第十五章排队系统分析单服务台模型

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队列的应用——单服务台排队系统的模拟

队列的应用：单服务台排队系统的模拟一、三个模拟1.离散事件模拟系统在排队系统中，主要有两类事件：顾客的到达事件和服务完毕后顾客的离去事件，整个系统就是不断有到达事件和离开事件的发生，这些事件并不是连续发生的，因此这样的系统被称为离散事件模拟系统。

（1）事件处理过程如果服务员没空，就去队列中排队；否则就为这个顾客生成服务所需的时间t，表示服务员开始为它服务，所需的服务时间是t。

每当一个离开事件发生，就检查有没有顾客在排队，如果有顾客在排队，则让队头顾客离队，为它提供服务，如果没有顾客排队，则服务员可以休息。

（2）如何产生顾客到达事件和离开事件在一个排队系统中，顾客的到达时间和为每个顾客服务的时间并不一定是固定的。

但从统计上来看是服从一定的概率分布。

假设到达的间隔时间和服务时间都满足均匀分布，则可以用随机数产生器产生的随机数。

①以生成顾客到达事件为例子如顾客到达的间隔时间服从[a,b]之间的均匀分布，则可以生成一个[a,b]之间的随机数x，表示前一个顾客到达后，经过了x的时间后又有一个顾客到达。

[a,b]之间的随机数可以按照下面的过程产生：假如系统的随机数生成器生成的随机数是均匀分布在0到RAND_MAX之间，可以把0到RAND_MAX之间的区间等分成b-a+1个，当生成的随机数落在第一个区间，则表示生成的是a，当落在第二个区间，则表示生成的是a+1…当落在最后一个区间，则表示生成的是b。

这个转换可以用rand()*(b-a+1)/( RAND_MAX+1)+a实现，rand 表示系统的随机数生成函数。

2.离散的时间驱动模拟在得到了在x秒后有一个事件生成的信息时，并不真正需要让系统等待x秒再处理该事件。

在模拟系统中，一般不需要使用真实的精确事件，只要用一个时间单位即可，这个时间单位是嘀嗒tick，可以表示1秒，也可以表示1min\1h.沿着时间轴，模拟每一个嘀嗒中发生了什么事件并处理该事件。

模拟开始时时钟是0嘀嗒，随后每一步都把时钟加1嘀嗒，并检查这个时间内是否有事件发生，如果有，则处理并生成统计信息。

单服务台排队系统建模与仿真研究报告

物流系统建模与仿真单服务台排队系统仿真研究报告——选重庆大学A区门口中国银行分行某一服务窗口为单服务台排队系统研究对象一、系统基本背景社会的进步越来越快，人们的生活节奏也随之越来越快。

在科技的发展，新技术的普及下, 我国的银行业以计算机和信息技术、互联网技术为前提, 通过大量资金和科技的投入, 不断地开发出新产品和新业务。

另外有网上银行、支付宝等新业务的出现, 大大提高了工作效率。

然而现代的金融服务并不是都可以靠刷卡来解决, 许多技术还不完善, 这些新技术也并不适合所有顾客群,去银行办理业务的顾客仍然经常性地出现排队现象。

顾客等待时间过长, 造成顾客满意度下降, 矛盾较为突出, 因此本报告试利用单服务台排队论的方法, 定性定量地对具有排队等候现象的银行服务系统进行统计调查与分析研究,希望能帮助改进银行工作效率, 优化系统的运营。

本报告研究对象为中国银行重庆大学处分行某一服务窗口，数据取自银行内唯一非现金业务柜台。

研究对象的选取虽然不是最典型的，但是综合考虑了研究地域范围和小组成员作业时间有限，另有其他方案由于各种原因无法进行，故选择离学校较近的有代表性的中国银行中的服务窗口作为最终方案。

中国银行简介：中国银行是中国历史最为悠久的银行之一，在大家对银行的概念中有着一定地位。

中国银行主营传统商业银行业务，包括公司金融业务、个人金融业务和金融市场业务。

公司业务以信贷产品为基础，致力于为客户提供个性化、创新的金融服务和融资、财务解决方案。

个人金融业务主要针对个人客户的金融需求，提供包括储蓄存款、消费信贷和银行卡在内的服务。

作为中国金融行业的百年品牌，中国银行在稳健经营的同时，积极进取，不断创新，创造了国内银行业的许多第一，在国际结算、外汇资金和贸易融资等领域得到业界和客户的广泛认可和赞誉。

