】椭圆与圆标准方程,直线与椭圆位置关系11. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆=1的左、右顶点为A 、B ,右焦点为F.设过点T(t ,m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2),其中m>0,y 1>0,y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2-PB 2=4,求点P 的轨迹; (2)设x 1=2,x 2=,求点T 的坐标;(3)设t =9,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关). 【答案】(1)x =(2)(3)见解析【解析】(1)解:设点P(x ,y),则F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0).由PF 2-PB 2=4,得(x -2)2+y 2-[(x -3)2+y 2]=4,化简得x =,故所求点P 的轨迹为直线x =. (2)解:将x 1=2,x 2=分别代入椭圆方程,以及y 1>0,y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为,即y =x +1.直线NTB 的方程为,即y =x -.联立方程组,解得所以点T 的坐标为.(3)证明:点T 的坐标为(9,m),直线MTA 的方程为,即y =(x +3).直线NTB 的方程为,即y =(x -3).分别与椭圆=1联立方程组,同时考虑到x 1≠-3,x 2≠3,解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时,直线MN 的方程为,令y =0,解得x=1,此时必过点D(1,0);当x 1=x 2时,直线MN 的方程为x =1,与x 轴交点为D(1,0),所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1,0). (证法2)若x 1=x 2,则由及m>0,得m =2,此时直线MN 的方程为x =1,过点D(1,0).若x 1≠x 2,则m≠2.直线MD 的斜率k MD =,直线ND 的斜率k ND =,得k MD =k ND ,所以直线MN 过D 点.因此,直线MN 必过x 轴上的点D(1,0).12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆(x-)2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆.(1)求的值;(2)试判断圆与轴的位置关系;(3)在坐标平面上是否存在定点,使得圆恒过点?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)见解析(3)存在【解析】(1)判断抛物线的焦点位置,得到焦点坐标,利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.(2)直线与抛物线相切,联立直线与抛物线,判别式为0即可得到k,m之间的关系,可以用k 来替代m,得到P点的坐标,抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标,利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标,通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.(3)由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示),根据抛物线对称性知点在轴上,设点坐标为,则M点需满足,即向量内积为0,即可得到M点的坐标,M点的坐标如果为常数(不含k),即存在这样的定点,如若不然,则不存在.试题解析:解:(1)利用抛物线的定义得,故线段的中点的坐标为,代入方程得,解得。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为,与圆的交点为,为的中点,求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识,考查直线与圆锥曲线的位置关系;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想.第一问,数形结合,令y=0,x=0即可分别求出c和b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,设出直线方程和P、Q点坐标,令直线与椭圆联立得到Q点横坐标,利用向量的数量积,将P、Q点坐标代入,得到关于k的表达式,利用导数求函数的最值;法二,将进行转化,变成,再利用配方法求最值.试题解析:(1)在中,令得,即,令,得,即, 2分由,∴椭圆:. 4分(2)法一:依题意射线的斜率存在,设,设 -5分得:,∴. 6分得:,∴, 7分∴. 9分.设,,令,得.又,∴在单调递增,在单调递减. 11分∴当时,,即的最大值为. 13分法二:依题意射线的斜率存在,设,设 5分得:,∴. 6分= 9分.设,则.当且仅当即.法三:设点,,6分= . 7分又,设与联立得: . 9分令. 11分又点在第一象限,∴当时,取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.(本小题满分12分)已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点,以为直径作圆,过点作圆的切线,切点为,试探究:当点在曲线上运动(点与原点不重合)时,线段的长度是否发生变化?证明你的结论.【答案】(1).(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明见解析.【解析】(1)思路一:设为曲线上任意一点,依题意可知曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线,得到曲线的方程为.思路二:设为曲线上任意一点,由,化简即得.(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明如下:由(1)知抛物线的方程为,设,得,应用导数的几何意义,确定切线的斜率,进一步得切线的方程为.由,得.由,得.根据,得圆心,半径,由弦长,半径及圆心到直线的距离之关系,确定.试题解析:解法一:(1)设为曲线上任意一点,依题意,点S到的距离与它到直线的距离相等,所以曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线,所以曲线的方程为.(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明如下:由(1)知抛物线的方程为,设,则,由,得切线的斜率,所以切线的方程为,即.由,得.由,得.又,所以圆心,半径,.所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.解法二:(1)设为曲线上任意一点,则,依题意,点只能在直线的上方,所以,所以,化简得,曲线的方程为.(2)同解法一.【考点】抛物线的定义,导数的几何意义,直线方程,直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.(1)求抛物线C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一个圆上,求直线l的方程.【答案】(1);(2)x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】(1)设Q(x0,4),代入由中得x=,在根据抛物线的性质可得,解出p即可(2)设直线l的方程为,(m≠0)代入中得,直线的方程为,将上式代入中,并整理得.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-4,.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式,计算的表达式,根据求出m即可.试题解析:(1)设Q(x0,4),代入由中得x=,所以,由题设得,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为.(2)依题意知直线l与坐标轴不垂直,故可设直线l的方程为,(m≠0)代入中得,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,故AB的中点为D(2m2+1,2m),,有直线的斜率为-m,所以直线的方程为,将上式代入中,并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E().由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1,所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程;2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图,已知椭圆的右焦点为,点是椭圆上任意一点,圆是以为直径的圆.(1)若圆过原点,求圆的方程;(2)写出一个定圆的方程,使得无论点在椭圆的什么位置,该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程.【答案】(1)或;(2).【解析】(1)因为是圆的直径,所以当圆过原点时,一定有,由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程;(2)设圆M的半径为,连结,显然有根据椭圆的标准方程知,所以,从而找到符合条件的定圆.解:(1)解法一:因为圆过原点,所以,所以是椭圆的短轴顶点,的坐标是或,于是点的坐标为或,易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二:设,因为圆过原点,所以所以,所以,所以点于是点的坐标为或,易求圆的半径所以圆的方程为或 6分(2)以原点为圆心,5为半径的定圆始终与圆相内切,定圆的方程为 8分探究过程为:设圆的半径为,定圆的半径为,因为,所以当原点为定圆圆心,半径时,定圆始终与圆相内切.(13分)【考点】1、椭圆的定义与标准方程;2、圆的定义与标准方程.5.已知,是双曲线的左,右焦点,若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称,则该双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为:,与联立,解之可得故对称中心的点坐标为();由中点坐标公式可得对称点的坐标为,将其代入双曲线的方程可得结合化简可得,故.故选.【考点】双曲线的几何性质,直线方程,两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,且满足||=3||,则此双曲线的渐近线方程为________.【答案】y=±x【解析】由双曲线的性质可推得||=b,则||=3b,在△MF1O中,||=a,||=c,cos∠F1OM=-,由余弦定理可知=-,又c2=a2+b2,可得a2=2b2,即=,因此渐近线方程为y=±x.7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是()A.B.C.D.3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为(m,﹣m2),该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为,分析可得,当m=时,取得最小值为,故选B.8.已知椭圆和椭圆的离心率相同,且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上一点,过点作直线交椭圆于、两点,且恰为弦的中点。

专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

【答案】1 【详解】 抛物线 y2 8x ,
抛物线的准线为 x 2 ,焦点 F 2,0 ,
过点 P 作直线 l 的垂线交于点 C ,如图所示:
由抛物线的定义可知,| PF || PB || PA | p , 2
则| PA || PF | p | PF | 2 , 2
d | x0 || PC | | PF | 2, 当 F , P , C 三点共线时, | PC | | PF |取得最小值,即 d | x0 | 取得最小值, F (2, 0),
专题 9-1 圆锥曲线(选填)
目录 专题 9-1 圆锥曲线(选填) ................................................................................................................... 1
B. x2 y2 1
32 36
C. x2 y2 1 95
【答案】C 【详解】根据题意,作图如下:
D. x2 y2 1 59
易知 NM NQ ,则 NP NM 6 ,即 NP NQ 6 PQ 4 ,
故点 N 的轨迹是以 P,Q 为焦点且长轴长为 6 的椭圆,
设其方程为 x2 a2
③抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l (其中定点 F 不在定直线 l 上)的距 离相等的点({M || MF | d} )的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做
抛物线的准线.
【变式演练】
1.(2022·四川·成都外国语学校高二期中(理))已知双曲线
x2 9
y2 16
整理得 x2 2ax 2b2 0 ,
由于点 M 在第一象限, x a a2 2b2 ,

高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)

高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)

(1)当5AC =时,求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值.7.已知抛物线1C :28x y =的焦点点,1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程;(2)过F 的直线l 与1C 交于A ,(i )若AC BD =,求直线l 的斜率;(ii )设1C 在点A 处的切线与系.8.已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)点()0,1Q -,点P (与Q 不重合)在直线切线,切点分别为,A B .求证:9.已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点.a b (1)求椭圆的方程;(2)P 是椭圆C 上的动点,过点P 作椭圆为坐标原点)的面积为5217,求点12.过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案:)(),0a-,(),0F c,所以AF时,在双曲线方程中令x c=,即2bBFa=,又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形,即易知2BFA BAF ∠=∠;当BF 与AF 不垂直时,如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+,002tan 2y x aBAF +∠=4.(1)21±2(2)证明见解析.【分析】(1)求出椭圆左焦点F1 1x5.(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式可解;【点睛】方法技巧:圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域问题,综合性比较强,解法灵活多样,但主要有两种方法:(1)几何转化代数法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决;(2)函数取值法:若题目的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值(或值域),常用方法:三角换元法;(5)平面向量;(7.(1)2213x y -=(2)(i )36±;(ii )点F 在以【分析】(1)根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标,结合同焦点建立方程组求解可得;(2)(i )设()11,A x y ,(2,B x 物线方程和双曲线方程,利用韦达定理,结合以及点M 坐标,利用FA FM ⋅【详解】(1)1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46,且所以公共点的横坐标为26±,代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩,得28160x kx --=,Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--,342931x x k =-,9.(1)2212x y +=,2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】(1)用b 表示12,e e ,由12e e ⋅=10.(1)2222114222x y x y +=-=,;(2)1;(3)是,=1x -【分析】(1)根据椭圆和双曲线的关系,结合椭圆和双曲线的性质,求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦,又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ,所以可设直线l 的方程为由22x y =,得212y x =,得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩,得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。

高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析

高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析
2
X = —½距离为6,点P,Q是椭圆上的两个动点©
C
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AP丄40,求证:直线P0过泄点R,并求出R点的坐标。
【例二・】已知一动圆经过点M(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲 线C。
(1)求曲线C的方程;
(2)过点N(1,O)任意作两条互相垂直的直线∕1,∕2,分别交曲线C于不同的两点A,B和
的焦点,直线4F的斜率为少,O为坐标原点。
3
(1)求E方程;
(2)设过点A的直线/与E相交于PQ两点,当AOP0的面积最大时,求/的方
程。
专题练习
1•在平面直角坐标系XOy中,已知点A(O,—OB点在直线y = -3±, M点满足
MB//QA,莎•亦=屁•鬲M点的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程:
(2)P为C上的动点,/为C在P点处的切线,求O点到/距离的最小值。
10.抛汤钱屮阿基来德三角形鲂纟见般质及疝用
11.(S傩曲钱屮的戒切後龜哩
锥曲线中的求轨迹方程问题
解题技巧
求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的髙频题型,求轨迹方程的主要方法有直译法、
相关点法、泄义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下:
1.直译法求轨迹的步骤:
(1)设求轨迹的点为P(χ,y);
(2)由已知条件建立关于x,y的方程;
D,Q设线段ABQE的中点分别为几。・
①求证:直线P0过左点R,并求出泄点/?的坐标;
②求PGl的最小值。
专题练习
1.设椭圆E:丄y+ =y=l(α> b > 0)的右焦点到直线x-y + 2√z2=0的距离为3,且过点Cr Ir
I

圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)

圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)

1.过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线,两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =,点P ,Q 在直线l :1y =-上,过P ,Q 两点对应的切点弦分别为AB ,CD()1当点P 在l 上移动时,直线AB 是否经过某一定点,若有,请求出该定点的坐标;如果没有,请说明理由()2当AB CD ⊥时,点P ,Q 在什么位置时,PQ 取得最小值?详解:()1设()11,A x y ,()22,B x y ,()0,1P x -,则2114x y =,2224x y =,抛物线的方程可变形为214y x =,则'2x y =, ∴直线PA 的斜率为01'|2PA x x xk y ===,∴直线PA 的方程()1112xy y x x -=-,化简()112x x y y =+,同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+,由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪=-⎨⎪⎩,∴直线AB 的方程为()021x x y =-,则{1x y ==是方程的解, ∴直线AB 经过定点()0,1.()2设(),1P P x -,(),1Q Q x -,由()1可知2PAB x k =,2Q CD x k =, AB CD ⊥,14P Q AB CD x x k k ∴⋅==-,即4P Q x x =-,P x ∴,Q x 异号,不妨设0P x >,则0Q x <,且4Q Px x =-, 44P Q P Q P PPQ x x x x x x ∴=-=-=+≥,当且仅当2P x =,2Q x =-时取等号, 即当()2,1P --,()2,1Q --时,PQ 取得最小值42.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ,下顶点为B ,定点()0,2C ,ABC ∆的面积为3,过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点,直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值,说明理由. 【详解】(1)由已知,,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3,1(2)32b a ∴+=,又由e =2a b =, 解得:=1b ,或=3b -(舍去),2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=;(2)设直线PQ 的方程为2y kx =+,,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-,令0y =,得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-,令0y =,得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363k k k =-++,是定值.3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点,当12MF F ∆的面积最大时,其内切圆半径为3b,设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时,3RS =. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点A 为椭圆C 的左顶点,,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ,若1214k k =-,试问直线PQ 是否过定点?若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 详解:(1)由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅,得12c a =①将x c =代入22221x y a b+=,结合222a b c =+②,得2b y a =±,所以223b a =③,由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=(2)设点,P Q 的坐标分别为11,x y (),22,x y (). ①当直线PQ 的斜率不存在时,由题意得331122P Q -(,),(,)或331122P Q -(,),(,),直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时,设直线PQ 的方程为y kx m =+,联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得2224384120k x kmx m +++-=(), 由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>,得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++) 由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=,得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=,整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++= 由(1)和(2)得2220m km k --=,解得2m k =或m k =-当2m k =时,直线PQ 的方程为2y kx k =+,过定点(2,0)-,不合题意; 当m k =-时,直线PQ 的方程为y kx k =-,过定点(1,0), 综上直线PQ 过定点,定点坐标为(1,0).4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(P .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E,取点(0,A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ,点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 详解:(1)因为焦距为4,所以224a b -=,又因为椭圆C过点(P ,所以22421a b +=,故28a =,24b =,从而椭圆C 的方程为22184x y +=已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(P .(2)由题意,E 点坐标为()0,0x ,设(),0D D x ,则(0,AE x =-,(,D AD x =-,再由AD AE ⊥知,0AE AD ⋅=,即080D x x +=. 由于000x y ≠,故08D x x =-,因为点G 是点D 关于y 轴的对称点,所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率00020088QG y x y k x x x =--=.又因()00,Q x y 在椭圆C 上,所以220028x y +=.①从而002QG x k y =-,故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭② 将②代入椭圆C 方程,得()222200021664160nxy x x x y +-+-=③再将①代入③,化简得:220020x x x x -+=解得0x x =,0y y =,即直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.5.在平面直角坐标系xOy 中,已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其中120y y ≠.(1)若10x =,求OAB 的面积;(2)在x 轴上是否存在定点T ,使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形. 【详解】(1)当10x =时,代入椭圆方程可得A 点坐标为()0,1或()0,1- 若A 点坐标为()0,1,此时直线l :440x y +-=联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩,消x 整理可得25830y y -+= 解得11y =或235y =,故B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以OAB 的面积为1841255⨯⨯= ()0,1A -若点坐标为,由对称性知OAB 的面积也是45,综上可知,当10x =时,OAB 的面积为45. (2)显然直线l 的斜率不为0,设直线l :4x my =+联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩,消去x 整理得()2248120m y my +++= 由()226441240m m =-⨯+>,得212m >则12284m y y m +=-+,122124y y m =+ , 因为直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形,所以0TA TB k k += 设(),0T t ,则()()()()()()()()122112121212111224TA TB y x t y x t my y t y y y y k k x t x t x t x t x t x t -+-+-++=+==------,即()()()()1212222848124240444m t m t m my y t y y m m m --+-+=+==+++,解得1t =.故x 轴上存在定点()1,0T ,使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形.6.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>⎛- ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由. 【详解】 (1)ca =,22131a4b +=,又222a b c -=,解得2a 4=,2b 1=.所以,椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭,满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 设直线l的方程为x my 0+=,与椭圆C 联立,整理得,()224m y 10+--=.设()22B x ,y ,11x xy y 12+=,定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得,12y y +=,1221y y 4m -=+.直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称,等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.所以,1212y y0x t x t+=--,即得()()1221y x t y x t 0-+-=.又11x my 0+=,22x my 0+=,所以,))1221y my t y my t 0-+-=,)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得,)21t 2m 04m-⋅=+,即()2m 40=,所以,当t =,即Q ⎫⎪⎪⎝⎭时,直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地,当直线l 为x轴时,Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述,存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭,满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.7.设椭圆22:182x y C +=,过点()2,1A 的直线AP ,AQ 分别交C 于不同的两点P 、Q ,直线PQ 恒过点()4,0B(1)证明:直线AP ,AQ 的斜率之和为定值;(2)直线AP ,AQ 分别与x 轴相交于M ,N 两点,在x 轴上是否存在定点G ,使得GM GN ⋅为定值?若存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由.【详解】(1)设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ,直线PQ AP AQ 、、的斜率分别为12,,k k k ,由()22448y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()222214326480k x k x k +-+-= >0∆,可得:222121222132648,,41414k k k x x x x k k -<+==++,()()()()12121212121212121241412(61)16411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++2222222222648322(61)16416414814164832164241414k k k k k k k k k k k k k-⋅-+⋅++-++-+===----⋅+++(2)由()112y k x -=-,令0y =,得3112x k =-,即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理4212x k =-,即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设x 轴上存在定点()0,0G x 则 ()()20000121212111112222GM GN x x x x k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-+-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()212001212122k k x x k k k k ⎛⎫+=-+-⋅+ ⎪⎝⎭()()20012121122x x k k k k ⎛⎫-=-+-⋅+⎪⎝⎭,要使GM GN ⋅为定值,即0021,3x x -==故x 轴上存在定点()3,0G 使GM GN ⋅为定值,该定值为18.如图,已知抛物线E :y 2=4x 与圆M :(x -3)2+y 2=r 2(r>0)相交于A ,B ,C ,D 四个点.(1)求r 的取值范围;(2)设四边形ABCD 的面积为S ,当S 最大时,求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 【详解】(1)联立抛物线与圆的方程22224,(3),y x x y r ⎧=⎨-+=⎩消去y ,得x 2-2x+9-r 2=0.由题意可知x 2-2x+9-r 2=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根,所以2244(9)0,90,r r ⎧∆=-->⎨->⎩解得3,即r. (2)根据(1)可设方程x 2-2x+9-r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2),则A (x 1),B (x 1, -C (x 2, -D (x 2且x 1+x 2=2,x 1x 2=9-r 2, 所以S=12(AB +CD )·(x 2-x 1)=12x 2-x 1) ==令∴(0,1),f (t )=S 2=4(2+2t )(4-4t 2)= -32(t 3+t 2-t -1), f'(t )= -32(3t 2+2t -1)= -32(t+1)(3t -1),可得f (t )在(0,13)上单调递增,在(13,1)上单调递减,即当t=13时,四边形ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性,可设P 点坐标为(m ,0),由P ,A ,D 三点共线,21=1整理得m=--t=-13, 所以点P 的坐标为(-13,0).9.设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>,离心率e =,短轴2b =点,以坐标轴为对称轴,焦点为()0,1, (1)求椭圆和抛物线的方程;(2)设坐标原点为O ,A 为抛物线上第一象限内的点,B 为椭圆是一点,且有OA OB ⊥,当线段AB 的中点在轴上时,求直线AB 的方程. 【详解】 (1)由2e =得a =,又有b =222a b c =+,解得a = 所以椭圆方程为2212010y x +=由抛物线的焦点为()0,1得,抛物线焦点在y 轴,且12p=, 抛物线的方程为:24x y =(2)由题意点A 位于第一象限,可知直线OA 的斜率一定存在且大于0 设直线OA 方程为:y kx =,0k >联立方程24y kx x y=⎧⎨=⎩得:24x kx =,可知点A 的横坐标4A x k =,即()24,4A k k因为OA OB ⊥,可设直线OB 方程为:1y x k=-连立方程22112010y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:2222012k x k =+,从而得x =若线段AB 的中点在y轴上,可知B x =B ⎛ ⎝有4k =0k >,解得k =从而得12A ⎫⎪⎭,()B 直线AB的方程:8180y +-=10.已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1,0),椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭,抛物线2C 的顶点为原点.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程;(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点,过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ,PB ,其中A 、B 为切点.设直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值;②若直线AB 交椭圆C 1于C ,D 两点,S ∴PAB ,S ∴PCD 分别是∴PAB ,∴PCD 的面积,试问:PAB PCDSS是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由. 【详解】(1)因为抛物线C 2有相同的焦点(1,0),且顶点为原点,所以12p=,所以2p =, 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =,设椭圆方程为22221x ya b +=,则1c =且222211914a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得224,3a b ==, 所以椭圆1C 的方程为:22143x y +=.(2)①证明:设(1,)P t -,过点P 与抛物线24y x =相切的直线为(1)y t k x -=+,由2(1)4y t k x y x -=+⎧⎨=⎩,消去x 得24440t y y k k -++=, 由∴=244()4(4)0tkk--+=,得210k tk +-=, 则121k k =-.