幂的乘方和积的乘方(整理版)
七年级数学幂的乘方与积的乘方1(2019年10月整理)
幂的乘方的法则
n个am （am）n =（am ·am ·… ·am）
n个m = am +m+…m
=amn
即 （am）n = amn （ m，n都是正整数）
幂的乘方，底数_____a_______，指数___m__n______.
例1 计算 :
(1)(10 2 )3;
(2)(b5 )5 ;
(3)(a n )3 ;
（5） (y2)3·y = y2×3 ·y = y6 ·y = y7 ；
（6） 2(a2)6 －(a3)4 = 2a2×6 －a3×4 = 2a12 －a12 = a12 .
随堂练习 1、计算：
(1)(10 3 )3
(2) (a 2 )5 ;
(3)( x3 )4 x 2 .
参考练习
1、填空：
1.4 幂的乘方与积的乘方（一）
如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙 球的n3倍。
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体。木星、 太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分 别约是地球的多少倍？
做一做
计算下列各式，并说明理由：
(1)(62 )4 ;(2)(a 2 )3 ;(3)(a m )2 ;
(4) (x 2 )m ;
(5)( y 2 )3 y;
(6)2(a 2 )6 (a3 )4 .
解：（1）（102）3 = 102×3 = 106；
（2）（b5）5 = b5 ×5 = b25 ；
（3）（an）3 = an×3 = a3n ；
（4）－(x2)m = －x2×m = －x2m ；
(1)化简 x)2 3 ________
(3)x10 x（ ）3 （ ）2
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方：底数不变，指数相乘
(a^n)^m=a^(m·n)，m个a^n相乘
(a^n)^(1/m)=a^(n/m)，1/m个a^n相乘
2、积的乘方：
(a·b)^n=a^n·b^n
(m^a·n^b)^c=m^(a·c)·n^(b·c)
2、同底数幂的乘法：既然底数相同，指数就可以相加
a^m·a^n=a^(m+n)
扩展资料
数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义，形式上也很契合，所以叫做幂。
幂不符合结合律和交换律。
因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。
第02讲 幂的乘方与积的乘方(解析版)
ab
2n
54
2
，
ab
n
2
202 ，
所以 abn 20 ，故答案为： 20 ．
9．已知 a 是正整数，比较大小： 23a
【答案】
32a ．（填“ ”“ ”“ ”）
【解析】 23a 23 a 8a ， 32a 32 a 9a ，
8 9 ， a 为正整数， 23a 32a ．故答案为： ．
所以 x12 x4 3 23 8，y12 y3 4 34 81 ，
因为 8 81 ，所以 x y ．
过关检测
一、选择题
1．计算
2x2
3
的结果是（
）
A． 8x6
B． 6x6
【答案】A
【解析】 2x2 3 8x6 ，故选 A．
C． 2x6
D． 2x5
2．下列运算不正确的是（ ）
（3） a3x2 y a3x a2 y ax 3 a y 2 33 32 27 9 243 ．
【变式训练】 1．（1）若10x 3 ，10y 2 ，求代数式102x3y 的值． （2）已知 3m 2n 6 0 ，求 8m 4n 的值． 【解析】（1）因为10x 3 ，10y 2 ，
(3)已知 a 244 , b 333, c 522 ，比较 a，b，c 的大小关系．
【解析】（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质．故选 C． （2） x30 (x5 )6 26 64 ， y30 ( y6 )5 35 243 ， 64 243 ， x y ； （3） a 244 (24 )11 1611 ， b 333 (33 )11 2711， c 522 (52 )11 2511，且16 25 27 ，
第 02 讲 幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方在数学中，幂和乘方是基本的数学运算。
它们在代数学和数学分析中起着重要的作用，被广泛应用于各个领域。
幂的乘方幂是数学中最基本的运算之一。
幂的表达式由底数和指数两部分组成，可以表示为a^n，其中a表示底数，n表示指数。
幂的乘方是指同一个底数的多个幂进行乘法运算的结果。
例如，(a^m) *(a^n)表示将底数为a的m次幂与n次幂相乘。
幂的乘方可以使用乘法法则进行简化。
乘法法则是幂运算中的一个重要性质，它规定同一底数的两个幂相乘时，底数不变，指数相加。
即(a^m) * (a^n) =a^(m + n)。
积的乘方积是数学中的二元运算，表示两个数的乘法结果。
积的表达式可以表示为ab，其中a和b分别为乘法的两个操作数。
积的乘方是指同一个乘法的多个积进行乘法运算的结果。
例如，(ab) * (cd)表示将积ab与积cd相乘。
积的乘方可以使用乘法法则进行简化。
乘法法则规定多个积相乘时，可以将所有的乘法操作数合并，并将指数相加。
即ab * cd = (a * c) * (b * d)。
幂的乘方与积的乘方的联系幂的乘方和积的乘方在运算过程中都遵循乘法法则的相似原则。
它们都利用了乘法法则中指数相加和操作数合并的特点进行简化运算。
举个例子，假设有(2^3) * (2^4)和(2 * 3) * (2 * 4)这两个表达式。
根据乘法法则，可以将这两个表达式分别简化为2^(3+4)和(2*3) * (2*4)。
通过对比可以发现，虽然乘方和乘法是两种不同的运算，但它们在指数运算和操作数合并方面具有相似性。
这也是幂的乘方和积的乘方之间的联系。
应用举例幂的乘方和积的乘方在实际应用中都有广泛的运用。
在计算机科学中，幂的乘方常常用于算法的时间复杂度分析。
通过对算法的每个操作的时间复杂度进行幂运算，然后将所有操作的时间复杂度相乘，可以得到整个算法的时间复杂度。
在物理学中，幂的乘方和积的乘方可以用于描述物理量之间的关系。
例如，力和位移两个物理量的乘积表示功，而多次乘积相乘则可以表示不同次数的功。
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方在数学的广袤天地中，幂的乘方与积的乘方是两个非常重要的运算规则，它们就像是数学世界里的两把神奇钥匙，能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。
先来说说幂的乘方。
假如我们有一个幂，比如 a 的 m 次幂，然后再对这个幂进行乘方，也就是（a^m）＾n，那么结果会是什么呢？其实，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
也就是说，（a^m）＾n ＝ a^（m×n)。
为了更好地理解这个规则，咱们来举几个例子。
比如，（2³）²，这里底数是 2，先算 2³＝ 8，然后再算 8²＝ 64。
但如果我们用幂的乘方法则来计算，底数 2 不变，指数 3×2 ＝ 6，所以（2³）²＝ 2^6 ＝ 64，结果是一样的。
再比如，（x²）³，按照法则，底数 x 不变，指数 2×3＝ 6，结果就是 x^6。
那幂的乘方这个规则在实际解题中有什么用呢？假设我们要计算一个比较复杂的式子，比如（5²）＾4 ×（5³）²。
如果没有幂的乘方法则，我们可能要一步步计算 5²、5³，然后再进行多次乘法运算，会非常繁琐。
但有了幂的乘方法则，（5²）＾4 ＝ 5^8，（5³）²＝ 5^6，那么原式就可以化简为 5^8 × 5^6 ＝ 5^（8 ＋ 6) ＝ 5^14。
这样是不是简单多了？接下来，咱们再聊聊积的乘方。
如果有几个因数相乘，然后给整个积进行乘方，比如（ab）＾n，那结果又该怎么算呢？积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
也就是（ab）＾n ＝a^n × b^n。
比如说，（2×3）²，按照法则，2²＝ 4，3²＝ 9，所以（2×3）²＝2² × 3²＝ 4×9 ＝ 36。
第1讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方(原卷版)
