2018年高考数学二轮专题复习第一部分专题六复数、计数原理、概率、随机变量及其分布讲义

专题六 复数、计数原理、概率、随机变量及其分布第一讲复数、计数原理、二项式定理考点一 复数 一、基础知识要记牢 (1)复数的模：复数z ＝a ＋bi 的模|z|＝a 2＋b 2. (2)复数相等的充要条件：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d(a ，b ，c ，d ∈R)． 特别地，a ＋bi ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R)．(3)复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z|＝( ) A.12B.22C. 2 D ．2 (2)(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋bi)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.[解析] (1)因为z ＝2i1＋i＝－＋－＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z|＝ 2.(2)∵(a ＋bi)2＝a 2－b 2＋2abi ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. [答案] (1)C (2)5 21.复数的相关概念及运算的技巧解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键.(2)复数相等的问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．(3)复数代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．2．与复数几何意义、模有关问题的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与向量OZ ―→对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质. 三、预测押题不能少1．(1)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a)i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a)， 又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.(2)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i 为实数，则a 的值为________．解析：由a －i2＋i ＝－－＋－＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a 5＝0，所以a ＝－2.答案：－2 考点二 计数原理 一、基础知识要记牢1．(1)分类计数原理：完成一件事情有n 类方法，只需用其中一类就能完成这件事． (2)分步计数原理：完成一件事情共分n 个步骤，必须经过这n 个步骤才能完成．缺少任何一步不能完成这件事．2．区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．3．排列数、组合数公式：(1)A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)＝n ！－！；(2)C m n ＝－－－m ＋m ！＝n ！m ！－！.二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)(2)(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)[解析] (1)法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C 48－C 46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A 24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A 28C 26种不同的选法，而没有女生的选法有A 26C 24种，故至少有1名女生的选法有A 28C 26－A 26C 24＝840－180＝660(种)．(2)一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C 14C 35A 44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A 45＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．[答案] (1)660 (2)1 080解排列组合综合应用题的解题流程三、预测押题不能少2．(1)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．(2)某班主任准备请2018届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)解析：若甲、乙同时参加，不同的发言顺序有2C 26A 22A 22＝120种；若甲、乙有一人参加，不同的发言顺序有C 12C 36A 44＝960种．由分类加法计数原理知，共有120＋960＝1 080种不同的发言顺序．答案：1 080 考点三 二项式定理 一、基础知识要记牢 (1)通项与二项式系数： T r ＋1＝C r n an －r b r(r ＝0,1,2，…，n)，其中C rn 叫做二项式系数．(2)各二项式系数之和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n. ②C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·温州模拟)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405(2)(2017·浙江高考)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.[解析] (1)令⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 中x 为1，得各项系数和为4n ，展开式的各项二项式系数和为2n.∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64， ∴4n2n ＝64，解得n ＝6， ∴二项式的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·3r·xr 362-，令6－32r ＝3，解得r ＝2，故展开式中含x 3项的系数为C 26·32＝135.(2)由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.[答案] (1)C (2)16 4解决此类问题的5个关键(1)T r ＋1表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； (2)T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项； (3)公式中a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (5)对二项式(a －b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题. 三、预测押题不能少3．(1)二项式(3x ＋32)n (n ∈N *)的展开式中只有一项的系数为有理数，则n 的可能取值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意，展开式中项的系数为C r n·3n r 2-·2r 3，由系数为有理数，知n －r 是2的倍数，r 是3的倍数，易知n ＝7，r ＝3时满足题意．故选B.(2)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则n ＝________；该展开式中的常数项为________(用数字作答)．