有限差分法基本原理-较好
有限差分法的原理与计算步骤
有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。
该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。
二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。
通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。
2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。
一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。
3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。
根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。
4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。
求解得到各个离散点的解。
5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。
将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。
三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。
2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。
3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。
然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。
2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。
亥姆霍兹方程有限差分法
亥姆霍兹方程有限差分法
亥姆霍兹方程是一个描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。
有限差分法是求解亥姆霍兹方程的一种常用数值方法。
有限差分法的基本思想是将求解区域离散为网格，然后使用中心差分格式来逼近微分算子。
这种方法的优势在于其简单性和易于实现，通过适当选择网格分辨率，可以获得足够的精度。
同时，研究者们也在不断探索如何构造高精度、收敛快且针对大波数问题有效的有限差分格式。
然而，有限差分法在求解高波数问题时可能会遇到一些困难，因为Helmholtz方程的解在高波数时会出现严重的震荡，导致数值解的精度随着波数的增加而逐渐变差，即所谓的“污染效应”。
为了解决这个问题，研究者们提出了各种优化差分系数的方法来提高数值精度。
总的来说，有限差分法是一种有效且实用的求解亥姆霍兹方程的方法，但在实际应用中需要根据具体问题的特点和要求进行选择和调整。
有限差分法
有限差分法有限差分法（Finite Differential Method, FDM ）什么是有限差分法 有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。
按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。
有限差分法的基本步骤（1）剖分渗流区，确定离散点。
将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。
（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。
（3）求解差分方程组。
采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。
(1) 现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（S max )为可达到的足够高的股票价格）进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N,这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j ）对应时刻和股票价格，用变量f i ,j 表示（i,j ）点的期权价格。
2.建立差分格式（1）内含的有限差分方法其步骤可分为以下几步：(1)求前向差分近似:(2) 后向差分格式：(3)将(2),(3)式平均可更加对称地求出的近似，即(4)(2)求用前向差分近似：(5)(3)求(6)(4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式：+ b j f i,j−c j f i,j + 1 = f i + 1,j(7)aj f i,j− 1其中：i=0,1,…，N-1。
j=0,1…，M-1针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件：看跌期权：看涨期权：(5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组：+ b j f N− 1,j + c j f N− 1,j + 1j=1,2…，M-1aj f N− 1,j− 1求解这M-1个联立方程组即可以求出期权价格，但对美式看跌期权时我们必须考虑其提前执行的情况。
