秩转换非参数检验
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本例：n1=10， T1=141.5， n2=12，T2=111.5 所以：T=T1=141.5
3. 确定P值，作出统计推断
① 查表法：当n1≤10以及n2-n1≤10时，可以查 界值表确定概率值。查界值表，若T在上下界值 范围内，P大于表中上方对应的概率水平；若T等 于上侧界值或下侧界值，P近似等于表中上方对 应的概率水平；若T不在上下界值范围内，P小于
n=11,T=T-=1.5，查界值表：P<0.005
按α=0.05的水准，拒绝H0，接受H1，可以认
为该厂工人尿氟含量高于当地正常人。
第二节 两个独立样本比较的 Wilcoxon秩和检验
两组独立样本比较的秩和检验(Wilcoxon秩和检验)， 目的是推断计量资料或等级资料的两个独立样本代表 的两个总体分布是否有差别。
参数统计
（parametric statistics）
非参数统计
（nonparametric statistics）
已知总体分布类型，对
未知参数（μ、π）进
行统计推断
依赖于特定分布类 型，比较的是参数
对总体的分布类 型不作任何要求
不受总体参数的影响， 比较分布或分布位置
优点：1.适用范围广 2.简便，易于掌握
理论上H0为两总体分布相同，即两样本来自同一总 体；H1为两总体分布不同。由于秩和检验对两总体分
布形状的差别不敏感，对位置相同、形状不同但类似 的两总体分布，推断不出两总体分布(形状)有差别，
故在实际应用中，H0可写作两总体分布位置相同，也
可简化为两总体中位数相等。
例8-3 对10例肺癌病人和12例矽肺0期工人用X光片 测量肺门横径右侧距RD值（cm），结果见表8-5。问 肺癌病人的RD值是否高于矽肺0期工人的RD值？
2。计算统计量T
① 省略所有差值为0的对子，令余下的有效对子
数为n 本例n=11
② 对剩余的差值的绝对值从小到大编秩，并根 据差值的正负号标上符号。编秩时遇到绝对值相 同时取平均秩次。
③ 分别求正负秩次之和，用T+和T-表示，并任选
正秩和或负秩和作为统计量值。
本例T=T-=11.5
3. 确定P值，作出统计推断 ① 查表法：n≤50查界值表，若T在上下界值范 围内，P大于表中上方对应的概率水平；若T等于 上侧界值或下侧界值，P近似等于表中上方对应 的概率水平；若T不在上下界值范围内，P小于表
表8-1 12份血清用原法和新法测血清谷-丙转氨酶的比较
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 合计
原法 60 142 195 80 242 220 190 25 198 38 236 95 -
新法 76
152 243
82 240 220 205
38 243
44 190 100
-
结果为有序分类变量时无法使用。 例：尿糖检测结果
样本数据两端有不确定值时无法使用。 例：仪器性能限制，超出可测量范围
以上情况下强行使用参数统计方法可能会得到错误结论
非参数检验一般不直接用样本观察值作分析，统 计量的计算基于原数据在整个样本中按大小所占位 次。由于丢弃了观察值的具体数值，而只保留其大 小次序的信息，凡适合参数检验的资料，应首选参 数检验。但不清楚是否适合参数检验的资料，则应 采用非参数检验；尤其对于难以确定分布又出现少 量异常值的小样本数据，非参数检验在剔除这些数 据前后所得结论显示出其较好的稳健性。
本身在利用信息上就有丢失
Ⅰ型错误和Ⅱ型错误
真实结果
H0成立 H0不成立
由样本推断的结果
拒绝H0 Ⅰ型错误 α
不拒绝H0 推断正确(1－α)
推断正确（1－β） Ⅱ型错误β
（1－β）即把握度(检验效能)（power of a test):两总体确有差别，在α检验水准下,被检
出有差别的能力
（1－α）即可信度（confidence level):重复 抽样时，样本区间包含总体参数（m）的百分数
第一节 配对样本比较的Wilcoxon符号秩检验 第二节 两个独立样本比较的Wilcoxon秩和检验
