控制系统工程设计第2章
控制工程基础第二章参考答案
第二章 参考答案2-1 （1） 不是 （2） 是 （3） 不是 （4） 不是 2-2 (a))()()(3)(2222t u t u dtt du RC dt t u d C R i o o o =++ (b) )()()()()()()()(2211222121222111222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (c ) )()()()()()(33221312221t u R dtt du C R R t u R R dt t du C R R R R R i i o o +=++++(d))()()()()()()()(1211222121211211222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (e))()()()()()()()(221222121211222222121t u dtt du R C C dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (f) )()()()()()()(22121221t u R dtt du L t u R R dt t du L C R R dt t u d CL R i i oo o +=++++ 2-3 (a) )]()([)()()(23213121t u R dtt du C R R t u R dt t du C R R R R i i o o +=++－(b) )()()()(4141232022213210t u R R t u R R dt t du C R R R dt t u d C C R R R R i o o o －=++ (c))]()()([)(32321t u R R dtt du C R R t u R i i o ++=－(d) )()()()()(221122212121t u dt t du C R C R dt t u d C C R R dt t du C R i i i o +++=－ (e) )()()()(2412222142t u dtt du C R C R dt t u d C C R R o o o +++ )}()(])([)({21213224223221432132t u dtt du R R C C R R C R dt t u d R R C C R R R R R R i i i +++++++=－ 2-4 (a) dt t dx f dt t dx f f dt t x d m i o o )()()()(12122=++ (b) dt t dx f k t x k k dt t dx f k k i o o )()()()(12121=++ (c) )()()()()(121t x k dt t dx f t x k k dt t dx f i i o o +=++ (d) )()()()()()(112121t x k dtt dx f t x k k dt t dx f f i i o o +=+++2-5 (a))(1)()()()(1)()()(2112212221211*********t u C C dt t du C R C R dt t u d R R t u C C dt t du C R C R C R dt t u d R R i i i o o o +++=++++ (b))()()()()()()()(2112212221211211212221t x k k dtt dx k f k f dt t x d f f t x k k dt t dx k f k f k f dt t x d f f i i i o o o +++=++++ 由(a)(b)两式可以看出两系统具有相同形式的微分方程，所以(a)和(b)是相似系统。
控制工程基础第2章
传递函数
线性定常系统在零初始条件下，系 统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变 换之比。
拉氏变换的性质
2、延迟定理 若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，则对任一
正实数a有
L[ f (t a)] easF(s)
说明：当 t<0时，f(t)=0， f(t-a) ：延时函数，表示f(t)延迟时间a。
拉氏变换的性质
3、复数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s)，对于任
一常数a（实数或复数），有
（2）基尔霍夫电压定律：电网络的闭合回路 中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。
典型元件所遵循的物理定律
➢ 电阻
➢ 电感 ➢ 电容
例
L
ui i
R
C uo
ui
(i)
Ri(t)
L
d dt
i(t)
uo
(i)
i(t)
C
d dt
uo
(t)
LC
d2 dt 2
u0
(t)
RC
d dt
u0
(t)
u0
(t
)
ui
F(s)
s2
s
3 3s
2
s
k1
1
s
k2
2
k1
s2
s3 3s
2
(s
1)
s1
2
k2
s2
s3 3s
2
(s
2)
s2
1
F(s) 2 1 s1 s 2
f (t) 2et e2t
2、F(s)有重极点的情况
设F(s)有r个重极点p1，其余极点均不相同，则
F(s)
B(s) A(s)
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
控制工程基础6-第2章 (数学模型-4：信号流图及梅逊公式)
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
