数学物理方程--有限差分法
有限差分法
有限差分法finite difference method用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。
是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。
把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
龙格库塔龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
有限差分法的基本原理
f (x) ≈
2h
中心二阶差商
′′
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
f (x) ≈
h2
O(h) O(h)
2
O(h )
2
O(h )
其中，h表示网格间距，O(hn)表示截断误差与hn成正比。可以看出，中心差商比前向或后向差商具有更高的精度。
误差分析
有限差分法求得的数值解与真实解之间存在误差，这些误差主要来源于以下几个方面：
常用差分格式
有限差分法中最重要的步骤是构造合适的差分格式来近似微分项。根据泰勒展开式，可以得到以下常用的一阶和二阶差分格式：
差分格式
表达式
截断误差
前向一阶差商
′
f (x+h)−f (x)
f (x) ≈
h
后向一阶差商
′
f (x)−f (x−h)
f (x) ≈
h
中心一阶差商
′
f (x+h)−f (x−h)
截断误差：由于使用有限项级数来近似无穷级数而产生的误差； 舍入误差：由于计算机对小数进行四舍五入而产生的误差；
离散误差：由于对连续区域进行离散化而产生的误差； 稳定性误差：由于数值格式的稳定性不足而导致误差的累积或放大。
为了减小误差，一般可以采取以下措施：
选择更高阶或更精确的差分格式； 减小网格间距或时间步长； 选择合适的初始条件和边界条件； 选择稳定且收敛的数值格式。
+
。 2
h)
为了验证上述方法的正确性，我们取M = 10, N = 100，则原问题可以写为如下形式：
则该问题对应的递推关系式为：
⎧ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,
有限差分法推导
有限差分法推导【最新版】目录1.有限差分法的基本概念2.有限差分法的推导方法3.有限差分法的应用实例4.有限差分法的优缺点正文一、有限差分法的基本概念有限差分法是一种数值计算方法，主要应用于求解偏微分方程的初值问题。
它是通过将连续的函数值用有限个离散点上的函数值来代替，从而将偏微分方程转化为关于这些离散点上的代数方程组。
这种方法可以有效地降低问题的复杂度，使得求解过程更加简便。
二、有限差分法的推导方法有限差分法的推导过程主要包括以下几个步骤：1.对边界条件进行离散处理，将边界上的函数值用有限个离散点上的函数值来代替。
2.对偏微分方程进行离散处理，将偏微分方程转化为关于这些离散点上的代数方程组。
3.求解代数方程组，得到离散点上的函数值。
4.通过插值方法，将离散点上的函数值还原为连续函数。
三、有限差分法的应用实例有限差分法广泛应用于各种物理、工程和数学问题中，例如求解热传导方程、波动方程和亥姆霍兹方程等。
下面以求解一维热传导方程为例，展示有限差分法的应用过程。
假设我们要求解如下的热传导方程：u/t = k * ^2u/x^2x = [0, 1]t = [0, T]边界条件：u(0, t) = f(t), u(1, t) = 0初始条件：u(x, 0) = 0我们可以通过以下步骤应用有限差分法：1.对边界条件进行离散处理，将边界上的函数值用有限个离散点上的函数值来代替。
2.对偏微分方程进行离散处理，将偏微分方程转化为关于这些离散点上的代数方程组。
3.求解代数方程组，得到离散点上的函数值。
4.通过插值方法，将离散点上的函数值还原为连续函数。
四、有限差分法的优缺点有限差分法具有以下优点：1.适用范围广泛，可以应用于各种偏微分方程的初值问题。
2.推导过程相对简单，容易理解和实现。
3.计算精度较高，可以通过增加离散点数来提高精度。
然而，有限差分法也存在以下缺点：1.计算量较大，需要处理大量的代数方程组。
2.对于某些问题，可能需要进行特殊的处理，例如处理不稳定的代数方程组。
有限差分法PPT课件
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分
第4章_有限差分法.弹性力学
y xy
0
0
2 1 [(5 7 ) ( 6 8 )] xy 0 4h 2
可见，用差分法解平面 问题，共有两大任务：
一、建立差分方程 将（1-6~8）代入双调和 方程
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
在结点３，x=x0-h, 在结点1, x=x0+h，代入(b) 得：
h2 2 f f f3 f 0 h 2 x 0 2 x 0
h2 2 f f f1 f 0 h 2 x 0 2 x 0
A A
B
(2 5)