有限差分法FLAC3D功能,优缺点分析
FLAC/FLAC3D系列——岩土体工程高级连续介质力学分析软件通知：FLAC3D 4.0隆重推出，了解详细情况，点击此处FLAC（Fast Lagrangian Analysis of Continua）软件是由美国Itasca公司开发的。
目前，FLAC有二维和三维计算程序两个版本，二维计算程序V3.0以前的为DOS版本， 1995年，FLAC2D已升级为V3.3的版本，其程序能够使用护展内存，至今已发展到V5.0版本。
FLAC3D是一个三维有限差分程序，目前已发展到V4.0版本。
并且其推出的FLAC SLOPE有了WINDOWS界面。
FLAC（Fast Lagrangian Analysis of Continua）是一个利用显式有限差分方法求解的岩土、采矿工程师进行分析和设计的二维连续介质程序，主要用来模拟土、岩、或其他材料的非线性力学行为，可以解决众多有限元程序难以模拟的复杂的工程问题，例如大变形、大应变、非线性及非稳定系统（甚至大面积屈服/失稳或完全塌方）等问题。
FLAC的基本功能和特征为：●允许介质出现大应变和大变形；●Interface 单元可以模拟连续介质中的界面，并允许界面发生滑动和开裂；●显式计算方法，能够为非稳定物理过程提供稳定解，直观反映岩土体工程中的破坏；●地下水流动与力学计算完全耦合（包括负孔隙水压，非饱和流及相界面计算）；●采用结构加固单元模拟加固措施，例如衬砌、锚杆、桩基等；●材料模型库（例如：弹性模型、莫尔库仑塑性模型、任意各向异性模型、双屈服模型、粘性及应变软化模型）；●预定义材料性质，用户也可增加用户自己的材料性质设定并储存到数据库中；●一系列可选择模块，包括：热力学模块、流变模块、动力学模块、二相流模块等，用户还可用C++建立自己的模型；●边坡稳定系数计算满足边坡设计的要求；●用户可用内部语言（FISH）增加自己定义的各种特性（如：新的本构模型，新变量或新命令）；FLAC软件的优势：➢连续体大应变模拟➢界面单元用已代表不连续接触界面可能出现的完全不连续性质的张开和滑动，因此可以模拟断层、节理和摩擦边界等➢显式求解模式可以获得不稳定物理过程的稳定解➢材料模型:✧“空（null）”模型；✧三种弹性模型（各向同性、横观各向异性、和正交各向异性）；✧七种非线性模型（Drucker-Prager、Mohr-Coulomb、应变硬化及应变软化、节理化、双线性应变硬化/软化节理化、双屈服、修正的Cam-clay模型）➢任何参数指标的连续变化或统计分布的模拟➢外接口编程语言（FISH）允许用户添加用户自定义功能➢方便的边界定义和初始条件定义方式➢可定义水位线/面进行有效应力计算➢地下水渗流计算以及完全的应力场渗流场偶合计算（含负孔隙压力、非饱和流、井）➢结构单元如隧道衬砌、桩、壳、梁锚杆、锚索、土工织物及其组合，可以模拟不同的加固手段及其与围岩（土体）的相互作用➢自选模块包括:✧热和热力学分析模块；✧流变计算模块；✧动力分析模块实现真时间历程的瞬时动力响应模拟；✧用C++编写的用户自定义本构模块开挖直立坡的喷射混凝土墙加土钉加固的模拟加（下）和不加（上）土工织物土坡的潜在破坏特征FLAC-3D（Three Dimensional Fast Lagrangian Analysis of Continua）是美国Itasca Consulting Goup lnc开发的三维快速拉格朗日分析程序，是二维的有限差分程序FLAC2D的扩展，能够进行土质、岩石和其它材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析。
有限差分法基本原理
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
工程电磁场数值分析(有限差分法)_2023年学习资料
>实施步骤-设求解二维静电场边值问题：-LI Pl=fs-F-&x2-0y2-V20=F-og-=0-on -Le-器0
有限差分法是最古老、最直观的一种数值方法，直至现-在仍有强大的生命力，在许多学科领域广为应用。在电磁场-领 ，目前最受关注的是时域有限差分法Finite Difference-Time-Domain Method, DTD和有限体积法-Finite Volume-Method.FVM-进一步的参考书：-胡之光.电机电磁场 分析与计算.北京：机械工业出版-社，1989
从有限差分法看数值解的基本思想-离散解（数值解）的概念->方程的离散-化无限维问题为有限维问题-化微分方程 代数方程组，借助计算机求解->解的离散一-离散点上的数值解->数值法的一般步骤->求解区域的离散（前处理代数方程组的求解->离散数据的分析（后处理
各种数值方法的不同之处-在于离散方程所依据的原-理不同，从而导致方程求-8-解技术、求解效率、适用-对象等 不同。
网格划分-2-将场域划分为小的网格。-30-设为正方形网格，边长h。-4-方程离散-将节点上的电位值”作为 Le-求解变量，把微分方程化-为关于p的线性代数方程-≈9-20+p-组。-h2-a对内部节点-≈，-2+ -0,+p2+p,+p-4=-h'
b对边界节点-·第一类边界节点-只考虑节点位于边界上的情况-P:=f;-第一类边界条件-·第二类边界节点考虑齐次边界条件-9,+20+0:-40=F-h2-对所有的节点都建立一个方程，N个-齐次第二类边界条件点有N个未知数，建立N个方程。
有限差分法原理