②设1122(,),(,)A x y B x y 由①得112,y k =222y k =,则12221211,x x k k ==,所以直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--,所以211222122(1)11k k y y x k k --=--,即122(1)y x k k =--+,即直线AB 恒过定点(1,0),设点P 到直线AB 的距离为d ,所以PAB PCDS S1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为(1)y k x =-, 设3344(,),(,)C x y D x y ,由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩,消去y 得2222(24)0k x k x k -++=, 0k ≠时,∴0>恒成立,||AB == 224(1)k k+=, 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=,∴0>恒成立,则||CD == 2212(1)34k k+=+. 所以22224(1)12(1)34PAB PCD k S k k S k+=++22234144333k k k +==+>, 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为1x =,此时||4AB =,||3CD =,PAB PCDS S43=, 所以PAB PCDS S的最小值为43.11.已知过圆1C :221x y +=上一点12E ⎛ ⎝⎭的切线,交坐标轴于A 、B 两点,且A 、B 恰好分别为椭圆2C :()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.(1)求椭圆2C 的方程;(2)已知P 为椭圆的左顶点,过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点,若直线MN 过定点()1,0Q -,求证:PM PN ⊥. 【详解】(1)直线OE l的方程为y ,则直线AB l的斜率AB k =. 所以AB l:y x =A ⎛ ⎝⎭,()2,0B ,椭圆方程为:221443x y +=; (2)①当MN k 不存在时,()1,1M -,()1,1N --,因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=,所以PM PN ⊥.②当MN k 存在时,设()11,M x y ,()22,N x y ,MN l :()1y k x =+,联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得:()2222136340k x k x k +++-=.所以2122613k x x k +=-+,21223413k x x k-=+,又已知左顶点P 为()2,0-, ()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+,又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+, 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++2222234124123013k k k k k --++-==+,所以PM PN ⊥.综上PM PN ⊥得证.12.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -,(),0B a ,点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点,设直线PA ,PB 的斜率分别为1k 、2k ,且1213k k ⋅=-,椭圆的焦距长为4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)过右焦点F 且倾斜角为30的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点,分别记ABM ∆,ABN ∆的面积为1S 、2S ,求12S S -的值. 【详解】(1)设点()()000,P x y x a ≠,则2200221x y a b+=,①∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--,②∴联立①②得()()222230b a x a --=,∴()2203a a b x =≠,∴22222212133a b e a a c -===-=,∴e =. (2)由题意知,24c =,即2c =,由(1)知,223a b ,∴22224a b c b =+=+,∴22b =,26a =,∴椭圆C 的方程为:22162x y +=,由已知得l:)2y x =-.联立)2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,可得2210x x --=.设()11,M x y ,()22,N x y ,根据韦达定理,得122x x +=,于是)12121212S S y x x -=⨯+=+13.(本小题满分12分)记抛物线2::2C y x =-的焦点为F ,点M 在抛物线上,(3,1)N -,斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于P Q ,两点.(1)求||||MN MF +的最小值;(2)若(2,2)M -,直线MP MQ ,的斜率都存在,且20MP MQ k k ++=;探究:直线l 是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 【解析】(1)设抛物线C 的准线为l ',过点M 作1MM l '⊥,垂足为1M ,过点N 作1NN l '⊥,垂足为1N ,如图:则117||||||2MN MF MN MM NN +=+=,即||||MN MF +的最小值为72. (2)设直线l 的方程为()11,,y kx b P x y =+,()22,Q x y ,将直线l 与抛物线C 的方程联立得22y kx b y x=+⎧⎨=-⎩,222(22)0k x kb x b +++=,212122222,kb b x x x x k k --+== ① 又121222222MP MQ y y k k x x --+=+=-++, 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++,()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x bx x x x ++++-++-=--+-,将①代入得,222(1)0b b k b ---+=,即(1)(22)0b b k +--=,得1b =-或22b k =+, 当1b =-时,直线l 为1y kx =-,此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时,直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++,此时直线恒过(2,2)M -(舍去). 综上所述,直线l 过定点(0,1)-.14.(本小题满分12分)已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ,若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ,N 两点,满足||4MN =. (I )求抛物线Γ的方程;(II )若P 为Γ上动点,B ,C 在y 轴上,圆22(1)1x y -+=内切于PBC ,求PBC 面积的最小值. 【解析】(I )抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫⎪⎝⎭,则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-, 联立抛物线方程2y ax =,消去y 得:2230216a ax x -+=,设()()1122,,,M x y N x y ,则1232a x x +=, 由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==,解得2a =,∴抛物线的方程为2:2y x Γ=.(II )设()00,P x y ,()0,B b ,()0,C c ,不妨设b c >,00:PB y bl y b x x --=,化简得:()0000y b x x y x b --+=,圆心()1,0到直线PB 的距离为11=,即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+,不难发现02x >,上式又可化为()2000220x b y b x -+-=,同理有()2000220x c y c x -+-=,∴,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根,0022y b c x -∴+=-,()()220002020042,()22x y x x bc b c x x +--=∴-=--, 由条件:2002y x =()2220042()22x x b c b c x x ∴-=∴-=--,, ()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--,当且仅当04x =时取等号, ∴PBC S △面积的最小值为8.15.(本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ,焦点F 在y 轴的正半轴上,过点F 的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,且满足3.4OA OB ⋅=- (1)求抛物线C 的方程;(2)若P 是抛物线C 上的动点,点,M N 在x 轴上,圆2211x y +-=()内切于PMN ∆,求PMN ∆面积的最小值. 【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>,则焦点F 的坐标为02p(,).设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+,,,,, 联立方程得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,消去y 得2222220,440x pkx p p k p --=∆=+>,∴221212122.4p x x pk x x p y y +==-=,,∵121234OA OB x x y y ⋅=+=-,∴ 1.p =故抛物线的方程为22x y =.(2)设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠,,,,,,易知点M N ,的横坐标与P 的横坐标均不相同,不妨设m n >,易得直线PM 的方程为()00y y x m x m=--化简得()0000y x x m y my ---=,又圆心(0,1)到直线PM 的距离为11=,∴()()()222220000002x m y x m my x m m y -+=-+-+,不难发现02y >,故上式可化为()2000220y m x m y -+-=,同理可得()2000220y n x n y -+-=,,m n ∴可以看作是()2000220y t x t y -+-=的两个实数根,则0000222x y m n mn y y --+==--,,∴()()()2222000204484.2x y y m n m n mn y +--=+-=- ∵()00P x y ,是抛物线C 上的点,∴2002x y =,则()()222042y m n y -=-,又02y >,∴02,2y mn y =- 从而()02000000014242222PMNy y S m n y y y y y y ∆=-=⋅==-++---48≥=,当且仅当()2024y-=时取得等号,此时004,y x ==±故△PMN 面积的最小值为8.16.(12分)已知直线与抛物线:交于,两点,且2x p =C ()220y px p =>P Q POQ∆的面积为16(为坐标原点). (1)求的方程;(2)直线经过的焦点且不与轴垂直,与交于,两点,若线段的垂直平分线与轴交于点,证明:为定值.【解析】(1)将代入,得,所以的面积为. 因为,所以,故的方程为.(2)证明:由题意设直线的方程为,由,得.设,,则,所以.因为线段的中点的横坐标为,纵坐标为,所以线段的垂直平分线的方程为,令,得,所以的横坐标为,所以,故为定值.17.(12分)已知椭圆2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线与椭圆C交于点E ,F ,过点E 作轴于点M ,直线FM 交椭圆C 于另一点N ,证明:. 【解析】(1)由题,,∴,, 故椭圆方程为; O C l C F l x C A B AB x D AB DF2x p =22y px =2y p =±POQ ∆21244162p p p ⨯⨯==0p >2p =C 24y x =l ()()10y k x k =-≠()214y k x y x⎧=-⎨=⎩()2222240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y 212224k x x k ++=212244k x x p AB k +=++=AB 212222x x k k ++=2kAB 22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭0y =223x k =+D 223k +2222312k D kF =+-=+2AB DF =2222:1(0)x y C a b a b +=>>y kx =EM x ⊥EF EN ⊥2c a =22c =a =1e =1b =2212x y +=(2)设,,,则,与椭圆方程联立得,由得,, ∴,即.18.(12分)如图,设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >,过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ,过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ,记S 为MBA ∆的面积.(∴)求p 的值(用t 表示); (∴)若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求t 的取值范围.注:若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行也不重合,则称该直线与抛物线相切. 【解析】00(,)E x y ()00,F x y --00(),M x 000:()2FM y l y x x x =-()22222220002240x y x x y x x y x +-+-=2000220022N F N x y x x x x x y +=-=+230002200322N x y x x x y +=+()0000000000022N N ENN N N y x x y y y y y x k x x x x x x x ---===----00230000022003222y y x y x x x x y =-+-+2200000222220000000222224y y y x y x x x x y x y +=-=⋅+-+2220000000000022222y x y x x x x y x y y +-=-==-00001EN EF x y k k y x ⋅=-⋅=-EF EN⊥(∴)因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t tt >,又点M 在抛物线2C :()220y px p =>上,故()222tpt =,则32t p =(∴)设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+,联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=,则()()222420k kt tk t ∆=--=-=,因此2k t ,即直线MA的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k t y x t y t t t --====-+-,从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因此2t MB t =-=2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB :2022t t x y -+=的距离29t d ==MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===,即32732t S =,因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即31272432t ≤≤,解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切.(1)求C 的方程;(2)直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ,()22,N x y 两点,且12x x >.已知l 上存在点P ,使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形.若P 在直线MN 右下方,求m 的值. 【解析】 (1)依题意,1b =,因为离心率c e a ===,=a = 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.(2)因为直线y x m =+的倾斜角为45︒,且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形,P 在直线MN 右下方,所以NP x ∥轴.过M 作NP 的垂线,垂足为Q ,则Q 为线段NP 的中点,所以()12,Q x y ,故()1222,P x x y -, 所以()12232450x x y -+-=, 即()()12232450x x x m -++-=, 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+>,解得22m -<<, 所以1232x x m +=-,②()212314x x m =-,③ 由①-②得,112mx =-,④ 将④代入②得21x m =--,⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭,解得1m =-.综上,m 的值为1-.20.(12分)已知直线2x p =与抛物线C :()220y px p =>交于P ,Q 两点,且POQ∆的面积为16(O 为坐标原点). (1)求C 的方程.(2)直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ,试问在x 轴上是否存在点E ,使AB DE为定值?若存在,求该定值及E 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)将2x p =代入22y px =,得2y p =±,所以POQ ∆的面积为21244162p p p ⨯⨯==. 因为0p >,所以2p =,故C 的方程为24y x =. (2)由题意设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠,由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则212224k x x k ++=,所以212244||k AB x x p k+=++=. 因为线段AB 的中点的横坐标为212222x x k k++=,纵坐标为2k , 所以线段AB 的垂直平分线的方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭, 令0y =,得223x k =+,所以D 的横坐标为223k +,设(),0E t ,则()2223223t k DE t k k-+=+-=,()224432AB k DE t k +∴=-+, 所以当且仅当32t -=,即1t =时,AB DE为定值,且定值为2,故存在点E ,且E 的坐标为()1,0.21.已知直线l 与抛物线()2:20C x py p =>相交于,A B 两个不同点,点M 是抛物线C 在点,A B 处的切线的交点。

