《概率论与数理统计》学习指导(5,6)

《概率论与数理统计》学习指导·内容提要·疑难分析·例题解析·自测试题安徽工业大学应用数学系编目录第一章随机事件及其概率.................................. 错误！未定义书签。

第二章随机变量及其分布.................................. 错误！未定义书签。

第三章多维随机变量及其分布........................... 错误！未定义书签。

第四章随机变量的数字特征 .............................. 错误！未定义书签。

第五章大数定律和中心极限定理 .. (2)第六章数理统计的基本概念 (9)第七章参数估计 ................................................ 错误！未定义书签。

第八章假设检验 ................................................ 错误！未定义书签。

第五章 大数定律和中心极限定理内 容 提 要1、切贝雪夫不等式设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则对任意正数ε，有不等式22{}P X σμεε-≥≤或22{}1P X σμεε-<>-成立.2、大数定律（1）切贝雪夫大数定理:设 ,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列，数学期望)(i X E 和方差)(i X D 都存在，且C X D i <)(),2,1( =i ，则对任意给定的0>ε，有1}|)]([1{|lim 1=<∑-=∞→εni i i n X E X n P . （2）贝努利大数定理:设A n 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的0>ε，有1}|{|lim =<-∞→εp nn P An . 贝努利大数定理给出了当n 很大时，A 发生的频率A n A /依概率收敛于A 的概率，证明了频率的稳定性.3、中心极限定律（1）独立同分布中心极限定理:设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，μ=)(i X E ，),2,1(0)(2 =≠=i X D i σ.则对任意实数x ，随机变量σμσμn n X n X Y ni i ni i n ∑-=∑-===11)(的分布函数)(x F n 满足⎰=≤=∞--∞→∞→xtn n n n dt e x Y P x F 2/221}{lim )(lim π.（2）李雅普诺夫定理:设 ,,,,21n X X X 是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：i i X E μ=)(,),2,1(0)(2 =≠=i X D i i σ .记 ∑==ni i nB 122σ,若存在正数δ，，使得当∞→n 时，有0}{1122→∑-=++ni ii nX E B δδμ, 则随机变量nni in i i ni i ni i n i i n B X X D X E X Z ∑-∑=∑∑-∑======11111)()(μ的分布函数)(x F n 对于任意的x ，满足⎰=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤∑-∑=∞--==∞→∞→x t n n i i n i i n n n dt e x B X x F 2/11221lim )(lim πμ. 当n 很大时,),(~),1,0(~12.1.∑∑==ni n i ni i n B N X N Z μ.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量),2,1( =n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意的x ，恒有⎰=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞--∞→x t n n dt e x p np np P 2/221)1(lim πη.疑 难 分 析1、依概率收敛的意义是什么？依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列}{n x 依概率收敛于a ，说明对于任给的0>ε，当n 很大时，事件“ε<-a x n ”的概率接近于1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“ε<-a x n ”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法. 2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律. 3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据. 4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当 时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.例 题 解 析例1．设X 为连续型随机变量，c 为常数，0>ε，求证εε||}|{|c X E c X P -≤≥-分析 此类概率不等式的证明，一般考虑用切比雪夫不等式或直接从定义用类似切比雪夫不等式的方法来证.证 设X 的密度函数为)(x f ，则⎰=≥-≥-εε||)(}|{|c x dx x f c X P||1)(||1)(||)(||||c X E dx x f c x dxx f c x dx x f c x c x -=⎰-=⎰-≤⎰-≤∞∞-∞∞-≥-εεεεε例2．设随机变量X 和Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式有≤≥-}6{Y X P .解121. 由于 ,0)(=-Y X E ,32)(=-+=-DXDY DY DX Y X D XY ρ 故≤≥-}6{Y X P 12/136/3=.例3．设在独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为1/4.问是否用0.925的概率确信在1000次试验中A 发生的次数在200到300之间？分析 在1000次试验中事件A 发生的次数)4/1,1000(~B X ,且2/375)4/11(4/11000,2504/11000=-⨯⨯==⨯=DX EX而 }50250{}300200{≤-=≤≤X P X P 利用Chebychev 不等式得}50250{}300200{≤-=≤≤X P X P 925.050)(12=-≥X D所以可用0.925的概率确信在1000次试验中A 发生的次数在200到300之间.