计量经济学第四版习题及参考答案解析

计量经济学（第四版）习题参考答案
潘省初
第一章 绪论
1.1 试列出计量经济分析的主要步骤。

一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：
（1）陈述理论（或假说） （2）建立计量经济模型 （3）收集数据 （4）估计参数 （5）假设检验 （6）预测和政策分析 1.2 计量经济模型中为何要包括扰动项?
为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。

1.3什么是时间序列和横截面数据? 试举例说明二者的区别。

时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。

横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。

如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。

1.4估计量和估计值有何区别？
估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。

在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。

如Y
就是一个估计量，1
n
i
i Y
Y n
==
∑。

现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则
根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为
5.1074
130
96104100=+++。

第二章 计量经济分析的统计学基础
2.1 略，参考教材。

2.2请用例2.2中的数据求北京男生平均身高的99％置信区间
N
S S x =
=
4
5
=1.25 用α=0.05，N-1=15个自由度查表得005.0t =2.947，故99%置信限为 x S t X 005.0± =174±2.947×1.25=174±3.684
也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在170.316至177.684厘米之间。

2.3 25个雇员的随机样本的平均周薪为130元，试问此样本是否取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体？ 原假设 120:0=μH
备择假设 120:1≠μH 检验统计量
()
10/25X
X μσ-Z ==
==
查表96.1025.0=Z 因为Z= 5 >96.1025.0=Z ,故拒绝原假设, 即 此样本不是取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体。

2.4 某月对零售商店的调查结果表明，市郊食品店的月平均销售额为2500元，在下一个月份中，取出16个这种食品店的一个样本，其月平均销售额为2600元，销售额的标准差为480元。

试问能否得出结论，从上次调查以来，平均月销售额已经发生了变化？ 原假设 : 2500:0=μH
备择假设 : 2500:1≠μH
()100/1200.83ˆX X t μσ-=
=== 查表得 131.2)116(025.0=-t 因为t = 0.83 < 131.2=c t , 故接受原假
设,即从上次调查以来，平均月销售额没有发生变化。

第三章 双变量线性回归模型
3.1 判断题（说明对错；如果错误，则予以更正） （1）OLS 法是使残差平方和最小化的估计方法。

对
（2）计算OLS 估计值无需古典线性回归模型的基本假定。

对
（3）若线性回归模型满足假设条件（1）～（4），但扰动项不服从正态分布，则尽管OLS 估计量不再是BLUE ，但仍为无偏估计量。

错
只要线性回归模型满足假设条件（1）～（4），OLS 估计量就是BLUE 。

（4）最小二乘斜率系数的假设检验所依据的是t 分布，要求β
ˆ的抽样分布是正态分布。

对
（5）R 2＝TSS/ESS 。

错
R 2 =ESS/TSS 。

（6）若回归模型中无截距项，则0≠∑t e 。

对
（7）若原假设未被拒绝，则它为真。

错。

我们可以说的是，手头的数据不允许我们拒绝原假设。

（8）在双变量回归中，2
σ的值越大，斜率系数的方差越大。

错。

因为
∑=2
2
)ˆ(t
x Var σβ
，只有当∑2
t x 保持恒定时，上述说法才正确。

3.2设YX βˆ和XY
βˆ分别表示Y 对X 和X 对Y 的OLS 回归中的斜率，证明 YX βˆXY
βˆ＝2r r 为X 和Y 的相关系数。

证明：
2222
2
222
ˆˆ()ˆˆi i
i i
i i YX
XY
i
i
i
i i YX XY
i i x y y x x y
x
y
y
x y x y
r x y ββββ===
⎛
⎫
⋅===∑∑∑∑∑∑∑∑∑
3.3证明：
（1）Y 的真实值与OLS 拟合值有共同的均值，即
Y n
Y n
Y ==∑∑ˆ； （2）OLS 残差与拟合值不相关，即 0ˆ=∑t t e Y 。

（1）
，得
两边除以，
＝n ˆ0ˆ)
ˆ(ˆ∑∑∑∑∑∑∑∑=
∴+=⇒+=⇒+=t
t t t
t t t t
t t t t Y
Y e e Y Y e Y
Y e Y Y
Y n
Y n
Y ==∑∑ˆ，即Y 的真实值和拟合值有共同的均值。