2023年高考圆锥曲线解答题精选一百道答案

2023年高考圆锥曲线解答题精选一百道答案

故点
h 在以 为直径的圆外.
13. (1) 设切点坐标为 h h h h h h ,则切线斜率为
线方程为
h
h
h
h

h
h
此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为
h,切
h
由h
h
最大值,即
hh
hh
h h,可知,当且仅当 h
有最小值,因此点 的坐标为
由题意知
h
时, h h 有

h
解得
故 方程为 (2) 由(1)知

若直线 与曲线 只有一个交点,令
h.
当 h 时,解得
h,即
解得

,即 h,
,此时方程可化为
满足条件.
当 h 时,
①若
是方程的解,则
h
h 另一根为
故在区间
上有且仅有一个根,满足题意.
h h툨 ,
②若
是方程的解,则
h
另外一根为


,故在区间
上有且仅有一个根,满足题意.
③若

均不是方程的解,则方程在区间
3. (1) 设


则:

,所以


两式相减得 即
က က
h
h
所以

因此原命题得证,且定值为 .
(2) 根据题意,如图.
假设存在符合题意的平行四边形 于是
,设 h h ,则
h
h
က
᜕h
此时根据第(1)小题的结论,有 က hh က
hh
整理得
ကh ကh
h
h
က

2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析

2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析

2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析一、解答题1.(23-24高三下·重庆·阶段练习)已知抛物线()2:20E y px p =>,O 是坐标原点,过()4,0的直线与E 相交于A ,B 两点,满足OA OB ⊥.(1)求抛物线E 的方程;(2)若()0,2P x 在抛物线E 上,过()4,2Q -的直线交抛物线E 于M ,N 两点,直线PM ,PN 的斜率都存在,分别记为1k ,2k ,求12k k ⋅的值.3【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.(23-24高三下·重庆·阶段练习)已知抛物线2:4,,C x y M N =为抛物线C 上两点,,M N 处的切线交于点()00,P x y ,过点P 作抛物线C 的割线交抛物线于,A B 两点,Q 为AB 的中点.(1)若点P 在抛物线C 的准线上,(i )求直线MN 的方程(用含0x 的式子表示);(ii )求PMN 面积的取值范围.(2)若直线MQ 交抛物线C 于另一点D ,试判断并证明直线ND 与AB 的位置关系.【答案】(1)(i )012y x =【详解】(1)(i )设点221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为抛物线2:4C x y =,得12y x '=,则()21111:42MP x l y x x x -=-,整理得2111124y x x x =-①,()22221:42NP x l y x x x -=-,整理得2221124y x x x =-②,联立①②得()0120121214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因为点P 在抛物线C 的准线上,即直线1y =-上,所以124x x =-,设直线MN 的方程为y kx b =+,斜率必存在,联立24=+⎧⎨=⎩y kx bx y ,消去y 得2440x kx b --=,所以212012Δ161604244k b x xk x x x b ⎧=+>⎪+==⎨⎪=-=-⎩,得0121k x b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以直线MN 的方程为0112y xx =+;(ii )由(i )得21x x -=(2)直线ND 与AB 平行,证明:直线AB 斜率必存在,设消去y 得20444x kx kx -++=则()2034340161610444k kx x x k x x kx ⎧-+>⎪+=⎨⎪=+⎩,得则直线(21:4MQ x l y k x x '-=-()2122011214442x k k x x x k x ----=-整理得()(221284k x x k ---则2211112842D kx k x kx x x k x -+-=-则2101284142D kx k kx y k x ⎛-+-= -⎝【点睛】方法点睛:对于直线和圆锥曲线相交的问题,我们一般联立方程,然后用韦达定理来解决问题,特别是当一个交点知道的情况下,3.(23-24高三下·重庆·阶段练习)已知()()122,0,2,0C C -,动点P 满足1PC 与2PC 的斜率之积为定值14.(1)求动点P 的轨迹Γ的方程;(2)过点()4,0M 的直线l 与曲线Γ交于,A B 两点,且,A B 均在y 轴右侧,过点A 作直线:1l x '=的垂线,垂足为D .(i )求证:直线BD 过定点;(ii )求MBD 面积的最小值.【答案】(1)(22104x y y -=≠(2)(i )证明见解析;(ii )3【分析】(1)设动点P 的坐标,由题意列式并化简,即可得答案;(2)(i )设直线方程:l x my =结合题意有(2212212240Δ644884124m m m m y y m y y m ⎧-≠⎪=-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪⎪⋅=<-⎩解得22m -<<,且122my y =又直线BD 的方程为1y y -=令0y =,则()122111y x x y y -=--()(122121235422=y y y y y y y y ++-=-4.(23-24高三上·重庆·阶段练习)已知点00(,)P x y 是椭圆E :221(0)a b a b +=>>上的动点,离心率2e =设椭圆左、右焦点分别为12,F F ,且12|||4|PF PF +=(1)求椭圆E 的标准方程;(2)若直线12,PF PF 与椭圆C 的另一个交点分别为A ,B ,问PAB 面积是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.【点睛】方法点睛:圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,(2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.5.(23-24高三上·重庆·期中)已知椭圆C :()2210a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,01,0F F -,,椭圆C 上一动点A 在第二象限内,点A 关于x 轴的对称点为点B ,当AB 过焦点1F 时,直线2AF 过点30,4⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程;(2)点B 与焦点2F 所在直线交椭圆C 于另一点P ,直线AP 交x 轴于点T ,求TAB △面积最大时,点A 横坐标的值.【答案】(1)22143x y +=(2)13-设直线PB 的方程为1x my =+,联立得()2234690m y my ++-=,由于直线则12122269,343m y y y y m m -+=-=++直线PA 的方程为(21121y y y y x x ++=-令0y =,得(1121212y my y x y x x y y ==++即(4,0)T ;()()1114||432TABS x AB x =-⋅=-6.(23-24高三上·重庆渝中·阶段练习)已知椭圆C :()2210a b a b +=>>的上、下顶点分别为A ,B ,左顶点为D ,ABD △(1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆外一点(),0M m 的直线交椭圆于P ,Q 两点,已知点P 与点P '关于x 轴对称,直线P Q '与x 轴交于点K ;若AKB ∠是钝角,求m 的取值范围.【点睛】方法点睛:求解椭圆的方程,关键是求得所以需要两个条件,如本题中,等边三角形以及等边三角形的面积,一共两个条件,用这两个条件列方程组,即可求得,a 7.(23-24高三上·重庆渝中·阶段练习)如图3所示,点1F ,A 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点和右顶点,点F 为抛物线2:16C y x =的焦点,且124OF OA OF ==(O 为坐标原点).(1)求椭圆E 的方程;(2)过点1F 作直线l 交椭圆E 于B ,D 两点,连接AB ,AD 并延长交抛物线的准线于点M ,N ,求证:1MF N ∠为定值.8.(23-24高三上·重庆渝中·阶段练习)已知椭圆()22:10x y C a b a b +=>>的离心率为e =,且经过点()1,e .(1)求椭圆C 的方程;(2)若A ,F 分别为椭圆C 的上顶点和右焦点,直线()3:0l y kx k =->与椭圆C 交于点B ,D ,F 到直线AB ,AD 的距离分别为1d 和2d ,求证:12d d =.。

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1,2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.2.2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |.3.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ)已知点A (0,-2),椭圆E :22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点,直线AF ,O 为坐标原点. (1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.5.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ带解析)在直角坐标系xoy 中,曲线C :y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点,(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由.6.2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3) 已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点.(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明;(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.7.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k (k > 0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA . (Ⅰ)当t=4,AM AN =时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围.设圆的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.9.2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C 22:12x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10.2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >,. (1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明:FA ,FP ,FB 成等差数列,并求该数列的公差.已知椭圆C :2222=1x y a b +(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1P 4(1中恰有三点在椭圆C 上. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.12.2018年全国普通高等学校招生统一考试理数(全国卷II )设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =. (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.13.2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I 卷)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠.14.2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I 卷)设抛物线22C y x =:,点()20A ,,()20B -,,过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:ABM ABN ∠=∠.15.2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点.线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >.(1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明:2FP FA FB =+.16.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标1卷)设A 、B 为曲线C :24x y =上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM BM ⊥,求直线AB 的方程.17.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标2卷)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C 22:12x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3卷)在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为(0,1).当m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC ⊥BC 的情况?说明理由;(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19.(2016新课标全国卷Ⅰ文科)在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . (Ⅰ)求OH ON;(Ⅱ)除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点?说明理由.20.2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅱ)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,点在C 上(1)求C 的方程(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点,A B ,线段AB 的中点为M .证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21.2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)已知曲线2:,2x C y D =,为直线12y上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为,A B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程.22.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国Ⅱ卷带解析)设1F , 2F 分别是椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点, M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a , b .23.2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ) 已知点,圆:,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.(1)求的轨迹方程;(2)当时,求的方程及的面积24.2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM ON ⋅=12,其中O 为坐标原点,求|MN |.一、解答题1,2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解;(2) 3或【分析】(1)可设11(,)A x y ,22(,)B x y ,1(,)2D t -然后求出A ,B 两点处的切线方程,比如AD :1111()2y x x t +=-,又因为BD 也有类似的形式,从而求出带参数直线AB 方程,最后求出它所过的定点.(2)由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立,再通过M 为线段AB 的中点,EM AB ⊥得出t 的值,从而求出M 坐标和EM 的值,12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离,则12d d ==,结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明:设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =. 又因为212y x =,所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x , 故1111()2y x x t +=-,整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ,同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ,而两个不同的点确定一条直线,所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=,当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可得2210x tx --=, 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离,则12d d ==.因此,四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点,则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭, 由于EM AB ⊥,而()2,2EM t t =-,AB 与向量(1,)t 平行,所以()220t t t +-=,解得0t =或1t =±.当0t =时,3S =;当1t =±时S =因此,四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班的求解就可以.思路较为清晰,但计算量不小. 2.2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |. 【答案】(1)12870x y --=;(2【分析】(1)设直线l :32y x m =+,()11,A x y ,()22,B x y ;根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于m 的方程,解方程求得结果;(2)设直线l :23x y t =+;联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用3AP PB =可得123y y =-,结合韦达定理可求得12y y ;根据弦长公式可求得结果. 【详解】(1)设直线l 方程为:32y x m =+,()11,A x y ,()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知:12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得:()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=,解得:78m =-∴直线l 的方程为:3728y x =-,即:12870x y --= (2)设(),0P t ,则可设直线l 方程为:23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得:2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=,123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-,13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系. 3.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ)已知点A (0,-2),椭圆E :22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF ,O 为坐标原点.(1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.【答案】(1)2214x y += (2)2y x =-【解析】试题分析:设出F ,由直线AFc ,结合离心率求得a ,再由隐含条件求得b ,即可求椭圆方程;(2)点l x ⊥轴时,不合题意;当直线l 斜率存在时,设直线:2l y kx =-,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于零求得k 的范围,再由弦长公式求得PQ ,由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离,代入三角形面积公式,化简后换元,利用基本不等式求得最值,进一步求出k 值,则直线方程可求. 试题解析:(1)设(),0F c ,因为直线AF,()0,2A -所以23c =,c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==,所以椭圆E 的方程为2214x y +=.(2)解:设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为:2y kx =-,联立221{42,x y y kx +==-,消去y 得()221416120k x kx +-+=,当()216430k ∆=->,所以234k >,即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>,则2243k t =+,244144OPQ t S t t t∆==≤=++, 当且仅当2t =2=,解得k =时取等号, 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为:2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.4.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅱ)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,47-或47+. 【解析】试题分析:(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线OM 的斜率,再表示;(2)第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x ,直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标,第二步再整理点的坐标,如果能构成平行四边形,只需,如果有值,并且满足0k >,3k ≠的条件就说明存在,否则不存在.试题解析:解:(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y .∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=, ∴12229M x x kbx k +==-+,299M M b y kx b k =+=+. ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-,即9OM k k ⋅=-. 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-. (2)四边形OAPB 能为平行四边形. ∵直线l 过点(,)3mm ,∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x . ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得,即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=,因此2(3)3(9)M mk k x k -=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+.解得147k =247k =.∵0,3i i k k >≠,1i =,2,∴当l 的斜率为47-或47+时,四边形OAPB 为平行四边形. 考点:直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦,当直线与圆锥曲线相交时,点是弦的中点,(1)知道中点坐标,求直线的斜率,或知道直线斜率求中点坐标的关系,或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时,也可以选择点差法,设,,代入椭圆方程,两式相减,化简为,两边同时除以得,而,,即得到结果,(2)对于用坐标法来解决几何性质问题,那么就要求首先看出几何关系满足什么条件,其次用坐标表示这些几何关系,本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分,即2P M x x =,分别用方程联立求两个坐标,最后求斜率.5.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ带解析)在直角坐标系xoy 中,曲线C :y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点,(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由. 【答案】(Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=(Ⅱ)存在 【详解】试题分析:(Ⅰ)先求出M,N 的坐标,再利用导数求出M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程,设出M,N 的坐标和P 点坐标,利用设而不求思想,将直线PM ,PN 的斜率之和用a 表示出来,利用直线PM ,PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系,从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析:(Ⅰ)由题设可得(2,)M a a ,(2,)N a -,或(22,)M a -,,)N a a .∵12y x '=,故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-,即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ,C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+,即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为复合题意得点,11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线PM ,PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时,有12k k +=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN ,所以(0,)P a -符合题意.考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力 6.2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3) 已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点.(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明;(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:设的方程为.(1)由在线段上,又;(2)设与轴的交点为(舍去),.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时.当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为.试题解析:由题设,设,则,且.记过两点的直线为,则的方程为.............3分(1)由于在线段上,故,记的斜率为的斜率为,则,所以..................5分(2)设与轴的交点为,则,由题设可得,所以(舍去),.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时,由可得.而,所以.当与轴垂直时,与重合,所以,所求轨迹方程为.........12分考点:1.抛物线定义与几何性质;2.直线与抛物线位置关系;3.轨迹求法.7.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k (k > 0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA . (Ⅰ)当t=4,AM AN =时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)14449;(Ⅱ))2.【解析】试题分析:(Ⅰ)先求直线AM 的方程,再求点M 的纵坐标,最后求AMN 的面积;(Ⅱ)设()11,M x y ,写出A 点坐标,并求直线AM 的方程,将其与椭圆方程组成方程组,消去y ,用,t k 表示1x ,从而表示AM ,同理用,t k 表示AN ,再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析:(Ⅰ)设()11,M x y ,则由题意知10y >,当4t =时,E 的方程为22143x y +=,()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =,所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.(Ⅱ)由题意3t >,0k >,()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+,故1AM x =+=.由题设,直线AN 的方程为(1y x k =-+,故同理可得AN ==,由2AM AN =得22233k tk k t=++,即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立,因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--, 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<,或320{20k k -<->,解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题,常把所求参数作为函数值,另一个元作为自变量求解.8.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标1卷) 设圆的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆定义求方程;(Ⅱ)把面积表示为关于斜率k 的函数,再求最值。