二、系统描述该银行工作时间为上午8：30至下午16：30（周一至周日），另周末不办理对公业务，属于每天8小时工作制。

排队论之简单排队系统

1.//1/M M ∞排队系统//1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson 过程（具有速率λ）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1λ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。

相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值μ。

两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，∞指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。

为分析之，我们首先确定极限概率0,1,2,n p n •••=，，为此，假定有无穷多房间，标号为 0,1,2,•••，并假设我们指导某人进入房间n （当有n 个顾客在系统中），则其状态转移框图如图所示。

图 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图由此，我们有状态离开速率＝进入速率0 01p p λμ=,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+解方程组，容易得到00,1,2,ii p p i λμ•••⎛⎫== ⎪⎝⎭，再根据0011()1n n n n p p p λμλμ∞∞=====-∑∑得到：01p λμ=-， ()(1),1nn p n λλμμ=-≥ 令/ρλμ=，则ρ称为系统的交通强度（traffic intensity ）。

值得注意的是这里要求1ρ<，因为若1ρ>，则0n p =，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因此对大多数单服务排队系统，我们都假定1ρ<。

于是，在统计平衡的条件下（1ρ<），平均队长为,1,1j j L jp λρρμλρ∞====<--∑（5-52）由于a λλ=，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得：平均逗留时间为：1,1LW ρλμλ==<- （5-53）平均等待时间为：1[],1()(1)Q W W E S W λρρμμμλμρ=-=-==<-- （5-54）平均等待队长为：22,1()1Q Q L W λρλρμμλρ===<-- （5-55）另外，根据队长分布易知，01ρρ=-也是系统空闲的概率，而ρ正是系统繁忙的概率。

单服务台排队系统仿真报告

单服务台排队系统仿真报告一、模型准备1、顾客到达特性在该系统中，顾客的到达规模（成批到达还是单个到达）是单个到达，假设顾客到达率Ai 服从均值为的指数分布，即2、顾客服务时间顾客服务时间为Si ，服从指数分布，假设均值为，即二、仿真模型设计1、元素定义（Define ）本系统的元素定义如表1所示。

2、元素可视化设置（Display ）本系统中各个元素的显示特征定义设置如图2所示：m in 5=A βAs Ae Af ββ/)(-=)0(≥A min 4=s βSA Se Sf ββ/)(-=)0(≥S图2 各元素的显示特征（1）Part元素可视化设置在元素选择窗口选择customer元素，鼠标右键点击Display，跳出Display 对话框（图3），设置它的Text（图4）、Icon（图5）。

图3 Display对话框图4 Display Text对话框图5 Display Icon对话框（2）Buffer元素可视化设置在元素选择窗口选择paidui元素，鼠标右键点击Display，跳出Display对话框（图3），设置它的Text、Icon、Rectangle（图6）。

图6 Display Rectangle对话框（3）Machine元素可视化设置在元素选择窗口选择Fuwuyuan元素，鼠标右键点击Display，跳出Display 对话框（图3），设置它的Text、Icon、Part Queue（图7）。

图7 Display Part Queue对话框（4）Variable元素可视化设置在元素选择窗口选择Jifen0元素，鼠标右键点击Display，跳出Display对话框（图3），设置它的Text 、Value（图8）。

图8 Display Value对话框（5）Timeseries元素可视化设置在元素选择窗口选择duichang元素，鼠标右键点击Display，跳出Display 对话框（图3），设置它的Text、Timeseries（图9）。

单服务台排队模型

n
n
Pk 95% (1 ) k 1 n1 95%
k 0
k 0
n1 5%
解得 n 15.4 16
即至少为病人准备15个座位（正在取药的人除外）。
26
例8-3 某医院欲购一台X光机，现有四种可供选择的机型。已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4 人。四种机型的服务时间均服从指数分布，其不同机型的固定费用C1，操作费C2，服务率µ见表。若每位就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元，试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+ 逗留损失费）最低。
过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负指数分布；（2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；（3）服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的负指数分布。
17
排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程，设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统（M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：
40
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（3）每个系统的平均等待队长
Lq
2 ( )
0.09 0.4(0.4 0.3)
9 4
2.25
（4）每个系统的平均队长
L 0.3 （3 人） 0.4 0.3
41
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
30
31
1、状态概率
C－1
P0＝ k＝0
k1！
k
＋
11
C！1－
C 1
C
Pn＝
n1！
n
1 C! C n－C