解 如分析所述，由Chebychev 不等式即可得例4．分布用切比雪夫不等式与隶美弗—拉普拉斯中心极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次，才能保证出现正面的频率在0.4~0.6之间的概率不小于90%．解 设X 为n 次掷硬币正面出现的次数，则),(~p n B X ，其中21=p （1）由切比雪夫不等式知{}n n X P n X P n X P 1.0|5.0|1.0|5.0|6.04.0≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤n n n n X D 25101.0411)1.0()(122-=⋅⨯-=-≥令 %.90251≥-n则得250≥n ． （2） 由隶美弗-拉普拉斯的中心极限定理，得：}6.04.0{≤≤nXP .95.0)5(%901)5(21)5.01.0(225.05.06.025.05.025.05.04.0{}6.04.0{≥Φ⇒≥-Φ=-Φ≈-≤-≤-=≤≤=n n n n nn n nn X n n n P n X n P查表知：6.15≥n． 6864.67≥⇒≥n n例5． (1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成,在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10,又知为使系统正常运行,至少必须有85个元件工作,求系统的可靠度;(2)上述系统假如由n 个相互独立的元件组成,而且又要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常运行,问n 至少为多大时才能保证系统的可靠度不小于0.95.解 (1)设⎩⎨⎧=个元件损坏第个元件没有损坏第i i X i ,0,1,S 为系统正常运行时完好的元件个数,于是∑==1001i i X S 服从)9.0,100(b ,因而.91.09.0100,909.0100=⨯⨯===⨯=npq DS ES 故所求的概率为.952.0351990859901)85(1)85(=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-==≤-=>S P S P S P(2)此时)9.0,(~n b S ,要求95.0)8.0(≥≥n S P ,而.3313.09.08.03.09.01)8.0(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=≥n n n n n n n S P n S P 故95.03≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φn ,查表得,5.24,65.13≥⇒≥n n 取n =25 例6． 一加法器同时收到20个噪声电压)20,,2,1(, =i V i ，设它们是相互独立且都服从区间（0，10）上的均匀分布，求总和噪声电压超过计划105（伏）的概率.解 记∑==201i i V V ，因2021,,,V V V 是相互独立且都服从（0，10）上的均匀分布，且20,,2,1,12100)(,5)( =====i V D V E i i i σμ 由独立同分布中心极限定理知),3500,100()1210020,520(201N N V V n i i =⨯⨯−−→−∑=∞→= 故.3483.0)39.0(1)3/500100105(1)105(1)105(=Φ-=-Φ-=≤-≈>V P V P例7．假设n X X X ,.,21 是来自总体X 的简单随机样本；已知),4,3,2,1(==k EX k k α证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 121 近似服从正态分布，并指出其分布参数.分析 此题主要考查对中心极限定理的理解与运用.解 依题意知n X X X ,,,21 独立同分布，从而其函数22221,,,n X X X 也是独立同分布，且)(11)1(,1,)(,224122122122242242222αααααα-=∑=∑==∑=-=-======n DX n X n D DZ EX n EZ EX EX DX EX EX n i i n i i n n i i n i i i i由中心极限定理nZ U n n /)(2242ααα--=的极限分布为标准正态分布，即当n 充分大时，n Z 近似地服从参数为),(2242nααα-的正态分布.例8．设随机变量,1,n i X i ≤≤独立同分布，且分布密度为)(x f ，记}{1x X P p n i i ≤∑==，当n 充分大时，则有A. p 可以根据)(x f 计算； B . p 不可以根据f (x)计算；C. p 一定可以用中心极限定理近似计算；D. p 一定不可以用中心极限定理近似计算解 由于,1,n i X i ≤≤独立同分布，它们的联合概率密度等于各边缘密度的乘积.因此p 可以如下计算：⎰⎰=≤++n n n xxx dx dx x f x f p n 111)()(1由于不知道.1,n i X i ≤≤的期望和方差是否存在，故无法判断能否用中心极限定理. 综上所述，选A.测 试 题一、填空题１．随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计≤≥-}2|{|）（X E X P ．２．设随机变量X 和Y 的期望都是２，方差分别为１和４，而其相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式≤≥-}6|{|Y X P ．３．设n X 是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次实验中出现的概率为)10(<<p p ，则对任意的0>ε，有=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→εp n X P n n lim ．４．设随机变量 ,,,1n X X 相互独立同分布，且具有有限的均值与方差，0)(,)(2≠==σμi i X D X E ，随机变量σμn n X Y ni i n -∑==1的分布函数)(x F n ，对任意的x ，满足P x F n n =∞→)(lim { }= ．５．设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立同分布，且0)(=n X E ，则=∑<=∞→)(l i m 1ni i n n X P ．二、选择题６．设随机变量),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且}1|{|}1|{|21<-><-μμY P X P ，则必有( )．