（2）
的拟合值与残差无关。

，＝，即因此，（教材中已证明），
由于Y 0ˆˆ),ˆ(0ˆ0,0e ˆˆ)ˆˆ(ˆ2
2
t
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑====+=+=t
t
t
t t
t
t
t t
t t
t t
t
t
t
t e
Y e Y e Y Cov e Y
e X e
X e e X e Y βαβα 3.4证明本章中（3.18）和（3.19）两式：
（1）∑∑=2
2
2)ˆ(t
t x n X Var σα
（2）∑-=2
2
)ˆ,ˆ(t x X Cov σβα （1）
22222
222
2
2211122
2
2
22
2
ˆˆ,ˆˆ()ˆˆˆ2u()()ˆ()
2()()()()
ˆ2
()()ˆ2
()i
i
t t
t
i n n n t i
i j i i
i j i j
i j i j
t
Y X Y X u u X u X X u u x u
X X n
n x
u u u x u x u X X n
n x u
u u x u
x x u u X n
n x α
βαβα
αββααβ
ββββ
ββ
ββ
β≠≠=+=++-=---=--+-=-⋅⋅+-+
+
=
-⋅+-+++=
-⋅+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（）2X
222
222
222
2
22
22
22
()ˆˆ2E()1(()2())()2i i j
i i i j i j i j i j t i i j i j i i j i j i i i j i j i j
t u u u x u x x u u E E XE X n n x u u u E E u E u u n n
n n
x u x x u u XE n x ααββσ
σ≠≠≠≠≠⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎢⎥-=- ⎪⎢⎥
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
⎛⎫
+ ⎪=+==
⎪
⎪
⎝
⎭
++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑两边取期望值，有：（）－＋等式右端三项分别推导如下：
22
2
2
222
22
22222
2
222
22
212(()()())200ˆE()()ˆ[]0i
i i i j i j i
i j
t t t t t
t
t t x X
x E u x x E u u X
x n x n x X X x x nX X X E n x n x n x σσββσσσσαα≠⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
=++==-=
+-=-+==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（
＝）
因此
（）∑∑=2
2
2)ˆ(t
t x n X Var σα
即
（2）
222
2
ˆˆ,ˆˆ()ˆˆˆˆˆˆ(,)[()][(())()]ˆˆ[(()][()]ˆ0()01ˆ()t Y X Y X u u X Cov E E u X E u XE XE XVar X x α
βαβα
αββαβααβ
ββββββ
ββββββ
σ=+=++-=--=--=---=---=--=-=-
∑（）（第一项为的证明见本题（））
3.5考虑下列双变量模型： 模型1：i i i u X Y ++=
21ββ
模型2：i i i u X X Y +-+=)(21αα
（1）β1和α1的OLS 估计量相同吗？它们的方差相等吗？ （2）β2和α2的OLS 估计量相同吗？它们的方差相等吗？
（1）X Y 2
1ˆˆββ-=，注意到 n
x n x x x n x Var x n X Var Y x Y x x X X x i
i i i i
i i i i 2
2
2
22
2
212
2
2121)
()ˆ()ˆ(ˆˆ,0,0,σσσα
σβαα=
=
-==-==-=∑∑∑∑∑∑∑＝＝则我们有从而
由上述结果，可以看到，无论是两个截距的估计量还是它们的方差都不相同。

（2）
∑∑∑∑∑∑∑==---==2222
2
2
222
)ˆ()ˆ()())((ˆ,ˆi
i
i
i
i
i
i
i
i
i x
Var Var x
y
x x x Y Y x x x
y x σαβα
β＝容易验证，
这表明，两个斜率的估计量和方差都相同。

3.6有人使用1980－1994年度数据，研究汇率和相对价格的关系，得到如下结果：
)
333.1()22.1(:528
.0318.4682.6ˆ2Se R X Y
t t =-=
其中，Y ＝马克对美元的汇率
X ＝美、德两国消费者价格指数（CPI ）之比，代表两国的相对价格 （1）请解释回归系数的含义； （2）X t 的系数为负值有经济意义吗？
（3）如果我们重新定义X 为德国CPI 与美国CPI 之比，X 的符号会变化吗？为什么？
（1）斜率的值 －4.318表明，在1980－1994期间，相对价格每上升一个单位，（GM/$）汇率下降约4.32个单位。