从图易看出，式（2－3）右 边的积分式表示A与B之间的x方 向的面力之和；式（2－4）右边 的积分式表示A与B之间的y方向 的面力之和；式（2－5）右边的 积分式表示A与B之间的面力对 于B点的矩。
至此，我们解决了怎样 计算边界上各结点
, , x y
的值的问题。 至于边界外一行虚结点处 的值，则可用边界上
差分公式(１-１)及(１-３)是以相隔2h的两 结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数 值，可称为中点导数公式。 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点 处的一阶导数值，可称为端点导数公式。 应当指出：中点导数公式与端点导数公式 相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的 函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数 变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只 有在无法应用前者时才不得不应用后者。
将式(b),(c)代入，整理得：
B B B A ( x B x A ) ( y B y A ) ( y B y ) p x d s ( x x B ) p y d s (d ) y A A x A A A , , , 为已知， 由式(d)及式(c)可见，设
有限差分法解拉普拉斯方程python
有限差分法解拉普拉斯方程python一、引言拉普拉斯方程是一个重要的偏微分方程，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
有限差分法是一种常用的数值求解方法，可以有效地解决拉普拉斯方程。
本文将介绍如何使用Python语言实现有限差分法求解拉普拉斯方程。
二、数学模型拉普拉斯方程可以表示为：∇²u = 0其中，u为未知函数，∇²表示Laplace算子。
在二维情况下，可以将该方程写成：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0三、有限差分法有限差分法是一种常用的数值求解方法，在此不再赘述其原理和推导过程。
对于二维情况下的拉普拉斯方程，我们可以采用五点差分公式进行离散化处理：(u(i+1,j) - 2*u(i,j) + u(i-1,j))/Δx² + (u(i,j+1) - 2*u(i,j) + u(i,j-1))/Δy² = 0其中，Δx和Δy分别表示网格间距。
将上式变形可得：u(i,j) = (u(i+1,j) + u(i-1,j))*Δy² + (u(i,j+1) + u(i,j-1))*Δx² / (2*(Δx² + Δy²))四、Python实现在Python中，我们可以使用numpy库来处理数组和矩阵运算，使用matplotlib库来进行可视化。
首先，我们需要定义网格大小和间距：import numpy as npnx = 101 # 网格点数ny = 101dx = 2/(nx-1) # x方向间距dy = 2/(ny-1) # y方向间距接着，我们需要定义初始条件和边界条件：p = np.zeros((ny, nx)) # 初始条件# 边界条件p[:,0] = 0 # 左边界p[:,-1] = y # 右边界p[0,:] = p[1,:] # 下边界p[-1,:] = p[-2,:] # 上边界其中，左右边界分别为零和y的值，上下边界采用一阶差分法进行处理。
有限差分公式
有限差分公式
有限差分是微分方程解的近似值的一种表示方法，通常用数学表达式
f(x+b)-f(x+a)来表示。
如果将有限差分除以b-a，则可以得到差商。
在微分方程数值解的有限差分方法中，特别是处理边界值问题时，有限差分导数的逼近起着关键的作用。
有限差分通常考虑三种形式：正向差分、反向差分和中心差分。
正向差分是f(x+h)-f(x)，反向差分是f(x)-f(x-h)，中心差分是f(x+h)-f(x-h)。
当h取为1时，正向差分除以h近似于导数。
在数值方法中，有限差分法是一种常用的数值解法，它用差商代替微分方程中的偏导数，从而得到相应的差分方程。
通过解这个差分方程，可以得到微分方程解的近似值。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学类书籍或咨询数学专业人士。
欧拉梁方程有限差分
欧拉梁方程有限差分欧拉梁方程是物理学和工程学中最基本的物理模型之一，可以用来解释许多现象，比如传播、振动、热传导等等。
这一方程也是日常生活中最普遍的物理模型，比如人们会在摆动秋千或滑板时用到它。
欧拉梁方程有限差分法是一种用来求解欧拉梁方程的数值求解方法，它利用近似的微分方程来把欧拉梁方程的复杂的数学模型简化成数值的形式。
有限差分法是一种有效的、简单的和快速的数值求解方法，它可以在不花费太多时间和金钱的情况下解决复杂的算法问题。
欧拉梁方程的有限差分法主要由以下几个步骤组成：首先，将欧拉梁方程写成一个多元微分方程；然后，采用有限差分法将其转化成离散形式；最后，利用特定的算法解决离散形式的多元微分方程。
