有限差分法基本原理-较好
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n n Ti*n1 ST*1 (1 2S )T *n ST*1 i i i
in1 S ni 1 (1 2S ) ni S ni 1
上式称为误差传播方程。
4.Lax等价定理
对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容 的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最 基本的定律。 适用条件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值；
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先 将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连 续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相 应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的 差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差 分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格 点上流动变量的数值解。
差分和逼近误差
差分的三种形式（一阶）： y f ( x x) f ( x) 向前差分 向后差分
y f ( x) f ( x x) y f ( x x) f ( x x)
中心差分
与其对应的差商的三种形式（一阶）： y f ( x x ) f ( x ) 向前差商 x x y f ( x ) f ( x x ) 向后差商 x x y f ( x x) f ( x x) 中心差商 x 2x
2.收敛性
收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问
题。如果在求解区域中的任一离散点 ( x, t ) 上，当网格步长 x、 t
趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有 限差分方程的解是收敛的。
T (i, n)
x 0 , t 0
lim
Ti t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
0.6
0 0 0 0 6.25 6.25
0.7
0 0 0 12.5 12.5 21.9
0.8
0 0 25 25 37.5 37.5 0
0.9 1.0
100 100 100 100 100 100
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
100
100 100 100 100 100
50 50 62.5 62.5 68.8
t n 1 n (in 1 in 1 ) i i 2x i0 ( xi )
观察上述差分格式可看出：若知道第 n 层的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 1 层的 ，故称这类格式 为显式格式。
显式有限差分模板：
时间推进：
例 考虑长度为1的均匀 直杆，其表面是绝热的， 而且杆截面足够细，可 以把断面上的所有点的温度看成是相同的。x 轴取为沿 x 杆轴方向， 0, x 1 对应杆的端点，则杆内温度分布 T ( x, t ) 随时间变化由下面的扩散方程来描述：
T 2T t x 2 T ( x,0) 0 T (0, t ) 100 T (1, t ) 100
时间导数用一阶向前差商近似代替：
Ti n1 Ti n T t t i
n
空间导数用二阶中心差商近似代替：
n
O ( t 2 , x 4 ) i
n
上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差 分方程的修正方程式。
T 2T ET 2 t x t T ET 2t 2
热传导方程：
2 t x 2
Poisson方程：
f 2 2 x y
2 2
Laplace方程：
2 0 2 x y
2 2
差分方程的建立过程
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0 t x ( x ,0 ) ( x )
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于 复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程： 对流方程： 0 t x
2 2 对流－扩散方程： t x x
离散网格点
差分和逼近误差
差分概念： 设有 x 的解析函数 y f (x)，函数 y 对 x 的导数
为：
dy y f ( x x) f ( x) lim lim x 0 x x 0 dx x dy dy、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数对 自变量的导数，又称微商。上式中的y、x 分别称为 函数及其自变量的差分， y 为函数对自变量的差商。 x
2
x T 12x 4 i
2 4
n
O ( t 2 , x 2 ) i
n
上式中的 ET 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误 差。显然 ET与 x 、 t 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有 限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应 的偏微分方程是相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 x 、 t 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解 就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义!
