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高中数学必修五数列知识点+练习含答案解析(非常详细)

第一部分必修五数列知识点整理第二章数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。

3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项时为常数列)。

③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。

等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。

—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。

≤d＜3 D.＜d≤36、。

在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。

高中数学必修五数列知识点(荐).doc

一、知识纲要⑴数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列•.(2) 等差、等比数列的定义. (3) 等差、等比数列的通项公式. (4) 等差中项、等比中项.(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法.二、方法总结1. 数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想.2. 等差、等比数列中，％、a n . n , d(q)、S n “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法.3. 求等比数列的前兀项和时要考虑公比是否等于1,公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想.4.数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等.三、知识内容：1•数列 ,,,[a, = Si(n = 1) ,, ,数列的通项公式：a n =< 数列的刖n 项和：S n = a l +a 2+a 3+--- + a n〔S“-S“_i (Q2)1、数列：按照一定顺序排列着的一列数.2、数列的项：数列中的每一个数.3、有穷数列：项数有限的数列.4、无穷数列：项数无限的数列.5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.7、常数列：各项相等的数列.8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式：表示数列｛。

”｝的第"项与序号〃之间的关系的公式. 10、数列的递推公式：表示任一项a “与它的前一项(或前几项)间的关系的公式. 例1.已知数列｛©｝的前n 项和为S n = 2n 2-n ，求数列｛a“｝的通项公式.当” =1时，％ = S] = 1,当时，= 2“2 — “―2(“ —1尸+(“ —1) = 4〃 —3,经检验 ” =1时 =1 也适合a” = 4n - 3,a n =4n-3N +) 2.等差数列等差数列的定义：如.果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母〃表示。

高中数学必修5(人教B版)第二章数列2.4知识点总结含同步练习题及答案

四、课后作业
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1. 数列 1, 3, 7, 15, ⋯ 的通项公式 an 等于 ( A．2 n
答案： C
)
C．2 n − 1 D．2 n−1
B．2 n + 1
2. 已知 a1 = 1 ， an+1 = 第 66 项是 ( 6a n + 1 1 1 B． C． 391 390
答案： A
1 ) ，则 an = ( n
)
C．2 + n ln n
B．2 + (n − 1) ln n D．1 + n + ln n
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an ，等式两边同时取倒数，得 2an + 1 an+1 1 =
an ，求数列{an }的通项公式． 2an + 1 2an + 1 1 = + 2, an an
所以
an+1
故数列{
1
−
1 = 2. an
1 1 }为等差数列，首项 = 1 ，公差 d = 2．所以 an a1 1 = 1 + (n − 1) × 2 = 2n − 1, an
因此数列{an }的通项公式为
an =
1 . 2n − 1
已知数列{an }中，a1 = 2 ，an+1 = 2an + 3 × 2 n ，求数列{an }的通项公式．解：因为 an+1 = 2an + 3 × 2 n ，等式两边同时除以 2 n+1 ，得
an+1 2 n+1
所以
=
2an + 3 × 2 n 2 n+1

数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

数列知识点总结一、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义a n 1 - a n =d a n 1=q(q 0)通项公式递推公式中项前 n 项和性质a na n = a 1 +（ n-1 ） da n = a 1 q n 1 (q 0)a n = a n 1 +d, a n = a m +(n-m)da n = a n 1 qa n = a m q nma b推广： A= a n k a n k （ n,kG 2ab 。

推广：G= a n k a n k （ n,kA=+22 ;n>k>0 ）。

任意两数 a 、c 不一定N+有等比中项，除非有 ac ＞ 0，则等比中N ;n>k>0 ）项一定有两个n（ a 1 + a n ）S n =a 1 (1 q n )S n =1 q2S n =n a 1 +n(n 1)dS n =a 1 a n q21 q（ 1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ；（1）若m np q ，则（2）数列 a2n 1, a 2n, a2n 1 仍为等差数a m ·a n a p ·a q列，S n ，S 2 nS n ， S 3 n S 2 n ⋯⋯ 仍为等差数（ 2）S n ，S 2n S n ，S 3nS 2n ⋯⋯ 仍列，公差为 n 2d ；为等比数列 ,公比为 q n（3）若三个成等差数列，可设为a d ， a ， a d（ 4）若 a n ，b n 是等差数列，且前 n 项和分别a m S2 m 1为 S n ， T n ，则T 2 m 1b m（ 5） a n为等差数列S n an 2bn（ a ， b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数）（ 6） d=a ma n(m n)m n(7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列二、求数列通项公式的方法1、通项公式法：等差数列、等比数列2、涉及前ｎ项和 S n 求通项公式，利用a n 与 S n 的基本关系式来求。

北师大版高中数学必修5第一章数列知识点及方法总结

数列知识点知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图像表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图像是一群孤立点。

