误差理论与数据处理习题答案1-3章

第一章习题及参考答案1-1. 测得某三角块的三个角度之和为180°00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差。

【解】绝对误差＝测得值－真值＝180°00’02”－180°＝2”相对误差＝绝对误差／真值＝2”/（180×60×60”）=3.086×10-4%1-2. 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm ，已知其最大绝对误差为1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？【解】 绝对误差＝测得值－真值，即： ∆L ＝L －L 0 已知：L ＝50，∆L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －∆L ＝50－0.001＝49.999（mm ）1-3. 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。

1-4. 在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20μm ，试求其最大相对误差。

【解】因 ∆L ＝L －L 0 求得真值：L 0＝L －∆L ＝2310－0.020＝2309.98（mm ）。

故：最大相对误差＝0.020／2309.98＝8.66×10-4%＝0.000866%1-5. 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。

今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。

试求g 及其最大相对误差。

如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。

由得：当（h 1+h 2）有微小变化g 的最大相对误差为：（m/s 2）、T 有ΔT变化时，g 的变化量为：如果（h1+h2）测出为（1.04220±0.0005）0.001m/s 2，即：m，为使g的误差能小于就是求得：1-6.检定2.5级（即引用误差为 2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？【解】引用误差＝示值误差／测量范围上限。

所以该电压表的引用误差为：所以该电压表合格。

1-7.为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？【答】我国电工仪表、压力表的准确度等级是按照引用误差进行分级的。

当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大相对误差为：式中：Δxm 为仪表某标称量程内的最大绝对误差，x为被测量，xm为标称量程上限。

选定仪表后，被测量x的值越接近于标称量程上限，测量的相对误差rx越小，测量越准确。

1-8.用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。

测得值各为50.004mm，80.006mm。

试评定两种方法测量精度的高低。

【解】两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：δ1＝50.004－50＝0.004（mm）；δ2＝80.006－80＝0.006（mm）两种测量方法的相对误差分别为：δ1／L1＝0.004/50=0.008 % 和δ2／L2＝0.006/80=0.0075 %显然，测量L2尺寸的方法测量精度高些。

由于：1-9.多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km；在射击场中，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高。

【解】两种射击的射击偏差即绝对误差分别为：δ1＝0.1（km）；δ2＝2（cm）＝2×10-2（m）两种射击的相对误差分别为：δ1／L1＝0.1/10000=0.001 % 和δ2／L2＝2×10-2/50=0.04 %多级弹导火箭的射击精度高。

1-10.若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为±11μm和±9μm ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为±12μm，试比较三种测量方法精度的高低。

【解】测量长度L1的两种测量方法的测量误差分别为：δ1＝±11（um）；δ2＝±9（um）两种测量方法的相对误差分别为：δ1／L1＝±11 um /110mm＝±11/110000＝±0.01%δ2／L1＝±9um/110mm＝±9/110000 ＝±0.0082%用第三种测量方法的测量误差为：δ3＝±12（um）δ3／L2＝±12 um /150mm＝±12/150000＝±0.008%显然，第三种测量方法精度最高。

而测量L1时有测量误差±11 um的测量方法精度最低。

第二章误差的基本性质与处理习题及参考答案2-1.试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在［－【解】（1）误差服从正态分布时（2）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为：（3）误差服从均匀分布时因其标准差为：2-2.测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。

【解】①选参考值，计算差值，］中的概率。

，所以区间［，］＝［，］，故，所以区间［，］＝［，］，故和残差表中。

序号x iΔx i1 236.45 0.45 +0.02 0.00042 236.37 0.37 -0.06 0.00363 236.51 0.51 +0.08 0.00644 236.34 0.34 -0.09 0.00815 236.39 0.39 -0.04 0.00166 236.48 0.48 +0.05 0.00257 236.47 0.47 +0.04 0.00168 236.40 0.40 -0.03 0.0009或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：②计算标准差：用贝塞尔公式计算：2-3.用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。

【解】（1）用别捷尔斯法计算（2）用极差法计算8个测量数据的极差为：ωn=查教材P18表2-4，n=8时dn=2.85（3）最大误差法计算8个测量数据的最大残差为：查教材P19表2-5，n=8时，1/K’n＝0.612-4.测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

【解】①选参考值，计算差值或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得：（g）( g )( g )=236.51－236.34=0.17，(g)( g )和残差表中。

（mA）序号x iΔx i1 168.41 -0.09 -0.078 0.0060842 168.54 0.04 +0.052 0.0027043 168.59 0.09 +0.102 0.0104044 168.40 -0.10 -0.088 0.0077445 168.50 0 +0.012 0.000144②计算标准差：用贝塞尔公式计算： ［若用别捷尔斯法计算： ［用极差法计算：n=5时d n=2.33，下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据： 或然误差： 平均误差： 算术平均值的标准差 算术平均值或然误差R ： 算术平均值平均误差T ： 2-5. 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

【解】①求算术平均值②求残余误差：各次测量的残余误差依次为0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。

③求测量列单次测量的标准差 用贝塞尔公式计算： 用别捷尔斯公式计算： ④求算术平均值的标准差⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录表1正态分布积分表，得置信系数t=2.6。

故：( mA )］(mA) ］( mA )；( mA )：( mA )( mA )：(mm) （mm ）（mm ）；单次测量的极限误差： 算术平均值的极限误差： ⑥求得测量结果为：2-6. 对某工件进行5次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差σ=0.005mm ，若要求测量结果的置信概率为95%，试求其置信限。

【解】因测量次数n=5，次数比较少，按t 分布求置信限（极限误差）。

已知：P=95%，故显著度α=1－P ＝0.05；而自由度ν＝n －1＝5－1＝4。

根据显著度α=0.05和自由度ν查附录表3 的t 分度表，得置信系数ta=2.78。

所以算术平均值的置信限为： 2-7. 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差σ=0.004mm ，若要求测量结果的置信限为±0.005mm ，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。

【解】① 若测量误差符合正态分布规律已知置信概率：P=99%，查正态分布表有：t=2.6，则置信限为：求得：n=4.32，取n=5.② 若测量误差符合t 分布 已知置信概率：P=99%，则显著度α=0.01，由置信限：当显著度α=0.01时，ν=7，查t 分度表，有t a =3.50，满足上述等式。

即求得：n=ν+1=8为必要的测量次数。

2-8. 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ=0.001mm ，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ，而置信概率P 为0.95时，应测量多少次。

【解】本题与2-7相似。

① 若测量误差符合正态分布规律已知置信概率：P=0.95，查正态分布表有：t=1.96，则极限误差为：求得：n=1.7，取n=2.（mm ）（mm ）±2.6× =±0.005（给定值） ±0.005有关系：t a±1.96× =±0.0015（给定值）② 若测量误差符合t 分布 已知置信概率：P=0.95，则显著度α=0.05，由极限误差：当显著度α=0.05时， ν=3，查t分度表，t a =3.18 >ν=4，查t 分度表，t a =2.78 <即求得：n=ν+1=4+1=5为必要的测量次数。