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
in 1 in 1 2x x i
n
则对流方程在 ( xi , tn ) 点对应的差分方程为
in 1 in
t
in 1 in 1
2x
0
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
x
0.1
0 100 0 200
0.2
0 0 100 -100 0 0 0
0.3
0.4
0 0 0 0
0.5
0 0 0 0
0.6
0 0 0 0
0.7
0 0 0 100
0.8
0 0 100 -100 0
0.9
1.0
100 100 100 100
0.5
100 100 100
100 0 200
1.0
1.5
100
差分方程的建立过程
1.划分网格
选定步长 x 和 t ，然后在坐标平面用平行于坐标轴 的两族直线划分网格： xi x0 ix, i 0, 1, 2, ...,
tn nt n 0, 1, 2, ...,
2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 ( xi , tn )点为
T x 2
2 n n Ti 1 2Ti n Ti 1 x 2 i n
Ti
百度文库
n 1
t n n Ti (Ti 1 2Ti n Ti 1 ) x 2
n
取 102 , x 0.1, t 0.5 ，则最终的差分方程：
有限差分法基本原理
流体的控制方程
u u u u p u v w 0 t x y z x v v v v p u v w 0 t x y z y w w w w p u v w 0 t x y z z
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
Ti
n 1
t t n n n Ti (Ti 1 2Ti Ti 1 ), S 2 x x 2
n
n n Ti n1 ST 1 (1 2S )Ti n ST 1 i i
n *n 上式中 Ti 为差分方程的精确解,如果令 T i 为差分方程的近似数值 解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程：
12.5 12.5 21.9
68.8
45.3
21.9
14.1
6.25
14.1
21.9
45.3
68.8
100
如仍取 102 , x 0.1, 而为缩短计算时间，时间 步长 取 t 1.0 ，则最终的差分方程：
n n Ti n1 Ti 1 Ti n Ti 1
t T 0.0 0.0 100
0 t i x i
n n
t
x
t n 1 tn t n 1
t
x o
xi 1 xi xi 1
时间导数用一阶向前差商近似代替：
in1 in t t i
n
空间导数用一阶中心差商近似代替：
流体的控制方程
Du p u 2 u v w u 2 V y x z Dt x x x 3 y x z w v Dv p u v v 2 2 V y x y y 3 z y z Dt y x
差分法的基本理论
1.相容性
t n n Ti Ti (Ti 1 2Ti n Ti 1 ) x 2 上例中，令 T (i, n) 表示差分方程的精确解．利用Taylor级数将
n 1 n
上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得
T 2T ET 2 t x t 2T ET 2t 2 x 2 4T 12x 4 i
Dw p w u v w w 2 2 V Dt w x x z y z y z z 3
数值离散概述
3.稳定性
稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，
因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其
他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
差分和逼近误差
由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
差分和逼近误差
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
差分和逼近误差
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。 由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
Ti
n 1
1 n n (Ti 1 Ti 1 ) 2
显式有限差分模板：
t T 0.0 0.0 100
x
0.1
0 50 50 62.5 62.5 68.8
0.2
0 0 25 25 37.5 37.5 0 0 0
0.3 0.4
0 0 0 0 6.25 6.25
0.5
0 0 0 0 0 6.25
in1 S ni 1 (1 2S ) ni S ni 1
上式称为误差传播方程。
4.Lax等价定理
对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容 的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最 基本的定律。 适用条件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值；
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先 将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连 续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相 应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的 差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差 分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格 点上流动变量的数值解。
差分和逼近误差
差分的三种形式（一阶）： y f ( x x) f ( x) 向前差分 向后差分
y f ( x) f ( x x) y f ( x x) f ( x x)
中心差分
与其对应的差商的三种形式（一阶）： y f ( x x ) f ( x ) 向前差商 x x y f ( x ) f ( x x ) 向后差商 x x y f ( x x) f ( x x) 中心差商 x 2x
2.收敛性
收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问
题。如果在求解区域中的任一离散点 ( x, t ) 上，当网格步长 x、 t
趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有 限差分方程的解是收敛的。
T (i, n)
x 0 , t 0
lim
Ti t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
0.6
0 0 0 0 6.25 6.25
0.7
0 0 0 12.5 12.5 21.9
0.8
0 0 25 25 37.5 37.5 0
0.9 1.0
100 100 100 100 100 100
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
100
100 100 100 100 100
50 50 62.5 62.5 68.8
t n 1 n (in 1 in 1 ) i i 2x i0 ( xi )
观察上述差分格式可看出：若知道第 n 层的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 1 层的 ，故称这类格式 为显式格式。
显式有限差分模板：
时间推进：
例 考虑长度为1的均匀 直杆，其表面是绝热的， 而且杆截面足够细，可 以把断面上的所有点的温度看成是相同的。x 轴取为沿 x 杆轴方向， 0, x 1 对应杆的端点，则杆内温度分布 T ( x, t ) 随时间变化由下面的扩散方程来描述：
T 2T t x 2 T ( x,0) 0 T (0, t ) 100 T (1, t ) 100
时间导数用一阶向前差商近似代替：
Ti n1 Ti n T t t i
n
空间导数用二阶中心差商近似代替：
n
O ( t 2 , x 4 ) i
n
上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差 分方程的修正方程式。
T 2T ET 2 t x t T ET 2t 2
热传导方程：
2 t x 2
Poisson方程：
f 2 2 x y
2 2
Laplace方程：
2 0 2 x y
2 2
差分方程的建立过程
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0 t x ( x ,0 ) ( x )
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于 复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程： 对流方程： 0 t x
2 2 对流－扩散方程： t x x
离散网格点
差分和逼近误差
差分概念： 设有 x 的解析函数 y f (x)，函数 y 对 x 的导数
为：
dy y f ( x x) f ( x) lim lim x 0 x x 0 dx x dy dy、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数对 自变量的导数，又称微商。上式中的y、x 分别称为 函数及其自变量的差分， y 为函数对自变量的差商。 x
2
x T 12x 4 i
2 4
n
O ( t 2 , x 2 ) i
n
上式中的 ET 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误 差。显然 ET与 x 、 t 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有 限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应 的偏微分方程是相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 x 、 t 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解 就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义!