高考数学理试题分类圆锥曲线(含答案及解析)

高考数学理试题分类圆锥曲线(含答案及解析)

高考数学试题分类汇编:圆锥曲线(理科)一、选择题1、(2016年四川高考)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点,M 是线段上的点,且PM =2MF ,则直线的斜率的最大值为(A (B )23(C )2 (D )1【答案】C2、(2016年天津高考)已知双曲线2224=1x y b-(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的的面积为2b ,则双曲线的方程为( )(A )22443=1y x -(B )22344=1y x -(C )2224=1x y b -(D )2224=11x y - 【答案】D3、(2016年全国I 高考)已知方程–=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A )(–1,3) (B )(–1) (C )(0,3) (D )(0)【答案】A4、(2016年全国I 高考)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知,C 的焦点到准线的距离为(A )2 (B )4 (C )6 (D )8 【答案】B5、(2016年全国高考)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则( )(A )43- (B )34- (C (D )2 【答案】A6、(2016年全国高考)圆已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左,右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为( )(A (B )32(C (D )2【答案】A7、(2016年全国高考)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线经过的中 点,则C 的离心率为(A )13(B )12(C )23(D )34【答案】A8、(2016年浙江高考) 已知椭圆C 1:22x m 2=1(m >1)与双曲线C 2:22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则A .m >n 且e 1e 2>1B .m >n 且e 1e 2<1C .m <n 且e 1e 2>1D .m <n 且e 1e 2<1 【答案】A二、填空题1、(2016年北京高考)双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线为正方形的边,所在的直线,点B 为该双曲线的焦点,若正方形的边长为2,则a =. 【答案】22、(2016年山东高考)已知双曲线E :22221x y a b-= (a >0,b >0),若矩形的四个顶点在E 上,,的中点为E 的两个焦点,且23,则E 的离心率是. 【答案】2【解析】由题意c 2=BC ,所以3c =AB ,于是点),23(c c 在双曲线E 上,代入方程,得1492222=b c -a c , 在由2c b a =+22得E 的离心率为2==ace ,应填2.3、(2016年上海高考)已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离【答案】54、(2016年浙江高考)若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是. 【答案】9三、解答题1、(2016年北京高考) 已知椭圆C :22221+=x y a b(0a b >>)的离心率为2 ,(,0)A a ,(0,)B b ,(0,0)O ,OAB ∆的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 的椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线与x 轴交于点N. 求证:BM AN ⋅为定值.【解析】⑴由已知,112c ab a ==,又222a b c =+,解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=.⑵方法一:设椭圆上一点()00,P x y ,则220014x y +=.直线PA :()0022y y x x =--,令0x =,得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB :0011y y x x -=+,令0y =,得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二:设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ,直线:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =,得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =,得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.2、(2016年山东高考)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b+=>> 的离心率是2,抛物线E :22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(I )求椭圆C 的方程;()设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段的中点为D ,直线与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;()直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】(Ⅰ) 由离心率是23,有224=b a , 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ,所以21=b ,于是1=a , 所以椭圆C 的方程为1=4+22y x .(Ⅱ) (i )设P 点坐标为)0>(),2m m ,P 2m (, 由y x 2=2得x y =′,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m , 因此切线l 的方程为2=2m mx -y ,设),(),,(2211y x B y x A ,),(00y x D ,将2=2m mx -y 代入1=4+22y x ,得0=1+4)4+12322-m x m -x m (.于是23214+14=+m m x x ,232104+12=2+=m m x x x , 又)4+1(2=2=22200m -m m -mx y ,于是 直线OD 的方程为x m-y 41=. 联立方程x m -y 41=与m x =,得M 的坐标为)41M(m,-.所以点M 在定直线41=y -上.()在切线l 的方程为2=2m mx -y 中,令0=x ,得2m =y 2-,即点G 的坐标为)2m G (0,-2,又)2m P(m,2,)21F(0,, 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ;再由)1)+2(4m -m ,1+4m 2m D(2223,得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m . 令1+2=2m t ,得222111+2=)1+)(21(2=S S t -t t t t - 当21=1t时,即2=t 时,21S S 取得最大值49.此时21=2m ,22=m ,所以P 点的坐标为)41,22P(. 所以21S S 的最大值为49,取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(.3、(2016年上海高考) 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编

圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编

圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C :x 2+y 2=16(y >0),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ,P 为垂足,则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y ),由题意,根据中点的坐标表示可得P (x ,2y ),代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y ),则P (x ,y 0),P (x ,0),因为M 为PP 的中点,所以y 0=2y ,即P (x ,2y ),又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上,所以x 2+4y 2=16(y >0),即x 216+y 24=1(y >0),即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选:A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ,点P -6,4 在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ,结合双曲线定义计算可得2a ,即可得离心率.【详解】由题意,F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ,则F 1F 2 =2c =8,PF 1 =62+4+4 2=10,PF 2 =62+4-4 2=6,则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4,则e =2c 2a =84=2.故选:C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点,且直线PF 2的斜率为2.△PF 1F 2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设PF 2 =m ,由面积公式求出m ,由勾股定理得出c ,结合第一定义再求出a .【详解】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,∠F 1PF 2=90°,设PF 2 =m ,∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2,由k PF 2=tan θ1=2,求得sin θ1=25,因为∠F 1PF 2=90°,所以k PF 1⋅k PF 2=-1,求得k PF 1=-12,即tan θ2=12,sin θ2=15,由正弦定理可得:PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5,则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ,由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22,则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10,由双曲线第一定义可得:PF 1 -PF 2 =2a =22,a =2,b =c 2-a 2=8,所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选:C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2,到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4,则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时,y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a,故可判断A的正误,结合曲线方程可判断B的正误,利用特例法可判断C的正误,将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A:设曲线上的动点P x,y,则x>-2且x-22+y2×x-a=4,因为曲线过坐标原点,故0-22+02×0-a=4,解得a=-2,故A正确.对于B:又曲线方程为x-22+y2×x+2=4,而x>-2,故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时,22-22×22+2=8-4=4,故22,0在曲线上,故B正确.对于C:由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22,取x=32,则y2=6449-14,而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0,故此时y2>1,故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.对于D:当点x0,y0在曲线上时,由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22,故-4x0+2≤y0≤4x0+2,故D正确.故选:ABD.【点睛】思路点睛:根据曲线方程讨论曲线的性质,一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则()A.l与⊙A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项,抛物线准线为x=-1,根据圆心到准线的距离来判断;B选项,P,A,B三点共线时,先求出P 的坐标,进而得出切线长;C选项,根据PB=2先算出P的坐标,然后验证k PA k AB=-1是否成立;D选项,根据抛物线的定义,PB=PF,于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题,此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可,亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项,抛物线y2=4x的准线为x=-1,⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和⊙A相切,A选项正确;B选项,P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标y P=4,由y2P=4x P,得到x P=4,故P(4,4),此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15,B选项正确;C选项,当PB=2时,xP=1,此时y2P=4x P=4,故P(1,2)或P(1,-2),当P(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),k PA=4-20-1=-2,k AB=4-20-(-1)=2,不满足k PA k AB=-1;当P(1,-2)时,A(0,4),B(-1,2),k PA=4-(-2)0-1=-6,k AB=4-(-2)0-(-1)=6,不满足k PA k AB=-1;于是PA⊥AB不成立,C选项错误;D选项,方法一:利用抛物线定义转化根据抛物线的定义,PB=PF,这里F(1,0),于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题,A(0,4),F(1,0),AF中点12,2,AF中垂线的斜率为-1kAF =14,于是AF的中垂线方程为:y=2x+158,与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0,Δ=162-4×30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,即存在两个P点,使得PA=PF,D选项正确.方法二:(设点直接求解)设Pt24,t,由PB⊥l可得B-1,t,又A(0,4),又PA=PB,根据两点间的距离公式,t416+(t-4)2=t24+1,整理得t2-16t+30=0,Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解,即存在两个这样的P点,D选项正确.故选:ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为.【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象,求出AF2,结合双曲线第一定义求出AF1,即可得到a,b,c的值,从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ,即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ,故AB =2b 2a =10,AF 2 =b 2a=5,又AF 1 -AF 2 =2a ,得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13,解得a =4,代入b 2a=5得b 2=20,故c 2=a 2+b 2=36,,即c =6,所以e =c a =64=32.故答案为:327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ,则焦点坐标为.【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0,由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ,所以其焦点坐标为4,0 .故答案为:4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1,则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为.【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在,然后设出方程,联立双曲线方程,根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1,解得y =±52,这表明满足题意的直线斜率一定存在,设所求直线斜率为k ,则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ,联立x 24-y 2=1y =k x -3 ,化简并整理得:1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0,由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0,解得k =±12或无解,即k =±12,经检验,符合题意.故答案为:±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为.【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标,从而可求焦准距,再联立圆和抛物线方程,求A 及AF 的方程,从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ,故p2=1即p =2,由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0,故x =4或x =-6(舍),故A 4,±4 ,故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0,故原点到直线AF 的距离为d =45=45,故答案为:4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9,那么点P 到x 轴的距离为.【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8,将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1,设点P x 0,y 0 ,由题意得x 0+1=9,解得x 0=8,代入抛物线方程y 2=4x ,得y 20=32,解得y 0=±42,则点P 到x 轴的距离为42.故答案为:42.11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且△ABP 的面积为9,求l 的方程.【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程,解出即可;(2)方法一:以AP 为底,求出三角形的高,即点B 到直线AP 的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到B 点坐标,则得到直线l 的方程;方法二:同法一得到点B 到直线AP 的距离,再设B x 0,y 0 ,根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组,解出即可;法三:同法一得到点B 到直线AP 的距离,利用椭圆的参数方程即可求解;法四:首先验证直线AB 斜率不存在的情况,再设直线y =kx +3,联立椭圆方程,得到点B 坐标,再利用点到直线距离公式即可;法五:首先考虑直线PB 斜率不存在的情况,再设PB :y -32=k (x -3),利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案;法六:设线法与法五一致,利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1,解得b2=9a2=12,所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一:k AP=3-320-3=-12,则直线AP的方程为y=-12x+3,即x+2y-6=0,AP=0-32+3-3 22=352,由(1)知C:x212+y29=1,设点B到直线AP的距离为d,则d=2×9352=1255,则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,设该平行线的方程为:x+2y+C=0,则C+65=1255,解得C=6或C=-18,当C=6时,联立x212+y29=1x+2y+6=0,解得x=0y=-3或x=-3y=-32,即B0,-3或-3,-3 2,当B0,-3时,此时k l=32,直线l的方程为y=32x-3,即3x-2y-6=0,当B-3,-3 2时,此时k l=12,直线l的方程为y=12x,即x-2y=0,当C=-18时,联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0,Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B x0,y0,则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1,解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3,即B0,-3或-3,-3 2,以下同法一.法三:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B 23cos θ,3sin θ ,其中θ∈0,2π ,则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255,联立cos 2θ+sin 2θ=1,解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1,即B 0,-3 或-3,-32,以下同法一;法四:当直线AB 的斜率不存在时,此时B 0,-3 ,S △PAB =12×6×3=9,符合题意,此时k l =32,直线l 的方程为y =32x -3,即3x -2y -6=0,当线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +3,联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1,则4k 2+3 x 2+24kx =0,其中k ≠k AP ,即k ≠-12,解得x =0或x =-24k 4k 2+3,k ≠0,k ≠-12,令x =-24k 4k 2+3,则y =-12k 2+94k 2+3,则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0,点B 到直线AP 的距离d =1255,则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255,解得k =32,此时B -3,-32 ,则得到此时k l =12,直线l 的方程为y =12x ,即x -2y =0,综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时,设PB :y -32=k (x -3),令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ,消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0,Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0,且k ≠k AP ,即k ≠-12,x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ,A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9,∴k =12或32,均满足题意,∴l :y =12x 或y =32x -3,即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时,设l :y =k (x -3)+32,设l 与y 轴的交点为Q ,令x =0,则Q 0,-3k +32,联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36,则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0,3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0,其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0,且k ≠-12,则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2,则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9,解的k =12或k =32,经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3,即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ,点P 15,4 在C 上,k 为常数,0<k <1.按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ,过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1,令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点,记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12,求x 2,y 2;(2)证明:数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列;(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积,证明:对任意的正整数n ,S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3,y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可;(2)根据等比数列的定义即可验证结论;(3)思路一:使用平面向量数量积和等比数列工具,证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二:使用等差数列工具,证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9,故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时,过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32,与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5,所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ,该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ,从而x 2=3,y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ,与x 2-y 2=9联立,得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0,由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点,故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理,另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2,相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2,而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ,故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1-y 1≠0,所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一:先证明一个结论:对平面上三个点U ,V ,W ,若UV =a ,b ,UW =c ,d ,则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上,约定S △UVW =0)证明:S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕,回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ,P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ,故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值,所以S n =S n +1.方法二:由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1,以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减,即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ,P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行,这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3,即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合,需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,点M 1,32 在C 上,且MF ⊥x 轴.(1)求C 的方程;(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ ⊥y 轴.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ,根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量,故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立直线方程和椭圆方程,用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ,结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0,故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ,由题设有c =1且b 2a =32,故a 2-1a =32,故a =2,故b =3,故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在,设AB :y =k (x -4),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0,故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0,故-12<k <12,又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2,而N 52,0 ,故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ,故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5,所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0,故y 1=y Q ,即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,注意Δ的判断;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式;(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ,焦点和短轴端点构成边长为2的正方形,过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ,B ,C 0,1 ,连接AC 交椭圆于D .(1)求椭圆方程和离心率;(2)若直线BD 的斜率为0,求t .【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2,进一步得a ,由此即可得解;(2)说明直线AB 斜率存在,设AB :y =kx +t ,t >2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立椭圆方程,由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1,而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1,令x =0,即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2,从而a =b 2+c 2=2,所以椭圆方程为x 24+y 22=1,离心率为e =22;(2)显然直线AB 斜率存在,否则B ,D 重合,直线BD 斜率不存在与题意不符,同样直线AB 斜率不为0,否则直线AB 与椭圆无交点,矛盾,从而设AB :y =kx +t ,t >2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x 24+y 22=1y =kx +t ,化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0,由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0,即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0,所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1,若直线BD 斜率为0,由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ,所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1,在直线AD 方程中令x =0,得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1,所以t =2,此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ,即k 应满足k <-22或k >22,综上所述,t =2满足题意,此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12.左顶点为A ,下顶点为B ,C 是线段OB 的中点,其中S △ABC =332.(1)求椭圆方程.(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ,Q .在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12,故a =2c ,b =3c ,其中c 为半焦距,所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ,故S △ABC=12×2c ×32c =332,故c =3,所以a =23,b =3,故椭圆方程为:x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:y =kx -32,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ,由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0,故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ,故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2,因为TP ⋅TQ ≤0恒成立,故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0,解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在,则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ,此时需-3≤t ≤3,两者结合可得-3≤t ≤32.综上,存在T 0,t-3≤t ≤32 ,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的范围问题,往往需要用合适的参数表示目标代数式,表示过程中需要借助韦达定理,此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2,过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时,求b 的值.(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时,且点P 在第一象限,求点P 的坐标.(3)连接OQ 并延长,交双曲线Γ于点R ,若A 1R ⋅A 2P=1,求b 的取值范围.【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2,则c =2,b =22-1=3.(2)当b =263时,双曲线Γ:x 2-y 283=1,其中M -2,0 ,A 21,0 ,因为△MA 2P 为等腰三角形,则①当以MA 2为底时,显然点P 在直线x =-12上,这与点P 在第一象限矛盾,故舍去;②当以A 2P 为底时,MP =MA 2 =3,设P x ,y ,则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ,因为点P 在第一象限,显然以上均不合题意,舍去;(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ,矛盾,舍去);③当以MP 为底时,A 2P =MA 2 =3,设P x 0,y 0 ,其中x 0>0,y 0>0,则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1,解得x 0=2y 0=22,即P 2,22 .综上所述:P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 , 当直线l 的斜率为0时,此时A 1R ⋅A 2P=0,不合题意,则k l ≠0,则设直线l :x =my -2,设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ,根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 , 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0,显然二次项系数b 2m 2-1≠0,其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0,y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①,y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②,A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ,则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1,因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上,则x 1=my 1-2,x 2=my 2-2,即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1,即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0,将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0,即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0,所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0,解得b 2≤103,又因为b >0,则0<b 2≤103,综上知,b 2∈0,3 ∪3,103 ,∴b ∈0,3 ∪3,303.【点睛】关键点点睛:本题第三问的关键是采用设线法,为了方便运算可设l :x =my -2,将其与双曲线方程联立得到韦达定理式,再写出相关向量,代入计算,要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22,则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况,求椭圆的离心率,求解参数a ,再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴,则离心率e =a 2-3a =22,得a 2=6,此时焦距2c =26-3=23,若椭圆的焦点在y 轴,则离心率e =3-a 23=22,得a 2=32,此时焦距2c =23-32=6,所以该椭圆的焦距为23或6.故选:D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线,则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4,O 2:x 2+(y -1)2=1,所以两圆方程相减可得y =2x ,由题意知C 的一条渐近线为y =2x ,即ba =2,双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5.故选:C .3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ,则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1,2D.102,10【答案】A【详解】依题意,双曲线E :3mx 2-my 2=3化为:y 2-3m -x 2-1m=1,则-3m +-1m =22,解得m =-1,双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选:A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ,N ,则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y ),根据线段MN 的中点为P ,则CP ⊥MN ,即CP ⊥AP ,所以CP ⋅AP =0,又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4),所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心,半径为5的圆在圆C 内的一部分,故选:D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ,点B -1,0 ,动点M 满足直线AM ,BM 的斜率之积为4,则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ,B -1,0 ,根据直线AM 与BM 的斜率之积为4.整理得y x +1⋅y x -1=4,化简得:x 2-y 24=1(x ≠±1).故选:D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中,把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2,点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点,则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ,使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4,可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4,整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ,即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ,由x 用-x 代换,方程没变,可知曲线C 关于y 轴对称,由y 用-y 代换,方程没变,可知曲线C 关于x 轴对称,由x 用-x 代换,y 用-y 同时代换,方程没变,可知曲线C 关于原点对称,图象如图所示:所以①不正确,②正确;③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x,可得x 4=0,即x =0,所以y =0,所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0),所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程,即原点O 在曲线C 上,则OF 1 =OF 2 ,即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时,满足PF 1 =PF 2 ,所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),左、右顶点分别为A ,B ,O 为坐标原点,如图,已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ,Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ,S 两点,则下列命题正确的是()A.存在直线l ,使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时,|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ,使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ,则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解:对于A 项:与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A 项错误;对于B 项:设直线l :y =kx +t ,与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1,得:b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0,其中b 2-a 2k 2≠0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由根与系数关系得:x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2,所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t,将直线l :y =kx +t ,与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak,将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ,所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t,所以线段PQ 与线段RS 的中点重合.所以,对任意的直线l ,都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |,故B 项不正确;对于C 项:因为|OB |为定值,当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时,S △ORB 趋向于无穷,所以S △ORB 会趋向于无穷,不可能有最大值,故C 项错误;对于D 项:联立直线l 与渐近线y =bax ,解得Sa 22b +a ,ab2b +a,联立直线l 与渐近线y =-b a x ,解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知,BR =3BS ,3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ,解得b =2a ,所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3,故D 项正确.故选:D .【点睛】方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法:①定义法:通过已知条件列出方程组,求得a ,c 得值,根据离心率的定义求解离心率e ;②齐次式法:由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程,然后转化为关于e 的一元二次方程求解;③特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,焦距为82,点P 在双曲线C 上,OP =OF 2 ,且△POF 2的面积为8,则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8,所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ,所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2,所以△PF 1F 2为直角三角形,且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ,PF 2 =n ,所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2,所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16,又b >0,所以b =4.焦距为2c =82,所以c =42,则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16,所以a =4,则离心率e =424=2.故选:C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,点A 在第一象限,点O 为坐标原点,且S △AOF =2S △BOF ,则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图:设直线倾斜角为α,抛物线的准线l :x =-1作AM ⊥l 于M ,根据抛物线的定义,AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α,所以|AF |=21-cos α,类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |,得cos α=13,故k =tan α=22.故选:A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点,若点P (1,2)在C 上,则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意,2=a ×12,解得a =2,所以C :x 2=y 2的准线为y =-18,所以|PF |=2+18=178,故选:D .11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ,过抛物线上点P 作准线的垂线,设垂足为Q ,若∠PQF =30°,则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示:设 M 为准线与x 轴的交点,因为∠PQF =30°,且PF =PQ ,所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°,因为FM ⎳PQ ,所以∠QFM =30°,而在Rt△QMF中,QF=FMcos30°=232=433,所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选:A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0,B2,0,C1,0,动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4,动点M的轨迹记为Γ,过点C的直线交Γ于P,Q两点,且P,Q的中点为R,则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点,则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D,则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A,设M x,y,因为A-2,0,B2,0,所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34,化简得x24+y23=1x≠±2,故A错误;对于选项B,因为x24+y23=1x≠±2,则a=2,b=3,则c=a2-b2=1,所以C1,0为椭圆的右焦点,则MCmin=a-c=2-1=1,故B正确;对于选项C,设PQ的方程 x=my+1,代入椭圆方程,得3m2+4y2+6my-9=0,设P x1,y1,Q x2,y2,则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,Δ=36m2+363m2+4>0,所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4,令m2+1=t≥1,则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t,令g t =3t+1tt≥1,则S△OPQ=6g t,t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0,g t 在1,+∞为增函数,g t ≥g1 =4,g t min=4,所以S△OPQmax=64=32,当且仅当t=1时即m=0等号成立,故C正确;对于选项D,因为Rx1+x22,y1+y22,x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4,y1+y22=-3m3m2+4,所以R43m2+4,-3m3m2+4,则x R=43m2+4,设D x D ,0 ,则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1,则x D =13m 2+4,所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4,则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍,故D 正确.故选:BCD .【点睛】关键点点睛:本题求解的关键有两个:一是利用面积公式得出面积表达式,结合导数得出最值;二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质:从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图,双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后,分别经过点C 和D ,其中AF 2 ,BF 2共线,则()A.若直线AB 的斜率k 存在,则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时,光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时,△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时,cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示,过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2,则l 1,l 2的斜率分别为62和-62,对于A 中,由图可知,当点A ,B 均在E 的右支时,k <-62或k >62,所以A 正确;对于B 中,光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6,所以B 正确;对于C 中,由AB ⋅AD =AB 2,得AB ⋅AD -AB =0,即AB ⋅BD=0,所以AB ⊥BD ,设BF 1 =n ,则BF 2 =n -2a =n -4,因为∠ABD =π2,所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40,整理得n 2-4n -12=0,解得n =6或n =-2(舍去),所以BF 1 =6,BF 2 =2,所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6,所以C 错误;对于D 项,在直角△F 1BF 2中,cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010,所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010,所以D 正确.故选:ABD .14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点,且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1),则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1,由条件,点P 应在双曲线C 的右支上,设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M 、N 、A ,则由题A 3,0 ,且PM =PN ,F 1M =F 1A ,F 2N =F 2A ,又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3,A 选项正确;由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ,连接IF 1、IF 2、IA ,则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18,所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663,B 选项错误;同理,tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43,∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125,∴⇒tan∠F 1PF 22=32,所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323,又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2,故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643,∴△PF 1F 2的周长为643,C 选项正确;由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213,由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512,D 选项正确.故选:ACD .【点睛】关键点睛:求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ,P 为其上一动点,当P 运动到(t ,1)时,|PF |=2,直线l 与抛物线相交于A 、B 两点,下列结论正确的是()A.抛物线的方程为:x 2=8yB.抛物线的准线方程为:y =-1。