也就是说，美元贬值。

截距项6.682的含义是，如果相对价格为0，1美元可兑换6.682马克。

当然，这一解释没有经济意义。

（2）斜率系数为负符合经济理论和常识，因为如果美国价格上升快于德国，则美国消费者将倾向于买德国货，这就增大了对马克的需求，导致马克的升值。

（3）在这种情况下，斜率系数被预期为正数，因为，德国CPI 相对于美国CPI 越高，德国相对的通货膨胀就越高，这将导致美元对马克升值。

3.7随机调查200位男性的身高和体重，并用体重对身高进行回归，结果如下：
)
31.0()15.2(:
81
.031.126.76ˆ2Se R Height eight W =+-=
其中Weight 的单位是磅（lb ），Height 的单位是厘米（cm ）。

（1）当身高分别为177.67cm 、164.98cm 、187.82cm 时，对应的体重的拟合值为多少？
（2）假设在一年中某人身高增高了3.81cm ，此人体重增加了多少？ （1）
78.16982.187*31.126.76ˆ86.13998.164*31.126.76ˆ49.15667.177*31.126.76ˆ=+-==+-==+-=eight W
eight W
eight W
（2）99.481.3*31.1*31.1ˆ==∆=∆height eight W
3.8设有10名工人的数据如下： X 10 7 10 5 8 8 6 7 9 10 Y
11 10 12 6 10 7 9 10 11 10
其中 X=劳动工时， Y=产量
（1）试估计Y=α+βX + u （要求列出计算表格）； （2）提供回归结果（按标准格式）并适当说明； （3）检验原假设β=1.0。

(1)
6.910/96===∑n Y Y t 810/80===∑n X X t
75.028/21ˆ2
===∑∑t
t
t x
y x β 6.38*75.06.9*ˆˆ=-=-=X Y βα
估计方程为: t
t X Y 75.06.3ˆ+=
（2）
222ˆˆ(2)()(2)(30.40.75*21)/8 1.83125
t t t t
e n y x y n σβ=-=--=-=∑∑∑
934.2ˆˆ)ˆ(/ˆ2===∑t
x
Se t σ
βββ
β
733.1ˆˆ)ˆ(/ˆ2
2===∑∑t
t
x n X Se t σ
α
αα
α
518.0)4.30*28/21()(222
2
2===∑∑∑t
t
t t y x y x R 回归结果为（括号中数字为t 值）：
t
t X Y 75.06.3ˆ+= R 2=0.518 (1.73) (2.93) 说明：
X t 的系数符号为正，符合理论预期，0.75表明劳动工时增加一个单位,产量增加0.75个单位,
拟合情况。

R 2为0.518，作为横截面数据，拟合情况还可以.
系数的显著性。

斜率系数的t 值为2.93，表明该系数显著异于0，即X t 对Y t 有影响.
(3) 原假设 : 0.1:0=βH
备择假设 : 0.1:1≠βH
检验统计量 ˆˆ( 1.0)/()(0.75 1.0)/0.25560.978t Se β
β=-=-=- 查t 表, 0.025(8) 2.306c t t == ,因为│t │= 0.978 < 2.306 ,
故接受原假设:0.1=β。

3.9用12对观测值估计出的消费函数为Y=10.0+0.90X ，且已知2ˆσ
=0.01，X =200，∑X 2=4000，试预测当X 0=250时Y 0的值，并求Y 0的95%置信区间。

对于x 0=250 ，点预测值 0ˆy
=10+0.90*250=235.0
0ˆy
的95%置信区间为:
00.025ˆ(122)*y
t σ±-
2352350.29=±=±
即 234.71 － 235.29。

也就是说,我们有95%的把握预测0y 将位于234.71 至235.29 之间.
3.10设有某变量（Y ）和变量（X ）1995—1999年的数据如下:
(1) 试用OLS 法估计 Y t = α + βX t + u t （要求列出计算表格）；
(2) 22ˆR σ求和；
(3) 试预测X 0=10时Y 0的值，并求Y 0的95%置信区间。