这样，就可以得到所有欧拉梁方程的解，而不需要计算原始的欧拉梁方程。
有限差分法的优势在于可以快速准确的解决欧拉梁方程，而且也可以用于计算实际问题。
有限差分法可以给出精确度较高的结果，而且它可以在不耗费太多计算时间的情况下解决绝大部分欧拉梁方程问题。
有限差分法也可以用来求解不可解析的方程，这样可以节省大量的计算时间。
有限差分法对于计算欧拉梁方程提供了一种简单高效的方法，可以用来解决复杂的物理模型问题。
它的算法简单，执行效率高，准确度高，可以用来求解任何复杂的欧拉梁方程问题。
有限差分法的应用还可以延伸到物理学和力学的其他领域，例如地质动力学、流体力学等。
总之，欧拉梁方程有限差分法是一种使用近似的微分方程来求解欧拉梁方程的数值求解方法，可以用来解决欧拉梁方程以及其他物理模型的问题，这种方法具有简单高效、计算时间少、准确等特点，也可以用来求解不可解析的方程，因此有限差分法对于计算欧拉梁方程具有重要的应用价值。
1-有限差分法的基本知识汇总
x x 2u( x, t ) u( x x, t ) u( x, t ) T xg x F ( , t )dx 2 x x x t
等号两边用中值定理：并令 x 0
2u ( x, t ) 2u ( x, t ) T g F ( x, t ) 2 2 x t
Q1 Q2
2
M
S
热场
k TdV dt
2 t1 V
t2
t2
t1
T c dVdt t V
三维热传导方程
T k T c t
T k 2 T a 2 2T t c
T a 2 2T f t
Q3
t2
t1
FdV dt
二维波动方程：
2 2 2u u u 2 a 2 2 f ( x, y , t ) 2 t y x
三维波动方程：
2 2 2 2u u u u 2 a 2 2 2 f ( x, y , z , t ) 2 t z x y
V
有热源三维热传导方程
☆ 一维浓度扩散方程
☆ 动量输运方程
抛物型 方程
C 2C 2 F x, t t x
C为物质浓度，λ为扩散系数。
u 2u f t x 2 x
u为速度，fx为流体体积力，ν 为流体粘性系数。
显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同
☆ 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。 一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、 L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向 振动时，求这根弦上各点的运动规律。
有限差分法初步
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 结论与展望
01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将偏微分方程离散化为差分方程， 从而求解偏微分方程的近似解。
近似表示微 分，从而将微分方程转化为差分方程。
有限差分法。
COMSOL Multiphysics实现
COMSOL Multiphysics是一款基于有限元法的多物理场仿真软件，也支持有限差分法。 COMSOL提供了友好的用户界面和丰富的物理模型库，使得有限差分法的实现更加便
捷。
有限差分法的并行计算实现
MPI实现
MPI（Message Passing Interface）是一种并行计算的标准，支持多个处理 器之间的通信。通过MPI，可以实现有限差分法的并行计算，提高计算效率。
自适应网格技术
根据解的特性自适应地调整离散点间距，以 提高计算精度和效率。
并行化与优化
通过并行计算和算法优化等技术提高有限差 分法的计算效率。
与其他方法的结合
将有限差分法与其他数值方法或物理模型相 结合，以处理更复杂的问题。
06
结论与展望
结论
01
有限差分法是一种数值计算方 法，通过离散化连续问题为差 分方程，进而求解数值近似解 。
有限差分法原理简单，易于理解和实现，不需要复杂的数学工 具。
有限差分法可以方便地进行并行计算，提高计算效率。
有限差分法可以应用于各种不同类型的偏微分方程，具有广泛 的适用性。
有限差分法的缺点
精度问题
由于有限差分法是一种离散化方法，其精度受到离散点间距的限制， 可能导致计算结果不够精确。
有限差分求解bergers方程python
有限差分求解bergers方程python有限差分法是一种求解偏微分方程数值解的有效方法，它通过将偏微分方程离散化成有限个点的函数值来进行数值求解。
Burgers方程是一类重要的偏微分方程，其数学模型描述了物理学中的许多现象，如流体力学、声波传播等。
本文将阐述如何使用有限差分法求解Burgers方程的Python实现方法。
首先，我们需要了解Burgers方程的数学模型。
其一维形式为：$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partialu}{\partial x}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 其中，$u(x,t)$是速度场，$\nu$是运动粘性系数。
