高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示教学案
新高考数学一轮复习课件 平面向量基本定理及坐标表示
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2. (2)基底：若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
[跟进训练] 1．(多选)(2021·惠州调研)设 a 是已知的平面向量且 a≠0，关于向量 a 的分解，有如下四个命题(向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线)，则 真命题是( ) A．给定向量 b，总存在向量 c，使 a＝b＋c B．给定向量 b 和 c，总存在实数 λ 和 μ，使 a＝λb＋μc C．给定单位向量 b 和正数 μ，总存在单位向量 c 和实数 λ，使 a＝λb ＋μc D．给定正数 λ 和 μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a＝λb＋μc
(1)用 a 和 b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
[解] (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B，由平行四边 形法则，
得O→B＋O→C＝2O→A， 所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b， D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
2023年高考数学(理科)一轮复习课件—— 平面向量基本定理及坐标表示
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诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b＝λ2a
＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ ) (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( √ )
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3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a ＋ b ＝ __(_x_1_＋__x_2_，__y1_＋__y_2_)____ ， a － b ＝ __(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)_____ ， λa ＝ ___(λ_x_1_，__λ_y_1)_____，|a|＝____x_12＋__y_21__.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，12，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－21
D.12，－
3 2
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解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°， 依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°， 则点 B 在 y 轴正半轴上，且|O→B|＝|O→A|＝1， ∴点 B(0，1)，则O→B＝(0，1).
知识梳理 1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__不__共__线__向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，___有__且__只__有_一对实数λ1，λ2，使a＝_____λ_1e_1_＋__λ_2_e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2020高三数学(人教版)一轮复习平面向量的基本定理及坐标表示
N
PC
O
MA
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
a 2 3i 2j B
P
a
j
Oi
A
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
思考2：根据向量的坐标表示，向量 a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计
2020版高考数学(文)一轮复习平面向量基本定理及坐标表示
第二节平面向量基本定理及坐标表示 一、基础知识批注——理解深一点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．二、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (二)选一选1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝(－1,2)． 2．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b解析：选B CD ―→＝CA ―→＋AD ―→＝CA ―→＋23AB ―→＝CA ―→＋23(AC ―→＋CB ―→)＝13CA ―→＋23CB ―→＝13b＋23a ，故选B. 3．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D ∵AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC ―→＝12AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12，5， ∴CO ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. (三)填一填4．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则 λ＝________.解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，解得λ＝12.答案：125．在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN―→＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN ―→＝3NC ―→，所以AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，又因为AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b考点一 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.[解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→(0<λ<1)， 由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)， 所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知， m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)． 答案：(－2,0)考点二 平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， ∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)． [变透练清]1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________. 解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.答案：－1 －12．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：72[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分． 考点三 平面向量共线的坐标表示 [典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．[解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4) [课时跟踪检测]1．(2019·昆明调研)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A.2 B ．2 C.10D ．10解析：选C 由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b |＝(－3)2＋12＝10.故选C.2．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.4．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( ) A.12AC ―→＋13AB ―→ B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→D.16AC ―→＋32AB ―→解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.5．已知点A (8，－1)，B (1，－3)，若点C (2m －1，m ＋2)在直线AB 上，则实数m ＝( ) A ．－12 B ．13 C ．－13D ．12解析：选C 因为点C 在直线AB 上，所以AC ―→与AB ―→同向．又AB ―→＝(－7，－2)，AC ―→＝(2m －9，m ＋3)，故2m －9－7＝m ＋3－2，所以m ＝－13.故选C. 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．42解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.7．已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→， 点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.设OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )，则m n等于( )A.13 B ．3 C.33D. 3 解析：选B 如图，由已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→，可得AB＝2，∠A ＝60°，因为点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°，所以OC ⊥AB ，过点C 作CD ⊥OA ，垂足为点D ，则OD ＝34，CD ＝34，所以OD ―→＝34OA ―→，DC ―→＝14OB ―→，即OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，所以m n ＝3. 8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.9．