第1讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方【知识点拨】考点1：同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数（1）同底数幂是指底数 的幂，底数可以是 ，也可以是 .（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数 ，它们的指数之和等于原来的幂的 。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.考点2：幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数 ，指数 .（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 考点3：积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为 时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点4：注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是 .（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为 ，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数 .（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个 (特别是系数)都要分别 .（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【考点精讲】考点1：同底数幂的乘法【例1】（2021秋•西湖区校级月考）下列四个算式：①a6•a6＝a6；②m3+m2＝m5；③x2•x•x8＝x10；④y2+y2＝y4．其中计算正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①a6•a6＝a6，底数不变指数相加，故①错误；②m3+m2＝m5，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故②错误；③x2•x•x8＝x11，底数不变指数相加，故③错误；④y2+y2＝y4，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故④错误；故选：A．【例2】（2021春•青羊区期末）已知a m＝4，a n＝5，则a m+n的值是．【解答】解：a m+n＝a m•a n＝4×5＝20，故答案为：20．【变式训练1】（2021秋•邓州市期中）若a x＝3，a y＝2，则a2x+y等于（）A．6 B．7 C．8 D．18【变式训练2】（2021秋•松江区校级月考）已知10a＝3，10β＝5，10γ＝7，试把105写成底数是10的幂的形式．【变式训练3】（2021春•建平县期末）若23n+1•22n﹣1＝，则n＝．【变式训练4】（2021秋•浦东新区月考）已知x a+b•x2b﹣a＝x9，求（﹣3）b+（﹣3）3．【变式训练5】已知a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），求m的值．【变式训练6】（2021秋•南安市期中）已知两个单项式a m+2n b与﹣2a4b k是同类项，求2m•4n•8k的值．【变式训练7】（2021春•丹阳市校级月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m ＝n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：①2×8x＝27；②2x+2+2x+1＝24．考点2：幂的乘方与积的乘方【例1】（2021秋•松江区期末）下列计算正确的是（）A．（3a）2＝3a2B．（﹣2a）3＝﹣8a3C．（ab2）3＝a3b5D．（a）2＝a2【解答】解：A、（3a）2＝9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；C、（ab2）3＝a3b6，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a）2＝a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【例2】（2021秋•松北区期末）下列代数式的运算，一定正确的是（）A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2C．（a3）4＝a7D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：∵3a2﹣a2＝2a2，∴选项A不符合题意；∵（3a）2 ＝9a2 ，∴选项B符合题意；∵（a3）4＝a12，∴选项C不符合题意；∵a2+b2≠（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴选项D不符合题意．故选：B．【变式训练1】（2021秋•原州区期末）若x m＝3，x n＝2，则x2m+3n＝•【变式训练2】（2021春•东台市期中）314×（﹣）7＝．【变式训练3】（2021春•邗江区期中）x3•（x n）5＝x13，则n＝．【变式训练4】（2021秋•路北区期中）比较3555，4444，5333的大小．【变式训练5】（2021春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【变式训练6】（2021秋•静安区月考）35×84×．【课后巩固】一．选择题1．（2021春•锦江区期末）如果x m＝2，x n＝，那么x m+n的值为（）A．2 B．8 C．D．2 2．（2021•成都模拟）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x53．（2021春•西湖区校级月考）已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；②当2x•2y＝16时，a＝18；③当不存在一个实数a，使得x＝y．A．①②B．①③C．②③D．①②③4．（2021秋•海珠区校级期中）下列各项中，两个幂是同底数幂的是（）A．x2与a2B．（﹣a）5与a3C．（x﹣y）2与（y﹣x）2D．﹣x2与x25．（2021秋•松江区期末）下列计算正确的是（）A．（3a）2＝3a2B．（﹣2a）3＝﹣8a3C．（ab2）3＝a3b5D．（a）2＝a26．（2021秋•松北区期末）下列代数式的运算，一定正确的是（）A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2C．（a3）4＝a7D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）7．（2021秋•辛集市期末）下列等式中正确的个数是（）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个B．1个C．2个D．3个8．（2021秋•泉港区期中）若a＝（99×99×99）9，b＝999，则下列结论正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．ab＝1二．填空题9．（2021秋•洮北区期末）如果10m＝12，10n＝3，那么10m+n＝．10．（2021秋•岳麓区校级期中）已知a m＝3，a n＝5，则a m+n的值为．11．（2021春•顺德区校级期末）计算：﹣b3•b2＝．12．（2021•博兴县模拟）若x m＝2，x n＝3，则x m+2n的值为．13．（2021秋•丛台区校级期末）用科学记数法表示（2.5）8（0.4）10＝．14．（2021秋•延边州期末）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，则m＝．15．（2021秋•浦东新区校级月考）若a n＝2，a m＝5，则a m+n＝．若2m＝3，23n＝5，则8m+2n＝．16．（2021春•薛城区期末）若3×9m＝311，则m的值为．三．解答题17．（2021春•镇江期末）已知关于x、y的方程组．（1）求代数式2x+y的值；（2）若x＜3，y≤﹣2，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若满足x y＝1，则符合条件的k的值为．18．（2021秋•虹口区校级月考）我们规定2×2＝22，2×2×2＝23，可得22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝5；（2）a3•a4═a；（3）计算：a m•a n；（4）若x m＝4，x n＝5，则求x m+n的值．19．（2021春•张家港市校级月考）若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值．20．（2021秋•涧西区校级期中）已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，求a+b的值．21．（2021秋•东莞市校级期中）①若a m＝2，a n＝3，求a2m+n的值．②已知x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．22．（2021秋•大石桥市期中）完成下列各题．（1）已知（9a）2＝38，求a的值；（2）已知a m＝3，a n＝4，求a2m+n的值为多少．23．（2021春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．24．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知x2n＝4，求（x3n）2﹣x n的值．（其中x为正数，n为正整数）25．（2021春•泉山区校级期中）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．26．（2021春•东海县期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝，（5，1）＝，（3，）＝．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），（3）小明给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）27．（2021春•相城区期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝，（4，1）＝（2，0.25）＝；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．28．（2021春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义说明上述结论．。
北师大版七年级数学下册第一章同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方知识点总结及练习(含答案)(最新整理)