这个方程的初始条件通常为$u(x,0)=f(x)$，其中$f(x)$是速度场的初始分布。
边界条件可以是周期性边界条件，也可以是固定边界条件。
为了使用有限差分法求解Burgers方程，我们需要将其空间离散化和时间离散化。
我们选择三点中心差分格式来离散化Burgers方程的空间部分。
中心差分格式的一阶导数近似为：$\frac{\partial u}{\partial x}\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\Delta x}$二阶导数近似为：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{\Delta x^2}$我们将时间区间$[0,T]$离散化为$N$个时间步长，时间步长为：$\Delta t=\frac{T}{N}$则有限差分格式的离散化形式为：$\frac{u_{i}^{n+1}-u_i^n}{\Deltat}+u_i^n\frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2\Deltax}=\nu\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}$ 其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间节点。
有限差分方法
有限差分方法有限差分法是一种用于数值解决常微分方程（ODE）、偏微分方程（PDE）的数学技术。
它将原本的微分方程式转化为差分方程，最终可以用数值计算解决。
作为一门数值分析技术，有限差分方法主要用于计算解决微分方程的参数和状态。
有限差分法的步骤一般分为三个：（1）数学模型的构建，（2）对物理场的离散化，（3）对差分方程进行求解。
首先，我们要建立准确的物理模型，这一步涉及到选取合适的假设和参数，以及采用适当的边界条件和初始条件。
其次，我们要对原方程进行离散处理，使其转化为有限差分方程，从而为求解此类方程打下基础。
最后，我们要设计出一个有效的求解方法，通过用数值计算解决有限差分方程，获得所求解的结果。
有限差分法的优点主要体现在精度和速度上。
首先，它的精度极高，它可以求解出精确的解，而且计算速度也很快，无需复杂的数学推理，就可以较快速度解决问题，大大降低了计算的难度。
其次，有限差分法可以拓展到更多的系统，不限于只能解决二维静止场，而能够解决一般感兴趣的场景。
此外，有限差分技术也可以解决有时限性的问题，例如分析物体的动态特性。
此外，有限差分方法也存在一些缺点，例如边界条件的处理和计算复杂性的增加。
由于差分的求解是基于某些边界条件的，一旦边界条件发生变化，原有的求解方案就会失效。
此外，在进行离散化处理时，随着问题规模的增大，计算复杂性也会随之增加，使得求解较大规模的问题极其困难。
有限差分法已经成为当今解决复杂问题数值计算的重要技术手段。
它在准确性、精度和计算速度方面均具有优势，深受工业界、医学界及数学领域的青睐。
有限差分法的实际应用也正在层出不穷，今后有望在更多的领域得到广泛的应用。
物理计算中常用数值计算方法解析
物理计算中常用数值计算方法解析在物理学研究中，数值计算方法是解决复杂问题的重要工具。
它们通过将连续的物理过程离散化为离散的数值计算，从而使得问题变得更易于处理。
本文将介绍一些常用的数值计算方法，并探讨它们在物理计算中的应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常见的数值计算方法，它将连续的物理过程离散化为离散的差分方程。
通过将空间和时间划分为离散的网格点，有限差分法可以将微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程来获得数值解。
有限差分法在物理计算中有广泛的应用。
例如，在流体力学中，有限差分法可以用来模拟流体的运动和变形。
在电磁学中，有限差分法可以用来计算电场和磁场的分布。
此外，有限差分法还可以用于求解热传导方程、波动方程等。
二、有限元法有限元法是一种常用的数值计算方法，它将连续的物理过程离散化为离散的有限元。
通过将物理区域划分为有限个小区域，有限元法可以将偏微分方程转化为代数方程，并通过求解代数方程来获得数值解。
有限元法在物理计算中有广泛的应用。
例如，在结构力学中，有限元法可以用来计算结构的应力和变形。
在电磁学中，有限元法可以用来计算电场和磁场的分布。
此外，有限元法还可以用于求解热传导方程、流体力学方程等。
三、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于统计的数值计算方法，它通过随机抽样和概率统计的方法来获得数值解。
蒙特卡洛方法的核心思想是通过大量的随机抽样来近似计算复杂的数学问题。
蒙特卡洛方法在物理计算中有广泛的应用。
例如，在统计物理学中，蒙特卡洛方法可以用来模拟粒子的随机运动和相互作用。