有限差分法原理有限差分法（Finite Difference Method）是一种常见的数值分析方法，广泛应用于工程、物理、经济等领域的数值模拟和计算中。
它的基本原理是将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散，将连续的问题转化为离散的问题，从而用计算机进行求解。
有限差分法在实际工程中具有重要的应用价值，本文将对有限差分法的原理进行详细介绍。
有限差分法的基本思想是将求解的区域进行网格划分，然后利用差分近似代替微分运算，通过有限差分近似的方式将微分方程转化为代数方程组，进而求解出数值解。
有限差分法的核心在于如何进行差分近似，以及如何选择合适的差分格式。
一般来说，差分格式可以分为前向差分、后向差分、中心差分等不同类型，根据不同问题的特点和求解精度的要求，选择合适的差分格式对问题进行离散化处理。
在空间上进行离散化时，通常采用均匀网格划分的方法，将求解区域划分为若干个小区间，每个小区间内的差分近似都可以通过相似的方式进行处理。
而在时间上进行离散化时，则需要根据具体问题选择合适的时间步长，通过逐步迭代的方式求解出时间上的数值解。
有限差分法的原理可以用一个简单的一维热传导方程来进行说明。
假设有一根长度为L的杆，其温度分布满足一维热传导方程，即∂u/∂t = α∂^2u/∂x^2，其中u(x,t)表示杆上某一点的温度分布，α为热传导系数。
我们可以将空间上的区域进行均匀网格划分，时间上进行等间隔的离散化，然后利用差分近似代替微分运算，最终得到一个关于时间和空间上温度分布的差分方程组，通过迭代计算得到数值解。
有限差分法作为一种数值计算方法，其精度和稳定性受到网格划分和时间步长的影响。
通常来说，网格划分越精细，时间步长越小，数值解的精度越高，但计算量也会相应增加。
因此，在实际应用中需要根据具体问题的要求和计算资源的限制进行合理的选择。
总之，有限差分法是一种重要的数值计算方法，通过将微分方程转化为差分方程，利用计算机进行求解，可以有效地解决实际工程中的复杂问题。
navierstokes方程的三种迭代法
navierstokes方程的三种迭代法
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其解法通常涉及到数值计算。
以下是三种常见的迭代法：
有限差分法（Finite Difference Method）：
有限差分法是一种直接求解Navier-Stokes方程的方法。
它通过将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近原方程的解。
这种方法简单直观，但可能对初值敏感，且在处理复杂边界条件时可能遇到困难。
有限元法（Finite Element Method）：
有限元法是一种基于变分原理的数值方法。
它将连续的流体域离散为有限个小的子域（或称为“元”），然后在这些子域上定义近似函数。
通过最小化近似函数与真实解之间的误差，可以得到原方程的近似解。
这种方法能够处理复杂的边界条件，且对初值不敏感，但计算量较大。
有限体积法（Finite Volume Method）：
有限体积法是一种介于有限差分法和有限元法之间的方法。
它将流体域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上定义离散的数值格式。
通过求解这些离散方程，可以
得到原方程的近似解。
这种方法在处理复杂边界条件和流场变化时具有较好的适应性，且计算效率较高。
以上三种迭代法各有优缺点，可以根据具体问题选择适合的方法进行求解。
数值计算中的偏微分方程解法
数值计算中的偏微分方程解法偏微分方程在科学、工程和金融等领域都有广泛的应用。
在现实生活中，许多问题都涉及到偏微分方程的解法，比如天气预报、机器学习和金融衍生品定价等。
然而，解析解并不总是可行的，因此需要数值计算方法来解决这些问题。
在本文中，我们将探讨数值计算中的偏微分方程解法。
一、有限差分法有限差分法是偏微分方程数值解法中最基本的方法之一。
该方法通过将偏微分方程中的导数用差分近似公式表示出来，然后建立一个离散的空间和时间网格。
在网格上求解方程，得到数值解。
例如，考虑一个二维热传导方程：$$ \frac{\partial u}{\partial t}= \alpha \left( \frac{\partial ^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \right) $$其中，$u(x,y,t)$是温度分布，$\alpha$是热传导系数。
我们可以将该方程在空间上进行离散化，用差分近似公式表示出导数。
以二阶中心差分为例，有：$$ \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2} $$$$ \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta y^2} $$其中，$u_{i,j}$表示网格点$(i,j)$处的温度。