第三节 完全随机设计多个样本比较Kruskal—Wallis H检验 第四节 随机区组设计多个样本比较的Friedman M 检验
第一节 配对样本比较的 Wilcoxon符号秩检验
Wilcoxon符号秩检验可用于 1.配对样本差值的中位数与0的比较 2.单个样本中位数和已知的一个总体中位数比较。
非参数检验的适用范围：
① 计量资料不满足正态或方差齐性条件 ② 对于分布不知是否正态的小样本资料 ③ 对于一端或两端无确定数值的资料 ④ 等级资料进行等级强度差别的比较
非参数方法的特点：
������ 适用范围广，几乎可用于任何情况。 ������ 当资料符合参数检验方法的适用条件时，
使用非参数方法的检验效能较低。 ������ 原因：无法借助总体分布得到许多推论，
秩转换的非参数检验
参数检验：总体分布为已知的数学形式，对
其总体参数做假设检验。
非参数检验：是针对参数检验而言的，不
依赖于总体分布的一种假设检验方法，它直接 对总体分布进行假设，不受总体分布的限制， 适用范围广，而且简便易学。
参数统计方法的局限性
必须要先对总体分布进行确定，当总体分布未知，或分 布不符合要求时无法使用。 例：住院时间
对工人尿氟含量进行正态性检验得W=0.845， P=0.032，不满足正态性的条件，使用符号秩检验。
表8-2 12名工人的尿氟含量（μmol/L）与45.30比较
尿氟含量 44.21 45.30 46.39 49.47 51.05 53.16 53.26 54.37 57.16 67.37 71.05 87.37
如：考试成绩的并列第三名 在默认情况下，秩和检验中的相同秩为它们按大小顺序 排列后所处位置的平均值。
非参数检验的方法很多，有符号检验、游程 检验、等级相关分析、秩和检验等。秩转换的 非参数检验（秩和检验）是在非参数检验中占 有重要地位且检验功效高的一种方法。
秩转换的非参数检验（秩和检验），首先 将观察值从小到大，或者等级从弱到强转换为 秩次后，再计算统计量，这种用数据的秩代替 原始数据进行假设检验的方法称为秩和检验。 秩和检验对总体分布的形状差别不敏感，只对 总体分布的位置差别敏感。
-7.5 3
1。 建立假设并确定检验水准
H0：差值的总体中位数为0，Md=0 H1：差值的总体中位数不为0，Md≠0 α=0.05 2。计算统计量T T+=34.5 T-=10.5 T=10.5
3. 确定P值，作出统计推断 n=9,T=T-=10.5，查界值表：P>0.10
按α=0.05的水准，不拒绝H0，还不能认为两
表8-5 肺癌病人和矽肺0期工人的RD值（cm）比较
肺癌病人
RD值 秩
2.78
1
3.23
2.5
4.20
7
4.87 14
5.12 17
6.21 18
7.18 19
8.05 20
8.Βιβλιοθήκη Baidu6 21
9.60 22
n1=10 T1=141.5
矽肺0期工人
RD值
秩
3.23
2.5
3.50
4
4.04
5
4.15
6
4.28
法治疗扁平足效果不同。
二、单样本中位数与总体中位数的比较
比较目的是推断样本来自的总体中位数M和某个 已知的总体中位数M0是否相等。即推断样本各变量 值和M0差值的总体中位数是否为0。
例8-2 已知某地正常人尿氟含量的中位数为
45.30μmol/L 。今在该地某厂随机抽取12名工人， 测得尿氟含量见表8-2第（1）栏。问该厂工人的尿 氟含量是否高于当地正常人的尿氟含量？
表中上方对应的概率水平。
本例n1=10，n2-n1=2，T=141.5，查界值表： 0.025<P<0.05
按α=0.05的水准，拒绝H0，接受H1，可以认
为肺癌病人的RD值高于矽肺工人的RD值。
Wilcoxon检验
1。 建立假设并确定检验水准
H0：肺癌病人和矽肺0期工人RD值的总体分布位
置相同
H1：肺癌病人的RD值高于矽肺0期工人的RD值
（总体分布位置靠右）
α=0.05
2。计算统计量T
① 把两样本数据混合小到大编秩，遇到数据相 同的取平均秩次
② 分别求两样本秩次之和，用T1和T2表示（样本 含量小的为T1），选择T1作为统计量值T。若样本 含量相等，任取一个秩和作为T（T1或T2）。