在量子力学中，蒙特卡洛方法可以用来计算量子系统的性质。
此外，蒙特卡洛方法还可以用于求解复杂的积分和优化问题。
四、快速傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的数值计算方法，它可以将一个信号从时域转换到频域。
FFT算法的核心思想是通过递归和分治的方法将一个大规模的离散傅里叶变换分解为多个小规模的离散傅里叶变换。
FFT在物理计算中有广泛的应用。
有限差分法
有 限 差 分 法流体运动的控制方程多为偏微分方程，在复杂的情况下不存在解析解。
但是对于一些简单的情况存在解析解，偏微分方程的解析解可用精确的数学表达式表示，该表达式给出了因变量在整个定义域中的连续变化状况。
有限差分法（Finite Difference Method ,FDM ）是数值计算中比较经典的方法，由于其计算格式直观且计算简便，因此被广泛地应用在计算流体力学中。
有限差分法首先将求解区域划分为差分网格，变量信息存储在网格节点上，然后将偏微分方程的导数用差商代替，代入微分方程的边界条件，推导出关于网格节点变量的代数方程组，通过求解代数方程组，获得偏微分方程的近似解。
偏微分方程被包含离散点未知量的代数方程所替代，这个代数方程能求出离散节点处的变量，这种离散方法叫做有限差分法。
2.1有 限 差 分 逼 近2.1.1 有限差分网格 由于有限差分法求解的是网格节点上的未知量值，因此首先介绍有限差分网格。
图2.1 – 1是x-y 平面上的矩形差分网格示意图。
在x 轴方向的网格间距为△x ，在y 轴方向的网格间距为△y ，网格的交点称为节点，计算变量定义在网格节点上。
称△x 和△y 为空间步长，△x 一般不等于△y ，且△x 和△y 也可以不为常数。
取各方向等距离的网格，可以大大简化数学模型推导过程，并且经常会取得更加精确的数值解。
本章作为计算流体力学入门知识，假设沿坐标轴的各个方向网格间距分别相等，但是并不要求各方向的网格间距一致。
例如假设△x 和△y 是定值，但是不要求△x 等于△y 。
在图2.1 - 1中，网格节点在x 方向用i 表示，在y 方向用j 表示。
因此，假如（i ，j ）是点P 在图2.1 – 1中的坐标，那么，点P 右边的第一个点的就可以用（i+1，j ）表示；在P 左边的第一个点的就可以用（i —1，j ）表示；点P 上边的第一个点的就可以用（i ，j+1）表示；点P 下边的第一个点的就可以用（i ，j —1）表示。
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学和物理学中的重要概念，广泛应用于工程、科学和其他领域。
在很多情况下，准确解析解并不容易获得，因此需要利用数值方法求解偏微分方程。
本文将介绍几种常用的数值解法。
1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最常见和经典的数值解法之一。
基本思想是将偏微分方程在求解域上进行离散化，然后用差分近似代替微分运算。
通过求解差分方程组得到数值解。
有限差分法适用于边界条件简单且求解域规则的问题。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是适用于不规则边界条件和求解域的数值解法。
将求解域划分为多个小区域，并在每个小区域内选择适当的形状函数。
通过将整个域看作这些小区域的组合来逼近原始方程，从而得到一个线性代数方程组。
有限元法具有较高的灵活性和适用性。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法是一种较新的数值解法，特别适用于物理量守恒问题。
它通过将求解域划分为多个控制体积，并在每个体积内计算守恒量的通量，来建立离散的方程。
通过求解这个方程组得到数值解。
有限体积法在处理守恒律方程和非结构化网格上有很大优势。
4. 局部网格法（Local Grid Method）局部网格法是一种多尺度分析方法，适用于具有高频振荡解的偏微分方程。
它将计算域划分为全局细网格和局部粗网格。
在全局细网格上进行计算，并在局部粗网格上进行局部评估。
通过对不同尺度的解进行耦合，得到更精确的数值解。
5. 谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于傅里叶级数展开的高精度数值解法。
通过选择适当的基函数来近似求解函数，将偏微分方程转化为代数方程。
谱方法在处理平滑解和周期性边界条件的问题上表现出色，但对于非平滑解和不连续解的情况可能会遇到困难。
6. 迭代法（Iterative Method）迭代法是一种通过多次迭代来逐步逼近精确解的求解方法。
有限差分方程
有限差分方程
摘要：
1.有限差分方程的定义
2.有限差分方程的性质
3.有限差分方程的解法
4.有限差分方程的应用
正文：
有限差分方程是一种离散数学模型，用于描述离散系统的演化。
它是一种特殊的偏微分方程，可以用于研究许多实际问题，如物理、生物学、经济学等领域。
1.有限差分方程的定义
有限差分方程是指描述离散系统演化的数学方程，该方程中的变量通常是离散的，可以表示为某个区间上的有限个数值。