解析：由题意，得2n＝64⇒n ＝6，由二项展开通项公式可知T r ＋1＝C r 6x 2(6－r)－r＝C r 6x12－3r，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为C 46＝15.答案：6 15[知能专练(十九)]一、选择题1．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．3＋3i解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i.2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)解析：选C A 项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数； C 项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.3．(2017·云南模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的二项展开式中，x 4的系数为( )A ．－120B ．－60C ．60D ．120解析：选A ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式的通项T r ＋1＝C r 10x 10－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1xr ＝(－1)r C r 10x 10－2r，令10－2r ＝4，得r ＝3，所以该二项展开式中x 4的系数为－C 310＝－120.4．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方案有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．10种解析：选D 若甲景区在最后一个体验，则有A 33种方案；若甲景区不在最后一个体验，则有A 12A 22种方案．所以小李旅游的方案共有A 33＋A 12A 22＝10(种)．5．(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：选C (1＋x)6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30.6．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)．7．(2017·长沙调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r ·(－2y)r ＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r，令r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(－2)3＝－20.8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有( )A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种解析：选D 从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．9．(2017·合肥质检)已知(ax ＋b)6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b)6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，令x ＝1，得(ax ＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b)6＝64，故选D.10．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y)(2x －y)5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x)3(－y)2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.二、填空题11．(2018届高三·金丽衢十二校联考)设a ∈R ，若复数z ＝a ＋i1＋i (i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ＝________，|z －|＝________.解析：依题意，得a ＋i1＋i ＝＋－2＝a ＋12＋1－a 2i.则a ＋12＝1－a 2，解得a ＝0.∴z ＝12＋12i ，z －＝12－12i. ∴|z －|＝14＋14＝22. 答案：02212．(2017·四川泸州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6(a>0)的展开式中常数项是60，则a 的值为________，各项的系数之和为________．解析：T r ＋1＝C r6(x)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r 6x r 332-，令3－3r 2＝0，解得r ＝2，∴a 2C 26＝60，a>0，解得a＝2.在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 6中，令x ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 6＝729.所以展开式中各项的系数之和为729. 答案：2 72913．(2017·河北唐山调研)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是________，第五项是________．解析：依题意有2n＝128＝27，解得n ＝7.因为2x 3－1x7展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(2x 3)7－r⎝⎛⎭⎫－x 12-r＝(－1)r 27－r C r 7x 21－3.5r ，令21－3.5r ＝0，解得r ＝6，故常数项为(－1)627－6C 67＝14，第五项是T 5＝(－1)427－4C 47x21－3.5×4＝280x 7.答案：14 280x 714．(2017·河北张家口模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6(x －2)的展开式中，常数项为________，x 2的系数为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6(－2)r x 6－2r .令6－2r ＝2，解得r ＝2；令6－2r ＝1，解得r ＝52，舍去；令6－2r ＝0，解得r ＝3；令6－2r ＝－1，解得r ＝72，舍去．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6(x －2)的展开式中，常数项为(－2)C 36(－2)3＝320，x 2的系数为(－2)C 26×(－2)2＝－120.答案：320 －12015．“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“共享单车”“中印对峙”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“共享单车”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序有________种．解析：先从“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“中印对峙”这4个热点中选出3个，有C 34种不同的选法，在调查时“共享单车”安排的顺序有A 13种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A 33种可能情况，故有C 34A 13A 33＝72种不同的调查顺序．答案：7216．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式中的常数项为－40，则a ＝________. 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 525－r x 5－2r ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x 2x ＋1x 5的展开式中的常数项为－40，所以axC 3522x －1＋1xC 2523x ＝－40，即40a ＋80＝－40，解得a ＝－3.