（1）列表计算如下：
35/15===∑n Y Y t 115/55===∑X X t
365
.074/27ˆ2
===∑∑t
t
t x
y x β015.111*365.03*ˆˆ-=-=-=X Y βα
我们有：t
t X Y 365.0015.1ˆ+-= (2)
048.03/)27*365.010()2()ˆ()2222=-=--=-=∑∑∑n y x y n e t
t t t βσ 985.0)10*74/27()(222
2
2===∑∑∑t t
t t y x y x R
(3) 对于0X =10 ,点预测值 0
ˆY =-1.015+0.365*10=2.635 0Y 的95%置信区间为:
∑-++-±2
20025.00)(/11ˆ*)25(ˆx
X X n t Y σ
=770.0635.274/)1110(5/11*048.0*182.3635.22±=-++± 即 1.895 －3.099,也就是说,我们有95%的把握预测0Y 将位于1.865 至3.405 之间.
3.11根据上题的数据及回归结果，现有一对新观测值X 0＝20，Y 0＝7.62，试问它们是否可能来自产生样本数据的同一总体？ 问题可化为“预测误差是否显著地大？”
当X 0 =20时，285.620365.0015.1ˆ0=⨯+-=Y 预测误差 335.1285.662.7ˆ0
00=-=-=Y Y e 原假设0H ：0)(0=e E 备择假设1H ：0)(0≠e E 检验：
若0H 为真，则
021.4332
.0335
.174
)1120(511048.00335.1)(11ˆ)(2
2
2
000==
-+
+-=
-++-=
∑x X X n e E e t σ
对于5-2=3个自由度，查表得5%显著性水平检验的t 临界值为：
182.3=c t 结论：
由于 4.021 3.182t =>
故拒绝原假设0H ，接受备则假设H 1，即新观测值与样本观测值来自不同的总体。

3.12有人估计消费函数i i i C Y u αβ=++，得到如下结果（括号中数字为t 值）：
i C ˆ＝ 15 + 0.81i Y 2R ＝0.98 （2.7） （6.5） n=19 （1） 检验原假设：β＝0（取显著性水平为5％） （2） 计算参数估计值的标准误差；
（3） 求β的95％置信区间，这个区间包括0吗？
（1）原假设 0:0=βH 备择假设 0:1≠βH
检验统计量 5.6)ˆ()0ˆ
(=-=β
βSe t 查t 表,在5%显著水平下 11.2)1119(025.0=--t ,因为t=6.5>2.11 故拒绝原假设,即0≠β，说明收入对消费有显著的影响。

（2）由回归结果，立即可得：
556.57.215)ˆ(==α
Se 125.05
.681.0)ˆ(==β
Se
（3）β的95％置信区间为：。

括所以在这个区间中不包之间在％的把握说也就是说有即为0,074.1~546.095,074.1~546.0264.081.0125.0*11.281.0)ˆ(ˆ2
βββα
±=±=±Se t
3.13 回归之前先对数据进行处理。

把名义数据转换为实际数据，公式如下： 人均消费C ＝C/P*100(价格指数)
人均可支配收入Y ＝[Yr*rpop/100+Yu*(1-rpop/100)]/P*100 农村人均消费Cr ＝Cr/Pr*100
城镇人均消费Cu ＝Cu/Pu*100
农村人均纯收入Yr ＝Yr/Pr*100 城镇人均可支配收入Yu ＝Yu/Pu*100 处理好的数据如下表所示：
根据表中的数据用软件回归结果如下：
∧
t
C= 90.93 + 0.692t Y R2=0.997
t： (11.45) (74.82) DW=1.15
农村：
∧
t
Cr= 106.41 + 0.60t Yr R2=0.979 t： (8.82) (28.42) DW=0.76
城镇：
∧
t
Cu= 106.41 + 0.71t Yu R2=0.998 t： (13.74) (91.06) DW=2.02
从回归结果来看，三个方程的R 2都很高，说明人均可支配收入较好地解释了人均消费支出。