这些数值通过差分算子相互联系，构成了有限差分方程。
2.有限差分方程的性质
有限差分方程具有以下性质：
（1）离散性：有限差分方程中的变量是离散的，而非连续的。
（2）局部性：有限差分方程只涉及有限个相邻的变量，因此具有局部性。
（3）线性性：有限差分方程通常是线性的，即满足线性叠加原理。
3.有限差分方程的解法
求解有限差分方程的一般步骤如下：
（1）根据实际问题建立有限差分方程模型。
（2）选择合适的求解方法，如有限差分法、有限元法等。
（3）根据边界条件和初始条件，求解方程，得到变量的值。
（4）对求解结果进行分析，解释其物理意义。
4.有限差分方程的应用
有限差分方程在许多领域都有广泛应用，如：
（1）物理学：用于研究固体力学、流体力学等问题。
（2）生物学：用于研究生物种群的动力学行为。
（3）经济学：用于研究金融市场的动态行为。
总之，有限差分方程作为一种重要的离散数学模型，能够有效地描述和解决许多实际问题。
精品课件-计算物理学(郭立新)-第8章
2u x2
2u y 2
f
(x, y)
(8.11) 对比式(8.10)可知，B=0，A=C=1
第8章 有限差分方法
2. 抛物型方程(B2-4AC=0) 如一维扩散方程或热传导方程属于这一类型，方程(8.5) 和(8.6)可以写成
(8.12)
2u x2
u t
对比式(8.10)可知，B=C=0, A=1
2u
2u x2
2u y 2
0
(8.33) 【例8.1】 用有限差分法求解拉普拉斯方程，边界条件
如图8.2
第8章 有限差分方法 图8.2
第8章 有限差分方法
若取h=5，如图8.2所示有三个内点，相应的u值记为u1、u2、 u3。根据式(8.32)，可列出关于三个内点的差分方程组
它的矩阵形式为
4u1 u2 0 u1 4u2 u3 0 u2 4u3 100 0
从数学上讲，一个偏微分方程会有无限多个解，偏微分方
第8章 有限差分方法
1．
若u代表方程中的未知函数，用Γ表示方程适用区域D的边
界。第一类边界条件为
u|Γ=u0(rb, t)
(8.14)
其中, u0(rb, t)是定义在Γ上的已知函数，rb是相应边界
点的位矢。在这种边界条件下边界上连续体或者场的状态是已
uk 1 ij
1 4
(u k 1 i, j1
uk1 i1, j
uik, j1
uk i1,
j
h2
fij )
(8.36)
这种迭代方法称为异步法，它只需一套内存，收敛较快。
第8章 有限差分方法
dx h
由式(8.20)可得一阶向后差商公式
(8.24)
有限差分法
有限差分法一、有限差分法的定义有限差分法（Finite Differential Method ）是基于差分原理的一种数值计算法。
其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数ϕ的泊松方程的问题转换为求解网格节点上ϕ的差分方程组的问题。
二、有限差分法的应用例3.7.1 有一个无限长直的金属槽，截面为正方形，两侧为正方形，两侧面及底板接地，上盖板与侧面绝缘，其上的电位为ϕ=100V, 试用有限差分法计算槽内电位。
（1）用Matlab 中的有限差分法计算槽内电位；（2）对比解析法和数值法的异同点；（3）选取一点，绘制收敛曲线；（4）总的三维电位图；1、根据有限差分公式计算出电位最终近似值为1,12,13,11,22,23,21,32,33,3=7.144=9.823=7.144=18.751=25.002=18.751=42.857=52.680=42.857ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ，，，，，，用Matlab有限差分法计算出来结果：（见附录程序一）2、解析法和数值法的异同点解析法数值法定义在分析具体问题的基础上，抽取出一个数学模型，这个数学模型能用若干个解析表达式表示出来，解决了这些表达式，问题也就得以解决。
数值法是用高性能的计算机以数值的、程序的形式解决问题，主要是指有限元法和差分法相同点都是在具体问题的基础上取一个用解析表达式表示的数学模型来解决问题；数值法是在解析法的基础上在不同尺度上进行有限元离散,离散单元尺度不同,进行有限元计算时要满足的连续性条件不同,预测结果的精确度就不同不同点解析法可以计算出精确的数值结果；可以作为近似解和数值解的检验标准；解析法过程可以观察到问题的内在和各个参数对数值结果起的作用。
但是分析过程困难又复杂使其仅能解决很少量的问题。
数值法求解过程简单，普遍性强，用户拥有的弹性大；用户不必具备高度专业化的理论知识就可以用提供的程序解决问题。
但求解结果没有解析法精确。
有限差分方法
数学方程的建立
稳定过程： 稳定过程：泊松方程 静电场：电场的散度正比电流密度，等于势场u的梯度 静电场：电场的散度正比电流密度，等于势场 的梯度
静磁场： 静磁场：类似于静电场
√
物理问题和数学方程(2/5) 物理问题和数学方程(2/5)
输运过程： 输运过程：扩散方程 扩散：流体由于不均匀而发生扩散， 扩散：流体由于不均匀而发生扩散，扩散密度正比于 密度的梯度， 密度的梯度，同时满足质量守恒
√