答案：－317.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在4号，5号，B 球必须放在与A 球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．解析：根据A 球所在的位置可分三类情况：①若A 球放在1号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；②若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；③若A 球放在2号盒子内，则B 球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有C 13·A 33＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．答案：30 [选做题]1．(2017·武昌调研)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项为( )A ．－270B ．270C ．－90D ．90解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.则⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r 53x 5－r·(－3x)r＝C r5·35－r·(－1)r·x-+r 5r23，令r －52＋r 3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35·32·(－1)3＝－90，故选C.2．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k≤2m，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若 a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.3．福州大学的8名学生准备拼车去湘西凤凰古城旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种．解析：可分两类：第一类，大一的孪生姐妹乘坐甲车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选两个年级，有C 23种不同的选法；第二步，从所选出的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的4名同学乘乙车有C 44种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 23C 12C 12C 44种不同的乘坐方式．第二类，大一的孪生姐妹乘坐乙车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选一个年级(此年级的2名同学乘甲车)，有C 13种不同的选法；第二步，余下的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的2名同学乘乙车有C 22种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 13C 12C 12C 22种不同的乘坐方式．根据分类加法计数原理，满足要求的乘坐方式种数为C 23C 12C 12C 44＋C 13C 12C 12C 22＝24.答案：24第二讲概率、随机变量及其分布考点一随机事件及其概率一、基础知识要记牢1．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．即P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．2．互斥事件和对立事件二、经典例题领悟好[例1] (1)甲、乙两人进行象棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是( )A．0.6 B．0.8C．0.2 D．0.4(2)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( )A.110B.310C.710 D.35[解析] (1)甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，所以甲不输的概率为0.4＋0.2＝0.6，故选A.(2)“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P(A)＝C 23C 25＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P(A )＝1－P(A)＝1－310＝710.[答案] (1)A (2)C1．(1)甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( )A ．0.48B ．0.52C ．0.8D ．0.92解析：选D 由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是0.2×0.4＝0.08，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1－0.08＝0.92，故选D.(2)袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率为512，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是________．解析：记“得到红球”为事件A ，“得到黑球”为事件B ，“得到黄球”为事件C ，“得到绿球”为事件D ，事件A ，B ，C ，D 显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝13，P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝512，①P(C ∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，②由事件A 和事件B ∪C ∪D 是对立事件可得P(A)＝1－P(B ∪C ∪D) ＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－13＝23，③①②③联立可得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.答案：14，16，14考点二 古典概型 一、基础知识要记牢 1．古典概率模型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的概率公式 P(A)＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.[提醒] 求事件包含的基本事件数，常用计数原理与排列、组合的相关知识． 二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45 B.35C.25D.15(2)(2017·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518B.49C.59D.79[解析] (1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.(2)所求概率为P ＝C 15C 14＋C 14C 15C 19C 18＝59. [答案] (1)C (2)C计算古典概型事件的概率3个步骤步骤一：算出基本事件的总个数n ；步骤二：求出事件A 所包含的基本事件个数m ； 步骤三：代入公式求出概率P. 三、预测押题不能少2．(1)先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a ，b ，则a ，b,5能够构成等腰三角形的概率是( )A.16B.12C.718D.23解析：选C 基本事件的总数是36， 当a ＝1时，b ＝5符合要求，有1种情况； 当a ＝2时，b ＝5符合要求，有1种情况； 当a ＝3时，b ＝3,5符合要求，有2种情况； 当a ＝4时，b ＝4,5符合要求，有2种情况；当a ＝5时，b ＝1,2,3,4,5,6均符合要求，有6种情况； 当a ＝6时，b ＝5,6符合要求，有2种情况．所以能够构成等腰三角形的共有14种情况，所求概率为1436＝718.