（4）数列分类:①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

(6 )数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥注意：此公式较重要！！！等差数列知识点1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

高中数列知识点归纳及习题附答案

第五章数列5.1数列基础 5.1.1数列的概念一、知识点1. 定义：按照一定顺序排列的一列数成为数列。

2. 项：数列中的每一个数都称为这个数列的项,各项依次称为这个数列的第1项(或首项) ,第2项,…,第n 项 ,n a a a a ,......,,321，-1a 首项。

3. 通项：因为数列从首项起,每一项都与正整数对应,所以数列的一般形式可以写成n a a a a ,......,,321…,其中n a 表示数列的第n 项(也称n 为n a 的序号,其中n 为正整数,即n ∈N+),n a 称为数列的通项.此时,一般将整个数列简记为{an} ,这里的小写字母a 也可以换成其他小写英文字母.4. 通项公式：一般地,如果数列的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 n a =f(n) 来表示,其中f (n)是关于n 的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式 .不是所有的数列都能写出通项公式,如果数列有通项公式,那么通项公式的表达式不一定唯一.5. 与函数的关系：数列{n a }可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示.6. 分类：1）有穷数列：项数有限个2）无穷数列：项数无限个3）增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 4）减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 5）常数列：各项都相等6）摆动数列：时而增大时而减小二、典型题典型题一数列定义的理解1.有下面四个结论,其中正确的为( ) ①数列的通项公式是唯一的;②数列可以看成是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③若用图像表示数列,则其图像是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x 等于( ) A.11B.12C.13D.143.(2020甘肃兰州高二期中)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.-1,-2,-3,-4,…B.-1,-,…C.-1,-2,-4,-8,…D.1,,…,典型题二求数列的通项公式4.若数列{a n }的前4项依次是2,0,2,0,则这个数列的通项公式不可能是( ) A.a n =1+(-1)n+1B.a n =1-cos nπC.a n =2sin2D.a n =1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)5.已知数列{a n }的通项公式为n n a n -=2，则下列各数中不是数列中的项是（）A.2B.40C.56D.906.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二期中)如图是谢尔宾斯基三角形,在所给的四个三角形图案中,黑色的小三角形个数依次构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( )A.a n =3n-1B.a n =2n-1C.a n =3nD.a n =2n-17.已知数列{a n }的通项公式为13+=n na n ，那么这个数列是（） A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列 8.写出下列数列的一个通项公式.(1)-,…;(2),…;(3)7,77,777,7 777,….典型题三数列的单调性9.在数列{a n }中,a n =n 2-kn(n ∈N +),且{a n }是递增数列,求实数k 的取值范围.10.(2020北京第十一中学高三一模)数列{a n }的一个通项公式为a n =|n-c|(n ∈N +),则“c<2”是“{a n }为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.数列{a n }的通项公式为nan a n +=。

高中数列知识点总结(附例题)

高中数列知识点总结（附例题）知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项如果 A ＝a ＋b2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)．7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．[难点正本疑点清源] 1．等差数列的判定(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n .(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数． ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4) (n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4 (n ≥7)＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3例5等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ，且7453n nS n T n,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ),由待定系数法求出,再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.例6 已知数列{}n a 中，113a =，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-，则数列{}n a 的通项公式为例7在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a = .知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n－m，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，21221nn n n S S S S --=-1.21n S n ⇒=+1111122(2)n n n n n n S S S S n S S ---⇒-=⇒-=≥()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥13211221, 2.≥n n n n n a a a a a a n a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅2ln n+⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .7. 等比数列的单调性【难点】1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1及前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得： ⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24， ①a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②由②得a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2.，故舍去．当q ＝2时，a 1＝1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝85.(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾．∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝40， ①a 1(1－q 2n )1－q ＝3 280， ②②①得：1＋q n ＝82，∴q n＝81， ③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27， ⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n.(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12. 又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)设公比为q ，则a 5a 2＝q 3，即q 3＝－18，∴q ＝－12，∴a n ＝a 5·q n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －4.(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 24，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．规范解答(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， [5分]∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列． [6分](2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， [8分]当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) [10分]＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 (n ∈N *)． [14分]例4 （07 重庆11）设11a a -+是和的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）例5 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为（）例 6 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形__________.【综合应用】例7.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；22,Z 3k k ππ±∈(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎨⎧3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.知识点3：数列的基本知识1，1-1)1(n n n n n S S n S a S a -==或的关系：与例1：设{}n a 数列的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 15 .2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法①对形如q pa a a a n n +==+11;的递推公式()1.≠p q p 为常数且，可令()λλ+=++n n a p a 1，整理得()λλλ+=+=+n n a p a p q1,1-，所以是{}λ+n a 等比数列②对形如q pa a a n n n +=+1的递推公式，两边取倒数后换元转化为nn a qp a +=+11，再求出⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1即可例2：已知数列{}n a 满足n a a a n n 2-,3311==+，则na n的最小值为 10.5。

