数字控制理论及应用(讲稿)第七章 常规数字控制算法及递推求解数字仿真

如图 7.3.1 所示，离散开环控制系统中，数字控制器输出为离散的控制信号u*（t） ，经 。则零阶保持器加对象的开环脉冲传递函数可 零阶保持器Gh（s）后，加到被控对象Go（s） 写作
42
Δu (n) 变换成驱动脉冲，驱动步进电机从上一时刻的位置转动若干角度。
第三节 闭环控制系统数字仿真递推求解及仿真算法
一、闭环控制系统数字仿真递推求解
G(z)
u*(t ) U*(s) U(z) y*(t) Y*(s) Y(z)
Gh(s)
零阶保持器
Xh(s)
Go(s)
被控对象
Y(s)
图 7.3.1 离散开环控制系统原理图
40
∫ edt ≈ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Te( j )
j =0
n
(7.2.2)
de e(n) − e(n − 1) ≈ dt T
第（n-1）和第 n 次采样所得的偏差信号。 将式(7.2.2)和(7.2.3)代入式(7.2.1)，可得差分方程
(7.2.3)
其中，T 为采样周期（或控制周期） ，n 为采样序号，n=0,1,2…；e(n-1)和 e(n)分别为
3
保存历史数据
由此可见，采用增量型算式(7.2.6)和(7.2.7)计算 u (n) 的优点是，编程简单，历史数 据可以递推使用，且占用存储单元少，运算速度快，是最常用的一种编程方式。 为了使编写程序更加方便，也可将式(7.2.6)整理成如下形式：
Δu (n) =d 0 e(n) + d1e(n − 1) + d 2 e(n − 2)
⎧ T u (n) = K p ⎨e(n) + Ti ⎩
⎫ T ∑ e( j ) + T [e(n) − e(n − 1)]⎬
n d j =0
⎭
(7.2.4)
其中 u(n)为第 n 时刻的控制量。如果采样周期 T 比被控对象时间常数小得多，那么这 种差分方程所表述的控制量就与连续控制十分接近。 在模拟控制器中难以实现理想微分 de/dt 控制效果，而用计算机却可以差分方程式实 现它，所以式(7.2.4)称为理想微分 PID 数字控制器。 1、位置型算式 模似控制器的调节动作是连续的，任何瞬间的控制量输出 u 都对应于执行机构（如调 节阀）的某一具体位置。由式(7.2.4)可知，数字 PID 控制器的输出 u(n)也和阀位对应，故 称此式为位置型算式。 数字控制器的输出 u(n)为一连续量， 由 D/A 转换器完成其转换功能。 转换器首先将 u(n) 的值保存起来，再把 u(n)变换成模拟量（4～20mADC） ，然后作用于执行机构，直到下一个 控制时刻到来为止。因此，D/A 转换器具有零阶保持器的功能。 计算机实现位置型算式不够方便，这是因为要累加偏差 e(j)，不仅要占用较多的存储 单元，而且不便于编程。为此，必须改进。 2、增量型算式 根据式(7.2.4)不难写出第（n-1）时刻的控制量 u(n-1)，即
m(t ) = K i ∫ e(t )dt
0
t
R(s)
E(s)
C(s)
K i S
M(s)
图7.1.4 I控制器
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由于 I 控制器的积分作用，当其输入 e(t)消失后，输出信号 m(t)有可能是一个不为零 的常量。 若串联校正采用 I 控制器，可以提高系统的型别，有利于系统稳态性能的提高,跟踪信 号能力增强。但却使系统增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生-90°的相角，系统相 角裕度减小，对稳定性不利。因此，通常不宜采用单一的 I 控制器进行校正。 4. 比例积分(PI)控制规律
第七章
常规数字控制算法及递推求解数字仿真
多年以来，在过程控制中，按偏差的比例（P） ，积分（I） 、和微分（D）进行控制的 PID 控制器 （亦称 PID 调节器） 是应用最为广泛的一种自动控制器。 它具有原理简单， 易于实现， 鲁棒性（Robustness）较强和适用面广等优点。在计算机用于生产过程控制之前，过程控制 中采用的气动、 液动和电动的 PID 调节器几乎一直占垄断地位。 计算机的出现和它在过程控 制系统中的不断推广应用使这种情况开始有所改变。近 20 多年来相继出现了一类复杂的， 只有计算机才能实现的的智能控制算法。然而在目前，即使在过程计算机控制中，PID 控制 仍然是使用最广泛的控制算法。本章主要讨论数字 PID 控制算法，并介绍典型的数字 PID 控制系统的设计。
第一节
PID 基本控制规律
1. 比例(P)控制规律 具有比例控制规律的控制器，称为P控制器，如下图 7.1.1 所示，其中KP称为P控制器增 益。
r(t)
e(t)
m(t)
KP
c(t)
