概率论第四章课后习题解答(内容参考)

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概率论第四章习题解答

1(1)在下列句子中随机地取一个单词,以X 表示取到的单词所饮食的字母个数,写出X 的分布律并求数学期望()E X 。

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ”

(2)在上述句子的30个字母中随机地取一个字母,以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数,写出Y 的分布律并求()E Y

(3)一人掷骰子,如得6点则掷第二次,此时得分为6加第二次得到的点数;否则得分为第一次得到的点数,且不能再掷,求得分X 的分布律。

解 (1)在所给的句子中任取一个单词,则其所包含的字母数,即随机变量X 的取值为:2,3,4,9,其分布律为

所以 1

51115()234988884

E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。 (2)因为Y 的取值为2,3,4,9

当2Y =时,包含的字母为“O ”,“N ”,故

121{2}3015

C P Y ===; 当3Y =时,包含的3个字母的单词共有5个,故

135151{3}30302

C P Y ==== 当4Y =时,包含的4个字母的单词只有1个,故

1442{4}303015

C P Y ==== 当9Y =时,包含的9个字母的单词只有1个,故

993{9}303010P Y ==

==

112314673()234915215103015

E Y =⨯+⨯+⨯+⨯==。 (3)若第一次得到6点,则可以掷第二次,那么他的得分为:X =7,8,9,10,11,12; 若第一次得到的不是6点,则他的得分为1,2,3,4,5。由此得X 的取值为: 1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12。

X 2 3 4 9 p 18 58 18 18 Y 2 3 4 9 p 115 12 215 310

1(1)(2)(3)(4)(5)6

P X P X P X P X P X ========== (7)(8)(9)(10)P X P X P X P X =======(11)(12)P X P X ==== 1116636=⨯= X 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12

p 16 16 16 16 16 136 136 136 136 136 136

6121711215759()63663612

i i E X i i ===+=+=∑∑

2 某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机地取10件产品进行检验,如果发现其中的次品多于1,就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数,试求()E X 。(设诸产品是否为次品是相互独立的。)

解 (1)求每次检验时产品出现次品的概率

因为每次抽取0件产品进行检验,且产品是否为次品是相互独立的,因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验,而该产品的次品率为0.1,设出现次品的件数为Y ,则

(10,0.1)Y B :,于是有 1010

{}(0.1)(0.9)k k k P Y k C -== (2)一次检验中不需要调整设备的概率

{1}{0}{1}P Y P Y P Y ≤==+=101191010(0.1)(0.9)

(0.1)(0.9)k k k C C -=+ 109

(0.9)(0.9)34860.38740.7361=+=+=

则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-=

(3)求一天中调整设备的次数X 的分布律

由于X 取值为0,1,2,3,4。0.2369p =,则(4,0.2369)X B :

于是 0044{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===

134{1}(0.2639)(0.7361)40.26390.39890.4211P X C ===⨯⨯=

2224{2}(0.2639)(0.7361)60.06960.54180.2263P X C ===⨯⨯=

334{3}(0.2639)(0.7361)40.01840.73610.0542P X C ===⨯⨯=

444{4}(0.2639)0.0049P X C === X

0 1 2 3 4

p 0.2936 0.4211 0.2263 0.054 0.0049

(4)求数学期望

()00.293610.421120.226330.054240.0049E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

1.0556=。

3 有3只球4个盒子的编号为1,2,3,4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去,以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码(例如X =3,表示第1号、第2号盒子是空的,第3个盒子至少有一只球。)试求()E X 。

解 (1)求X 的分布律

由于每只球都有4种方法,由乘法定理共有3464= 种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种,从而

1{4}64P X ==

; 又{3}X = “3X =”表示事件:“第1号、第2号盒子是空的,第3号盒子不空”,从而3只球只

能放在第3、4号两个盒子中,共有328=种放法,但其中有一种是3只坏都放在第4号盒

子中,即3号盒子是空的,这不符合3X =这一要求,需要除去,故有

3217{3}6464

P X -=== “2X =”表示事件:“第1号是空的,第2号盒子不空”,从而3只球只能放在第2、3、

4号三个盒子中,共有3327=种放法,但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中,

共有328=种放法,即2号盒子是空的,这不符合2X =这一要求,需要除去,故有

333219{2}6464

P X -=== 171937{1}1{1}164646464

P X P X ==-≠=-

--= 即 X

1 2 3 4 p 3764 1964 764 164

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