(2)从两名男生和两名女生中任意选取两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名女生，星期日安排一名男生的概率为________．解析：法一：两名男生分别记为A 1，A 2，两名女生分别记为B 1，B 2，任意选取两人在星期六、星期日参加某公益活动，有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，共12种情况，而星期六安排一名女生，星期日安排一名男生，有B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，共4种情况，故所求概率为P ＝412＝13.法二：两名男生分别记为A 1，A 2，两名女生分别记为B 1，B 2，任意选取两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有C 24A 22＝12种情况，而星期六安排一名女生，星期日安排一名男生，有B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，共4种情况，故所求概率为P ＝412＝13.答案：13考点三 随机变量及其分布 一、基础知识要记牢 1．独立重复试验、二项分布(1)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k)＝C k n p k(1－p)n －k，k ＝0,1,2，…，n.(2)一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P(X ＝k)＝C k n p k qn －k，其中0<p<1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B(n ，p)，且E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)．2．离散型随机变量的分布列、均值与方差(1)设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i 的概率为P(X ＝x i )＝p i ，则称下表：(2)E(X)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望(简称期望)．D(X)＝(x 1－E(X))2·p 1＋(x 2－E(X))2·p 2＋…＋(x i －E(X))2·p i ＋…＋(x n －E(X))2·p n 叫做随机变量X 的方差．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi ＝1)＝p i ，P(ξi ＝0)＝1－p i ，i＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则( )A ．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B ．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C ．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D ．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)(2)若X ～B(n ，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2B ．2－4C ．3×2－10D ．2－8[解析] (1)根据题意得，E(ξi )＝p i ，D(ξi )＝p i (1－p i )，i ＝1,2，∵0<p 1<p 2<12，∴E(ξ1)<E(ξ2)．令f(x)＝x(1－x)，则f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，所以f(p 1)<f(p 2)，即D(ξ1)<D(ξ2)． (2)∵E(X)＝np ＝6，D(X)＝np(1－p)＝3， ∴p ＝12，n ＝12，则P(X ＝1)＝C 112×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝3×2－10.[答案] (1)A (2)C1.二项分布满足的3个条件每次试验中，事件发生的概率是相同的. 各次试验中的事件是相互独立的.每次试验中只有两种结果：事件要么发生，要么不发生. 2.求离散型随机变量的分布列与数学期望的基本步骤 第一步：明确变量，确定随机变量的所有可能的取值； 第二步：求概率，求每一个可能值所对应的概率； 第三步：得分布列，列出离散型随机变量的分布列； 第四步：公式求值，利用公式求均值和方差. 三、预测押题不能少3．(1)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是( )A.12B.32C.34D.14解析：选B 法一：由题意知，每次试验成功的概率为34，失败的概率为14，在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2，则P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116，P(X ＝1)＝C 12×14×34＝616＝38，P(X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916，E(X)＝0×116＋1×38＋2×916＝32. 法二：由题意知，试验成功的概率p ＝34，故X ～B2，34，所以E(X)＝2×34＝32.(2)已知0<a<12，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时( )A ．E(ξ)增大，D(ξ)增大B ．E(ξ)减小，D(ξ)增大C ．E(ξ)增大，D(ξ)减小D ．E(ξ)减小，D(ξ)减小解析：选B 由题意知，E(ξ)＝－2×a＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＋2×12＝1－2a ，D(ξ)＝(2a －3)2×a＋(2a －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＋(1＋2a)2×12＝－4a 2＋8a ＋1＝－4(a －1)2＋5，又0<a<12，所以当a 增大时，E(ξ)减小，D(ξ)增大．故选B.[知能专练(二十)]一、选择题1．(2017·宁波模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.2C ．0.1D ．0.3解析：选D ∵“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”，事件A ＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.选D.2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P(k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k ＝2)＋P(k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.3．已知离散型随机变量X 的概率分布列为则其方差D(X)＝( ) A ．1 B ．0.6 C ．2.44D ．2.4 解析：选C 因为0.5＋m ＋0.2＝1，所以m ＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.4．(2018届高三·江西八校联考)从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A ，则A 中任意两个元素之和不等于11的概率为( )A.1945 B.463C.863 D.1663解析：选C 分组考虑：(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)．若A 中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的其中一个，故所求概率P ＝25C 510＝863.故选C.5．(2017·邯郸模拟)口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则2次取出的球的颜色不相同的概率是( )A.29B.13C.23D.89解析：选C 法一：由题意知，基本事件总数n ＝3×3＝9，记事件M 为“2次取出的球的颜色不相同”，则事件M 所包含的基本事件个数m ＝3×2＝6，所以2次取出的球的颜色不相同的概率P(M)＝m n ＝69＝23，故选C.