三个消费模型中，可支配收入对人均消费的影响均是显著的，并且都大于0小于1，符合经济理论。

而斜率系数最大的是城镇的斜率系数，其次是全国平均的斜率，最小的是农村的斜率。

说明城镇居民的边际消费倾向高于农村居民。

第四章 多元线性回归模型
4.1 应采用（1），因为由（2）和（3）的回归结果可知，除X 1外，其余解释变量的系数均不显著。

（检验过程略） 4.2 (1) 斜率系数含义如下:
0.273: 年净收益的土地投入弹性, 即土地投入每上升1%, 资金投入
不变的情况下, 引起年净收益上升0.273%.
0.733: 年净收益的资金投入弹性, 即资金投入每上升1%, 土地投入不变的情况下, 引起年净收益上升0.733%.
拟合情况:
92.01
29)
94.01(*811)1)(1(122
=----=-----=k n R n R ,表明模型拟合程度较高.
(2) 原假设 0:0=αH
备择假设 0:1≠αH
检验统计量 022.2135.0/273.0)ˆ(ˆ===α
αSe t 查表，
447.2)6(025.0=t 因为t=2.022<)6(025.0t ,故接受原假设,即α不显著异于0, 表明土地投入变动对年净收益变动没有显著的影响. 原假设 0:0=βH
备择假设 0:1≠βH
检验统计量 864.5125.0/733.0)
ˆ(ˆ
===ββ
Se t 查表，447.2)6(025.0=t 因为t=5.864>)6(025.0t ,故拒绝原假设,即β显著异于0,表明资金投入变动对年净收益变动有显著的影响. （3） 原假设 0:0==βαH
备择假设 1H : 原假设不成立 检验统计量
47)
129/()94.01(2
/94.0)1/()1(/22=---=---=k n R k R F
查表，在5%显著水平下14.5)6,2(=F 因为F=47>5.14，故拒绝原假设。

结论,：土地投入和资金投入变动作为一个整体对年净收益变动有影响.
4.3 检验两个时期是否有显著结构变化,可分别检验方程中D 和D •X 的系数是否显著异于0.
(1) 原假设 0:20=βH 备择假设 0:21≠βH 检验统计量
155.34704.0/4839.1)ˆ(ˆ2
2
===ββSe t 查表145.2)418(025.0=-t 因为t=3.155>)14(025.0t , 故拒绝原假设, 即2β显著异于0。

(2) 原假设 0:40=βH 备择假设 0:41≠βH
检验统计量
115.30332.0/1034.0)
ˆ(ˆ44-=-==ββSe t 查表145.2)418(025.0=-t 因为|t|=3.155>)14(025.0t , 故拒绝原假设, 即4β显著异于0。

结论：两个时期有显著的结构性变化。

4.4 （1），模型可线性化。

参数线性，变量非线性
则模型转换为设,1
,1221x
z x z ==
u z z y +++=22110βββ （2）变量、参数皆非线性，无法将模型转化为线性模型。

（3）变量、参数皆非线性，但可转化为线性模型。

取倒数得：)
(1011u x e y
++-+=ββ
把1移到左边，取对数为：u x y y ++=-101ln
ββ，令则有,1ln y
y z -= u x z ++=10ββ
4.5 （1）截距项为-58.9，在此没有什么意义。

X 1的系数表明在其它条件不变时，个人年消费量增加1百万美元，某国对进口的需求平均增加20万美元。

X 2的系数表明在其它条件不变时，进口商品与国内商品的比价增加1单位，某国对进口的需求平均减少10万美元。

（2）Y 的总变差中被回归方程解释的部分为96%，未被回归方程解释的部分为4%。

（3）检验全部斜率系数均为0的原假设。

)
1/(/)1/()1(/2
2--=---=k n RSS k
ESS k n R k R F =19216/04.02/96.0= 由于F ＝192 > F 0.05(2,16)=3.63，故拒绝原假设，回归方程很好地解释了应变量Y 。

（4） A. 原假设H 0：β1= 0 备择假设H 1：β1 ≠0
11ˆ0.2
21.74ˆ0.0092()
t S ββ=== > t 0.025(16)=2.12，
故拒绝原假设，β1显著异于零，说明个人消费支出（X 1）对进口需求有解释作用，这个变量应该留在模型中。

B. 原假设H 0：β2=0
备择假设H 1：β2 ≠0
2
2
ˆ0.1 1.19ˆ0.084()t S ββ-=
==<t 0.025（16）=2.12， 不能拒绝原假设，接受β2=0，说明进口商品与国内商品的比价（X 2）对进口需求地解释作用不强，这个变量是否应该留在模型中，需进一步研究。

4.6（1）弹性为-1.34，它统计上异于0，因为在弹性系数真值为0的原假设下的t 值为：
469.432
.034
.1-=-=
t 得到这样一个t 值的概率（P 值）极低。

可是，该弹性系数不显著异于-1，因为在弹性真值为-1的原假设下，t 值为：
06.132
.0)
1(34.1-=---=
t
这个t 值在统计上是不显著的。

（2）收入弹性虽然为正，但并非统计上异于0，因为t 值小于1（85.020.017.0==t ）。

（3）由1
1)1(122-----=k n n R R ，可推出 2211(1)1n k R R n --=---
本题中，2
R ＝0.27，n ＝46，k ＝2，代入上式，得2
R ＝0.3026。