同样地，时间上也进行离散化，用前向差分公式表示导数，即：$$ \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n}{\Delta t} $$将上述离散化的结果代入方程中，可以得到：$$ \frac{u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n}{\Delta t}= \alpha\left( \frac{u_{i+1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i-1,j}^n}{\Delta x^2}+\frac{u_{i,j+1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j-1}^n}{\Delta y^2} \right) $$整理得到：$$ u_{i,j}^{n+1}= u_{i,j}^n+ \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} (u_{i+1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i-1,j}^n)+ \frac{\alpha \Delta t}{\Delta y^2} (u_{i,j+1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j-1}^n) $$这样，我们就可以用迭代法求解上述方程，得到网格上的温度分布。
地球物理勘探复习题
1、地球物理勘探：应用物理学原理，勘查地下矿产﹑研究地质构造的一种方法和理论，简称物探。
2、地球物理勘探的主要工作内容是：数据采集、数据处理、地质解释。
3、地球物理场类型：弹性波场、重力场、磁力场、电磁场、地热场、物理化学场。
4、应用地球物理方法的物质基础：岩石、矿石的密度，磁性，电学性质，弹性。
5、应用地球物理：是以岩石、矿石（或地层）与其围岩的物理性质差异（如密度、磁性、电性、弹性、放射性差异等）为物质基础的，用专用的仪器设备观测和研究天然存在或人工形成的地球物理场（如重力场、地磁场、电场等）在空间上的局部变化（称为地球物理异常），进而达到查明地质构造、寻找矿产资源和解决工程地质、水文地质以及环境检测等问题的目的。
6、火成岩的密度主要取决于矿物成分及其含量的百分比，成岩过程中的冷凝、结晶分异作用，不同成岩环境；沉积岩的密度密度主要取决于：孔隙度，孔隙充填物成分与含量，地质年代与埋深；变质岩的密度与矿物成分、矿物含量、孔隙度均有关，主要由变质的性质和变质程度来决定。
7、三大岩石密度：火成岩>变质岩>沉积岩。
8、地层（表层）岩体密度的测定方法：小样测定、大样法、重力测井。
9、磁性本质：任何物质的磁性都是带电粒子运动的结果。
物质宏观磁性：抗磁性(逆磁性)、顺磁性、铁磁性。
10、磁法勘探中，表征岩石磁性的物理量：k(M i)、Mr 及M11、法勘探利用的电学性质有：导电性、电化学活动性、介电性和导磁性。
12、表征导电性的物理量—电阻率定义：在国际单位制中，电流垂直通过边长为1m的均匀立方体物质时，所遇到的电阻值即为该物质电阻率。
单位：欧(姆)·米，记作 ·m。
13、影响岩、矿石导电性的因素：岩石、矿石成分和结构；含水性；温度；压力14、（1）岩石极化：在特定自然条件下，岩石或矿石在各种物理化学过程作用下，能够形成面电荷和体电荷的性质称为岩石极化。
（2）岩石极化分为两种类型：自然极化、激发极化自然极化：——形成自然电场表面极化：由不同地质体接触处的电荷自然产生的两相介质的体极化：由岩石固相骨架与充满空隙空间的液相接触处的电荷自然产生的激发极化，是在人工电场作用下产生的极化。
有限差分法基本原理
有限差分法基本原理有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，通过对差分方程进行数值求解，得到问题的数值解。
首先，有限差分法将求解区域划分为一个个小网格。
通常使用矩形网格（二维）或立方体网格（三维），这些小网格称为离散点。
每个离散点上的函数值表示在该点处的近似解。
然后，将偏微分方程中的导数用差商来代替。
对于一阶导数，可以使用中心差商、前向差商或后向差商等。
中心差商是最常用的一种，它使用左右两个离散点的函数值来逼近导数的值。
例如，对于一维情况下的导数，中心差商定义为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)其中，h表示网格的步长。
通过调整步长h的大小，可以控制逼近的精度。
对于高阶导数，可以使用更复杂的差分公式。
例如，对于二阶导数，可以使用中心差商的差商来逼近。
具体公式为：f''(x)≈(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2通过将导数用差商代替，将偏微分方程转化为差分方程。
例如，对于二维泊松方程：∇²u(x,y)=f(x,y)其中，∇²表示拉普拉斯算子。
u(i,j)=1/4[u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)]-h²/4*f(i,j)其中，u(i,j)表示离散点(i,j)处的近似解，f(i,j)表示离散点(i,j)处的右端项。
最后，通过求解差分方程，得到问题的数值解。
可以使用迭代方法，例如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法或SOR迭代法等，来求解差分方程。
迭代过程通过更新离散点上的函数值，直到满足收敛条件或达到指定的迭代次数。
总结来说，有限差分法通过将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，然后通过数值求解差分方程，得到问题的近似解。
它是一种简单且高效的数值计算方法，广泛应用于科学计算、工程计算和物理仿真等领域。
”有限差分”是什么意思？
”有限差分”是什么意思？有限差分是一种数值计算方法，主要应用于求解偏微分方程。