14.3单服务台指数分布排队系统

二、M/M/1等待制排队系统
1、系统的意义：顾客按泊松流输入、平均到达率为λ，服务时间服从负指数分布、平均服务率为μ，1个服务台，系统容量和顾客源均为无限。当顾客来到系统时，若服务台忙，则顾客排队等待服务，排队规则为先到先服务的排队系统。
2、系统的状态转移速度图：
λ 0 μ 1 μ λ 2 μ λ …… μ λ
p2
2
p0 2 p0
继续打开，计算整理得：
pn n p0
，1≤n≤N
N n 0
（ 2）
代入
n 0
N
pn 1
得
n p0 1
于是
1 N N 1 n 1 p0 [ ] 1 n 0 N 1 1
n 0
代入
N
pn 1
n ( ) p0 1 n 0
N
P0为系统空闲的概率，因此系统不空的概率即服务台忙的概率（系统满的概率或系统的损失概率） P忙=1-P0 （ 5） ②平均队长（系统中顾客数的期望值）LS和平均队列长Lq：
（N 1 ）N1 Ls nPn - N1 N1 （6） - - n 0
sprintf('系统空闲的概率为%3f',p0) sprintf('顾客被拒绝的概率为%3f',p(end)) sprintf('系统的状态概率为 \n%3f\n%3f\n%3f\n%3f\n%3f',p) sprintf('顾客平均有效到达率为%3f',lambda_e) sprintf('系统平均顾客数为%3f',L_s) sprintf('系统平均顾客数为%3f',L_ss) sprintf('平均等待队长为%3f',L_q) sprintf('顾客平均逗留时间为%3f',W_s) sprintf('顾客平均等待时间为%3f',W_q) sprintf('系统忙期为%3f',T_b) end

排队模型及应用

例：某超级市场，顾客按Poisson过程到达，平均每半小时到达6人，收款台计价收费时间服从负指数分布，平均为4分钟，试求： (1)超市内顾客的平均数(4)
(2)超市内等待付款顾客的平均数(3.2)
(3)超市内顾客所花费时间的平均值(1/3)或(20)
(4)超市内顾客等待付款所花费时间的平均值(4/15) 或(16)
一. 排队系统的基本概念在日常生活中，一个服务系统在工作过程中由于拥挤而产生的排队等待现象是经常发生的。例如： 1.顾客在理发店等待理发；
2.汽车在加油站前等候加油；
3.乘客在车站前等候乘车；发生故障的机器等候修理；进入机场上空的飞机等候降落； 4.进入雷达接收机的信号等候处理；通信系统的报文在缓冲器上等候传送；多微机系统的处理机等候访问公共内存；计算机网的用户等候使用某资源；等等我们就将这种具有排队等待现象的服务系统称为排队系统
是生灭过程
可得
P0 1 1
2

n

, Pk P0 , /
k
即：
P0 1 , q EQ Pk (1 ),
k

1 ,
,
Tq T
q

1
(1 )

2
1
(1 )
二.排队系统的基本构成排队系统的概率规律与以下因素有关： 1. 顾客的到达规律
2. 顾客排队和接受服务的规则
3.服务机构的结构形式、服务员个数和服务速率
1.输入过程
输入过程是用来刻画顾客到达规律的一种数学描述。通常有以下三种随机过程：
{ M ( t ), t 0},{ s n , n 1, 2, },{ n , n 1, 2, }

第十五章排队系统分析单服务台模型 30页PPT文档

运筹学
顾客到达就能理发的概率相当于理发店内没有顾客
P01 1 N111 (33//44)80.2778
等待顾客数的期望值
Ls1 (N 1 1 )N N 111 33 /4 /418 (3 (3 //44 )8 )82.11
LqLs(1P 0)2.1 1(10.27)7 18 .39 运筹学
Little公式（相互关系）
Ls Ws
Ws
Wq
1