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－310．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0得2|a |－|b |＝0， 所以|b |＝2|a |，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2. 答案：±211．(2019·南昌模拟)已知向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)，若|a |＝25，a ＝λb (λ<0)，则m －n ＝________.解析：∵a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)， ∴由|a |＝25，得m 2＋n 2＝20， ① 由a ＝λb (λ<0)，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，－2m －n ＝0， ②由①②，解得m ＝－2，n ＝4. ∴m －n ＝－6. 答案：－612．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1213．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，求|OP ―→|；(2)设OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n .解：(1)∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得x ＝2，y ＝2， 即OP ―→＝(2,2)，故|OP ―→|＝2 2.(2)∵OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AB ―→＝(1,2)，AC ―→＝(2,1)． ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .。
2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养． 3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.（三）平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. （四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉． 结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__12211212（六）常用结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.例2．（2017·天津·高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】 【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二：平面向量的坐标运算例3.（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D例4.（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例5.（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),Px y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.例6.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.例8．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】 【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -， 所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--， 因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -. (2)由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =， 所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=， 因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便． 题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC例10.（2019·天津·高考真题（文）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AEBE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D ． 因为AD∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BEy x=-，直线AE的斜率为y =．由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-， 所以1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．例11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解． 题型五：平面向量的模、夹角例12．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量()1,2a =，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】 【分析】先求出||a ，再将8a b +=两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得：2||12a =+，由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=， 即得249,||7b b ==，故选：D例13.（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．√3−1 B ．√3+1 C ．2 D ．2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ， 由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】()21,3a b +=，所以2213a b +=+=例15.（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+．例16.（2017·山东·高考真题（理））已知1e ，2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是_ _．【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1），12e -=1）， 1e +λ2e =（1，λ）；又夹角为60°，12e -）•（1e +λ2e ）=λ＝2cos60°，λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．（2016·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =（ ） A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．例18．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-. 故答案为：34-. 例19．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是_________．【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标，设(,)c x y =，利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)a b ==，设(,)c x y =，由()()20a c b c -⋅-=得：(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=，即2(1)(12)0x x y y ----=，即22115()()2416x y -+-=，则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】 由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.． 【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．。
高考数学一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示(含答案)
高考数学一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示（含答案）5.2平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法.减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.主要考查平面向量基本定理.向量加法.减法.数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力.数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以选择题.填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算1向量加法.减法.数乘及向量的模设ax1，y1，bx2，y2，则abx1x2，y1y2，abx1x2，y1y2，ax1，y1，|a|x21y21.2向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设Ax1，y1，Bx2，y2，则ABx2x1，y2y1，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设ax1，y1，bx2，y2，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.知识拓展1若a与b不共线，ab0，则0.2设ax1，y1，bx2，y2，如果x20，y20，则abx1x2y1y2.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1平面内的任何两个向量都可以作为一组基底2若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.3平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示4若ax1，y1，bx2，y2，则ab的充要条件可表示成x1x2y1y2.5当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标6平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变题组二教材改编2P97例5已知ABCD的顶点A1，2，B3，1，C5,6，则顶点D的坐标为________答案1,5解析设Dx，y，则由ABDC，得4,15x,6y，即45x，16y，解得x1，y5.3P119A组T9已知向量a2,3，b1,2，若manb与a2b共线，则mn________.