4.7 （1）薪金和每个解释变量之间应是正相关的，因而各解释变量系数都应为正，估计结果确实如此。

系数0.280的含义是，其它变量不变的情况下，CEO 薪金关于销售额的弹性为0.28；
系数0.0174的含义是，其它变量不变的情况下，如果股本收益率上升一个百分点（注意，不是1％），CEO 薪金的上升约为1.07％；
与此类似，其它变量不变的情况下，公司股票收益上升一个单位，CEO 薪金上升0.024％。

（2）用回归结果中的各系数估计值分别除以相应的标准误差，得到4个系数的t 值分别为：13.5、8、4.25和0.44。

用经验法则容易看出，前三个系数是统计上高度显著的，而最后一个是不显著的。

（3）R 2＝0.283，拟合不理想，即便是横截面数据，也不理想。

4.8 （1）2.4％。

（2）因为D t 和（D t ⋅t ）的系数都是高度显著的，因而两时期人口的水平和增长率都不相同。

1972－1977年间增长率为1.5％，1978－1992年间增长率为2.6％（＝1.5％＋1.1％）。

4.9 原假设H 0: β1 =β2，β3 =1.0
备择假设H 1: H 0不成立 若H 0成立，则正确的模型是： u X X X ββY ++++=32110)(
据此进行有约束回归，得到残差平方和R S 。

若H 1为真，则正确的模型是原模型：
u X βX βX ββY
++++=3322110
据此进行无约束回归（全回归），得到残差平方和S 。

检验统计量是： ()
)
1(---=
K n S g
S S F R ～F(g,n-K-1)
用自由度（2，n-3-1）查F 分布表，5%显著性水平下，得到F C ， 如果F< F C , 则接受原假设H 0，即β1 =β2，β3 =0； 如果F> F C , 则拒绝原假设H 0，接受备择假设H 1。

4.10 （1）2个，111200D D ⎧⎧==⎨⎨
⎩⎩大型企业中型企业
其他
其他
（2）4个，
111112340000D D D D ⎧⎧⎧⎧====⎨⎨⎨⎨
⎩⎩⎩⎩小学初中大学
高中其他其他其他其他
4.11
0123(),019791,
1979
t t t t y D x D x u D t D t ββββ=+++⋅+=≤=>其中
4.12 对数据处理如下：
lngdp ＝ln （gdp/p ） lnk=ln （k/p ） lnL=ln （L/P ） 对模型两边取对数，则有 lnY ＝lnA ＋αlnK ＋βlnL ＋lnv 用处理后的数据回归，结果如下：
l k dp g
ln 18.0ln 96.026.0ˆln ++-= 97.02=R t ：(－0.95) (16.46) (3.13)
由修正决定系数可知，方程的拟合程度很高；资本和劳动力的斜率系数均显著（t c =2.048）, 资本投入增加1％，gdp 增加0.96%，劳动投入增加1％，gdp 增加0.18%，产出的资本弹性是产出的劳动弹性的5.33倍。

第五章 模型的建立与估计中的问题及对策
5.1 （1）对 （2）对 （3）错
即使解释变量两两之间的相关系数都低，也不能排除存在多重共线性的可能性。

（4）对 （5）错
在扰动项自相关的情况下OLS 估计量仍为无偏估计量，但不再具有最小方差的性质，即不是BLUE 。

（6）对 （7）错
模型中包括无关的解释变量，参数估计量仍无偏，但会增大估计量的方差，即增大误差。

（8）错。

在多重共线性的情况下，尽管全部“斜率”系数各自经t 检验都不显著， R 2
值仍可能高。

（9）错。

存在异方差的情况下，OLS 法通常会高估系数估计量的标准误差，但不总是。

（10）错。

异方差性是关于扰动项的方差，而不是关于解释变量的方差。

5.2 对模型两边取对数，有
lnY
t =lnY
+t*ln(1+r)+lnu
t
,
令LY＝lnY
t ，a＝lnY
，b＝ln(1+r)，v＝lnu
t
，模型线性化为：
LY＝a＋bt＋v
估计出b之后，就可以求出样本期内的年均增长率r了。