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方知识点总结及练习一、教学要求、1. 体会幂的意义，会用同底数幂的乘法性质进行计算，并能解决一些实际问题。
2. 会用幂的乘方、积的乘方性质进行计算，并能解决一些实际问题。
二、重点、难点： 1. 重点：（1）同底数幂的乘法性质及其运算。
（2）幂的乘方与积的乘方性质的正确、灵活运用。
2. 难点：（1）同底数幂的乘法性质的灵活运用。
（2）探索幂的乘方、积的乘方两个性质过程中发展推理能力和有条理的表达能力。
三. 知识要点：1. 同底数幂的意义几个相同因式a 相乘，即a a a n ··…·个，记作a n，读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数。
同底数幂是指底数相同的幂，如：23与25，a 4与a ，()a b 23与()a b 27，()x y -2与()x y -3等等。
注意：底数a 可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式。
2. 同底数幂的乘法性质a a a m n m n ·=+（m ，n 都是正整数）这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如：a a a a m n p m n p ··=++（m ，n ，p 都是正整数）3. 幂的乘方的意义幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如()a 53是三个a 5相乘读作a 的五次幂的三次方，()a m n是n 个a m相乘，读作a 的m 次幂的n 次方()()a a a a a a a a a a n a n a m n m m m m m m m n5355555553======++⨯+++⨯····…·个个…4. 幂的乘方性质()a a m n mn =（m ，n 都是正整数）这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
注意：（1）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。
七年级下册数学幂的乘方与积的乘方
一、概述乘方是数学中常见的运算方式，而在七年级下册数学课程中，乘方的概念和运算更是重要的一部分。
其中，幂的乘方和积的乘方是学习乘方的重要内容，通过对这两个概念的深入理解和掌握，可以帮助学生更好地应用乘方运算解决实际问题，提高数学能力。
二、幂的乘方1. 幂的概念幂指的是将一个数自身相乘若干次，比如2的3次幂即为2乘以2乘以2，记作2^3。
2. 幂的运算规则a. 同底幂相乘：若a^n × a^m，即底数相同，指数相加，底数不变。
b. 同底幂相除：若a^n ÷ a^m，即底数相同，指数相减，底数不变。
c. 幂的乘方：(a^n)^m = a^(n×m)，即一个数的幂再乘以一个数的幂等于这个数的幂的乘积。
3. 举例说明若有2^3 × 2^2，则根据同底幂相乘的规则，底数2不变，指数相加得到2^(3+2)=2^5，因此2^3 × 2^2=2^5。
三、积的乘方1. 积的概念积的乘方指的是将一个数的积自身相乘若干次，比如(2×3)的4次幂即为2×3乘以2×3乘以2×3乘以2×3，记作(2×3)^4。
2. 积的乘方运算规则a. 积的乘方展开：(a×b)^n = a^n × b^n，即括号中的积的乘方等于括号里的各项的乘方相乘。
b. 积的乘方合并：a^n × a^n = (a^n)^2 = a^(2n)，即同底数的乘方相乘等于底数不变，指数相加。
3. 举例说明若有(2×3)^4，则根据积的乘方展开的规则，括号中的积的乘方等于2的4次幂乘以3的4次幂，即(2^4) × (3^4)。
四、应用举例1. 计算器计算通过计算器进行幂的乘方和积的乘方的计算。
2. 实际问题通过应用题来帮助学生更好地理解幂的乘方和积的乘方在解决实际问题中的应用。
五、总结通过对幂的乘方和积的乘方的理解和掌握，学生可以更好地进行乘方运算、解决实际问题。
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方与积的乘方运算法则首先，让我们来了解一下什么是幂的乘方。
在数学中，幂的乘方是指将一个数称为底数，用一个整数表示次数，通过乘方运算得到一个新的数，这个新的数就是结果。
例如，如果我们有一个底数a和一个指数n，我们可以用a^n来表示这个幂的乘方。
这个表达式的意思是将底数a连乘n次，得到的结果就是a的n次幂。
例如，2^3=2×2×2=8，这里的2就是底数，3就是指数，8就是2的3次幂。
接下来，让我们来看看幂的乘方的运算法则。
幂的乘方的运算法则可以分为两种情况：同底数幂的乘法和不同底数幂的乘法。
首先，我们来讨论同底数幂的乘法。
当两个幂的底数相同，我们可以将它们的指数相加得到新的指数，这个规则被称为同底数幂的乘法规则。
例如，如果我们要计算2^3×2^4，我们可以将这两个幂的指数相加，得到2^(3+4)=2^7=128。
这里我们将2的3次幂和2的4次幂相乘，得到2的7次幂，结果是128。
接着，让我们来讨论一下不同底数幂的乘法。
当两个幂的底数不同但指数相同时，我们可以将它们的底数相乘，指数不变。
例如，如果我们要计算2^3×3^3，我们可以将这两个幂的底数相乘，得到2×3=6，然后将指数保持不变，得到6^3=216。
这里我们将2的3次幂和3的3次幂相乘，结果是216。
除了幂的乘方，积的乘方也是数学运算中常见的问题。
积的乘方指的是将一个积（多个数相乘）的次方，这种运算也有一定的规则和性质。
首先，我们来看看积的乘方的运算法则。
积的乘方的运算法则和幂的乘方有些类似，但也有一些不同之处。
当我们要计算一个积的次方时，我们将每个因子都进行相同的次方运算，然后将它们的结果相乘。
例如，如果我们要计算(2×3×4)^2，我们可以先计算每个因子的平方，得到2^2=4，3^2=9，4^2=16，然后将它们相乘，得到4×9×16=576。
这里我们将2×3×4的平方计算出来，然后将结果相乘，得到576。
专题06 幂的乘方与积的乘方(知识点串讲)(解析版)
专题06 幂的乘方与积的乘方知识网络重难突破知识点一 幂的乘方1、幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()nm mn a a =（m ，n 都是正整数）．推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ， 注意：①a 可以表示数，也可以表示单项式或多项式；②多重乘方也具备上述性质：()()pnpm m nmnp a a a ⋅⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（m ，n ，p 都是正整数）③不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．2、幂的乘方法则的逆用()()=nmmn mna a a =（m ，n 都是正整数）．即将幂指数的乘法运算转化为幂的乘方运算． 典例1（2021•鼓楼区校级模拟）计算223()a a -⋅的结果是( )()mn a n mm nm m m m m mmna a a a a a +++=⋅⋅⋅==个个A ．8aB ．8a -C ．7aD ．7a -【解答】解：223268()a a a a a -⋅=-⋅=-． 故选：B ． 典例2（2021春•邗江区月考）下列计算正确的是( ) A ．2323a a a +=B ．224a a a +=C ．326a a a ⋅=D ．326()a a =【解答】解：A 、a 与22a 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B 、2222a a a +=，故本选项不合题意；C 、325a a a ⋅=，故本选项不合题意；D 、326()a a =，故本选项符合题意．故选：D ． 典例3（2021春•邗江区月考）已知552a =，443b =，335c =，那么a 、b 、c 的大小顺序是( ) A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：因为55511112(2)32a ==，44411113(3)81b ===，33311115(5)125c ===， 554433235∴<<，即a b c <<． 故选：D ．知识点二 积的乘方1、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn n ab a b =（n 为正整数） 推导过程：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ， 注意：①三个或三个以上的数的积的乘方，也具有这一性质，如()nn n n abc a b c =②进行积的乘方运算时，不要漏掉数字因数的乘方，如()323622ab a b -≠-()()()()n abn n an bn nab ab ab ab a a a b b ba b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=个个个③表达式中的a ，b 可以表示一个数或一个单项式或一个多项式； ④底数的系数是-1时，首先应确定结果的符号，一般有：()222nn n ab a b -=，()2+12121n n n ab a b ++-=-（n 为正整数）2、积的乘方法则逆用()=nn n a b ab （n 为正整数）即几个因式的乘方（指数相同）的积，等于它们积的乘方．典例1（2020春•盐城月考）下列计算正确的是( ) A ．22a a -=B ．224a a a +=C ．222()ab a b =D ．235()a a =【解答】解：A 、2a a a -=，故原题计算错误；B 、2222a a a +=，故原题计算错误；C 、222()ab a b =，故原题计算正确；D 、236()a a =，故原题计算错误；故选：C ．