(A)21σσ>； (B) 21σσ<； (C) 21μμ<； (D) 21μμ>．７．设随机变量序列}{n X 相互独立，],[~n n U X n -， ,2,1=n ，则对}{n X ( )．(A)可使用切比雪夫大数定律； (B) 不可使用切比雪夫大数定律； (C) 可使用辛钦大数定律； (D) 不可使用辛钦大数定律．８．设随机事件A 在第i 次独试验中发生的概率为i p ，n i ,,2,1 =．m 表示事件A 在n 次试验中发生的次数，则对于任意正数ε恒有=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<∑-=∞→εni i n p n n mP 11lim ( )． (A)１； (B) ０； (C)21； (D)不可确定． ９．设 ,,,,21n X X X 相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下述选项中成立的是( )．(A) )(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=∞→λλ； (B) )(lim 1x x nn X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→； (C) )(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=∞→λ； (D) )(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→λλ． 10．设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立同分布， 0)(=i X E ，2)(σ=i X D ，且)(4i X E 存在，则对任意0>ε，下述选项中正确的是( )．(A) 11lim 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (B) 11lim 212≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (C) 11lim 212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσn i i n X n P ； (D) 01lim 212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσn i i n X n P ． 三、解答题11．某年的统计资料表示，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因盗窃而向保险公司索赔的户数．（1）写出X 的概率分布；（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值． 12．某单位设置一电话总机，共有200架分机．设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的．设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话．问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？13．设5021,,,X X X 是相互独立的随机变量，且都服从参数为03.0=λ的泊松分布，记∑==501i i X Y ，试计算}3{≥Y P ．14．一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10，又知为使系统正常运行，至少必须有85个元件工作，求系统的可靠度．第六章 数理统计的基本概念内 容 提 要1、总体与样本在数理统计中，将研究对象的全体称为总体；组成总体的每个元素称为个体.从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本；样本中个体的个数称为样本的容量. 从分布函数为)(x F 的随机变量X 中随机地抽取的相互独立的n 个随机变量，具有与总体相同的分布，则n X X X ,,,21 称为从总体X 得到的容量为n 的随机样本.一次具体的抽取记录n x x x ,,,21 是随机变量n X X X ,,,21 的一个观察值，也用来表示这些随机变量.2、统计量设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，则不含未知参数的样本的连续函数),,,(21n X X X f 称为统计量.统计量也是一个随机变量，常见的统计量有（1）样本均值（2）样本方差（3）样本标准差（4）样本k 阶原点矩（5）样本k 阶中心矩2、经验分布函数设n x x x ,,,21 是总体X 的一组观察值将它们按大小顺序排列为：**2*1n x x x ≤≤≤ ，称它为顺序统计量.则称⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=+**1**2*1*1,1,,1,0)(n k k n x x x x x nk x x x n x x x F 为经验分布函数（或样本分布函数）.3、一些常用统计量的分布（1）2χ分布设)1,0(~N X ，n X X X ,,,21 是X 的一个样本，n 的2χ分布，记作)(~22n χχ.（2）t 分布设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且Y X,n 的t 分布，记作)(~n t t .t 分布又称为学生分布.（3）F 分布设)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且Y X ,),(21n n 的F 分布，记作),(~21n n F F .4、正态总体统计量的分布设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的一个样本，则 （1）样本均值X 服从正态分布，有),(~2nN X σμ（2）样本方差（3）统计量设),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，1,,,21n X X X 是X 的一个样本， 2,,,21n Y Y Y 是Y 的一个样本，两者相互独立.则（1）统计量（2）当21σσ=时，统计量2)1()1(21222211-+-+-=n n S nS n S w ；（3）统计量（4）统计量疑难分析1、数理统计的研究对象和目的是什么？“数理统计学”是数学的一个分支，它的任务是研究怎样用有效的方法去收集和使用带随机性影响的数据，它的具体含义包括以下几层意思：1）能否假定数据有随机性，是区别数理统计方法与其他数据处理方法的根本点。