高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)

高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)

考纲要求(1)圆锥曲线① 了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质; ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质; ④ 了解圆锥曲线的简单应用; ⑤ 理解数形结合的思想。

(2)曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

基本知识回顾 (1)椭圆① 椭圆的定义设F1,F2是定点(称焦点),P 为动点,则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a 为定值,且2a >|F1F2|)的动点P 的轨迹称为椭圆,符号表示:|PF1|+|PF2|=2a (2a >| F1F2|)。

② 椭圆的标准方程和几何性质 焦点在x 轴上的椭圆焦点在y 轴上的椭圆标准方程22a x +22by =1(a >b >0)22a y +22bx =1(a >b >0)范围x [,][,]a a y b b ∈-∈-[,][,]x b b y a a ∈-∈-图形对称性对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点顶点1212(,0),(,0)(,0),(,0)A a A aB b B b --1212(0,),(0,)(0,),(0,)A a A aB b B b --轴 长轴A 1A 2的长为:2a 短轴B 1B 2的长为:2b焦距 F 1F 2=2c离心率e ,(0,1)ce a=∈ a,b,c 关系 222a b c =+例题例1:椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ,点P 在椭圆上,若1||4PF =,则2||PF = ;12F PF ∠的大小为 。

变式1:已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点,p 为椭圆C 上的一点,且→→⊥21PF PF 。

若12PF F ∆的面积为9,则b = 。

例2:若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0的距离小1,则P 点的轨迹方程是( ) A .y 2=16-x B .y 2=32-xC .y 2=16xD .y 2=32x变式2:动圆与定圆A :(x +2)2+y 2=1外切,且与直线∶x =1相切,则动圆圆心P 的轨迹是( )A .直线B .椭圆C .双曲线D .抛物线变式3:抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5,则抛物线方程为( )A .y x 82=B .y x 42=C .y x 42-=D . y x 82-=变式4:在抛物线y 2=2x 上有一点P ,若 P 到焦点F 与到点A (3,2)的距离之和最小,则点P 的坐标是 。

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(完整版)圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理).docx圆锥曲线⼀、椭圆:( 1)椭圆的定义:平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数(⼤于| F1 F2 |)的点的轨迹。

其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。

注意: 2a | F1F2 | 表⽰椭圆;2a | F1F2|表⽰线段F1F2; 2a| F1F 2 |没有轨迹;(2)椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质:中⼼在原点,焦点在x 轴上中⼼在原点,焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴,y轴;短轴为2b,长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) (离⼼率越⼤,椭圆越扁)a(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)3.常⽤结论:(1)椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2,过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点,则ABF 2的周长=(2)设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2,过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线:( 1)双曲线的定义:平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数(⼩于| F1F2 | )的点的轨迹。

其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。

注意: | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a ( 2a| F1F2 | )表⽰双曲线的⼀⽀。

高三数学圆锥曲线试题答案及解析

高三数学圆锥曲线试题答案及解析

高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点,且均不在平面上,动点在平面上,且,则点的轨迹为()A.圆或椭圆B.抛物线或双曲线C.椭圆或双曲线D.以上均有可能【答案】D【解析】以为高线,为顶点作顶角为的圆锥面,则点就在这个圆锥面上,用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹,它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线,因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点,是双曲线的左焦点,且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得:是的中点,利用中点坐标公式,得,在双曲线上,所以代入双曲线方程得:,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质;2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合,则该椭圆的离心率是.【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为:,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点;2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件得:,即,而,渐近线为,在上,所以,得,所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法;2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.(Ⅰ)求动点轨迹的方程;(Ⅱ)设,过点作直线,交椭圆异于的两点,直线的斜率分别为,证明:为定值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系,比较简单;第二问是直线与椭圆相交于两点,先设出两点坐标,本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积,整理斜率的表达式,但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在,此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析:(Ⅰ)由椭圆定义,可知点的轨迹是以为焦点,以为长轴长的椭圆.由,得.故曲线的方程为. 5分(Ⅱ)当直线的斜率存在时,设其方程为,由,得. 7分设,,,.从而.11分当直线的斜率不存在时,得,得.综上,恒有. 12分【考点】1.三角形面积公式;2.余弦定理;3.韦达定理;4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件得:,即,而,渐近线为,在上,所以,得,所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法;2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点,右准线为,离心率为.若直线与椭圆交于不同的两点、,以线段为直径作圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)若圆与轴相切,求圆被直线截得的线段长.【答案】(1);(2).【解析】(1)先根据题中的条件确定、的值,然后利用求出的值,从而确定椭圆的方程;(2)先确定点的坐标,求出圆的方程,然后利用点(圆心)到直线的距离求出弦心距,最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析:(1)设椭圆的方程为,由题意知,,解得,则,,故椭圆的标准方程为 5分(2)由题意可知,点为线段的中点,且位于轴正半轴,又圆与轴相切,故点的坐标为,不妨设点位于第一象限,因为,所以, 7分代入椭圆的方程,可得,因为,解得, 10分所以圆的圆心为,半径为,其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点,抛物线上点满足(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)点的坐标为(,),过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点,、两点的横坐标均不为,连结、并延长交抛物线于、两点,设直线的斜率为,问是否为定值,若是求出该定值,若不是说明理由.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)利用抛物线的定义得到,再得到方程;(Ⅱ)利用点的坐标表示直线的斜率,设直线的方程,通过联立方程,利用韦达定理计算的值.试题解析:(Ⅰ)由题根据抛物线定义,所以,所以为所求. 2分(Ⅱ)设则,同理 4分设AC所在直线方程为,联立得所以, 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得, 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程,直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点,极轴为轴非负半轴,建立平面直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度. (Ⅰ)求该椭圆的直角标方程;若椭圆上任一点坐标为,求的取值范围;(Ⅱ)若椭圆的两条弦交于点,且直线与的倾斜角互补,求证:.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程,再利用换元法求范围,利用参数方程代入,计算得到结果.试题解析:(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为, 2分设,所以的取值范围是 4分(Ⅱ)设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数),(5分)代入得:即 7分同理 9分所以(10分)【考点】极坐标、参数方程,换元法应用.10.已知直线,,过的直线与分别交于,若是线段的中点,则等于()A.12B.C.D.【答案】B【解析】设、,所以、.所以.故选B.【考点】两点之间的距离点评:主要是考查了两点之间的距离的运用,属于基础题。

高考数学圆锥曲线答案及解析

高考数学圆锥曲线答案及解析

1、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A 、()22,y x B 两点,如果AB 与x 轴成45°角,那么AB 等于( ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 42、已知双曲线中心在原点且一个焦点为()0,7F,直线1-=x y 与其相交与M ,N 两点,MN 中点的横坐标为32-,则次双曲线的方程是( ) A. 14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x 3、抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相较于点A ,l AK ⊥,垂足为K ,则AKF ∆的面积是( ) A. 4B. 33C. 34D. 84、已知抛物线C :x y 42=的焦点为F ,直线42-=x y 与C 交于A ,B 两点,则=∠AFB cos A. 54 B. 53 C. 53- D. 54-5、过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点,若FB FA 2=则椭圆的离心率是( ) A.23 B. 22 C. 32 D. 216、如果椭圆193622=+y x 的弦被点()2,4A 平分,那么这条弦所在的直线方程是___________。