典例2（2020秋•澄海区期末）计算：20202020(0.25)4(⨯= ) A ．0.25B ．4C ．1D ．2020【解答】解：202020202020(0.25)4(0.254)⨯=⨯ 20201=1=．故选：C ．典例3（2019春•丹阳市期中）已知10x a =，5x b =，求： （1）50x 的值； （2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示） 【解答】解：（1）50105x x x ab =⨯=；（2）10102()55x xx x a b ===；（3）2101020(10)1055x x x xx a b=⨯=⨯=．巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2020•盐城模拟）计算23()xy -的结果是( ) A ．36x y -B ．36x yC ．35x y -D ．35x y【解答】解：2336()xy x y -=-． 故选：A ．2．（2020•北京模拟）下列运算中，正确的是( ) A ．22456x x x +=B ．326x x x =C ．236()x x =D ．33()xy xy =【解答】解：A 、22256x x x +=，错误；B 、325x x x =，错误；C 、236()x x =，正确；D 、333()xy x y =，错误；故选：C ．3．（2020春•锡山区期中）下列计算正确的是( )A ．6612a a a +=B ．22144m m -=C ．778222+=D ．3339(3)9xy x y =【解答】解：A 、原式62a =，错误；B 、原式2244m m -==，错误； C 、原式78222=⨯=，正确；D 、原式3927x y =，错误，故选：C ．4．（2020•玄武区二模）计算323()a a -结果是( ) A ．8a -B ．9aC ．9a -D ．8a【解答】解：原式332639()a a a a ⨯+=-=-=-． 故选：C ．5．（2020春•淮阴区期中）比较552、443、334的大小( ) A ．554433234<<B ．334455432<<C ．553344243<<D ．443355342<<【解答】解：55511112(2)32==，44411113(3)81==， 33311114(4)64==，326481<<，553344243∴<<．故选：C ．6．（2020春•张家港市校级月考）已知2n a =，3n b =，24n c =，那么a 、b 、c 之间满足的等量关系是( )A ．c ab =B ．3c ab =C ．3c a b =D ．2c a b =【解答】解：2n a =，3n b =，24n c =，333324(83)(23)(2)3(2)3n n n n n n n c a b ∴==⨯=⨯===，即3c a b =． 故选：C ．二、填空题（共5小题）7．（2020春•江都区月考）计算：42()()p p -⋅-= ． 【解答】解：42426()()()p p p p p -⋅-=⋅-=-． 故答案为：6p -．8．（2020春•灌云县校级月考）2020201912()2⨯= ．【解答】解：2020201912()2⨯2019201912()22=⨯⨯20191(2)22=⨯⨯201912=⨯12=⨯ 2=．故答案为：2．9．（2020春•天宁区期中）计算：23x x ⋅= ；231()2a b -= ．【解答】解：23235x x x x +⋅==； 23323363111()()()228a b a b a b -=-⋅⋅=-． 故答案为：5x ；6318a b -．10．（2020春•南京期末）已知23a =，45b =，则22a b +的值是 ． 【解答】解：23a =，45b =， 22222243515a b a b a b +∴===⨯=．故答案为：15．11．（2020春•姜堰区期末）已知92781m n ⨯=，则646m n --的值为 ． 【解答】解：92781m n ⨯=， 234333m n ∴=，234m n ∴+=， 646m n ∴--62(23)m n =-+624=-⨯68=-2=-．故答案为：2-．三、解答题（共2小题）12．（2021春•东台市月考）计算： （1）32()x x x ⋅⋅-；（2）323()a a ⋅-；（3）20111()2021()32----÷；（4）2018201931()(1)43-⨯．【解答】解：（1）32()x x x ⋅⋅- 32x x x =⋅⋅ 312x ++= 6x =；（2）323()a a ⋅-36()a a =⋅-9a =-；（3）20111()2021()32----÷912=-÷192=- 172=；（4）2018201931()(1)43-⨯2018344()()433=-⨯⨯20184(1)()3=-⨯41()3=⨯43=． 13．（2021春•宝应县月考）若(0m n a a a =>，1a ≠，m 、n 都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果32232x ⋅=，求x 的值；（2）如果528162x x ÷⋅=，求x 的值；（3）若52m x =-，325m y =-，用含x 的代数式表示y ． 【解答】解：（1）32232x ⋅=， 3522x +∴=，35x ∴+=， 2x ∴=；（2）528162x x ÷⋅=， 3452222x x ∴÷⋅=， 134522x x -+∴=，15x ∴+=，4x ∴=；（3）52m x =-，52m x ∴=+，325m y =-， 23(5)m y ∴=-， 23(2)y x ∴=-+．。
七年级下册数学幂的乘方、积的乘方
幂的乘方、积的乘方知识点：幂的乘方法则细节剖析（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.知识点：积的乘方法则通过上述计算结果，你有什么发现？.(())=m n p mnp a a 0≠a ,,m n p ()()nmmnm n aaa ==细节剖析（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点：注意事项（1）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（2）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （3）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （4）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】【考点 幂的乘方运算】例题：计算：()322a a --⋅=___________．【变式训练】计算：（1）23523()()x x x x ⋅+--． （2）()()322323a a a a a ⋅⋅++【考点 幂的乘方的逆用】例题：若3m a =，5n a =，则2m n a +=______． 【变式训练】1．若23m =，325n =，则532n m +=___________ 2．若104x =，103y =，则210x y +=___________．【考点 积的乘方运算】例题：计算：4342··2a a a a -+-（）（）．【变式训练】1．计算：273342x x x x x．()=⋅⋅n n n n abc a b c n ()nn n a b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．计算：(1)26243(2)(3)xy x y -+-； (2)4574482()5()()x x x x x -+-；【考点 积的乘方的逆用】例题：计算：(1)已知2528322n n ⋅⋅=，求 n 的值；(2)已知 n 是正整数，且32n x =，求3223(3)(2)n n x x +-的值．【变式训练】1．（1）算一算，再选“<、>或=”填空：①2(35)⨯_________2235⨯；②[]2(2)3-⨯_________22(2)3-⨯．（2）想一想：()n ab =____________． （3）利用上述结论，求20222021(8)0.125-⨯．2．若(0,1,m n a a a a m n =>≠、都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果32232x ⋅=，求x 的值； (2)如果212216x x ++-=，求x 的值；(3)若53,25m m x y =-=-，用含x 的代数式表示y ．【当堂检测】1．在下列运算中，计算正确的是（ ） A ．（﹣a ）2•（﹣a ）3＝﹣a 6 B ．（ab 2）2＝a 2b 4C ．a 2+a 2＝2a 4D ．（a 2）3＝a 52. 下列运算中，正确的有（ ）（1）210.2()15⨯-=；（2）445222+=（3）2(3)9--= （4）200720081()101010-⨯=-． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．计算（﹣0.2）2021×52021的结果是（ ） A ．﹣0.2B ．﹣1C ．1D ．﹣54．已知4n ＝3，8m ＝5，则22n +3m ＝（ ） A ．1B ．2C ．8D ．155．已知3m +2n ﹣3＝0，则23m ×4n 的值是（ ）A ．−18B ．18C ．﹣8D ．86．计算﹣（3x 3）2的结果是（ ） A ．9x 5B ．9x 6C ．﹣9x 5D ．﹣9x 67．若（x a y b ）3＝x 6y 15，则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，5B ．3，12C ．5，2D ．12，38．已知443a =，552b =，334c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>二、填空题9．