Lq Wq

Ls
Lq

运筹学
例15-2：某医院手术室每小时就诊病人数和手术时间的记录如下：
到达的病人数
n 0 1 2 3 4 5 6 以上合计
出现次数
un 10 28 29 16 10
6 1 100
完成手术时间
r 0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 1.2 以上
平衡方程：
pn 1 p0
n
P nP 1 0 P P n 11 0()P n0
n 0 n 1
求解：令: ，且当 1时
P P0 n 1 (1)n n1
运筹学
关于的几点说明：
(1) (2)
合计
出现次数
vr 38 25 17 9 6 5 0 100 运筹学
解：2.1,2.5每小时病人平均到达率
到完达成的手病术人时数间
nr 0.0~00.2 0.2~10.4 0.4~20.6 0.6~30.8
出现次数
vur n 3180 2258 1279 19 6
nun 2.1（人/小时）
其中
Cn

顾客到达排队系统的过程

19
2019年9月27日
1、Poisson分布
系统状态为 n 的概率分布:
如果取时间段的初始时间为 t 0 ，则可记 Pn (0,t) Pn (t)，在[t,t t) 内，由于

Pn (t,t t) P0 (t,t t) P1(t,t t) Pn (t,t t) 1
n0
n2
故在[t,t t) 内没有顾客到达的概率为

P0 (t,t t) 1 P1(t,t t) Pn (t,t t) 1 t o(t) n2
20
2019年9月27日
1、Poisson分布
将[0,t t) 分为[0,t) 和[t,t t) ，则在[0,t t) 内到达 n 个顾客的概率:
2、排队系统的组成与特征
（1）输入过程：主要有五条特征：
1）顾客总体(顾客源)的组成可能是有限的，也可能是无限的； 2）顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能是成批的； 3）顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也可以是随机的； 4）顾客的到达是相互独立的; 5）输入过程是平稳的，或称为对时间是齐次的，即相继到达的时间间隔分布与时间无关。
Pn (t t) P{N (t t) N (0) n}
n
P{N (t t) N (t) k} P{N(t) N (0) n k} k 0 n
Pnk (t) Pk (t,t t) k 0
Pn (t)P0 (t,t t) Pn1(t)P1(t,t t) Pn2 (t)P2 (t,t t)
排队规则和服务规则：按怎样的规则和次序接受服务。
4
2019年9月27日

排队系统

排队系统的主要数量指标
队长——是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与
正在接受服务的顾客数之和)。
L或Ls—— 平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数平均队长，
的期望值；
队列长——是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数。 Lq—— 平均等待队长或队列长，即稳态系统任一时刻的平均等待队长或队列长，
排队模型
典型的排队例子
到达的顾客在公路收费站排队的车辆病人到达机场上空的飞机不能运转的机器到达港口的货船客户进入我方阵地的敌机汽车驾驶员需加油车辆服务内容收费看病降落修理装货（卸货）装货（卸货）法律咨询我方防空火力射执照年码头或泊位法律咨询人员我方高炮或防空导弹管理部门年审办事员加油站的加油机
排队系统基本概念
“顾客”——要求服务的对象统称；顾客” 服务台” 服务员” “服务台”或“服务员”——提供服务的人或机构；
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统，顾客为了得到某种服务而到达系统，若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统，见图1至图5 务后离开系统，见图1至图5。
按以上数据可推算出每一顾客到达、服务开始、服务结束的时刻以及顾客排队等待时间、在系统中停留时间和售票员空闲的时间。将数据依次填入表中。 20次试验中顾客停留时间的平均值：72/20＝3.60分。售票员空闲时间占总时间的百分数：34/103＝33%
三、排队论研究的基本问题排队论研究的首要问题是排队系统主要数量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相关的还包括排队系统的统计推断问题。 (1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征。 (2)统计推断问题，建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰到如下问题：检验系统是否达到平稳状态；检验顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务时间的分布及有关参数等。