7、在抛物线x y 162=内,通过点()1,2且在此点被平分的弦所在直线的方程是___________。

8、已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴负半轴上,过顶点且倾角为43π的弦长为22,求抛物线的方程。

9、试确定m 的取值范围,使得椭圆13422=+y x 上有不同两点关于直线m x y +=4对称。

10、设双曲线1222=-y x 上两点A 、B ,AB 中点()2,1P , (1)求直线AB 的方程;(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 是否共圆,为什么?11、已知抛物线()022>=p px y ,一条长为p 4的弦AB 的两个端点A 、B 在抛物线上滑动,求此动弦的中点Q 到y 轴的最小距离。

(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)

(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)

历年高考圆锥曲线2000年:(10)过原点的直线与圆相切,若切点在第三象限,则该直03422=+++x y x 线的方程是( )(A ) (B ) (C )(D )x y 3=x y 3-=x 33x 33-(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点,若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、,则等于( )p q qp 11+(A )(B )(C ) (D )a 2a21a 4a4(14)椭圆的焦点为、,点P 为其上的动点,当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时,点P 横坐标的取值范围是________。

(22)(本小题满分14分)如图,已知梯形ABCD 中,点E 分有向线段所成的比为,CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点。

当时,求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。

e 2004年3.过点(-1,3)且垂直于直线的直线方程为( )032=+-y x A .B .C .D .12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8.已知圆C 的半径为2,圆心在轴的正半轴上,直线与圆C 相切,则圆x 0443=++y x C 的方程为( )A .B .03222=--+x y x 0422=++x y x C .D .3222=-++x y x 0422=-+x y x 8.(理工类)已知椭圆的中心在原点,离心率,且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合,x y 42-= 则此椭圆方程为( )A .B .13422=+y x 16822=+y x C .D .1222=+y x 1422=+y x 22.(本小题满分14分)双曲线的焦距为2c ,直线过点(a ,0)和(0,b ),且点)0,1(12222>>=-b a by a x l (1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年:9.已知双曲线的焦点为,点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为(x )A .B .CD435310.设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()A B C .D 2121、(理工类)(本小题满分12分)设,两点在抛物线上,是的垂直平分线。

高中数学圆锥曲线试题(含答案解析)!高中生一定要过一遍

高中数学圆锥曲线试题(含答案解析)!高中生一定要过一遍

高中数学圆锥曲线试题(含答案解析)!高中生一定要过一遍
圆锥曲线,在高考中一直作为压轴大题的形式出现,其实圆锥曲线很简单,是在圆锥中发现的一种曲线,垂直于母线切一刀的切面即为圆锥曲线,其中锐角圆锥切面为椭圆,直角圆锥切面为抛物线,钝角圆锥切面为双曲线。

多多总结题型,圆锥曲线题型也就十多种。

一般解题时都会用到了弦长、弦的中点和向量垂直等知识,而问题的解决仍然是转化为弦的端点坐标来表示。

如果不知道斜率存在问题,上面已经告诉怎么设了,还有要知道如何由纵坐标的数量关系计算出横坐标的数量关系。

今天给同学们分享一份圆锥曲线的试题,同学们一定要仔细做一遍,在核对答案解析哦,另外呢,这份资料是word版的,所以大家可以下载!最重要的是:可以放在手机上,保存然后阅读,平时都可以拿手机随便翻翻来记忆。

当然,学姐建议能下载下来打印是最好的!。

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高三理科数学《圆锥曲线》强化训练(一)1.(本题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,,点在椭圆 上,过点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为,且与交于点.(1) 求椭圆的方程;(2) 是否存在满足的点 若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标); 若不存在,说明理由.?·||1C 1(2,0)F -2F ()20,(2,3)A 1C A L 22:4C x y =B C ,2C B C ,12l l ,1l 2l P 1C 1212PF PF AF AF +=+P P P2. (本小题满分14分)已知点P 是椭圆上的任意一点,F 1,F 2是它的两个焦 点, O 为坐标原点,动点Q 满足OQ →=PF 1→+PF 2→,。

(I)求动点Q 的轨迹E 的方程; (II)若与坐标轴不垂直的直线交轨迹E 于两点且,求三角形面积的取值范围。

【~—、2212x y +=l ,A B OA OB ⊥OAB S)3.(本小题满分14分)已知椭圆经过点,离心率为, 动点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM (O 为坐标原点)为直径且 被直线截得的弦长为2的圆的方程;(3)设F 是椭圆的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,证明线段ON 的长为定值,并求出这个定值.`';【22221(0)x y a b a b+=>>1,)2P 2(2,)(0)M t t >3450x y --=:4.(本题满分14分)已知双曲线的焦点为(0,-2)和(0,2),离心率为,过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点(A 、B 在轴的上方). (1)求双曲线的标准方程;(2)探究是否为定值,若是求出该定值,若不是定值说明理由.》;!Γ332ΓP Γ,A B x ΓOA OB ⋅。

:高三理科数学《圆锥曲线》强化训练(一)答案1.(本题满分14分)解法1:设椭圆的方程为,依题意: 解得: ∴ 椭圆的方程为. 解法2:设椭圆的方程为,根据椭圆的定义得,即, ………1分∵, ∴. ………2分∴ 椭圆的方程为. ?(2)解法1:设点,,则, ,∵三点共线, (∴. ∴,化简得:. ① 由,即得. 1C 22221x y a b+=()0a b >>222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1C 2211612x y +=1C 22221x y a b+=()0a b >>1228a AF AF =+=4a =2c =22212b a c =-=1C 2211612x y +=)41,(211x x B )41,(222x x C ))(41,(212212x x x x --=)413,2(211x x --=C B A ,,BC BA //()()()222211211113244xx x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭1212212x x x x ()+-=24x y =214y x ,=y '=12x∴抛物线在点处的切线的方程为,即. ② 同理,抛物线在点处的切线的方程为 . ③ 设点,由②③得:, 而,则 .代入②得 , 则,代入 ① 得 ,即点的轨迹方程为.—若 ,则点在椭圆上,而点又在直线上, ∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点. ∴满足条件 的点有两个. 解法2:设点,,,由,即得. ∴抛物线在点处的切线的方程为,即. ∵, ∴ . ∵点在切线上, ∴. ① 同理, . ② 综合①、②得,点的坐标都满足方程.∵经过的直线是唯一的,∴直线的方程为,∵点在直线上, ∴. ∴点的轨迹方程为. 若 ,则点在椭圆上,又在直线上,∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.!2C B 1l )(2411121x x x x y -=-211412x x x y -=2C C 2l 222412x x x y -=),(y x P =-211412x x x 222412x x x -21x x ≠)(2121x x x +=2141x x y =212x x x +=214x x y =1244=-y x P 3-=x y 1212PF PF AF AF +=+P 1C P 3-=x y 3-=x y 1C (3,0)3-=x y 1C 1212PF PF AF AF +=+P ),(11y x B ),(22y x C ),(00y x P 24x y =214y x ,=y '=12x 2C B 1l )(2111x x x y y -=-2111212x y x x y -+=21141x y =112y x x y -=),(00y x P 1l 10102y x x y -=20202y x x y -=),(),,(2211y x C y x B y x xy -=002),(),,(2211y x C y x B L y x xy -=002)3,2(A L 300-=x y P 3-=x y 1212PF PF AF AF +=+P 1C 3-=x y 3-=x y 1C (3,0)3-=x y 1C∴满足条件 的点有两个.2.解:(I)如图由OQ →=PF 1→+PF 2→,又PF 1→+PF 2→=PM →=2PO →=-2OP →,设Q (x ,y ),则OP →=-12OQ →=-12(x ,y )=⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 2,-y 2, 即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-x2,-y 2,又P 在椭圆上,则有,即. (II) 当斜率不存在或为零时,由图可知当斜率存在且不为零时,设:,代入得以代换同理可得当且仅当时等号成立。

·而时,与轴或轴垂直,不合题意。

而三角形面积的取值范围为3.解:(1)由题意得① 因为椭圆经过点,所以 ②又 ③由①②③解得,.所以椭圆的方程为.(2)以OM 为直径的圆的圆心为,半径,1212PF PF AF AF +=+P 22()2()122xy -+-=22184x y +=OA 122S =⨯⨯=OA OA (0)y kx k =≠2228x y +=222222288,2121k x y k x k k =∴==++222228(1)||21k OA x y k +∴=+=+OA OB ⊥1k-k 2228(1)||2k OB k +=+22422222224242116(1)16(21)||||8(1)4(21)(2)252252k k k k S OA OB k k k k k k +++∴====-++++++2218(1)225k k=-++2222222224k k k k +≥=1k =±1k =±AB x y 2222(4,)k k ∴+∈+∞26489S ∴<<83S ∴<<OAB S 8(,3c a =1,)2P 22221()()221a b+=222a b c =+22a =221b c ==2212x y +=(1,)2t r =故圆的方程为. 因为以为直径的圆被直线截得的弦长为,所以圆心到直线的距离.…7分所以,即, 故,或,解得,或. 又,故.所求圆的方程为.………………………….……..9分(3)方法一:过点作的垂线,垂足设为. 直线的方程为,直线的方程为. 由,解得,故.……11分;又.所以线段.方法二:设,则,, ,.,. .又,..4.解:(1)依题意可设双曲线的标准方程为()………1分∵c=2,………2分………3分 ∴ ………4分 222(1)()124t t x y -+-=+OM 3450x y --=23450x y --=2t d ===|325|52t t--=2|22|5t t +=445t t +=445t t +=-4t =49t =-0t >4t =22(1)(2)5x y -+-=F OM K OM 2t y x =FN 2(1)y x t=--22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩244x t =+2242(,)44t K t t ++∴||OK ==||OM =2||||||2ON OK OM =⋅==||ON ∴=ON 00(,)N x y 00(1,)FN x y =-(2,)OM t =00(2,)MN x y t =--00(,)ON x y =FN OM ⊥∴002(1)0x ty -+=∴0022x ty +=MN ON ⊥∴0000(2)()0x x y y t -+-=∴22000022x y x ty +=+=∴0||ON x ==12222=-bx a y 0,0>>b a 332=a c 1,3==b a∴双曲线的标准方程为. ………5分(2)是定值2,理由如下:………6分设直线AB :(没有b>0,不得分这1分)………7分由得………8分解得………9分设双曲线渐近线方程:与联立,………10分得 ,…11分,………12分 =3 ………13分∴==2 ………14分(没有导致情况多种的扣2分)1322=-x y OA OB ⋅0,>+=b b kx y ⎩⎨⎧=-+=3322x y bkx y ()0323222=-++-b kbx x k 0)3)(3(4)2(,032222=---=∆≠-b k kb k 322=+b k 00),(),(212211>>y y y x B y x A ,,则、0322=-x y b kx y +=02)3222=++-b kbx x k (0)3(4)2(,032222>--=∆≠-b k kb k 1-32221=-=k b x x ||32121x x y y ⋅=OA OB ⋅2121y y x x +021>y y 、。

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