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
in 1 in 1 2x x i
n
则对流方程在 ( xi , tn ) 点对应的差分方程为
in 1 in
t
in 1 in 1
2x
0
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
x
0.1
0 100 0 200
0.2
0 0 100 -100 0 0 0
0.3
0.4
0 0 0 0
0.5
0 0 0 0
0.6
0 0 0 0
0.7
0 0 0 100
0.8
0 0 100 -100 0
0.9
1.0
100 100 100 100
0.5
100 100 100
100 0 200
1.0
1.5
100
差分方程的建立过程
1.划分网格
选定步长 x 和 t ，然后在坐标平面用平行于坐标轴 的两族直线划分网格： xi x0 ix, i 0, 1, 2, ...,
tn nt n 0, 1, 2, ...,
2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 ( xi , tn )点为
T x 2
2 n n Ti 1 2Ti n Ti 1 x 2 i n
Ti
百度文库
n 1
t n n Ti (Ti 1 2Ti n Ti 1 ) x 2
n
取 102 , x 0.1, t 0.5 ，则最终的差分方程：
有限差分法基本原理
流体的控制方程
u u u u p u v w 0 t x y z x v v v v p u v w 0 t x y z y w w w w p u v w 0 t x y z z
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
Ti
n 1
t t n n n Ti (Ti 1 2Ti Ti 1 ), S 2 x x 2
n
n n Ti n1 ST 1 (1 2S )Ti n ST 1 i i
n *n 上式中 Ti 为差分方程的精确解,如果令 T i 为差分方程的近似数值 解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程：
12.5 12.5 21.9
68.8
45.3
21.9
14.1
6.25
14.1
21.9
45.3
68.8
100
如仍取 102 , x 0.1, 而为缩短计算时间，时间 步长 取 t 1.0 ，则最终的差分方程：
n n Ti n1 Ti 1 Ti n Ti 1
t T 0.0 0.0 100
0 t i x i
n n
t
x
t n 1 tn t n 1
t
x o
xi 1 xi xi 1
时间导数用一阶向前差商近似代替：
in1 in t t i
n
空间导数用一阶中心差商近似代替：
流体的控制方程
Du p u 2 u v w u 2 V y x z Dt x x x 3 y x z w v Dv p u v v 2 2 V y x y y 3 z y z Dt y x
差分法的基本理论
1.相容性
t n n Ti Ti (Ti 1 2Ti n Ti 1 ) x 2 上例中，令 T (i, n) 表示差分方程的精确解．利用Taylor级数将
n 1 n
上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得
T 2T ET 2 t x t 2T ET 2t 2 x 2 4T 12x 4 i
Dw p w u v w w 2 2 V Dt w x x z y z y z z 3
数值离散概述
3.稳定性
稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，
因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其
他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
差分和逼近误差
由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
差分和逼近误差
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
差分和逼近误差
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。 由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
Ti
n 1
1 n n (Ti 1 Ti 1 ) 2
显式有限差分模板：
t T 0.0 0.0 100
x
0.1
0 50 50 62.5 62.5 68.8
0.2
0 0 25 25 37.5 37.5 0 0 0
0.3 0.4
0 0 0 0 6.25 6.25
0.5
0 0 0 0 0 6.25