﹣x •（﹣x ）4＝ ，（﹣3a 2b 3）3＝ ． 10．若k 为正整数，则(k +k +⋯+k ︸k 个k)k = ．11．已知x ＝2n +3，y ＝4n +5，用含字母x 的代数式表示y ，则y ＝ ． 12．已知2m ＝a ，32n ＝b ，m ，n 为正整数，则25m +10n ＝ ． 13．已知3x ＝m ，3y ＝n ，用m 、n 表示33x +4y ﹣5×81x +2y 为 ． 14. 已知3x﹣3•9x ＝272，则x 的值是 ___．15. 定义：三角形＝ab •ac ，五角星＝z •（xm •yn ），若＝4，则的值＝三、解答题 16．计算：（1）（﹣x ）9•x 5•（﹣x ）5•（﹣x ）3． （2）()()()332222223x x x x -+-+⋅ （3）()()423424()()2a a a a a -⋅⋅--+-17．根据已知求值：（1）已知a m ＝2，a n ＝5，求a 3m +2n 的值； （2）已知3×9m ×27m ＝321，求m 的值．18．（1）若10x ＝3，10y ＝2，求代数式103x +4y 的值． （2）已知：3m +2n ﹣6＝0，求8m •4n 的值．【思维拓展】 阅读材料，解决问题． 材料一：比较223和114的大小． 解：因为()1111222422==，而32>，所以222232>，即122134>．小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较82和28的大小．解：因为()2236822==，而86>，所以8622>，即8228>．小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． （1）比较443，334，225的大小： （2）比较3181，4127，619的大小．2. 探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（）23﹣22＝ ＝2（）， 24﹣23＝ ＝2（）， ……（1）请仔细观察，写出第4个等式； （2）请你找规律，写出第n 个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．【课后巩固】1.若53x =，32y =，则156用,x y 表示为（ ） A ．xyB ．1515x yC ．53x yD ．35x y2. 计算（0.5×105）3×（4×103）2的结果是（ ） A ．13210⨯ B ．140.510⨯C ．21210⨯D ．21810⨯3. 20192019×(−12019)2020= ． 4. 若a m ＝6，a n ＝2，则a m +2n 的值为 ． 5. 若()23310a b +++=，则20212020a b ⋅=______．6. 已知2,32,,m n a b m n ==为正整数，则4102=m n +_____ 7．计算：（1）（﹣2x 2）3+（﹣3x 3）2+（x 2）2•x 2 （2）（m ﹣1）3•（1﹣m ）4+（1﹣m ）5•（m ﹣1）28. ①若2m a =，3n a =，求2m n a +的值． ②已知22n x =，求3222(3)4()n n x x -的值．9.（1）已知430m n +-=，求216m n 的值．（2）已知n 为正整数，且24n x =，求3222()2()n n x x -的值．10. 某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a m =b ，知道a 、m 可以求b 的值.如果知道a 、b 可以求m 的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a m =b ，那么T (a,b )=m.例如34=81，那么T (3,81)=4． (1)填空：T (2,64)= ； (2)计算：T (13,27)+T (−2,16)；(3)探索T (2,3)+T (2,7)与T (2,21)的大小关系，并说明理由．11. 规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c＝b ，那么（a ，b ）＝c ． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（﹣2，﹣8）＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x ，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n ∴3x ＝4，即（3，4）＝x ， ∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． （4，5）+（4，6）＝（4，30）。
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方一、幂的乘方在数学中，幂的乘方是一个常见且重要的概念。
幂是由一个底数和一个指数组成的运算。
幂的乘方运算表示底数连乘自身的指数次数。
例如，2的3次方表示为2^3，即2的乘方，结果为8。
在这个例子中，2是底数，3是指数。
幂的乘方运算可以用于很多实际问题的建模与解决。
在几何问题中，我们经常需要计算一个平面上的面积或一个立体的体积。
这些面积和体积的计算往往涉及到幂的乘方运算。
例如，计算一个正方形的面积可以通过边长的平方来表示，即边长的乘方。
同样，计算一个立方体的体积可以通过边长的立方来表示，即边长的乘方。
幂的乘方运算具有一些特殊的性质。
首先，任何数的0次方都等于1，即a^0 = 1，其中a为任意非零数。
其次，任何数的1次方都等于它本身，即a^1 = a。
另外，对于任何非零数a，a的负整数次方等于其倒数的绝对值的乘方，即a^(-n) =1 / a^n。
这些性质在幂的乘方运算中起着重要的作用。
二、积的乘方积的乘方是一个与幂的乘方类似的概念。
积的乘方是由一个连续的乘积和一个指数组成的运算。
积的乘方运算表示连乘积连乘自身的指数次数。
例如，(1 * 2 * 3)^2 = 6^2 = 36。
在这个例子中，1、2、3是连乘的积，2是指数。
积的乘方运算也可以用于实际问题的建模与解决。
它可以用于计算一系列数字的乘积的乘方。
例如，在概率论与统计学中，我们经常需要计算一组数据的乘积的乘方。
这个操作可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。
在金融领域，积的乘方运算也被用于计算复利的收益。
积的乘方运算也具有类似幂的乘方运算的性质。
首先，任何数的0次方都等于1，即(1 * 2 * 3)^0 = 1。
其次，任何数的1次方都等于它本身，即(1 * 2 * 3)^1 =1 *2 * 3。
另外，对于任何数a，n次方的连乘积等于a的n次方的连乘积，即(a1 * a2 * … * an)^n = (a^n1 * a^n2 * … * a^nn)。
1.2幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方1．幂的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．【典例】1.若81x=312，则x=__________．【方法总结】本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把81x化成34x，即可得出4x=12，解方程即可求解．【随堂练习】1.若（9m+1）2=316，则正整数m的值为_____【典例】1.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_____【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2•（3y）3是解答本题的关键．【随堂练习】1.若2x+5y+3=0，则4x•32y的值为____【典例】1.比较3555，4444，5333的大小．【方法总结】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．【随堂练习】1.已知a=1621，b=3231，c=841，则a，b，c的大小关系为_____（用＜连接）2. a=5140，b=3210，c=2280，则a、b、c的大小关系是______（用＜连接）知识点2 积的乘方1．积的乘方（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=a n•b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．【典例】1.用简便方法计算下列各题：（1）（45）2016×（﹣1.25）2017 （2）（225）10×（﹣56）10×（12）11．【方法总结】此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数分别是45和﹣54，乘积正好是-1；如（2）中底数分别是125、﹣56、12，乘积正是-1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．【随堂练习】1.计算（23）2016×（﹣32）2017的结果是____2.计算（﹣512）2017×（225）2016的结果是_____ 【典例】1.（1）已知a n =3，b n =5，求（a 2b ）n 的值；（2）若2n =3，3n =4，求36n ．【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将（a 2b ）n 转变为（a n ）2 •b n ，（2）中，需要将36n 转变为（2n ×3n ）2．【随堂练习】1. 已知a2n=1，b n=3，则（ab）4n的值为（）．2。
幂的乘方与积的乘方
(9)[(x-3y)m]3
(10)9m·27n
m 4 (5)(a )
注1：幂的底数和指数不仅仅是单独字母 或数字，也可以是某个单项式和多项式.
