5.流体力学

m1 = m 2
ρ1 S1 v1Δt =ρ2 S2 v2Δt
定常流动时的连续性方程
ρS v = 常量
又称质量-流量守恒定律
其中 - 流体密度，s - 截面面积，v - 流速。
ρS v 单位时间内通过任一截面S的流体质量
对不可压缩流体, ρ为常量，则 S v =常量 体积-流量守恒定律
Sv 单位时间内通过任一截面S的流体体积 流体的连续性方程是质量守恒定律在定常
截面 S1 和 S2 处：流速分别为 v1 和 v2 ， 流体密度分别为ρ1 和ρ2 。 在 Δt 时间时间内：
通过截面S1进入的流体质量：
m1 1 (v1t ) S1
通过截面S2 流出的流体质量：
m2 2 (v2 t ) S2
定常流动，质量守恒 ρ1 S1 v1 =ρ2 S2 v2
1896 年 意 大 利 医 生 里 瓦
罗 基 (Riva-Rocci ， 18631937) 发明了现在仍在使 用的腕环血压计。
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理想流体：不可压缩，无粘滞
流线：速度沿切线，流线不会相交
流管：由流线所围，流体不会穿过流 管壁，流入或流出流管!!! 流线越密地方流速大， 越稀地方流速越小。
不定常流动
定常流动 连续方程
v v ( x , y, z , t ) v v ( x, y, z )
S1v1 S2v2
二、伯努利方程的应用
（1 ）小孔流速 一直立容器，截面积为S，在容器下部开一面积为s的 小孔，小孔与液面的高度差为h，求小孔处的流速。
解： 对A、B流管，由伯努利方程得：
1 1 2 PA gh v A PB vB 2 ，PA = PB 2 2
可见：Pa Pe Pb Pc Pd
（3） 空吸作用 如图，在容器A的下部开口，与一水 平管道相接，管道中间c处是收缩段， 水平管道d端与外界相连。试求c处 压强；B容器中的液体在何条件下能 流进水平管发生空吸作用？ 解：由图，c, d 两截面处的中心线等高，
1 2 1 2 由伯努利方程得： vc pc vd p0 2 2
设流体在x处：压强P1，速度v1，高度h1，截面积S1 在y处：压强P2，速度 v2，高度h2，截面积S2
v2
F1
P1 S1 v1
P2 S2
F2
y h2
经过时间Δt后，此段流 体的位置由 xy移到了 x´y´
考察Δt时间内这段 流体机械能变化
h1
x X
v2 y‘ h2 x’
P2 S2
P1 S1
v1 h1
机械能增量
P2 S2
F2
P1 S1 h1
y
h2 v2 y h2
x X
1 2 E ( mv2 mgh2 ) 2 1 2 - ( mv1 mgh1 ) 2
P2 S2
P1 S1 h1
v1 x
1 1 2 由W E得：P1V P2 V ( mv2 mgh2 ) - ( mv12 mgh1 ) 2 2 ρ= m /ΔV是流体的密度 1 2 1 2 v2 gh2 P2 v1 gh1 P1 2 2 由于对x,y点的选择没有限制，故上式对同一流管 的任一截面有： 1 2 v gh P 常量 --- 伯努利方程 2
故当满足
pB pc p0 pc g hb
容器B中的液体就会被吸到水平管道中－空吸作用
Sd hb 联立得空吸作用的条件： 1 Sc h
水
空吸作用应用： 水流抽气机、射流真 空泵、喷雾器等
抽气机
接被抽容器
水+空气
（4）汾丘里流量计
由 S1v1 S2v2 1 2 1 2 v1 P 1 v2 P 2 2 2 2 1 s gh p p1 p2 v12 ( 12 1) 2 s2
第五章 流体力学
§5-1 流体运动的描述
液体和气体统称为流体。 流体的基本特征是具有流动性，即它的各个部 分之间很容易发生相对运动，没有固定的形状。 流体力学研究流体的宏观平衡和运动的规律以及 流体与相邻固体之间相互作用规律。 流体的宏观物性
• 流动性 • 可压缩性 • 粘滞性
理想流体
(不可压缩、无粘滞)
2 gh1 2h2 g 2 h1h2
2h3
h1 h2
B
h3
B孔水射程：RB v B t B
A
2 g (h1 h2 h3 )
g