法二：由题意知，所有的基本事件为：红红、红白、红黑、白红、白白、白黑、黑红、黑白、黑黑，共9个，其中2次取出的球的颜色相同的基本事件有3个，所以2次取出的球的颜色不相同的概率为1－39＝23.6．(2017·合肥模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E(X)＝( )A.185B.215C ．4D.245解析：选B 由题意知，X 的所有可能取值为3,4,5，且P(X ＝3)＝C 33C 35＝110，P(X ＝4)＝C 23·C 12C 35＝35，P(X ＝5)＝C 13·C 22C 35＝310，所以E(X)＝3×110＋4×35＋5×310＝215. 7．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝59，则P(η≥2)的值为( )A.2027B.827C.727D.127解析：选C ∵变量ξ～B(2，p)，且P(ξ≥1)＝59，∴P(ξ≥1)＝1－P(ξ<1)＝1－C 02p 0(1－p)2＝59，∴p ＝13，∴P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1－827－1227＝727，故选C. 8．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)>1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由已知条件可得P(X ＝1)＝p ，P(X ＝2)＝(1－p)p ，P(X ＝3)＝(1－p)2p ＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X ＝1)＋2P(X ＝2)＋3P(X ＝3)＝p ＋2(1－p)p ＋3(1－p)2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p>52或p<12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.9．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，则乙获胜的概率为( )A.12 B.13C.1327D.427解析：选C 设A k ，B k (k ＝1,2,3)分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P(A k )＝13，P(B k )＝12(k ＝1,2,3)．记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件与概率计算公式知 P(C)＝P(A 1B 1)＋P(A1B1A 2B 2)＋P(A1B1A2B2A 3B 3)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 1)P(B 1)P(A 2)P(B 2)＋P(A 1)P(B 1)P(A 2)P(B 2)P(A 3)P(B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1327. 10．(2018届高三·湖北七市(州)联考)从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( )A.225B.13125C.18125D.9125解析：选A 从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个．则各位数字之和等于12且没有重复数字，则该数只能含有3,4,5三个数字，可构成A 33＝6个三位数；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3个．因此，所求概率为P ＝6＋1＋3125＝225，故选A.二、填空题11．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ak ，其中k ＝1,2,3,4,5,6，则a ＝________，E(ξ)＝________.解析：根据题意可知P(ξ＝1)＝a 1，P(ξ＝2)＝a 2，P(ξ＝3)＝a 3，P(ξ＝4)＝a4，P(ξ＝5)＝a 5，P(ξ＝6)＝a 6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝1，∴a ＝2049，E(ξ)＝6a ＝12049. 答案：2049 1204912．(2017·四川绵阳模拟)已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为12和13，现让他们独立地破译这种密码，则两人都能译出密码的概率为________，两人中至少有1人能译出密码的概率为________．解析：两人都能译出密码的概率为12×13＝16.至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码， ∴至少有1人能译出密码的概率p ＝1－1－121－13＝23.答案：16 2313．(2018届高三·温州十校联合体期末联考)袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字0,1,2，随机摸出一个将其上的数字记为a 1，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为a 2，依次下去，第n 次随机摸出一个，将其上的数字记为a n ，记ξn ＝a 1a 2…a n ，则：(1)随机变量ξ2的数学期望是________； (2)ξn ＝2n －1时的概率是________．解析：可以求得随机变量ξ2的分布列如表所示：所以随机变量ξ2n (n －1)次取到了2，有1次取到了1，故所求概率是n3n .答案：1n 3n 14．(2018届高三·浙江名校联考)袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次取1球，摸取3次，则恰有两次是红球的概率为________；若有放回摸球，每次取1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为________．解析：①每次取1球，摸取3次，则恰有两次是红球的概率P ＝C 23C 13C 36＝920.②设摸到红球的次数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，则每次摸到红球的概率为36＝12.P(X＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12k1－123－k ，(k ＝0,1,2,3)．∴P(X ＝0)＝18，P(X ＝1)＝38，P(X ＝2)＝38，P(X ＝3)＝18，∴E(X)＝0＋1×38＋2×38＋3×18＝32.答案：920 3215．某班班会，准备从包括甲、乙两人的7名学生中选取4名学生发言，要求甲、乙两人至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________．解析：若无限制条件则有A 47种情况；若甲、乙两人都不被选中则有A 45种情况，因此甲、乙两人至少有1人被选中有A 47－A 45种情况．甲、乙两人都被选中且发言时不相邻共有A 25·A 23种情况，故所求概率为P ＝A 25·A 23A 47－A 45＝16.答案：1616．(2017·成都模拟)已知函数f(x)＝13mx 3＋12nx 2＋x ＋2 017，其中m ∈{2,4,6,8}，n ∈{1,3,5,7}，从这些函数中任取两个不同的函数，则它们的图象在(1，f(1))处的切线相互平行的概率是________．解析：函数f(x)＝13mx 3＋12nx 2＋x ＋2 017，导函数为f′(x)＝mx 2＋nx ＋1，可得在(1，f(1))处的切线斜率为m ＋n ＋1.切线相互平行，即斜率相等，则(m ，n)可为(2,7)，(8,1)，(4,5)，(6,3)；(2,5)，(4,3)，(6,1)；(2,3)，(4,1)；(4,7)，(6,5)，(8,3)；(8,5)，(6,7)，共C 24＋C 23＋1＋C 23＋1＝14组，又总共有C 216＝120组，则它们的图象在(1，f(1))处的切线相互平行的概率是14120＝760.。