它通过将连续的区域离散化成有限个网格节点，并利用差分近似公式来计算节点上的函数值，从而将连续的问题转化为离散的问题。
有限差分方法在科学计算、工程模拟等领域中得到了广泛的应用。
有限差分方法的基本原理是利用差商近似导数。
它将所求函数在离散的网格节点上进行逼近，通过近似求解差分方程，得到网格节点上的函数近似解。
具体而言，有限差分方法将求解区域划分为网格，每个网格节点上的函数值通过近似计算得到。
在计算过程中，需要选择适当的差分格式和网格节点布置方式，以保证数值解的精度和稳定性。
有限差分方法的优点是简单、直观，并且易于实现。
它可以处理各种不规则和复杂的几何形状，并且具有较好的数值稳定性和收敛性。
有限差分方法可以用于求解各种偏微分方程，如抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程等。
在工程实践中，有限差分方法被广泛应用于流体力学、结构力学、热传导等领域的数值模拟与分析中。
总结起来，有限差分是一种数值计算方法，适用于求解偏微分方程。
它通过将连续的问题离散化，利用差分近似公式来计算节点上的函数值。
有限差分方法简单实用，广泛应用于科学计算和工程模拟中。
下面是有限差分方法的几个主要特点和应用领域：1. 数值稳定性：有限差分方法对于一些非线性和刚性问题具有较好的数值稳定性。
通过选取合适的差分格式和网格布置方式，可以得到稳定的数值解。
2. 收敛性：有限差分方法具有较好的收敛性，即当网格节点无限细化时，数值解趋近于解析解。
因此，有限差分方法可以提供精确的数值模拟结果。
3. 多物理场耦合：有限差分方法可以方便地处理多物理场耦合问题。
通过将多个物理场的方程进行耦合，可以模拟更加真实的物理现象。
4. 高维问题：有限差分方法可以处理高维问题。
对于高维空间中的偏微分方程，有限差分方法能够提供有效的数值计算途径。
5. 并行计算：有限差分方法可以方便地进行并行计算。
地下水数值模拟03_有限差分法
试研究含水层的水头分布。
T
2H x2
*
H t
H (x,t) t0 H0 (x)
H (x,t)
x0
0 (t)
H (x,t) xL L (t)
T
hk i 1
2hik (x)2
hk i 1
=
*
hk 1 i
hik
t
截断误差为：O([Δx]2)+O(Δt)
整理得：
定义
Tt
* (x) 2
Tt
* (x) 2
hk i 1
2hik
hk i 1
hk 1 i
hik
hik 1 hik1 (1 2 )hik hik1
导数可以利用一阶、二阶导数的差商代替，由于一阶导数 可以有三种差商表示，因此分别对水头关于时间的导数项分 别运用前差、后差、中心差将得到三种差分格式。
显式有限差分 ← 前差
隐式有限差分 ← 后差
中心式有限差分 ← 中心差
一、一维显式有限差分格式
T
2H x 2
* H
t
向前差分
(i,k+1) (i-1,k) (i,k) (i+1,k)
收敛性：如果在△x, △t取得充分小时，差分方程的解和微 分方程的解析解很接近，便说这种差分格式是收敛的。
稳定性：差分计算时，每一步都有舍入误差，随着计算 时间或计算次数的增加，累积误差逐渐减小，以至于不 影响计算结果，那么这种差分格式便是稳定的。
单芯电力电缆导体温度的计算方法与发展
单芯电力电缆导体温度的计算方法与发展周天鸿（东北电力大学，吉林省吉林市 132012）摘 要：单芯电力电缆运行时，导体温度不能超过绝缘材料的长期允许最高工作温度，才能使电缆长期的安全可靠、经济合理地运行；电力电缆的载流量因受敷设方式、运行条件和周围环境等因素的影响而不易确定，准确计算各种复杂条件下电缆的载流量，对确保电缆的安全、经济运行具有重要的意义。
本文介绍了电力电缆载流量计算的数值法与热路模型的发展过程，首先介绍了四种主要的数值计算方法（有限差分法、边界元法、有限元法和有限容积法）在电缆载流量计算中的应用，并对这四种数值计算法的特点进行了论述。
其次介绍了IEC标准及热路方法模型。
最后对近二年提出的新方法进行了详细的比较与概括。
关键词：电力电缆；温度场；载流量；数值计算；热路模型0 引言随着城市电网建设中电力电缆的应用日益广泛，其敷设方式和敷设条件日益复杂，影响电缆温度场分布的因素也逐渐增多。
电缆的温度能够比较准确及时的反应电缆载流量及绝缘情况[1]，精确计算电缆的温度场对提高电缆应用的经济性具有重要意义。
目前国内外对于电缆温度的分析计算主要采用两种方法，一种是数值计算方法，即在给定敷设环境条件以及电缆参数的前提下，用温度场分布来分析电缆周围的温度情况，根据实际情况确定电缆区域的温度场分布。
该方法的求解思想是把原来的空间与时间坐标中连续的物理量的场（如浓度场、速度场、温度场等），用一系列有限个离散点（即节点）上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点上变量之间关系的代数方程，即离散方程，求解所建立起来的代数方程并求解，以获得所求解变量的近似值。
目前常用的数值方法主要有边界元法、有限元法、有限差分法以及有限容积法等。
而另一种是热路分析法。
此种方法基于IEC-60287标准中的相应公式以及电缆稳态热路，假定外部环境条件恒定，单芯电缆在额定载流量下持续运行时，导体、绝缘、金属护套、外护层等各部分都将产生损耗，发出热量而形成稳态温度场。
差分方法基础
第二讲 有限差分法基本原理一般的流体控制方程都是非线性的偏微分方程。
在绝大多数情况下，这些偏微分方程无法得到精确解；而CFD 就是通过采用各种计算方法得到这些偏微分方程的数值解，或称近似解。
当然这些近似解应该满足一定的精度。
目前，主要采用的CFD 方法是有限差分法和有限体积法。