8
4.34
9
4.47
10
4.64
11
4.75
12
4.82
13
4.95
15
5.10
16
n2=12 T1=111.5
分析：本例两样本资料经正态性检验，W1=0.959， P1=0.775，W2=0.943，P2=0.533；经方差齐性检验， F=20.455，P=0.000，推断的两总体方差不等，使用
中上方对应的概率水平。
本例n=11,T=T-=11.5，查界值表：0.05<P<0.10
按α=0.05的水准，不拒绝H0，还不能认为两
法测定血清谷-丙转氨酶结果有差别。
② 正态近似法：当n>50超出界值表的范围时， 可以使用正态近似法作u检验。
T n n 1 4
u
n
n
1
2n
1
甲 好 好 好好差中好 好 中差 好 差 中 乙 差 差 好中中差中 差 中差 好 好 差
符号秩和检验若用于配对等级资料，则应先将 等级从弱到强赋值，然后再进行符号秩检验。但 对于等级资料，相同秩次多，小样本的检验结果 会存在偏差，最好为大样本。
两种疗法的治疗结果
病例号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
缺点：对于符合参数统计分析 条件者，采用非参数统计分析， 其检验效能较低
预备知识
分析方法心中有数： 当手中有了数据，首先要对它进行充分、直观的了解，
直方图，茎叶图，箱图等可以帮助我们对数据的分布形状进 行探索，避免因对数据的特性缺乏了解而盲目使用一些方法 作出错误的或不合理的结论。
如果能使用参数方法，当然还是参数方法更好一些，参 数法效能高，方法多。
甲 好 好 好好差中好 好 中差 好 差 中
赋值 3 3 3 3 1 2 3 3 2 1 3 1 2
乙 差 差 好中中差中 差 中差 好 好 差 赋值 1 1 3 2 2 1 2 1 2 1 3 3 1
差值 2 2 0 1 -1 1 1 2 0 0 0 -2 1
秩次 7.5 7.5 3 -3 3 3 7.5
预备知识
秩(Rank)：对于样本，按由小到大排成一列，若数据X在这 一列中占据第i位，称X的秩为Ri
实际上就像是考试成绩的排名，只不过倒了过来 相同秩（Ties，得分相同，不分胜负，平手)：在许多情况
下，数据中会有相同的值出现，此时如果排秩的话就会出现 同秩的现象，这种情况被称为数据中的相同秩。
合计
（1）－45.30 -1.09 0 1.09 4.17 5.75 7.86 7.96 9.07 11.85 22.07 25.75 42.07 ─
正 秩负 秩 1.5
1.5
3
4
5
6
7
8
9
10
11
64.5
1.5
1。 建立假设并确定检验水准
H0：该厂工人尿氟含量的总体中位数为45.30 H1：该厂工人尿氟含量的总体中位数大于45.30 α=0.05 2。计算统计量T T+=64.5 T-=1.5 T=1.5 3。 确定P值，作出统计推断
t
3 j
t
j
24
48
tj为第j个相同秩次的个数
如：相同秩中有2个1.5，5个8，3个14，则
t1=2,t3=5,t3=3
配对的等级资料
例 配对比较甲、乙两种方法治疗扁平足效果，记录
如下，问两种疗法是否有差别？
两种疗法的治疗结果 病例号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
一、配对样本差值的中位数与0的比较
比较目的是推断配对样本差值得总体中位数是 否为0，也可以说是推断配对的两个相关样本所来 自的两个总体中位数是否相等。
例8-1 对12份血清分别用原方法（检测时间20分
钟）和新方法（检测时间10分钟）测谷-丙转氨酶， 结果见表8-1的(2)、(3)栏。问两法所得结果有无 差别？
差值 16 10 48 2 -2 0 15 13 45 6
-46 5
-
正秩 8 5
11 1.5
7 6 9 4
3 54.5
负秩 1.5
10 11.5
本例为配对实验设计，对其差值进行正态性检
验：W=0.875，P=0.076，不满足正态性的条件，使
用符号秩检验。