5.3（1）DW=0.81，查表（n=21,k=3,α=5%）得d
L
=1.026。

DW=0.81＜1.026
结论：存在正自相关。

（2）DW=2.25，则DW´=4 – 2.25 = 1.75
查表（n=15, k=2, α=5%）得d
u
=1.543。

1.543＜DW´= 1.75 ＜2
结论：无自相关。

（3）DW= 1.56，查表（n=30, k=5, α=5%）得d
L =1.071, d
u
=1.833。

1.071＜DW= 1.56 ＜1.833
结论：无法判断是否存在自相关。

5.4
(1)横截面数据.
(2)不能采用OLS法进行估计，由于各个县经济实力差距大，可能存在异方差
性。

(3)GLS法或WLS法。

5.5
（1）可能存在多重共线性。

因为①X
3
的系数符号不符合实际.②R2很高,但解释
变量的t值低：t
2=0.9415/0.8229=1.144, t
3
=0.0424/0.0807=0.525.
解决方法：可考虑增加观测值或去掉解释变量X
3
.
（2）DW=0.8252, 查表(n=16,k=1,α=5%)得d
L
=1.106.
DW=0.8252< d
L
=1.106
结论：存在自相关.
单纯消除自相关，可考虑用科克伦－奥克特法或希尔德雷斯－卢法；进一步研究，由于此模型拟合度不高,结合实际,模型自相关有可能由模型误设定引起,
即可能漏掉了相关的解释变量，可增加相关解释变量来消除自相关。

5.6 存在完全多重共线性问题。

因为年龄、学龄与工龄之间大致存在如下的关系：A i ＝7＋S i ＋E i
解决办法：从模型中去掉解释变量A ，就消除了完全多重共线性问题。

5.7 （1）若采用普通最小二乘法估计销售量对广告宣传费用的回归方程，则系数的估计量是无偏的，但不再是有效的，也不是一致的。

（2）应用GLS 法。

设原模型为
i i i u x y ++=10ββ （1）
由于已知该行业中有一半的公司比另一半公司大，且已假定大公司的误差项
方差是小公司误差项方差的两倍，则有2
22i i λσσ=，其中⎩⎨⎧===小公司大公司i i i ,1,22λ。

则
模型可变换为
i
i i i i i
i
u
x y λλβλβλ++=
10 （2） 此模型的扰动项已满足同方差性的条件，因而可以应用OLS 法进行估计。

（3）可以。

对变换后的模型（2）用戈德弗尔德－匡特检验法进行异方差性检验。

如果模型没有异方差性，则表明对原扰动项的方差的假定是正确的；如果模型还有异方差性，则表明对原扰动项的方差的假定是错误的，应重新设定。

5.8（1）不能。

因为第3个解释变量（1--t t M M ）是t M 和1-t M 的线性组合，存在完全多重共线性问题。

（2）重新设定模型为
t
t t t
t t t u M M u M M GNP +++=+-+++=--1210132310)()(ααββββββ
我们可以估计出210ααβ和、，但无法估计出321βββ和、。

（3）所有参数都可以估计，因为不再存在完全共线性。

（4）同（3）。

5.9（1）R 2很高，logK 的符号不对，其 t 值也偏低，这意味着可能存在多重共线性。

（2）logK 系数的预期符号为正，因为资本应该对产出有正向影响。

但这里估计出的符号为负，是多重共线性所致。

（3）时间趋势变量常常被用于代表技术进步。

（1）式中，0.047的含义是，在样本期内，平均而言，实际产出的年增长率大约为4.7％。

（4）此方程隐含着规模收益不变的约束，即α＋β＝1，这样变换模型，旨在减缓多重共线性问题。

（5）资本－劳动比率的系数统计上不显著，看起来多重共线性问题仍没有得到解决。

（6）两式中R 2是不可比的，因为两式中因变量不同。

5.10（1）所作的假定是：扰动项的方差与GNP 的平方成正比。

模型的估计者应该是对数据进行研究后观察到这种关系的，也可能用格里瑟法对异方差性形式进行了实验。

（2）结果基本相同。

第二个模型三个参数中的两个的标准误差比第一个模型低，可以认为是改善了第一个模型存在的异方差性问题。

5.11 我们有
25
140
1ˆ25
55
1ˆ33231121=
--==
--=k n RSS k n RSS σ
σ
原假设H 0：2
32
1σσ= 备则假设H 1：2
32
1σσ≠ 检验统计量为：
5454.2255525140ˆˆ2123===σ
σF
用自由度（25，25）查F 表，5％显著性水平下，临界值为：Fc ＝1.97。