本讲主要介绍有限差分法，它也是下一讲中的有限体积法的基础[1]。
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。
求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。
2.1 差分和逼近误差由于通常数字计算机只能执行算术运算和逻辑运算，因此就需要一种用算术运算来处理函数微分运算的数值方法。
而有限差分法就是用离散网格点上的函数值来近似导数的一种方法。
设有x 的解析函数)(x f y =，从微分学知道函数y 对x 的导数为 xx f x x f x y dx dy x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim 00 （2-1） dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dx dy /是函数对自变量的导数，又称微商。
相应地，上式中的x ∆、y ∆分别称为自变量及函数的差分，x y ∆∆/为函数对自变量的差商。
在导数的定义中x ∆是以任意方式逼近于零的，因而x ∆是可正可负的。
在差分方法中，x ∆总是取某一小的正数。
这样一来，与微分对应的差分可以有三种形式：向前差分 )()(x f x x f y -∆+=∆向后差分 )()(x x f x f y ∆--=∆中心差分 )21()21(x x f x x f y ∆--∆+=∆上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。
对一阶差分再作一阶差分，就得到二阶差分，记为y 2∆。
物理力学波动方程数值解方法比较分析
物理力学波动方程数值解方法比较分析物理力学波动方程是描述波动现象的重要方程之一。
在实际问题求解中，使用数值方法对波动方程进行求解是一种常见的方法。
本文将比较分析物理力学波动方程的几种常用数值解方法，包括有限差分法、有限元法和谱方法，并探讨它们的优缺点和适用范围。
1. 有限差分法有限差分法是最常用的数值解法之一，通过将连续的波动方程离散化为差分方程来逼近波动方程的解。
在有限差分法中，将空间和时间进行离散，然后使用差分近似替代导数运算。
通过构建离散模型，可以将波动方程的求解问题转化为一个线性代数方程组的求解问题。
有限差分法在计算机实现方面相对简单，容易理解和实现。
然而，由于差分离散化会引入一定的数值误差，特别是对于高频振动的情况下，有限差分法可能产生数值耗散和数值发散的问题。
2. 有限元法有限元法是一种广泛应用的数值解法，适用于非结构化网格和复杂几何形状。
在有限元法中，将波动方程的解空间进行离散化，并使用一组有限元基函数对解进行近似表示。
通过引入节点、单元和自由度等概念，可以将波动方程的解转换为一个线性代数方程组，进而求解得到数值解。
有限元法具有较高的精度和灵活性，能够处理复杂的边界条件和几何形状，适用于各种问题。
然而，有限元法在计算量上相对较大，需要对网格进行剖分，求解方程组的代价较高。
3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值解法。
在谱方法中，将波动方程的解按照一组正交函数（通常是傅里叶基函数）展开，通过确定系数来逼近解的精确值。
谱方法具有较高的精度和收敛性，对于光滑解和高频振动的情况下表现良好。
然而，谱方法的适用范围相对较窄，对于非光滑解和边界条件的处理较为困难，且对于复杂几何形状存在一定的挑战。
总的来说，三种方法各有优缺点，适用于不同的物理力学波动方程问题。
有限差分法在简单问题上适用性较好且易于实现，有限元法适用于处理复杂几何形状和各种边界条件，谱方法能够提供高精度的数值解。
在实际应用中，根据问题的特点和求解要求，可以选择合适的数值解法。
广义有限差分法在静态电磁场计算中的应用
广义有限差分法在静态电磁场计算中的应用
广义有限差分法（GFDM）是一种新型的数值计算方法，主要应用于
静态电磁场计算中。
该方法对于复杂的电磁场问题，能够得出精确的解，具有广泛的应用前景。
以下是GFDM在静态电磁场计算中的应用：
一、基本原理
广义有限差分法是一种有限元法的变种，它利用偏微分方程的基本原理，将电磁场问题分离成边值问题和内部问题。
利用一定的分割方式，将求解区域离散化成有限个点和单元，然后在每个点和单元上建立方
程组，通过求解这些方程组得出电磁场的数值解。
二、优点
广义有限差分法是一种非常有效的数值计算方法，主要具有以下优点：
1. 适用范围广：该方法在静态电磁场解析计算中理论基础扎实，适用
范围广泛，尤其是对于非线性场问题求解技术得到了广泛关注。
2. 求解精度高：该方法可以精确地计算电磁场的各种特性参数，因此
在研究电磁现象的过程中具有很高的应用价值。
3. 适用于非均质和多介质场：该方法适用于复杂的非均质和多介质场问题的求解，可以得出比传统计算方法更为准确的解。
三、应用场景
广义有限差分法主要应用于电磁场中的各种非线性问题的求解，这些问题常常与材料的磁滞、导电、热效应等有关。
同时，该方法还广泛应用于计算机模拟和电磁兼容等领域。
四、结论
总的来说，广义有限差分法是一种非常有效的数值计算方法，在静态电磁场中得到了广泛的应用。
它能够对电磁场中的各种复杂问题进行精确的计算，并有很高的应用价值。
在未来的科学研究中，该方法将得到更广泛的应用。
中心差分法
有限差分法