1。 建立假设并确定检验水准
H0：差值的总体中位数为0，Md=0 H1：差值的总体中位数不为0，Md≠0 α=0.05
3. 确定P值，作出统计推断
① 查表法：当n1≤10以及n2-n1≤10时，可以查 界值表确定概率值。查界值表，若T在上下界值 范围内，P大于表中上方对应的概率水平；若T等 于上侧界值或下侧界值，P近似等于表中上方对 应的概率水平；若T不在上下界值范围内，P小于
n=11,T=T-=1.5，查界值表：P<0.005
按α=0.05的水准，拒绝H0，接受H1，可以认
为该厂工人尿氟含量高于当地正常人。
第二节 两个独立样本比较的 Wilcoxon秩和检验
两组独立样本比较的秩和检验(Wilcoxon秩和检验)， 目的是推断计量资料或等级资料的两个独立样本代表 的两个总体分布是否有差别。
参数统计
（parametric statistics）
非参数统计
（nonparametric statistics）
已知总体分布类型，对
未知参数（μ、π）进
行统计推断
依赖于特定分布类 型，比较的是参数
对总体的分布类 型不作任何要求
不受总体参数的影响， 比较分布或分布位置
优点：1.适用范围广 2.简便，易于掌握
理论上H0为两总体分布相同，即两样本来自同一总 体；H1为两总体分布不同。由于秩和检验对两总体分
布形状的差别不敏感，对位置相同、形状不同但类似 的两总体分布，推断不出两总体分布(形状)有差别，
故在实际应用中，H0可写作两总体分布位置相同，也
可简化为两总体中位数相等。
例8-3 对10例肺癌病人和12例矽肺0期工人用X光片 测量肺门横径右侧距RD值（cm），结果见表8-5。问 肺癌病人的RD值是否高于矽肺0期工人的RD值？
2。计算统计量T
① 省略所有差值为0的对子，令余下的有效对子
数为n 本例n=11
② 对剩余的差值的绝对值从小到大编秩，并根 据差值的正负号标上符号。编秩时遇到绝对值相 同时取平均秩次。
③ 分别求正负秩次之和，用T+和T-表示，并任选
正秩和或负秩和作为统计量值。
本例T=T-=11.5
3. 确定P值，作出统计推断 ① 查表法：n≤50查界值表，若T在上下界值范 围内，P大于表中上方对应的概率水平；若T等于 上侧界值或下侧界值，P近似等于表中上方对应 的概率水平；若T不在上下界值范围内，P小于表
表8-1 12份血清用原法和新法测血清谷-丙转氨酶的比较
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 合计
原法 60 142 195 80 242 220 190 25 198 38 236 95 -
新法 76
152 243
82 240 220 205
38 243
44 190 100
-
结果为有序分类变量时无法使用。 例：尿糖检测结果
样本数据两端有不确定值时无法使用。 例：仪器性能限制，超出可测量范围
以上情况下强行使用参数统计方法可能会得到错误结论
非参数检验一般不直接用样本观察值作分析，统 计量的计算基于原数据在整个样本中按大小所占位 次。由于丢弃了观察值的具体数值，而只保留其大 小次序的信息，凡适合参数检验的资料，应首选参 数检验。但不清楚是否适合参数检验的资料，则应 采用非参数检验；尤其对于难以确定分布又出现少 量异常值的小样本数据，非参数检验在剔除这些数 据前后所得结论显示出其较好的稳健性。
本身在利用信息上就有丢失
Ⅰ型错误和Ⅱ型错误
真实结果
H0成立 H0不成立
由样本推断的结果
拒绝H0 Ⅰ型错误 α
不拒绝H0 推断正确(1－α)
推断正确（1－β） Ⅱ型错误β
（1－β）即把握度(检验效能)（power of a test):两总体确有差别，在α检验水准下,被检
出有差别的能力
（1－α）即可信度（confidence level):重复 抽样时，样本区间包含总体参数（m）的百分数
第一节 配对样本比较的Wilcoxon符号秩检验 第二节 两个独立样本比较的Wilcoxon秩和检验
第三节 完全随机设计多个样本比较Kruskal—Wallis H检验 第四节 随机区组设计多个样本比较的Friedman M 检验