物理问题和数学方程(5/5) 物理问题和数学方程(5/5)
第三类
∂u v (a0u + b0 ) = c0 (rb , t ), a0、b0和c0是已知函数 ∂n Γ 热传导，系统通过表面与外界交换热量： 例：热传导，系统通过表面与外界交换热量：表面 热流 ∂u 正比于表面温度 u 与外界温度 u0 之差，即 之差， ∂n ∂u = k (u − u0 ) ∂n 初始条件 v 在各处的值： 初始瞬间待求函数 u 在各处的值： u t =0 = f1 (r )
拉普拉斯方程
方程( ( , )=0 方程( f(x,y)=0 ) ∂ 2u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y 五点差商格式
√
迭代解法(1/6) 迭代解法(1/6)
差分方程组的特点
方程个数等于内点数，每条方程最多含5 方程个数等于内点数，每条方程最多含5个未知项 系数矩阵是稀疏和带状的 跌代法求解：同步法、 跌代法求解：同步法、异步法和逐次超松弛法
边界条件的差分格式
√
一维扩散方程(3/3) 一维扩散方程(3/3)
差分方程组及其求解
0.10
1.000 0.7500
0.08
0.5000 0.2500 0
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数学物理方程--有限差分法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数学物理方法课程报告题目：声波有限差分法数值模拟学生姓名：xxx学号：xxx学院：地球科学与技术学院专业班级：xxxx教师：xxx2016年 4月12日声波有限差分法数值模拟Xxx（地球科学与技术学院研15级 学号：xxx ）摘要：数值模拟是最常用的正演模拟的方法。
它通过给出的结构模型和物理参数，模拟地震波的传播轨迹，了解其规律以及过程，然后通过计算来推断观测点的地震记录。
根据求解方法，地震波方程数值解法可分为有限元法、伪谱法、有限差分法。
根据本门课程的要求，并且有限差分法具有内存占用较小，精度较高等优点，本文主要采用这种方法进行模拟。
关键词：数值模拟，声波，有限差分正文1、 引言在勘探过程中，数值模拟的作用很大。
例如：1、采集上，可用于设计或者优化野外观测系统；2、处理上，可以通过数值模拟来检验是否采用了正确的反演方法。
将正演反演不断的逼近，从而使结果更加准确；3、解释上，还可以检测一下解释的资料是否正确。
而有限差分法是数值模拟最常用的方法，本文利用有限差分法，通过对声波进行正演模拟，来了解其在地下的传播规律及特点。
2、二维各向同性介质声波方程数值模拟使用规则网格差分对二阶方程进行求解。
具体过程：在x 方向上，关于0x 对称分布的2N 个网格节点的坐标分别为x q x N ∆-0，x q x N ∆--10，……，x q x ∆-10，x q x ∆+10，……x q x N ∆+-10，x q x N ∆+0。
其 中，x ∆表示节点间的最小间距；i q 表示任意正整数。
2N 个网格节点所对应的函数值已知，分别为()x q x f N ∆-0，()x q x f N ∆--10，……，()x q x f ∆-10， ()x q x f ∆+10……，()x q x f N ∆+-10，()x q x f N ∆+0。
利用Taylor 级数展开求解()x f 在点0x 处的一阶导数近似值。
()()()()()()()()()()()()()[]120220220100!21!21+∆+∆++∆+∆+=∆+N i N N i i i i x q O x f x q N x f x q x f x q x f x q x f()()()()()()()()()()()()()[]120220220100!21!21+∆+∆++∆+∆-=∆-N i N N i i i i x q O x f x q N x f x q x f x q x f x q x f其中，i=1,2，…，N将上述两式相加，省略式中的误差项，得到()()()[]()()()()()()()()()()022*********!21!41!21221x f x q N x f x q x f x q x q x f x f x q x f N N i i i i i ∆++∆+∆=∆-+-∆+(1)将相减后得到的式子整理成矩阵形式，有 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆-+-∆+∆-+-∆+∆-+-∆+∆=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x x f x N x f x x f q q q q q q q q q N N N N N N NNN N0002002010010202220420224222422221412122221!21!41!21(2)为了简化矩阵，可以记作⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=N N NNN Nq q