答案12解析由向量a2,3，b1,2，得manb2mn,3m2n，a2b4，1由manb与a2b共线，得2mn43m2n1，所以mn12.题组三易错自纠4设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12________.答案05已知点A0,1，B3,2，向量AC4，3，则向量BC________.答案7，4解析根据题意得AB3,1，BCACAB4，33,17，46xx全国已知向量am,4，b3，2，且ab，则m________.答案6解析因为ab，所以2m430，解得m6.题型一题型一平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用1在下列向量组中，可以把向量a3,2表示出来的是Ae10,0，e21,2Be11,2，e25，2Ce13,5，e26,10De12，3，e22,3答案B解析方法一设ak1e1k2e2，A选项，3,2k2,2k2，k23，2k22，无解；B选项，3,2k15k2,2k12k2，k15k23，2k12k22，解得k12，k21.故B中的e1，e2可以把a表示出来；同理，C，D选项同A 选项，无解方法二只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求2xx 济南模拟如图，在ABC中，AN13NC，P是BN上的一点，若APmAB211AC，则实数m的值为________答案311解析AN13NC，AC4AN，ADmAB211ACmAB811AN，又P，B，N三点共线，m8111，即m311.思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加.减或数乘运算2用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决题型二题型二平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算典例1已知a5，2，b4，3，若a2b3c0，则c等于A.1，83B.133，83C.133，43D.133，43答案D解析由已知3ca2b5,28，613，4所以c133，43.2xx北京西城区模拟向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab，R，则等于A1B2C3D4答案D解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系设每个小正方形边长为1，则A1，1，B6,2，C5，1，aAO1,1，bOB6,2，cBC1，3cab，1，31,16,2，即61，23，解得2，12，4.引申探究在本例2中，试用a，c表示b.解建立本例2解答中的平面直角坐标系，则a1,1，b6,2，c1，3，设bxayc，则6,2x1,1y1，3即xy6，x3y2，解得x4，y2，故b4a2c.思维升华向量的坐标运算主要是利用加.减.数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则跟踪训练1已知四边形ABCD的三个顶点A0,2，B1，2，C3，1，且BC2AD，则顶点D的坐标为A.2，72B.2，12C3,2D1,3答案A解析设Dx，y，ADx，y2，BC4,3，又BC2AD，42x，32y2，x2，y72，故选A.2已知平面向量a1,1，b1，1，则向量12a32b等于A2，1B2,1C1,0D1,2答案D解析12a12，12，32b32，32，故12a32b1,2题型三题型三向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标典例已知点A4,0，B4,4，C2,6，则AC与OB的交点P的坐标为________答案3,3解析方法一由O，P，B三点共线，可设OPOB4，4，则APOPOA44,4又ACOCOA2,6，由AP与AC共线，得446420，解得34，所以OP34OB3,3，所以点P的坐标为3,3方法二设点Px，y，则OPx，y，因为OB4,4，且OP与OB共线，所以x4y4，即xy.又APx4，y，AC2,6，且AP与AC共线，所以x46y20，解得xy3，所以点P的坐标为3,3命题点2利用向量共线求参数典例已知向量a1sin，1，b12，1sin，若ab，则锐角________.答案45解析由ab，得1sin1sin12，cos212，cos22或cos22，又为锐角，45.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略1利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若ax1，y1，bx2，y2，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便2利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为aR，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量跟踪训练1xx北京海淀区模拟已知向量a1,1，点A3，0，点B为直线y2x上的一个动点若ABa，则点B的坐标为________答案3，6解析设Bx,2x，则ABx3,2xABa，x32x0，解得x3，B3，62若三点A1，5，Ba，2，C2，1共线，则实数a的值为________答案54解析ABa1,3，AC3,4，根据题意ABAC，4a1330，即4a5，a54.解析法坐标法在向量中的应用典例12分给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为23.如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动若OCxOAyOB，其中x，yR，求xy的最大值思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征规范解答解以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A1,0，B12，32.4分设AOC0，23，则Ccos，sin，由OCxOAyOB，得cosx12y，sin32y，所以xcos33sin，y233sin，8分所以xycos3sin2sin6，10分又0，23，所以当3时，xy取得最大值2.12分。
【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)5-2平面向量基本定理及向量的坐标表
1→ 4→ B. OA＋ OB 3 3 1→ 4→ D．－ OA－ OB 3 3
[答案] C
[ 解析]
→ → → → 4→ → 4 → → OP＝OA＋ AP＝ OA＋ AB＝OA＋ (OB－ OA ) ＝ 3 3
1→ 4→ － OA＋ OB，选 C. 3 3
2．(文)(2013· 云南昆明一中摸底)已知点 M(5，－6)和向量 → a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点 N 的坐标为( A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0) )
5．平面向量的直角坐标运算 → (1)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)， → |AB|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1 ＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． a∥b⇔____________，a⊥b⇔____________. a (3)非零向量 a 的单位向量为± |a|.
3．(2013· 贵阳监测)已知向量 a，b，c 中任意两个都不共 线， 但 a＋b 与 c 共线， b＋c 与 a 共线， 则向量 a＋b＋c＝( A．a B．b C．c D．0 )
[答案] D
[解析]
依题意，设 a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－
(b＋c)＝mc－na，即 a－c＝mc－na.又 a 与 c 不共线，于是有 m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选 D.
4．注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若 a＝ (x1，x2)，b＝(y1，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当 a，b 都是 x1 非零向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，同时还要注意 a∥b 与x ＝ 2 y1 不等价． y2
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
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2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
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题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材 强基固本
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一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
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解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
高三数学一轮复习 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示
由平面向量基本定理,得
������-������ = 1, 2������ + ������ =
所以 1,
������
=
2 3
,
������
=
-
1 3
.
考点1
考点2
考点3
-17-
解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行 四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底, 再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量 用这一组基底表示出来.
-所1 以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.
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解析 答案
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=
-12-
.
∵|a+b|2=|a|2+|b|2, ∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.