第一节 配对样本比较的 Wilcoxon符号秩检验
Wilcoxon符号秩检验可用于 1.配对样本差值的中位数与0的比较 2.单个样本中位数和已知的一个总体中位数比较。
非参数检验的适用范围：
① 计量资料不满足正态或方差齐性条件 ② 对于分布不知是否正态的小样本资料 ③ 对于一端或两端无确定数值的资料 ④ 等级资料进行等级强度差别的比较
非参数方法的特点：
������ 适用范围广，几乎可用于任何情况。 ������ 当资料符合参数检验方法的适用条件时，
使用非参数方法的检验效能较低。 ������ 原因：无法借助总体分布得到许多推论，
秩转换的非参数检验
参数检验：总体分布为已知的数学形式，对
其总体参数做假设检验。
非参数检验：是针对参数检验而言的，不
依赖于总体分布的一种假设检验方法，它直接 对总体分布进行假设，不受总体分布的限制， 适用范围广，而且简便易学。
参数统计方法的局限性
必须要先对总体分布进行确定，当总体分布未知，或分 布不符合要求时无法使用。 例：住院时间
对工人尿氟含量进行正态性检验得W=0.845， P=0.032，不满足正态性的条件，使用符号秩检验。
表8-2 12名工人的尿氟含量（μmol/L）与45.30比较
尿氟含量 44.21 45.30 46.39 49.47 51.05 53.16 53.26 54.37 57.16 67.37 71.05 87.37
如：考试成绩的并列第三名 在默认情况下，秩和检验中的相同秩为它们按大小顺序 排列后所处位置的平均值。
非参数检验的方法很多，有符号检验、游程 检验、等级相关分析、秩和检验等。秩转换的 非参数检验（秩和检验）是在非参数检验中占 有重要地位且检验功效高的一种方法。
秩转换的非参数检验（秩和检验），首先 将观察值从小到大，或者等级从弱到强转换为 秩次后，再计算统计量，这种用数据的秩代替 原始数据进行假设检验的方法称为秩和检验。 秩和检验对总体分布的形状差别不敏感，只对 总体分布的位置差别敏感。
-7.5 3
1。 建立假设并确定检验水准
H0：差值的总体中位数为0，Md=0 H1：差值的总体中位数不为0，Md≠0 α=0.05 2。计算统计量T T+=34.5 T-=10.5 T=10.5
3. 确定P值，作出统计推断 n=9,T=T-=10.5，查界值表：P>0.10
按α=0.05的水准，不拒绝H0，还不能认为两
表8-5 肺癌病人和矽肺0期工人的RD值（cm）比较
肺癌病人
RD值 秩
2.78
1
3.23
2.5
4.20
7
4.87 14
5.12 17
6.21 18
7.18 19
8.05 20
8.Βιβλιοθήκη Baidu6 21
9.60 22
n1=10 T1=141.5
矽肺0期工人
RD值
秩
3.23
2.5
3.50
4
4.04
5
4.15
6
4.28
法治疗扁平足效果不同。
二、单样本中位数与总体中位数的比较
比较目的是推断样本来自的总体中位数M和某个 已知的总体中位数M0是否相等。即推断样本各变量 值和M0差值的总体中位数是否为0。
例8-2 已知某地正常人尿氟含量的中位数为
45.30μmol/L 。今在该地某厂随机抽取12名工人， 测得尿氟含量见表8-2第（1）栏。问该厂工人的尿 氟含量是否高于当地正常人的尿氟含量？
表中上方对应的概率水平。
本例n1=10，n2-n1=2，T=141.5，查界值表： 0.025<P<0.05
按α=0.05的水准，拒绝H0，接受H1，可以认
为肺癌病人的RD值高于矽肺工人的RD值。
Wilcoxon检验
1。 建立假设并确定检验水准
H0：肺癌病人和矽肺0期工人RD值的总体分布位
置相同
H1：肺癌病人的RD值高于矽肺0期工人的RD值
（总体分布位置靠右）
α=0.05
2。计算统计量T
① 把两样本数据混合小到大编秩，遇到数据相 同的取平均秩次
② 分别求两样本秩次之和，用T1和T2表示（样本 含量小的为T1），选择T1作为统计量值T。若样本 含量相等，任取一个秩和作为T（T1或T2）。
8
4.34
9
4.47
10
4.64
11
4.75