单服务台排队系统仿真

单服务台排队系统仿真单服务台排队系统是指在一个服务台只有一个服务员的情况下，客户需要按顺序等待服务的系统。

本文将介绍一个针对单服务台排队系统的仿真模型。

在设计仿真模型之前，我们需要确定一些重要的参数。

首先是服务时间，即每个客户接受服务所需要的时间。

服务时间可以通过实际观察数据或者估算得出。

其次是到达间隔时间，即每个客户到达的时间间隔。

到达间隔时间可以通过实际观察数据或者使用随机数生成器进行模拟。

首先，我们需要创建一个事件队列来模拟客户的到达和离开。

事件队列是一个按照发生时间顺序排序的队列，每个事件都包含两个属性：时间和类型。

接下来，我们创建一个时钟来记录仿真进行的时间。

初始时，时钟指向第一个到达事件的时间。

然后，我们从事件队列中取出第一个事件，并更新时钟指向该事件的时间。

如果当前事件类型是到达事件，我们需要进行如下操作：首先，模拟下一个客户到达的时间，并将该事件添加到事件队列中。

然后，判断当前是否有客户正在接受服务。

如果没有，我们将当前事件类型设置为离开事件，并模拟该客户的服务时间和离开时间，并将该离开事件添加到事件队列中。

如果有客户正在接受服务，我们将当前事件类型设置为到达事件。

如果当前事件类型是离开事件，我们需要进行如下操作：首先，更新服务台的空闲状态。

然后，判断是否还有等待服务的客户。

如果有，我们将当前事件类型设置为离开事件，并模拟下一个客户的服务时间和离开时间，并将该离开事件添加到事件队列中。

如果没有等待服务的客户，我们将当前事件类型设置为到达事件。

重复上述步骤，直到事件队列中没有事件为止。

最后，我们可以根据仿真的结果，比如客户的等待时间、服务时间和系统繁忙率等指标，来评估和优化该排队系统的性能。

通过以上的模型，我们可以对单服务台排队系统进行仿真，并评估其性能。

我们可以通过改变服务时间、到达间隔时间等参数，来探究不同情况下系统的表现和优化方案。

同时，我们还可以根据仿真结果，对系统进行调整和改进，以提高客户的满意度和服务效率。

排队系统分析

这家银行为什么种瓜没有得瓜?（续）
时间到了2005年2月6日。今天是星期日，春节前的最后一个星期天。你知道的，2月8日就是大年三十了！与其他储蓄所一样， ELZH储蓄所里面挤满了人，不断有顾客进进出出，有的顾客在大厅里四处走动，随便取些理财方面的宣传材料打发时间，排队机在机械地叫着号，声音听起来也不如以前悦耳动听了。不过，好在场面还算在控制之中。
由概率论知识可知，泊松分布的参数即其均值。因此，
的含义是单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。
下面考察，当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间 T 是服从什么分布呢？
因为到达为泊松流，所以，t时段内没有来顾客的概率为
(t ) 0 t P0 (t ) e e t , 0!
所以， t时段内有顾客到来（即间隔T
2、这家银行服务质量有问题吗？如果有，存在什么问题？
3、这家银行选址规划有问题吗？如果有，存在什么问题？ 4、这家银行的设施布置有问题吗？如果有，存在什么问题？
5、这家银行的排队系统设计有问题吗？如果有，存在什么问题？
引导案例
6
VIP专柜银行窗口
……
3
2
1
引导案例
6
……
3
2
1
银行窗口
引导案例
首先可证，逗留时间W 服从参数为的负指数分布，而负指数分布的均值等于其参数的倒数，故平均逗留时间 W
s

1 1
平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间，即 W q W s

（3）上述4个指标之间的关系——里特公式
Ls W s Lq W q
Ls Lq
(10 4) 1 1 1 4 (8) P ( ) 1 P ( ) 1 F ( ) e W W e 1.5 0.223。 4 4 4 1