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构 成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点； 把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上 定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条 件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似， 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数 方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以 得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插 值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域 上的近似解。
有限差分法基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替
中心差分法
北京交通大学
一、方法来源
在求解结构动力方程的过程中，我们经常会用到 Fourier变换或者Duhamel积分，但是这两种方法 在使用的过程中都使用了叠加，因此这两种方法 都不适用于非线性反应分析，而实际上，强烈地 震作用往往会使结构出现非弹性变形，所以产生 了逐步法这一第二种动力分析的方法，而有限差 分法就是其中一种。
(2M Ch)V1 (4M 2h2K )V0 (2M Ch)v1 2P0h2
同理可得：
(2M Ch)Vi1 (4M 2h2K )Vi (2M Ch)Vi1 2P0h2
Vi
1
1 h2
(Vi1
2Vi
Vi1)
Vi
1 2h
(Vi1
二、基本原理
中心差分法：首先对整个动力过程进行分段， 然后写出某一时刻的动力平衡方程：
mv0 cv0 kv0 p0
将加速度和速度近似表达：
v0
1 h2
(v1
2v0
v1 )
v0
1 2h
差分数原理
差分数原理差分数原理是微积分中一个非常重要的概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
差分数的概念最早可以追溯到17世纪，由牛顿和莱布尼兹独立发现并建立微积分学。
差分数原理是微积分的基础，它描述了函数在某一点的瞬时变化率，也就是导数的概念。
在现代科学和工程领域，差分数原理被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，是一种非常重要的数学工具。
在微积分中，我们经常遇到一些变化的量，比如速度、加速度、温度变化率等。
这些变化的量都可以用差分数来描述。
差分数的基本概念是极限，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。
具体来说，如果函数f(x)在点x处可导，那么它在该点的导数就是差分数。
导数表示了函数在该点的瞬时变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
通过导数，我们可以研究函数的增减性、凹凸性，以及函数在某一点的变化趋势。
差分数原理在物理学中有着广泛的应用。
比如在运动学中，速度和加速度都是一种变化的量，它们的变化率可以通过差分数来描述。
在工程学中，差分数原理被应用于控制系统、信号处理、通信系统等领域。
在经济学中，差分数原理被用来描述价格变化率、产量变化率等经济指标。
可以说，差分数原理贯穿了现代科学和工程的方方面面，是一种非常重要的数学工具。
在实际应用中，我们经常需要通过差分数来研究函数的性质和变化规律。
比如在物理学中，我们可以通过速度的差分数来研究物体的运动规律；在工程学中，我们可以通过信号的差分数来设计滤波器和控制系统；在经济学中，我们可以通过价格的差分数来研究市场的供求关系。
差分数原理为我们提供了一种强大的工具，帮助我们更好地理解和解释现实世界中的各种变化规律。
总之，差分数原理是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率，是一种非常重要的数学工具。
差分数原理在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用，是现代科学和工程中不可或缺的一部分。
通过差分数原理，我们可以更好地理解和解释现实世界中的各种变化规律，为科学研究和工程应用提供了强大的数学支持。
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x T 12x 4 i
2 4
n
O ( t 2 , x 2 ) i
n
上式中的 ET 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误 差。显然 ET与 x 、 t 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有 限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应 的偏微分方程是相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 x 、 t 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解 就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义!
