最全的递推数列求通项公式方法

高考递推数列题型分类归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较

强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1

1

1)1(1121+-=+=+=

-+n n n n n n a a n n

分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=

所以n

a a n 1

11-=-

211=a ，n

n a n 1231121-=-+=∴

变式:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分）

已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；

（II ）求{ a n }的通项公式.

解： k k k a a )1(122-+=-，k

k k a a 3212+=+

∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a ，

2235)1(3-+=-a a

…… ……

k k k k a a )1(31212-+=--+

将以上k 个式子相加，得

]1)1[(2

1

)13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅++=-+k k k k k a a

将11=a 代入，得

1)1(2

1

321112--+⋅=++k k k a ， 1)1(2

1

321)1(122--+⋅=-+=-k k k k k

a a 。

经检验11=a 也适合，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⋅+⋅--⋅+⋅=-+)(1)1(2132

1)(1)1(21321222

1

21为偶数为奇数n n a n

n n n n

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。 解：由条件知1

1+=+n n

a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即

1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n

n 1

433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，n

a n 32

=∴ 例:已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=+ )1(≥n ，求n a 。

解：12

31

32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=

3437

52633134

8531n n n n n --=

⋅⋅⋅⋅=---。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a

(n ≥2)，则{a n }的通项1

___n a ⎧=⎨

⎩

12n n =≥

解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得 当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，

n a a a a a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,

1，将以上n 个式子相乘，得2

!

n a n =)2(≥n

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且

23

3

11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则1

1224+-=⨯=n n n b ,所以

321-=+n n a .

变式:（2006，重庆,文,14）

在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________

（key:321

-=+n n a ）

变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）

已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足12111

*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；

（Ⅲ）证明：

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +-<+++<∈ （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列

12.n n a ∴+=

即 *

21().n n a n N =-∈

（II ）证法一：

1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+