12
4.82
13
4.95
15
5.10
16
n2=12 T1=111.5
分析：本例两样本资料经正态性检验，W1=0.959， P1=0.775，W2=0.943，P2=0.533；经方差齐性检验， F=20.455，P=0.000，推断的两总体方差不等，使用
中上方对应的概率水平。
本例n=11,T=T-=11.5，查界值表：0.05<P<0.10
按α=0.05的水准，不拒绝H0，还不能认为两
法测定血清谷-丙转氨酶结果有差别。
② 正态近似法：当n>50超出界值表的范围时， 可以使用正态近似法作u检验。
T n n 1 4
u
n
n
1
2n
1
甲 好 好 好好差中好 好 中差 好 差 中 乙 差 差 好中中差中 差 中差 好 好 差
符号秩和检验若用于配对等级资料，则应先将 等级从弱到强赋值，然后再进行符号秩检验。但 对于等级资料，相同秩次多，小样本的检验结果 会存在偏差，最好为大样本。
两种疗法的治疗结果
病例号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
缺点：对于符合参数统计分析 条件者，采用非参数统计分析， 其检验效能较低
预备知识
分析方法心中有数： 当手中有了数据，首先要对它进行充分、直观的了解，
直方图，茎叶图，箱图等可以帮助我们对数据的分布形状进 行探索，避免因对数据的特性缺乏了解而盲目使用一些方法 作出错误的或不合理的结论。
如果能使用参数方法，当然还是参数方法更好一些，参 数法效能高，方法多。
甲 好 好 好好差中好 好 中差 好 差 中
赋值 3 3 3 3 1 2 3 3 2 1 3 1 2
乙 差 差 好中中差中 差 中差 好 好 差 赋值 1 1 3 2 2 1 2 1 2 1 3 3 1
差值 2 2 0 1 -1 1 1 2 0 0 0 -2 1
秩次 7.5 7.5 3 -3 3 3 7.5
预备知识
秩(Rank)：对于样本，按由小到大排成一列，若数据X在这 一列中占据第i位，称X的秩为Ri
实际上就像是考试成绩的排名，只不过倒了过来 相同秩（Ties，得分相同，不分胜负，平手)：在许多情况
下，数据中会有相同的值出现，此时如果排秩的话就会出现 同秩的现象，这种情况被称为数据中的相同秩。
合计
（1）－45.30 -1.09 0 1.09 4.17 5.75 7.86 7.96 9.07 11.85 22.07 25.75 42.07 ─
正 秩负 秩 1.5
1.5
3
4
5
6
7
8
9
10
11
64.5
1.5
1。 建立假设并确定检验水准
H0：该厂工人尿氟含量的总体中位数为45.30 H1：该厂工人尿氟含量的总体中位数大于45.30 α=0.05 2。计算统计量T T+=64.5 T-=1.5 T=1.5 3。 确定P值，作出统计推断
t
3 j
t
j
24
48
tj为第j个相同秩次的个数
如：相同秩中有2个1.5，5个8，3个14，则
t1=2,t3=5,t3=3
配对的等级资料
例 配对比较甲、乙两种方法治疗扁平足效果，记录
如下，问两种疗法是否有差别？
两种疗法的治疗结果 病例号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
一、配对样本差值的中位数与0的比较
比较目的是推断配对样本差值得总体中位数是 否为0，也可以说是推断配对的两个相关样本所来 自的两个总体中位数是否相等。
例8-1 对12份血清分别用原方法（检测时间20分
钟）和新方法（检测时间10分钟）测谷-丙转氨酶， 结果见表8-1的(2)、(3)栏。问两法所得结果有无 差别？
差值 16 10 48 2 -2 0 15 13 45 6
-46 5
-
正秩 8 5
11 1.5
7 6 9 4
3 54.5
负秩 1.5
10 11.5
本例为配对实验设计，对其差值进行正态性检
验：W=0.875，P=0.076，不满足正态性的条件，使
用符号秩检验。
1。 建立假设并确定检验水准
H0：差值的总体中位数为0，Md=0 H1：差值的总体中位数不为0，Md≠0 α=0.05