q q q q q q q A 242224222214121 ，()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆-+-∆+∆-+-∆+∆-+-∆+∆=x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x D N N 0002002010010222221同时，构造两个简单矩阵，辅助计算N N I ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 整理的， 1001⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=N E 假设存在1-A ，使得I AA =-1，也可得()I A A T T=-1；即()TA 1-为T A 的逆，得到()I A A TT =-1。
式子两边右乘向量E 就可得()E E A A TT =-1 (3)由式（2）可得()()D A E x f T 10221-= (4)同时，假设()()TN T Tc c c C E A ,,,211 ==-（5）将()N c c c C ,,,21 =带入式（4），得()()()()()()[]x q x f x f x q xf c x x f n n Nn n ∆-+-∆+∆=∑=000120222121（6）整理得 ()()()()()()[]x q x f x q x f c x f c x fx n n Nn n ∆-+∆++=∆∑=00100022可结合式（3）和式（5），可得到矩阵计算式：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00121222214424122221 N N N N N N N c c c q q q q q q q q q（7）∑=-=Ni i c c 102当i q 的值确定后，可根据式（7）来求解n c 的值，从而计算出()()01x f 的值。
利用式（7）可以求得对称任意节点间距的一阶导数差分系数。
其中，当i q 取值为),2,1(N n n =,则式（7）可表示为()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00121212121222444222N N NN c c c N N N （8）此时，所求得的()N n c n ,,2,1 =就是等节点间距的一阶导数的规则网格不同差分精度的差分系数（表1所示）。
二维声波方程的形式可表示为：()22222221zux u t u v p ∂∂+∂∂=∂∂ （9）时间导数采用2阶，空间导数采用2N 阶近似，即()())(2)(222t t u t u t t u tut ∆-+-∆+=∂∂∆()()()()()[]x n x u x n x u c x u c x x ux Nn n ∆-+∆++=∂∂∆∑=001000222带入式（9）中，可得到在固定网格下，差分格式为 ()()()()[]()()()[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆-+∆++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆-+∆++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+∆--=∆+∑∑==Nn n p Nn n p z n z u z n z u a z u a z t v x n x u x n x u a x u a x t v t t u t u t t u 102102)(2)(（10）3、模型测试：震源选取：正演模拟过程中采用雷克子波作为震源子波，雷克子波的表达式为Source (it) =((1-2π f m (t-t0)2 )e-2π fm (t-t0)2模型建立：建立了一个两层介质模拟，其上层纵波速度为v=2000m/s，下层纵波速度为v=3000m/s。
模型大小为200×200，空间采样间隔为dx=dz=10m。
采用30Hz的雷克子波作为震源子波，震源位于模型(70,100)处，时间采样间隔为1ms。
结果分析：it=50 it=100 it=150it=200 it=250 it=300it=350 it=400图2 不同时刻波场快照图中可以看出，在未遇到界面前，地震波在均匀介质中的波前面一个圆。
当遇到地层界面之后，在界面处发生了反射、透射和折射现象。
沿测线方向的地震记录如图2所示。
记录中存在两条直线状的同相轴和两条近似双曲线的同相轴。
由于直达波的时距曲线是直线，因此两条直线同相轴对应直达波；由于反射波的时距曲线是近似双曲线，因此近似双曲线同相轴对应的是反射波。
参考文献[1] 刘庆敏，高阶差分数值模拟方法研究与应用，中国石油大学（华东）硕士论文，2004年9月[2] 孙成禹、李振春，地震波动力学基础，石油工业出版社，2011年4月[3] 王元名，数学物理方程与特殊函数，高等教育出版社，2012年12月。