练习1、下列各式是真是假：
(1)(a5)2=a7 (4)x3m+1=(x3)m+1 5· 2 10 6 · 4 24 (2)a a =a (5)a a =a (3)(x3)3=x6 (6)4m·4n=22(m+n)
2ａ＋3ｂ
ａ
ｂ
的值。
4、若 ａ－2ｂ ＋ｂ－2 ＝0
2 4
求ａ ｂ 的值。
5 10
5、若ａ＋ａ＝0，（ａ 0）
2
求ａ ＋ａ ＋ 12的值 。
2003
2002
6、如果2 8 16 ＝2 ，求ｎ的值 。
ｎ ｎ 22
7、如果 9
ｎ 2
＝3 ，求ｎ的值 。
16
8、已知ａ＝3，ａ＝2， 求下列各式的值。 （ 1）ａ
2ｘ＋3ｙ
ｘ
ｙ
（2）ａ
3ｘ＋2ｙ
注2：幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同
(a ) a (m, n都是正整数 ).
m n mn
a m a n a mn (m, n都是正整数 ).
注3：多重乘方可以重复运用上述幂的 乘方法则.
m n p mn p mnp [(a ) ] =(a ) =a
注4：幂的乘方公式还可逆用.
๔ 回顾 & 思考 ☞ 回顾与思考
幂的意义:
n个 a
…· a· a· a = an
同底数幂乘法的运算性质：
am · an = am+n （m,n都是正整数）
…· …· am · an =(a· a· a) (a· a· a)
幂的乘方和积的乘方整理版
【 幕 的乘方 和积 的 乘方】1、计算: (3a 3)2二23、2_2、计算: (a n b n 1 )3 =2 2 2-3a b +(ab)=3、计算:/ 1、200952009 二4、若 x —2,y —3,贝S (xy)n = ________________ ,(x 2y 3)n = ___________________D.(-a 2b 3)2 二 a 4b 66、计算（-a 3）2 • （-a 2）3的结果为8下列式子结果为1012的是12、计算:⑶(db 2)3 (-a 2b 3)2 ;5、 F 列等式，错误的是（ A. (x 2y 3)2 二 x 4y 6 B.(-xy) 3 = _xy 3C. (3m 2 n 2)2 = 9m 4 n 4A. -2a 6B. -2a 5C.2a 6D.O7、 F 列等式，成立的是（A. (a -b)2 二a 2 -b 2B. (a b)2=a 2 b 2C. (ab) =a bD. (ab 3)2 二 a 2b 5A.107 105B.(29 59 )356C.(2 5 10 ) 10D.(103)9.9、已知P = （-ab 3）2，那么-P 2的正确结果是（A.a 4b 12B. -a 2b 6C.-a 4b 8D.-a 4b 1210、已知:2x • 3y - 4 = 0 ,求 4x 8y 的值.11、计算:⑴(-xy)4⑵(-2pq 2)3 ⑶(5a 2bc 3)3 ⑷(2 102)2(3 103)3(l)(-2a 2b)3 8(a 2)2 (-a)2 (-b)3；⑵a 4 (-33\2a )-(-4a 5)2 ;⑷（23）20（f ）21.13、计算：⑴ a3+a8a4; ⑵ 2(a5)2 (a2)2-(a2)4 (a3)2⑶(—a3 4‘(—a4 3; ⑷(_a4)5—(—a2・a3)4+(—a2)1。
—a・(—a2)5•(—a3)3.14、若10x=5, 10y=3，求102x'3y的值.15、已知：9n1 _32n =72，求n 的值.若a= 2 55, b=344, c= 433，比较a、b、C 的大小.16、17、已知4 8m 16m =29，则m的值是18 已知:19、计算: x n=5, y n =3,求(xy)2n的值.2009 , 1、2008一8) ()20、计算: (丄1 1…11)1010・(10 9 8 …2 1).1、计算（a幕的运算单元检测（A）m. 3 n）a的结果是（m3 nA. a3(m -^n) a3mna2、下列运算不正确的是（A. a5 2二a10• •B.C.b b5二b6D.)2a2-3a3 =-6a5 b5 b5二b253、F列计算结果正确的是（A . (2x5) 3=6x15B • (-x 4) 3=-x12C .(2x3) 2=2x6D .[(-x) 3] 4=x 74、F列运算正确的是（A 4 丄5 9 —A. B3•a3•a= 3a3 4 5 9C . 2a 3a=6a-a34 =a75、已知22 83 =2n，则n的值为A. 18 .118 计算：-a2 (-a3)=；(x— y)3(y—x)2二6、F面计算中，正确的是（7、计算：-（-2ab3）2-3^ -32 =9、已知 3m =a , 3n =b ，则 3mn1 二 _________________ 10氢原子中电子和原子核之间的距离为 0.00000000529cm,用科学记数法表示这个距离为 ________ cm .12、若（x -盯二1，贝q x 应满足条件 __________________ :幕的运算单元检测（B ）1、下列运算正确的是（）A .a 3 a 3 =a 6B .(2a)3=2a 3C .(a 3)—a 2 3D5 6.a a a2、我国神州六号”载人飞船，按预定轨道饶地球70多周,共飞行300多万千米后成功着陆，用科学记数法表示300万千米为（)A. 3 X 02千米B. 3 X 04千米 :C.3X 106 千米D. 3X1011 千米3-x 8等于（)A. (-X)2 x 6B. -x 3 (-x)5C. -X (-X)7D. -x 4 (-x)44、2m = 3, 2n = 4,则23m-2n 等于（ )3m ：4 m_J.x ■■- X3 2 2x - x - x14、 计算 :(x -23-y) (x-y)(y -x)3 2(X 3 -十 X 2 +x + X 3 '(- x)2 Ox 2 )才 影004X. .2005r q-2- i16计算： 113丿< 5丿值.18、 如果 a -4二一3b ,求 3a x 27b 的值. 19、 先化简，再求值，x 2 «x 2n *（y n1）2,21、已知 x （x - 1） — （x 2-y ）= — 2,猜（2）（秸厂 10，104 10015、计算：仃 、若3—6,3—2，求32m 」n 的其中 x =- 3, y =3.22x -匚-xy的值是多少？28 计算：-a2 (-a3)=；(x— y)3(y—x)2二A. 1B. 98 C. 27D.827165、1000x 100x1的结果是( )B. 105x2C. 102x2D. 10 A . 