图7.1.1 P控制器
m(t ) = K P e(t )
P控制器实际上是一个增益可调的放大器。在串联校正中，加大控制器增益KP ，可以提 高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳 定性。因此，在系统校正设计中，很少单独使用P控制器。 2. 比例微分(PD)控制规律 具有比例微分控制规律的控制器，称为 PD 控制器，如下图 7.1.2 所示，输出 m(t)与输 入 e(t)的关系为: τ：微分时间常数
= K p [e(n) − e(n − 1)] + K i e(n) + K d [e(n) − 2e(n − 1) + e(n − 2)]
其中
(7.2.6)
Kp =
1
δ
称为比例增益
Ki = K p
T 称为积分系数 Ti
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Kd = K p
Td 称为微分系数 T
由于式(7.2.6)中的 Δu (n) 对应于第 n 时刻阀位的增量， 故称此式为增量型算式。 因此， 第 n 时刻的实际控制量为
比例
R（t） e（t） u（t） C（t）
积分 微分
被控对象
-
图 7.1.7 PID 时域控制框图
u (t ) = K
P
[e (t ) +
1 TI
∫
e ( t ) dt + T D
de ( t ) ] dt
比例控制量根据偏差大小进行控制； 积分环节是为了消除静差（稳态误差）进行控制； 微分环节是一种“预见”型控制；
R(s)
E(s)
K P (1 +
1 ) Ti S
M(s)
-
C(s)
图 7.1.5 PI 控制器
m(t ) = K P e(t ) +
KP Ti
∫ e(t )dt
0
t
在串联校正时，PI 控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时增加 了一个位于 s 左半平面的开环零点。 此负实零点可缓和 PI 控制器极点对系统稳定性及动态 过程产生的不利影响。 5. 比例积分微分(PID)控制规律 PID 控制器的方框图如图 7.1.6 所示。
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C(t)
1
0
e(t)
t1
t2
t3
t4
t5
t
0
uP(t)
t
0
uI(t)
t
0
uD(t)
t1
t2
t3
t4
t5
t
0
t
图 7.1.8
PID 控制时域图形
第二节
数字 PID 控制算法
1 de edt + Td ) ∫ Ti dt
在单闭环计算机过程控制系统中，控制器采用 PID 算法，其控制算式为
u = K p (e +
⎧ T u (n − 1) = K p ⎨e(n − 1) + Ti ⎩
⎫ T ∑ e( j ) + T [e(n − 1) − e(n − 2)]⎬
n −1 d j =0
⎭
(7.2.5)
将式(7.2.4)减式(7.2.5)得 n 时刻控制量的增量 Δu (n) 为
⎧ ⎫ T T Δu (n) = K P ⎨e(n) − e(n − 1) + e(n) + d [e(n) − 2e(n − 1) + e(n − 2)]⎬ Ti T ⎩ ⎭
Js 2 + K Pτs + K P = 0
s2 +
K Pτ K s+ P =0 J J
从系统的特征方程可以看出，闭环系统是稳定的。PD 控制器提高系统的阻尼程度，可 通过参数 KP 及 τ 来调整。 其阻尼比：
ζ = τ KP / 2 J > 0
需要指出，由于微分控制只对动态过程起作用，而对稳态过程没有影响，且对系统噪 声非常敏感， 因此单一的 D 控制器在任何情况下都不宜与被控对象串联起来单独使用。 实际 中常采用 PD 或 PID 控制器。 3. 积分(I)控制规律 具有积分控制规律的控制器，称为 I 控制器，如下图 7.1.3 所示。 I 控制器的输出信 号 m(t)与其输入信号 e(t)的积分成正比。
这三个历史数据也已在前时刻存于内存储器。通常采用平 移法保存这些历史数据。比如，计算完 u (n) 后，首先将 e (n − 1) 存入 e (n − 2) 单元，然后将 e (n) 存入 e (n − 1) 单 元，以及把 u (n) 存入 u (n −1) 单元，如图 7.2.1 所示。这 样就为下时刻计算作好准备。
(7.2.1)
式中， K p 为比例增益， K p 与比例带δ成倒数关系，即 K p =1/δ，Ti为积分时间，Td为 微分时间，u为控制量，e为被控量y与给定值r的偏差。 为了便于计算机实现 PID 控制，必须把微分方程式(7.2.1)改写成差分方程。为此，当 采样控制周期设置较小时，控制算式中的积分和微分控制可作如下近似，即
R(s)
E(s)
K P (1 + τs)