机械工程控制基础课件 第2章： 系统的数学模型
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
控制工程基础 清华大学 董景新 第二章 控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型
数学模型是描述物理系统的运动规律、特性 和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态） 时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学 关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过 去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是 代数式，数学表达式中不含有时间变量。
控制工程基础
（第二章）
清华大学
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
控制系统的动态数学模型
基本环节数学模型 数学模型的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数以及典型环节的传递函数 系统函数方块图及其简化 系统信号流图及梅逊公式 受控机械对象数学模型 绘制实际机电系统的函数方块图 状态空间方程
式中， a1 , a2 是常值，可由以下步骤求得 将上式两边乘 s j s j , 两边同 时令s j（或同时令s j ）， 得
a1s a2 s j X s s j s j s j
s3 例 试求 X s 2 s 3s 2
的拉氏反变换。
s 3 解： X s 2 s 3s 2 s3 s 1s 2 a1 a2 s 1 s 2
s3 a1 s 1 2 s 1s 2 s 1 s3 a2 s 2 1 s 1s 2 s 2 2 1 X s s 1 s 2 t 2t xt 2e e 1t
T st
2T T
xt e
st
n 1T dt
《控制工程基础》第二章
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
控制工程基础第二章-3
Uo ( s ) R2 G( s ) K Ui ( s ) R1
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T xo ( t ) xo ( t ) Kxi ( t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
Xo( s ) K G( s ) X i ( s ) Ts 1
运动方程为：
式中，T—微分环节的时间常数
在物理系统中微分环节不独立存在，而是和 其它环节一起出现。
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
无源微分网络
1 ui ( t ) i ( t )dt i ( t )R C uo ( t ) i ( t )R
RCs Ts G( s ) , T RC RCs 1 Ts 1
G( s ) K 1 C , T Cs K Ts 1 K
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
微分环节 输出量正比于输入量的微分。
dx i (t ) x o (t ) T dt X o ( s) 传递函数为： G ( s) Ts X i ( s)
t
0
xi ( t )dt
传递函数为： G( s )
Xo( s ) 1 X i ( s ) Ts
式中，T—积分环节的时间常数。
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
积分环节特点：
.输出累加特性； .输出的滞后作用； .记忆功能。
如当输入量为常值 A 时，由于：
1 t 1 xo (t ) 0 Adt At T T
机械控制工程基础第二章系统的数学模型
机械控制⼯程基础第⼆章系统的数学模型基本要求、重点和难点⼀、基本要求（1）了解数学模型的基本概念。
能够运⽤动⼒学、电学及专业知识，列写机械系统、电⼦⽹络的微分⽅程。
（2）掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放⼤系数。
（3）能够⽤分析法求系统的传递函数。
（4）掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
（5）了解传递函数⽅框图的组成及意义；能够根据系统微分⽅程，绘制系统传递函数⽅框图，并实现简化，从⽽求出系统传递函数。
（6）掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握⼲扰作⽤下，系统的输出及传递函数的求法和特点。
（7）了解相似原理的概念。
（8）了解系统的状态空间表⽰法，了解MATLAB中，数学模型的⼏种表⽰法。
⼆、本章重点（1）系统微分⽅程的列写。
（2）传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数。
（3）传递函数⽅框图的绘制及简化。
三、本章难点（1）系统微分⽅程的列写。
（2）传递函数⽅框图的绘制及简化。
概述系统按其微分⽅程是否线性这⼀特性，可以分为线性系统和⾮线性系统。
如果系统的运动状态能⽤线性微分⽅程表⽰，则此系统为线性系统。
线性系统的⼀个最重要的特性就是满⾜叠加原理。
线性系统⼜可分为线性定常系统和线性时变系统。
系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