单服务台排队系统仿真ppt课件

Type:Single Duration.Cycle Time:-4*LN(RANDOM(2))
ppt课件.
19
点击Input.From，输入:PULL from Paidui，点击“OK”按钮
ppt课件.
20
Output.To…:PUSH to SHIP
ppt课件.
21
5.对Timeseries元素Duichag细节设计
5
Paidui 的Rcetangle属性设置
选择PartQueue属性项
选择Rectangle为边框
ppt课件.
6
பைடு நூலகம்
Paidui的PartQueue属性设置
选择Paidui的PartQueue属性
设置Direction为Diagona Display Size：10
ppt课件.
7
3.Machine元素Fuwuyuan的可视化设置
ppt课件e 元素的Icon属性
3
（2）Jifen 的可视化设置
Jifen的display对话框
Jifen的text属性设置
ppt课件.
4
2.Buffer元素Paidui的可视化设置
Paidui的display对话框
Paidui的text属性设置
Paidui的icon属性设置
ppt课件.
Fuwuyuan的display对话框
Fuwuyuan的text属性设置
Fuwuyuan的icon属性设置
ppt课件.
8
Fuwuyuan的PartQueue属性设置
选择Fuwuyuan的PartQueue属性
Direction设置为：Diagona
Display Size为：10

排队理论模型课件

表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务 n
时间所构成的序列
{ }n 服从相互独立的且与某一随机
变量
有相同分布，其中
的概率分布是已知的可以
根据原始资料判断得到的，主要有的分布为负指数分布(定长分布，一般独立分布等) (3)排队与服务规则顾客排队和等待的规则，排队规则一般有等待制，消失制和混合制。所谓等待制(系统容量
3.排队系统的主要指标研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是 (1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务的)的数目，它的期望值为
排队等待的顾客数，其期望记为 (队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以
煤矿
火车
煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有 (6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验有关分布。
3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进系统的功能。（四）、生灭过程的差分微分方程组当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负指数分布，则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程，而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随机过程的生灭过程。
t n(t)
n
' n(t)

chap单服务台排队系统仿真PPT课件

第16页/共20页
6 函数和PULL规则介绍
• PULL规则
buffer1动态库存
AB
能开工，从buffer1中提取1个A和1个B。
个
18
时间T=3
16 14
若某设备每次需要2个零件一起进行加工，1102 8
6
则下列规则的结果是：
8 6
PULL from buffer1的结果会如何？是否24 9
能开工？如果能开工，从哪个库中中提0 1
统计功能元素
JifenO Jifen
类型 Part Buffer Machine Timeseries
Variable(Type:real) Part
数量 1 1 1 1
1 1
说明顾客排队队列服务员队列长度显示
积分结果显示对队长积分
第11页/共20页
3 仿真模型的设计
建模演示： ➢元素定义 ➢元素可视化（Display）的设置 ➢细节设计detail
✓Bmaxtime(buffer2)=?
5
✓BmBinMtiAmXeT(bIMufEfe(r)2：)=某?buffer 中1存0
放最大零件时的仿真时间8点
BMINTIME():某buffer中存放最小零件时的仿真时间点
• PULL规则
buffer1动态库存
AB
个
18
16
14
12
8
10
A
C
个
18
16
14
12
10 8
9 0
6
3
8
8
4
8
6
5
43 23 0
9
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MMs排队模型答案解析