由R相等可解得： h3= h1
RA 2 gh1
2h2
g
2 h1h2
令 H h1 h 2
对
R 2 h1h2 2 ( H h2 ) h2 求导
Q S1v1 S1 S2 2 gh h 2 2 k S1 S2
动压强 总压强
p2，v2
p1，v1
5)流速计
皮托管
静压强
1 2 Pc v Pd 2
v 2 gh k h
c
d
例 水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面 积为管的最细处的3倍。若出口处的流速为2m/s， 问 最细处的压强为多少？若在此最细处开一小孔，水 会不会流出来？
A0
v v0 2 gh A 2 2 ghA v0 0.286m / s 2 2 A0 A 流量为： RV A0v0 1.2cm 2 28.6cm / s 34cm 3 / s
§5-3 理想流体的伯努利方程
一、理想流体的伯努利方程 定常流动 取一细流管
截取一段流体 xy
小孔流速
vB 2 gh
例2 如图，在一个桶的侧面不同的高度的两处 开了两个小孔A, B。A孔距水面的高度为h1, 距地 面的高度为h2. 问：B孔在距地面什么高度处才可 以保证两个孔喷出的水达到同样远的距离?若容器 装满水，在什么高度开孔水的射程最远？
解：A孔水射程：RA v At A
解： （1）设容器内水面可上升的高度为H，此时 放入容器的水流量和从小孔流出的水流量相等，
Q = S2 v2 小孔处水流速v2为： v2 2 gH
Q S2v2 S2 2 gH
4 1 Q 2 1 1.4 10 2 H ( ) ( ) 0.1 (m ) 4 2 g S2 2 9.8 10
令 R 0, 解得：
H 2h2 时， 即 h1 h2时，射程最远
（2） 虹吸作用 如图，一大容器中插入一弯管，若弯管最初充满液 体，则随后液体从弯管下端 e 源源流出。试求 a, b, c, d, e 各处的速率及压强大小。 c d 解： Pa Pe P0 h a b va 0 ve 2 gH vb vc vd ve H Pb Pe gH , e Pc Pd Pe g ( H h)
解：由连续性方程 S1v1 = S2v2 ， 得 v2 = 6（m/s）
由伯努利方程在水平管中的应用得：
1 1 2 P1 v1 P2 v2 2 2 2
代入数据得：P2 = 85（kPa）
∵ P2 < P0， 水不会流出来
生活中的流体力学：
流速小的地方压强较大， p 1 v 2 p 1 v 2 a a 0 0 2 2 流速大的地方压强较小 1 2 1 2 pb vb p0 v0 2 2 飞机升力：
（2）设容器内水流尽需要的时间为T t 时刻水的高度为h ，小孔处流速为 v2 2 gh 液面下降dh高度从小孔流出的水体积为dV = S1· dh， 需要的时间dt 为 dV/Q
S1 dh S1 dh dt S2 v2 S2 2 gh
T dt
0
T
0 H
S1 dh S1 2 H 11.2 ( s) S2 2 gh S2 g
在一般管道流动中，忽略各物理量在其横截面 上的变化也可近似成立，式中各量为管道截面上所 取的平均值。
如果流体在水平管子中流动（h1=h2），
则流体的势能在流动过程中不变， P + 1/2ρv 2 = 常量
流速大的地方压强较小，流速小的地方压强较大
(即流线相对靠近的地方，压强较小，反之亦然)
血压测量最早由英国牧 师黑尔斯(R. S. Hales， 1677-1761) 在 1733 年 完 成的。
x f ( x 0 , y0 , z 0 , t ) y g ( x 0 , y0 , z 0 , t ) z h( x0 , y0 , z0 , t )
• 欧拉法 考察经过空间某位置(x, y, z)处质元的运动 如：
v v ( x, y, z , t ) a a ( x, y, z , t ) p p( x , y , z , t )
流线
注意：
引入流线只 是为了形象的 描述流场，是 假想曲线
流线不会相交
在流动的流体中划出一个小截面，则通过其 周边各点的流线所围成的管状体称 流管
流体不会穿过流线流入或流出流管!!!