对于同⼀系统，数学模型可以有多种形式，如微分⽅程、传递函数、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
但系统是否线性这⼀特性，不会随模型形式的不同⽽改变。
线性与⾮线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。
建⽴系统数学模型的⽅法有分析法和实验辨识法两种。
前者主要⽤于对系统结构及参数的认识都⽐较清楚的简单系统，⽽后者通常⽤于对系统结构和参数有所了解，⽽需进⼀步精化系统模型的情况。
对于复杂系统的建模往往是⼀个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。
控制工程第二章线性系统的数学描述1
3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。
➢ 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机 械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是 系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络 电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
《控制工程基础》课件-第二章
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第二章 数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
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1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
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第二章 数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
K
J TC(t)
柔性轴 齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
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第二章 数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
y
f (x10,
x20
)
f x1
f
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2
控制工程第二章_控制系统的数学基础和数学模型
第二章控制系统的数学基础和数学模型基本要求1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。
2.了解数学模型的基本概念。
能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络系统的微分方程。
3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。
4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
5.掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。
6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。
7.了解相似原理的概念。
本章重点1.拉氏变换定理。
2.列写系统的微分方程。
3.传递函数的概念、特点及求法。
4.典型环节的传递函数。
5.系统的方框图及其化简。
本章难点1.列写系统微分方程。
2.系统的方框图及其化简。
∞ 2.1 拉普拉斯(L a p l a c e )变换2.1.1 拉氏变换概述1.拉氏变换的定义F (s ) = L [ f (t )] = ⎰0f (t )e -std tf (t )：原函数（实域、时间域） F (s )：象函数（s 域、复数域） s ：复变量，s=σ+j ωe - st: 拉氏算子j ω[s]σδ ( t )e -atsin ωtcos ωt2.基本函数的拉氏变换1tkttttu ( t ) r ( t )x i ( t ) k 序号原函数 f (t ) 象函数F (s )1 单位脉冲函数 δ (t ) 12单位阶跃函数 1(t ) 1 s 3 K常数k s4t 单位斜坡函数1 s2 5 tnn ! s n +16 e- at1 s + a7sin ωtω s 2 + ω 28cos ωts s 2 + ω 22.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.3拉氏反变换定义:f(t)=L-1[F(s)],将象函数变换成原函数s：复变量F(s)：象函数（s 域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）2.2系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。
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2.3.1 主机电路设计
主机电路设计的核心是选择一款恰当的嵌入式处理器，其处理速度、内含的存 储器容量、内含的功能部件尽可能满足系统要求，同时，市场售价满足整机硬件 成本要求。