t n 1 n (in 1 in 1 ) i i 2x i0 ( xi )
观察上述差分格式可看出：若知道第 n 层的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 1 层的 ，故称这类格式 为显式格式。
显式有限差分模板：
时间推进：
例 考虑长度为1的均匀 直杆，其表面是绝热的， 而且杆截面足够细，可 以把断面上的所有点的温度看成是相同的。x 轴取为沿 x 杆轴方向， 0, x 1 对应杆的端点，则杆内温度分布 T ( x, t ) 随时间变化由下面的扩散方程来描述：
热传导方程：
2 t x 2
Poisson方程：
f 2 2 x y
2 2
Laplace方程：
2 0 2 x y
2 2
差分方程的建立过程
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0 t x ( x ,0 ) ( x )
2.收敛性
收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问
题。如果在求解区域中的任一离散点 ( x, t ) 上，当网格步长 x、 t
趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有 限差分方程的解是收敛的。
T (i, n)
x 0 , t 0
lim
Ti t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
流体的控制方程
Du p u 2 u v w u 2 V y x z Dt x x x 3 y x z w v Dv p u v v 2 2 V y x y y 3 z y z Dt y x
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
n
O ( t 2 , x 4 ) i
n
上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差 分方程的修正方程式。
T 2T ET 2 t x t T ET 2t 2
3.稳定性
稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，
因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其
他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Dw p w u v w w 2 2 V Dt w x x z y z y z z 3
数值离散概述
T 2T t x 2 T ( x,0) 0 T (0, t ) 100 T (1, t ) 100
时间导数用一阶向前差商近似代替：
Ti n1 Ti n T t t i
n
空间导数用二阶中心差商近似代替：
有限差分法基本原理
流体的控制方程
u u u u p u v w 0 t x y z x v v v v p u v w 0 t x y z y w w w w p u v w 0 t x y z z
差分方程的建立过程
1.划分网格
选定步长 x 和 t ，然后在坐标平面用平行于坐标轴 的两族直线划分网格： xi x0 ix, i 0, 1, 2, ...,
tn nt n 0, 1, 2, ...,
2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 ( xi , tn )点为
差分法的基本理论
1.相容性
t n n Ti Ti (Ti 1 2Ti n Ti 1 ) x 2 上例中，令 T (i, n) 表示差分方程的精确解．利用Taylor级数将
n 1 n
上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得
T 2T ET 2 t x t 2T ET 2t 2 x 2 4T 12x 4 i
差分和逼近误差
差分的三种形式（一阶）： y f ( x x) f ( x) 向前差分 向后差分
y f ( x) f ( x x) y f ( x x) f ( x x)
中心差分
与其对应的差商的三种形式（一阶）： y f ( x x ) f ( x ) 向前差商 x x y f ( x ) f ( x x ) 向后差商 x x y f ( x x) f ( x x) 中心差商 x 2x
差分和逼近误差
由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
差分和逼近误差
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
差分和逼近误差
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。 由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
x
0.1
0 100 0 200
0.2
0 0 100 -100 0 0 0
0.3
0.4
0 0 0 0
0.5
0 0 0 0
0.6
0 0 0 0
0.7
0 0 0 100
0.8
0 0 100 -100 0
0.9
1.0
100 100 100 100
0.5
100 100 100
100 0 200
1.0
1.5
100
离散网格点
差分和逼近误差
差分概念： 设有 x 的解析函数 y f (x)，函数 y 对 x 的导数
为：
dy y f ( x x) f ( x) lim lim x 0 x x 0 dx x dy dy、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数对 自变量的导数，又称微商。上式中的y、x 分别称为 函数及其自变量的差分， y 为函数对自变量的差商。 x
in 1 in 1 2x x i
n
则对流方程在 ( xi , tn ) 点对应的差分方程为
in 1 in
t
in 1 in 1
2x
0
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
n n Ti*n1 ST*1 (1 2S )T *n ST*1 i i i
in1 S ni 1 (1 2S ) ni S ni 1
上式称为误差传播方程。
x等价定理
对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容 的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最 基本的定律。 适用条件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值；
T x 2
2 n n Ti 1 2Ti n Ti 1 x 2 i n
Ti
n 1
t n n Ti (Ti 1 2Ti n Ti 1 ) x 2
n
取 102 , x 0.1, t 0.5 ，则最终的差分方程：
0.6
0 0 0 0 6.25 6.25
0.7
0 0 0 12.5 12.5 21.9
0.8
0 0 25 25 37.5 37.5 0
0.9 1.0
100 100 100 100 100 100
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
100
100 100 100 100 100
50 50 62.5 62.5 68.8
Hale Waihona Puke 有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先 将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连 续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相 应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的 差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差 分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格 点上流动变量的数值解。
Ti
n 1
1 n n (Ti 1 Ti 1 ) 2
显式有限差分模板：
t T 0.0 0.0 100
x
0.1
0 50 50 62.5 62.5 68.8
0.2
0 0 25 25 37.5 37.5 0 0 0
0.3 0.4
0 0 0 0 6.25 6.25
0.5
0 0 0 0 0 6.25