1000002x 16、计算2003 2002(0.5) (-2)的结果是（)A . -0.5 B. °5C. 1 D. 27、已知a= - (0.3) 2, b= - 3-2, c= (- 1 )-2, d =(-舟)° ,用“ ＜连接a、b、c、d为 _________________________________________8 计算(ab)10」(ab)3二______________ ;a2n 1」a2n = ____________________9、填空(2x —3y)3(3y —2x)2 ___________________ =(2x —3y)1010、30£-1二;若(x-2) 0=1,则x 满足条件____________________11、256b=25 211,则b二 ___________ . 若(|)x=£，则x= ______________________ .12、已知a m=3 , a n=9，则a3m，n = _ _ .13、计算(1) (—a3)2 (-a2)3(2)-13 ( -1)4• -1)5(3) (p—q)4说q —P)3(P —q)2 (4) (一3a)3-(―a) (•―3a)214、要使(x- 1)0- (x + 1)-2有意义，x的取值应满足什么条件？15、求220 - 321 - 720的末位数字。
2.幂的乘方和积的乘方PPT课件(3份打包)
——2.1.2 幂的乘方与积的乘方
幂的乘方
动脑筋 幂的意义:
n个a a·a·… ·a
= an
同底数幂乘法的运算性质： am ·an = am+n(m，n都是正整数)
am ·an = (a ·a·… ·a) (a ·a ·… ·a)
推导过程
m个a
n个a
= a ·a ·… ·a = a m+n
(3)由特殊的 (ab)3=a3b3 出发，你能想到一般的公式
吗？
(ab)3=ab·ab·ab
=a·a·a ·b·b·b
=a3·b3
猜想
(ab)n=anbn
说一说 (4) 在(ab)3运算过程中你用到了哪些知识？
(ab)3 =(ab)·(ab)·(ab) (幂的意义)
3个ab =(a ·a ·a)(b ·b ·b) (乘法交换律和结合律)
(2)(-4xyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ；
(4)
.
-
1 2
xy2z3
4
(1) (-2x)3 解：(-2x)3 =(-2)3x3 = -8x3 ；
(2) (-4xy)2 解：(-4xy)2 = (-4)2x2y2 = 16x2 y2 ；
(3) (xy2)3 解： (xy2)3
= (x)3(y2)3 =x3 y6 ；
结论
积的乘方法则
(ab)n = an·bn (m，n都是正整数)
积的乘方
乘方的积
结论
用自己的语言叙述一 下积的乘方法则？
积的乘方法则
积的乘方，等于把积的每一个因式分 别乘方，再把所得的幂相乘.
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗？
公式的拓展 (7)三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面 的性质？ (8)怎样用公式表示？
幂的乘方、积的乘方(优生用)
【拓展培优】
【拓展培优】
【拓展培优】
1.2.1幂的乘方
1、幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘， （am）n是 n 个 am相乘，读作： “ a 的 m 次幂的 n 次方”。
2、幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。 即：（am）n amn，（m、n均为正整数）
3、幂的多重乘方：
(2)原式= a2 a2 a2 a222 a23 a6
(3)原式= am am amm a2m
n个m
(4)原式= am am am amm m amn
n个a m
1.2.1幂的乘方
1、幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘， （am）n是 n 个 am相乘，读作： “ a 的 m 次幂的 n 次方”。
3、同底数同底幂数相幂乘相的乘法的则法逆则应逆应用用: :aammnn
（m、n 为正整数）
（m、n 为正整数）
1.2.1幂的乘方
（102）3 102 102 102
% +
= 1.2.1幂的乘方
sin ������
−������ ± ������2 − 4������������ 2������
②积的底数不变，指数和作为积的指数；
③本章中如无特别说明，幂的指数中的字母都是正整数；
法2、则拓法展则拓：展：
am •aamn••aan •p ap
（（mm、、nn、、pp为为正正整整数数））
数乘以数乘幂以的幂积的的积乘的法乘:法:
(a 1(a0m1)0m()b(1b0n1)0n) (a(ba)b)(1(100mm1100nn))
3、幂的多重乘方：
幂的多重乘方，底数不变，指数相乘。
幂的乘方和积的乘方
二、 同底数幂的乘法与幂的乘方混合运算 例：计算： （1） a2 a4 a3 a3 (a3 )2 ； （2） 2 (a2 )4 a4 (a2 )2 ；
（3） a6 (a2 )3 a2 (a5 )2 .
练习： 1、计算： （1） (m n)2 [(m n)3 ]2 ； （2） [( x y)2 ]2 ( y x)3 .
幂的乘方和积的乘方
【知识框架】 ※同底数幂的乘法： am an amn (m、n为正整数) ※幂的乘方： (am )n amn (m、n为正整数) ※积的乘方： (ab)n anbn (n为正整数) 比较 不同点 ① 运算中的底数不变，只 ① 同底数幂相乘是指数 对指数进行运算； 相加； ② 法则中的底数和指数具 ② 幂的乘方是指数相 有普遍性，即可以是数， 乘； 也可以是式，指数均为 ③ 积的乘方是每个因式 正整数； 分别乘方. ③ 对于含有三个或三个以
（2） (a2 )m (an )3 (am1 )2 (a3 )n a2 .
2、若 xm x2m 2, 求 x 9 m 的值.
3、已知 9n1 32 n 72 ，求 n 的值.
4、已知 a 255 , b 344 , c 433 ，比较 a、b、c 的大小关系.
2、已知 a m 2, an 3, 求 a3m4n 的值.