§3 M/M/s 排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞ 或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1; 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 1. 队长的分布设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则由(1) 12011......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率)(2) 011(1)nn p C ∞==+∑ (无客的概率)(3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)及n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记λρμ=(服务强度, 一般1ρ<) 可得nn n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1,2,...n =故有 0nn p p ρ=, 1,2,...n =其中 011(1)nn p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞==+∑110111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑.因此 (1)nn p ρρ=-,0,1,2,...n =.无客的概率: 01p ρ=-,至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率如单位时间,2λ=,5μ=,则,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长*- (2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即密度分布函数:()()(),0.tf t et μλμλ--=-≥分布函数: ()()()1,0.tF t P T t e t μλ--=≤=-≥于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1[]W E T μλ==-; (4) 在队列中顾客平均等待时间因为逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即q T T V =+故1()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得1q W W W ρρμμλ=-==-另外还可得到(时间与空间关系):L W λ=和q q L W λ=这两个常称为Little 公式.各公式可记忆如下:由λ和μ→服务效率λρμ=, 从逗留时间1W μλ=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=还可导出关系1q W W μ=+和1q L L λμ=+3. 服务机构的忙期B 和闲期I 分析(1) 因为忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ- 忙期时间长度/闲期时间长度=1ρρ- (2) 因为忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=1ρρ-→1BIρρ=-.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布→平均闲期=下一客到达间隔1λ→1Iλ=→平均忙期=111B Wρρλμλ=⋅==--即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;(2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a 元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解这里 2λ=,3μ=,213λρμ==< (1) 列车的平均数21L ρρ==-(小时)(2) 列车的平均逗留时间212LW λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数 24233q L L ρ=-=-=(列) (4) 等待编组时间 23q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,则0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---3320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时) 故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson 流, 平均4人/h; 修理时间服从负指数分布, 平均需要6 min. 试求:(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3) 店内至少有1个顾客的概率;(4) 在店内的平均顾客数;(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 解这里 4λ=,1/0.110μ==,215λρμ==<0112/50.6p ρ=-=-=(2) 店内恰有3个顾客的概率33332(1)10.03855p ρρ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3) 店内至少有1个顾客的概率0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===(4) 在店内的平均顾客数2/50.67112/5L ρρ===--(人) (5) 每位顾客在店内的平均逗留时间 0.6710(min)4LW λ==≈ (6) 等待服务的平均顾客数 0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间0.2684(min)4qq L W λ==≈ (8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率.11101615{10}0.3679P T ee ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭>===.二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ====L系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS.数据分析设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则,0,1,2,...n n λλ==和系统的服务率服务台队列⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u u u r u u u u u rμ1μ2sμs 个,1,2,3,...,,,1,...n n n ss n s s μμμ=⎧=⎨=+⎩记s ss ρλρμ==, 则当1s ρ<时, 不至越排越长, 称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!nn s n s nn s n s n C n ss s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩故,1,2,3,...,!,!nn nn sp n s n p p n ss s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 其中1100!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为0(,)!(1)sn n ss c s p p s ρρρ∞===-∑称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长011()()!sn sq n sn s n s p L n s p n s s ρρ∞∞-=+=+=-=-∑∑0021d !d !(1)s s n s ss n s s p p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 或(,)1s q sc s L ρρρ=-.(2) 正在接受服务的顾客的平均数1s n n n n ss np s p -∞===+∑∑1000!!(1)n ss n sn p s p n s ρρρ-==+-∑11101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦∑s 与s 无关. 奇!(3) 平均队长L =平均排队长+平均接受服务的顾客数q L ρ=+.对多台服务系统, 仍有Little 公式:LW λ=, 1qq L W W λμ==-例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解这是一个M/M/s/∞模型, 有2λ=,3μ=,23λρμ==, 1,2s = 由前面的公式, 结果列表如下指标模型s=1 s=2 空闲的概率p00.333 05有1个病人的概率p1有2个病人的概率p20.2220.1480.3330.111平均病人数L平均等待病人数L q 21.3330.750.083病人平均逗留时间W 病人平均等待时间W q 10.6670.3750.042病人需要等待的概率P{T q>0} 0.667(=1-p0) 0.167(=1-p0 -p1)等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5} 等待时间超过1小时的概率P{T q>1} 0.4040.2450.0220.003如果是一个医生值班, 则病人等待时间明显长. 结论是两个医生较合适.例4 某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过程,平均到达率每分钟0.9λ=人/min. 服务(售票)时间服从负指数分布, 平均服务率0.4μ=人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s 模型, 其中2.2533,2.25,134s s s λλρμμ=====< 由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率1100!!(1)n ss n s P n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑ 0012310.07482.25 2.25 2.25 2.2510!1!2!3!1 2.25/3p ==+++-(2) 平均排队长02!(1)s sq s p L s ρρρ=-320.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人)平均队长:/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)(3) 平均等待时间1.701.890.9qq L W λ===(min) 平均逗留时间1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率30 2.250.0748(3,2.25)0.57!(1)3!1/4s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 则M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如下图所示(b).10.4μ=窗口0.3λ=(b)0.4μ=窗口20.4μ=窗口310.4μ=窗口0.9λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口3(a)0.9λ=0.3λ=0.3λ=每个队的平均到达率为1230.9/30.3λλλ====(人/分钟)结果比较如下指标模型M/M/3 M/M/1服务台空闲的概率P00.0748 0.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥3)=0.57 0.75平均排队长Lq 1.70 2.25(每个子系统) 平均队长L 3.95 9.00(整个系统) 平均逗留时间W 4.39(分钟) 10(分钟)平均等待时间Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。