因为F ＝2.5454>Fc ＝1.97，故拒绝原假设原假设H 0：2
32
1σσ=。

结论：存在异方差性。

5.12 将模型变换为：
)2()()1(221112102211t
t t t t t t X X X Y Y Y ερρβρρβρρ+--+--=------
若1ρ、2ρ为已知，则可直接估计（2）式。

一般情况下，1ρ、2ρ为未知，因此需要先估计它们。

首先用OLS 法估计原模型(1)式，得到残差e t ，然后估计：
t t t t e e e υρρ++=--2211
其中t υ为误差项。

用得到的1ρ和2ρ的估计值1ˆρ
和2ˆρ生成 2211ˆˆ--*
--=t t t t Y Y Y Y ρρ
2211ˆˆ--*
--=t t t t X X X X ρρ
令)1(210ρρβα--=，用OLS 法估计
t t t X Y εβα++=*
*1
即可得到αˆ和1ˆβ，从而得到原模型（1）的系数估计值0ˆβ和1
ˆβ。

5.13 （1）全国居民人均消费支出方程：
∧
t C = 90.93 + 0.692t Y R 2=0.997
t ： (11.45) (74.82) DW=1.15 DW=1.15，查表（n=19,k=1,α=5%）得d L =1.18。

DW=1.15＜1.18
结论：存在正自相关。

可对原模型进行如下变换：
C t -ρC t-1 = α(1-ρ)+β(Y t -ρY t-1)+（u t -ρu t -1）
由ˆˆ1/20.425DW ρ
ρ≈-有＝ 令：C 't = C t –0.425C t-1 ， Y 't = Y t -0.425Y t-1 ，α’=0.575α 然后估计 C 't =α'+βY 't + εt ，结果如下：
∧
't C = 55.57 + 0.688'
t Y R 2=0.994 t ：(11.45) (74.82) DW=1.97 DW=1.97，查表（n=19,k=1,α=5%）得d u =1.401。

DW=1.97>1.18，故模型已不存在自相关。

（2）农村居民人均消费支出模型：
农村：∧
t Cr = 106.41 + 0.60t Yr R 2=0.979
t ： (8.82) (28.42) DW=0.76
DW=0.76，查表（n=19,k=1,α=5%）得d L =1.18。

DW=0.76＜1.18，故存在自相关。

解决方法与（1）同，略。

（3）城镇：
t Cu = 106.41 + 0.71t Yu R 2=0.998
t ： (13.74) (91.06) DW=2.02
DW=2.02，非常接近2，无自相关。

5.14 （1）用表中的数据回归，得到如下结果：
Y
ˆ =54.19 + 0.061X1 + 1.98*X2 + 0.03X3 - 0.06X4 R 2＝0.91 t: (1.41) (1.58) (3.81) (1.14) (-1.78) 根据t c (α=0.05,n-k-1=26)=2.056，只有X2的系数显著。

（2）理论上看，有效灌溉面积、农作物总播种面积是农业总产值的重要正向影响因素。

在一定范围内，随着有效灌溉面积、播种面积的增加，农业总产值会相应增加。

受灾面积与农业总产值呈反向关系，也应有一定的影响。

而从模型看，这些因素都没显著影响。

这是为什么呢？
这是因为变量有效灌溉面积、施肥量与播种面积间有较强的相关性，所以方程存在多重共线性。

现在我们看看各解释变量间的相关性，相关系数矩阵如下：
X1 X2 X3 X4
X1 X2 X3 X4
表中r 12＝0.896，r 13＝0.895，说明施肥量与有效灌溉面积和播种面积间高度相关。

我们可以通过对变量X2的变换来消除多重共线性。

令X22＝X2/X3（公斤/亩），这样就大大降低了施肥量与面积之间的相关性，用变量X22代替X2，对模型重新回归，结果如下：
Y
ˆ =－233.62 + 0.088X1 + 13.66*X2 + 0.096X3 - 0.099X4 R 2＝0.91 t: (-3.10) (2.48) (3.91) (4.77) (-3.19)
1 0.896 0.880 0.715 0.896 1 0.895 0.685 0.880 0.895 1 0.883 0.715
0.685
0.883
1
从回归结果的t值可以看出，现在各个变量都已通过显著性检验，说明多重共线性问题基本得到解决。