3、已知 xn2m 54, x m 3, 求 x 的值.
3n
n n 22 4、（1）若 2 8 16 2 ，求 n 的值.
三、 积的乘方 例：计算 （1）(6 x2 )2 (3x)3 x ； （2）2( x3 )2 x3 (3x3 )3 (5x)2 x7
练习： 1、计算： （1） ( x3 y3 )2 ( x2 y 2 )3 ； （2） 4( x2 y2 )n 2( xn y n )2 ；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习资料收集于网络，仅供参考 【幕的乘方和积的乘方】
3、计算:
5、下列等式，错误的是(
6、计算(-a 3)2 (-a 2)3的结果为
7、下列等式，成立的是(
9、 已知P =(-ab 3)2，那么-P 2的正确结果是( )
A. a 4b 12
B.-a 2b 6
c.-a 4b 8
D.-a 4b 12
10、 已知：2x • 3y - 4 = 0 ,求 4x 8y 的值.
11计算:
12、计算:
⑴(_2a 2b)3 8(a 2)2 (-a)2 (-b)3； ⑵ a 4 (-3a 3)2 -(-4a 5)2 ;
1 计算：(3a 3)2
=
2
3、2
，
(_3x y )
=
2、计算: (a n b n1)3 =
2 2 2
；-3a b (ab)
4n
、右x
=2, y n =3 贝y (xy)n =
，(x )n =
A. (x 2y 3)2 = x 4y 6
“ 、3
3
B. (_xy) = xy 2 2、2
C. (3m n )
,
2, 3、2
4 6
D. (-a b ) a b
A. -2a 6
B. -2a 5
C.2a 6
D.0
2 2
A. (a -b)二 a
-b 2 2 B. (a b) 2 2
-a b C. (ab)2 二a 2b 2 D. (ab 3)2
-a 2b 5
8、下列式子结果为 12
10的是
7
5
A.10
10
9
B. (2
59)3
5 6
C.(2 5 10 ) 10
3 9
D.(10 ).
⑴(
-xy)4
⑵(-2pq 2)3 ⑶(5a 2bc 3)3 ⑷(2 102)2 (3 103)3
⑶UM)2；⑷疔亨.［来源］
⑵ 2(a ) (a ) -(a ) (a )
13、计算：⑴ a3+ a8a4；
5、2 / 2、2 / 2、4 / 3、2
4、5 2 3、4 2、10 2、5 3、3
⑷(_a )…(_a a ) (_a )…a・(_a ) (_a ).
14、若10x =5，10y =3，求102x3y的值.
15、已知：9n1 -32n=72，求n 的值.
16、若a = 255，b =344，c =433，比较a、b、c 的大小.
17、 已知
4 8m 16m =29，则m 的值是 __________________
18、 已知:x n =5,y n =3,求（xy ）2n
的值. 19、计
算:
(-8) 2009
.1、2008 心8)
20、计算：（丄 --...
10 9 8
2
1)10
10
• (10 9 8 …2 1).
幕的运算 单元检测（A ） 1、 m 、3 n 计算(a ) a
的结果是 ( )
m 3
3m n 3( m* n) A . a B . a C . a
2
、
下列运算不正确 的是（ )
A. a 52』 c 2
B. 2a -3a 3 =-6a 5 ^56
5 5 25 C. b b 二 b D.b b 二 b
3、下列计算结果正确的是（ ） 3mn
D .
a
(2x 5)3=6x 15
B . (-X 4)3=-x 12
C . (2x 3)2=2x 6
D . [(-x) 3]4 =x
4、下列运算正确的是（ ） 3 八 3 •a 3a
4 八 5
9
C . 2a 3a 6a
D .
-a 3 4 二 a 7
2
3
n
5、已知2 8
=2，则n 的值为（）
学习资料收集于网络，仅供参考
A. 18 B . 8
6、下面计算中，正确的是（）
A.
G一（-护护尸=-疋护
& 计算：—a (-a)= ____________ ；(x - y) (y - x)
9、已知3^a , 3^b，则3m n 1二
10氢原子中电子和原子核之间的距离为0.00000000529cm,用科学记数法表示这个距离为cm .
= ；当用’时，=
12、若（X -2）=1，贝y x应满足条件 _________
13、计算：（1）X3jx2“x 1
(2)需
""104100
15 计算：(X3" X2斗X + X3•(- X「(-X2)
m n
2m-3 n
17、若3
一
6
,
3 - 2，求3 的值.
7、计算: (-2ab3)2
C. 7
D. 11
B.(帼 + w)3(m + «)2 = 5 +
D. - Ldr°i a
3 6
3m 4
X
14、计算：
(x -y)2(x - y)(y -X)3
a b
18、 如果 a — 4= — 3b ，求 3 x 27 的值.
1
19、 先化简，再求值，x 2・x 2n ・（y 「1）2，其中x =— 3, y = 3.
20.已細◎・=$求（P 结严的值•
2 2
2
X 十V 21、已知x （x — 1— （x — y ）= — 2,猜想： 一xy 的值是多少？
2
(a 3)2 = a 2 3 D . a a 5 = a 6
幕的运算 单元检测（B ）
1、 F 列运算正确的是（
2、 我国神州六号"载人飞船， 按预定轨道饶地球
70多周，共飞行300多万千米后成功着陆，用科学记数
法表示300万千米为（ B. 3 X104千米
C.3X106 千米
D. 3 X1011 千米
4、
A. 3 X1c f 千米
-x 8等于(
2
A. ( -x)
m
2 = 3, 2
3 ,
、5
B. -X
(-x)
23m-2n 等于()
C. -x (-x)7
4
, 、4
D. -X (-X )
(2a)3 =2a 3 C .
2n 1 2n
；a ■- a
10、30 £1= ______ ____ ;若(x-2 ) 0=1，则 x 满足条件 ______________ b 5 11
卄 3 x 4 山
11 256 =2 2，则 b=__
__.
若(―)=—则 x=
.
2 9
12、已知 a m =3, a n =9，则 a 3m 'n =
_ __•
13、计算
3
、2 2、3
(1) (- a ) (- a )
4
3
2
(3) (p — q)讯q — p) (p — q)
3 4 5
(2)— t (— t) (— t)
3
2
(4) (— 3a) — (— a) (—
3a)
14、要使(x — 1)0— (x + 1)-2有意义，x 的取值应满足什么条件?
B . 9
8
27
27 D .
16
5、1000 x 100心的结果是
A . 1000002x 1
B . 10 2003 2002
6、计算 (0.5) (-2) 的结果是 A . -0.5 B . 0.5
7、已知 - (0.3) 2 , b = - 3-2
( 5x 2 < ”连接a 、
b 、 用
c 、
d 为
C . C . 102x2
D . 105X3
,c = (-1)"2
, d =(-看)° , 9、填空
3
2
(2x -3y)3 (3y - 2x)2
10
= (2x _3y)
&计算
(ab)10
“(ab)3
15、求220 - 321 - 720的末位数字。