流线越密地方流速越大，越稀地方流速越小。
三、定常流动和不定常流动 不定常流动 v v ( x, y, z, t ) • 经过空间某处的质元速度随时间变化
外力： 其它流管中流体的压力对它不做功 流管中段外流体的压力F1 F2对它作功 F1作正功，F2作负功。 x截面的位移是 v1Δt，y截面的位移是 v2Δt 总功： W F1v1t - F2v2 t
v2
v1 F1
P1 S1 v1t - P2 S2v2 t P1 V - P2 V
A
h
B
由SvA=svB,且 S>>s ，故vA<<vB， 可将vA近似为零
v
vB 2 gh
小孔流速只与 h 有关! 如同一质点自由下落 h 高度！ 射出流体将做平抛运动
为什么？
例1 一直立圆柱形容器，高0.2m，直径0.1m，顶部开启， 底部有一面积为10-4 m2的小孔，水以每秒1.4×10-4 m3的快慢由水管自上面放入容器中。 问 ： 容器内水面可上升的高度？若达到该高度时不再放 水，求容器内的水流尽需多少时间。
流体力学 流体静力学:研究静止流体规律的学科，如阿 基米德原理、帕斯卡原理等。
流体动力学:研究流体运动的学科，是水力学、 空气动力学、生物流体力学等学 科的理论基础。
一、 流体运动的描述方法 • 拉格朗日法 考察每个质元的位置随时间的变化 不同的（x0 , y0 , z0） 代表了不同质元 牛顿定律适用
由连续性方程： vc Sc vd Sd
Sd Sd 得 vc vd Sc Sc
2 gh
1 2 2 pc P0 (vd vc ) P0 gh 1 ( S d S c ) 2 2


p0 pc gh (Sd S c ) 2 1


pB p0
流动流体中的一个推论，它与流体是否存 在粘性无关。
例：水从龙头流下过程中，由于其 速率增加，水流必定“收缩下去”。 若A0处水流横截面为1.2cm2,A处为 0.35cm2，A0,A之间的竖直距离为 h=45mm,求龙头流出的体积流量。 解：两截面体积流量相等
A0v0 Av
2 2
落体运动的速度关系
这种方法把流体看成一 个场，考虑场中各点的 各个物理量。
二、流场、流线和流管 在流体流动过程中的任一瞬时，流体所占据的空 间每一点都具有一定的流速。 流速随空间的分布 流体速度场（流场） v v (r , t )
在流场中假想一组曲线，使曲线上每一点的切线方 向与处在该点流体粒子的速度方向一致，此曲线称流线
单位体积 单位体积 单位体积 流体的动 流体的势 流体的静 压能 能 能
P F F l W S S l V
1 2 v gh P 常量 2
单位体积 单位体积 单位体积 流体的动 流体的势 流体的静 压能 能 能
说明： 1）此方程实质上是能量守恒定律在理想流体做定常流动 中的具体表现。 2）惯性系中成立 3）其中p,v,h对应于同一根流线,不同流线对应的常数不同
• 流线的形状随时间变化
定常流动
v v ( x, y, z )
• 流场中任一点的流速、压强和密度等都不随时间 变化
• 流线的形状不变，和质元的运动轨迹重合
• 流体的各流层不相混合，只作相对滑动。
§5-2
定常流动的连续性方程
流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀
研究对象：在定常流动的流场中任取 一段细流管