系统对处理速度的要求：根据设计任务中关于温度巡检周期为1s，巡检8路的 要求，处理器应当在1/8s，即125ms内完成1路温度的数据采集、标度变换、线 性化处理、显示等各项任务。可选8位微处理器
显示部分：采用LED数码管，其亮度高，有效观测距离远，成本低
按键部分：采用薄膜按键，手感好，寿命长。
通信部分：采用RS-485传输技术，方便按照总线式网络拓扑组成局域测量网络 ，而且RS-485传输技术成熟，成本低。
2．软件总体方案 软件任务比较简单，不需要嵌入操作系统，主要包括监控
程序、人机服务程序、数据采集处理程序、通信服务程序几部 分。为了保证实时性要求，提高运行效率，采用ASM51汇编 语言编制。
2.1.2 技术指标
测量范围：200℃～850℃。 测量精度：优于0.5级。 温度巡检周期：1s。 巡回显示周期：以秒为单位，可选定。 工作环境温度：0℃～50℃。 相对湿度：小于85%。 供电电源：220V AC，±10%，50Hz。 结构形式：盘装式。 外形尺寸：160mm（长）×80mm（宽）×160mm（
3．外形结构方案
按盘装仪表结构设计，其外形结构尺寸、安装尺寸、安装 方式、接线方式与常规测试仪表保持一致，便于替代传统测试 仪表。
2.3 硬件系统及驱动程序设计
8路温度巡检仪的硬件由主机电路、前向通道、后向通道、人机 接口电路、通信接口及供电电源几部分组成，如图2-1所示。其中， 主机电路由CPU、数据存储器、程序存储器、EEPROM存储器、定 时器/计数器、通用异步串行收发器、中断控制器、WDT定时器及 通用并行接口等部件组成；前向通道电路由Pt100转换电路、滤波 电路、多路模拟开关电路、放大电路、A/D转换电路组成；后向通 道电路由D/A转换电路、多路模拟开关电路、V/I转换电路、继电器 驱动电路组成；人机接口电路由按键和LED数码管组成；通信接口 电路由RS-485接口电路组成；供电电源电路分别向系统数字电路 提供逻辑5V电源，向模拟电路提供±12V与±5V模拟电源。
系统对EEPROM存储器的要求：EEPROM存储器的使用性能是指，程序运行 时可以向其中写入数据或擦除数据，当系统关机或掉电时，写入的数据能够可靠 长久的保留。它主要用来存储使用者存储的数据，如巡回检测的路数（8路温度 巡检仪在使用中可以根据需要设定巡检路数）、超限报警值、巡回显示周期. 200 ～300B
第2章 基于单片机的智能温度巡检仪设计
2.1 设计任务 2.2 总体设计 2.3 硬件系统及驱动程序设计 2.4 软件设计 2.5 结构设计 2.6工程设计与组装调试
2.1 设计任务
2.1.1 主要功能
为了满足工业生产过程监控的要求，设计的智能温度巡检 仪应当具有如下功能：能与常用温度传感器配合检测多路温 度，本例是与温度传感器Pt100型铂热电阻配合，巡回检测 8路温度；可选择定点显示方式，也可选择巡回显示方式； 在全量程内，可设定超限报警值，当实测温度超过设定值时， 发出报警信号且有常开接点输出；将检测的每路温度转变为 与之线性对应的4～20mA电流输出；支持RS-485通信方式， 方便组成局域监控网络，使实测温度、温度超限设定值等参 数在网络中共享。
系统对定时器/计数器的要求：8路温度巡检仪属于实时性很强的嵌入式系统， 实现实时性操作的硬件基础是定时器。对本设计任务来讲，需要1路定时器来产生 时钟节拍，实现实时操作；需要1路定时器来作为串行通信的波特率产生器；需要 1路定时器来实现A/D转换操作，因此至少需要3路定时器/计数器。
深）。 开孔尺寸：152mm×76mm。
2.2 总体设计
首先要确定实现主要功能与技术指标的硬件、软件的总体设计方案。必须遵守 以下三个设计理念。 ① 智能温度巡检仪是以单片机为核心的嵌入式系统，有些功能既可以通过软件 编程实现，也可以通过硬件配置实现，应当遵守“能软不硬”的理念，即凡是能 够用软件方案实现的功能就不用硬件方案实现，其目的是降低制造成本。软件方 案只需在软件开发设计中一次性投入，一旦开发成功，在制造过程中将降低材料 成本和安装成本，同时能够提高整机的可靠性。任何电子元器件都有老化失效的 问题，整机的可靠性与采用元器件的数量成反比，减少使用的元器件数量，就相 当于提高了整机的可靠性。 ② 设计过程应当兼顾技术指标与经济指标，技术指标再高的仪表设备，如果制 造成本高、售价高，将不会有市场前景。 ③ 在设计过程中，选用的元器件与材料的市场供应渠道必须畅通。电子元器件、 电子材料的发展日新月异，必须选用目前市场敞开供应的元器件与材料，否则将 给日后的制造与维护带来很多麻烦。如果设计中选用了一些早已淘汰的元器件， 将无法实现样机的研发。即便样机开发成功，以后生产制造中的材料采购也十分 困难。
1．硬件总体方案
主机电路采用以8位单片机为核心的方案，片内要有足够多的硬件资源，尽 量减少扩展外部功能芯片，减小整机的体积，降低整机造价。选择的8位单片 机应具有如下资源。
① 足够的片内程序存储器，容量应不小于20KB。
② 足够的片内数据存储器，容量应不小于256B。
③ 为了满足实时性要求、通信要求和A/D转换要求，定时器/计数器数量不应 少于3个，容量应在16位以上。
④ 中断源要求：中断源不应少于3个，中断级别不应少于2级。
⑤ 有串行通信接口。
⑥ 有足够多的通用I/O接口。
前向通道设计：A/D转换器分辨率不应低于ห้องสมุดไป่ตู้2位，为了降低造价，8路温度通道 通 过多路开关技术，公用一个放大器、一个A/D转换器。
后向通道设计：采用一个D/A转换器，8路保持器，利用软件定时刷新的方法实 现多路模拟量输出。
系统对程序存储器的要求：就设计任务中规定的功能及技术指标而言，软件 任务的复杂程度一般，当采用汇编语言编程实现时，一般5000条指令可以完成 全部编程任务。MCS-51而言，5000*2B=10KB.
系统对数据存储器的要求：数据存储器主要作为计算缓冲区、堆栈区、实时数 据存储区、中间数据存储区使用，对本设计任务而言，一般200～300B可以满足 需要。