高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.4知识点总结含同步练习及答案

高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章数列 2.4 等比数列
一、学习任务理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单的问题．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系．了解等比数列与指数函数的关系．二、知识清单
等比数列的概念与性质
三、知识讲解
1.等比数列的概念与性质描述：等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母 q 表示 (q ≠ 0) ．如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a ，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．等比数列的通项公式：an = a1 q n−1 ．等比数列的性质 an ，am 为等比数列中任意两项，则 an = am q n−m (n, m ∈ N + ) ．若 n，m ，p ，r ∈ N ∗ 且 n + m = p + r ，则 an ⋅ am = ap ⋅ ar ．下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列．等比数列前 n 项和
27 是否为这个数列中的一项？如 2
a(3a + 3) = (2a + 2)2 ,
解得 a = −1 或 a = −4 ．当 a = −1 时，数列的前三项依次为 −1，0 ，0 ，与等比数列的定义相矛盾，故舍去．当 a = −4 时，数列的前三项依次为 −4，−6，−9，则公比为 q =
3 ．所以 2
q = 1, ⎧ na1 , n 等比数列的前 n 项和 S n = ⎨ a1 (1 − q ) a − an q ⎩ = 1 , q ≠ 1. 1−q 1−q 等比数列的前 n 项和的性质当 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 均不为零时，数列 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 构成等比数列；

(完整版)高二数学必修五数列知识点总结及解题技巧(含答案)--强烈推荐,推荐文档

设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
设，
，，则有；
(9) 是等差数列的前项和，则；
其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
①．为等差数列，公差为；
②．（即
）为等差数列，公差；
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③．（即）为等差数列，公差为.
1
q1。

；
a
）设，是等比数列，则也是等比数列。

）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数
）设是正项等比数列，则是等差数列；
）设，
，，则有；
）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
①．为等比数列，公比为；
②．（即）为
等比数列，公比为；。

数学数学必修5数列总结

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第二章数列
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(3)各项的分母分别是 22,23,24,25，…，分子比分母小 1. ∴数列的通项公式为 an＝2n2＋n1＋－1 1. (4)各项可看作 21＝2×10＋1,203＝2×100＋3,2 005＝ 2×1 000＋5,20 007＝2×10 000×7. ∴数列的通项公式为 an＝2×10n＋(2n－1)．
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2．分组化归法将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列求和问题，我们将这种方法称为分组化归法，运用这种方法的关键是将通项变形．
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求数列 1 12，3 14，5 18，…，2n－1＋21n的前 n 项和．解析： Sn＝1 12＋3 14＋5 18＋…＋2n－1＋21n ＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋12＋14＋18＋…＋21n ＝1＋2n2－1·n＋1211－－1212n ＝n2＋1－21n.
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所以数列{Sn2}是以 S12＝a12＝1 为首项，公差 d＝1 的等差数列，
即 Sn2＝1＋(n－1)·1＝n. ∵an>0，∴Sn>0，∴Sn＝ n， ∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ n－ n－1. 而 n＝1 时，a1＝1 也适合上式， ∴{an}的通项公式 an＝ n－ n－1.
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(6)各项可看作 1＝1＋0，32＝12＋1，13＝13＋0， 54＝14＋1，15＝15＋0，76＝16＋1，…， ∴数列的通项公式为 an＝1n＋1＋2－1n.
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2．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是分析后项与前项的差或比是否符合等差数列或等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．

高中数学必修五数列知识点总结(经典总结)

数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质（1）定义：1n n a a d +-=（d 为常数），通项公式：()11n a a n d =+-（2）等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ （3）前n 项和：()()11122n na a n n n S nad +-==+（4）性质：{}n a 是等差数列①任意两项间的关系式； a n ＝a m ＋(n －m )d （m 、n ∈N +） ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；③232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为dn 2；④若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，⑤若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=⑥{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.⑦项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.⑧项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有：)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质（1）定义：1n naq a +=（q 为常数，0q ≠），通项公式：11n n a a q -=.（2）等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =（3）前n 项和：()11(1)1(1)1nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）（4）性质：{}n a 是等比数列①任意两项间的关系：a m ＝a n . q m －n （m 、n ∈N +）. ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··③232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列，公比为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-.3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a 解：1n =时，112152a =⨯+，∴114a =①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+……②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a 注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n na na a n +==+，，求n a 解： 3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n aa n=又13a =，∴3n a n =.（3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求na （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11da c c +-，为公比的等比数列∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭（5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n na a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法（1）公式法（2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭· ∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (1)21n n a S n ===-+…………，（3）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （4）分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

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