(3)在△ABC中,向量 ������������, ������������ 的夹角为∠ABC. ( × )
(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足
λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. ( √ ) (5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一
组 基底
,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的
2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(真题测试)含详解
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）一、单选题1．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（ ） AB ．2C ．D ．502．（2019·全国·高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2D ．33.（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1 B ．()2,6--或()2,1- C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--4．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长为2，以AB 为直径的圆M ，若点P 为圆M 上一动点，则·PC PD 的取值范围为（ ）A ．[]04，B ．[]08，C ．[]18-，D ．[]14-， 5．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知ABC 是边长为a 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．22a -B ．238a -C ．243a -D ．2a -6．（2022·上海奉贤·二模）已知平面向量a ，m ，n ，满足4a =，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩，则当m 与n 的夹角最大时，m n -的值为（ ） A ．4B ．2CD ．17．（2017·全国·高考真题（理））已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-8.（2016·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（2022·广东广州·三模）已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，则下列结论中正确的是（ ） A ．5a b ⋅= B ．5a b -=C ．,4a b π=D ．a b ∥10．（2022·湖北·模拟预测）正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP λ=AD AE μ+，则（ ）A ．λ最大值为12B ．μ最大值为1C ．AP AD ⋅最大值是2 D ．AP AE ⋅211．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量()3,1a =，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．存在θ，使得a b a b +=-C ．与a 共线的单位向量只有一个为12)D ．向量a 与b 夹角的余弦值范围是[ 12．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量(1,sin ),(cos ,2)a b θθ==，则下列命题正确的是（ ）A ．存在θ，使得 //a bB ．当tan θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有||||a b ≠D ．当3a b ⋅=-时，tan θ=三、填空题13．（2020·全国高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 14.（2018·全国·高考真题（理））已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+ca b ，则λ=________．15.（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________． 16.（2022·浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(2,1)-、(1,3)-、(3,4). 若OB OA OD λμ=+，求λμ+的值18．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O 为坐标原点，若动点S 满足向量2DS =，求OS 的最大值19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 中，2EC DE =，2FC BF =，2FG GE =.(1)用AB ，AD 表示AG ；(2)若6AB =，32AD =45BAD ∠=︒，如图建立直角坐标系，求GB 和DF 的坐标. 20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）． (1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．21．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q 是线段BC 上的动点，求·AQ DQ 的最值22．（2017·江苏·高考真题）已知向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，．（1）若a b，求x的值；（2）记()f x a b=⋅，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）一、单选题1．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（ ） AB ．2C ．D ．50【答案】A 【解析】 【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||a b -． 【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，所以2||(1)a b -=-= 故选A2．（2019·全国·高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积. 【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC =，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3.（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1B ．()2,6--或()2,1-C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数对称轴设出P 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意函数243y x x =--图象的对称轴是2x =，设(2,)P y ，因为PA PB ⊥，所以(2,3)(6,2)12(3)(2)0PA PB y y y y ⋅=-⋅--=-+--=，解得6y =或1y =-，所以(2,6)P 或(2,1)P -， 故选：C ．4．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长为2，以AB 为直径的圆M ，若点P 为圆M 上一动点，则·PC PD 的取值范围为（ ）A ．[]04，B ．[]08，C ．[]18-，D ．[]14-， 【答案】B 【解析】 【分析】以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，写出,C D 坐标，设(cos ,sin )P θθ，用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围． 【详解】以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,2)C ，(1,2)D -， 圆方程为221x y +=，P 在圆上，设(cos ,sin )P θθ， (1cos ,2sin )PC θθ=--，(1cos ,2sin )PD θθ=---，2(1cos )(1cos )(2sin )PC PD θθθ⋅=---+-22cos 144sin sin θθθ=-+-+44sin θ=-，sin [1,1]θ∈-，所以[0,8]PC PD ⋅∈．故选：B ．5．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知ABC 是边长为a 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．22a - B ．238a -C ．243a -D ．2a -【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出PA 、PB 和PC ，计算()PA PB PC ⋅+的最小值即可． 【详解】解：以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则30,2A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,02B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ，则PA x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2PB a x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1,2PC a x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()2,2PB x y PC --+=，所以()22(2)(2)22PA PB PC x x y y x y ⎫⋅+=-⋅-+-⋅-=+⎪⎪⎝⎭2223228x y a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭；所以当0x =，y =时，()PA PB PC ⋅+取得最小值是238a -．故选：B ．6．（2022·上海奉贤·二模）已知平面向量a ，m ，n ，满足4a =，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩，则当m 与n 的夹角最大时，m n -的值为（ ） A ．4 B ．2 CD ．1【答案】C 【解析】 【分析】以O 为原点建立平面坐标系，设(4,0)a =，(,)m x y =，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量,m n 的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【详解】设,,a m n 的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，如图所示， 不妨设(4,0)a =，(,)m x y =，则222m x y =+，4a m x ⋅=， 由210m a m -⋅+=可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=， ∴m 的终点M 在以(2,0) 同理n 的终点N 在以(2,0)显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m 与n 的夹角最大．设圆心为A ，则AM =1OM =，则sin MOA ∠= ∴60MOA ∠=︒，设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴22sin 21MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯= 即当m 与n 的夹角最大时，3m n -= 故选：C7．（2017·全国·高考真题（理））已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2- B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =332()42⨯-=-，故选：B ．8.（2016·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：如图可得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,222x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()222133||4x y BM +++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点(),x y 与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B. 【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D 的坐标，同时动点P 的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想． 二、多选题9．（2022·广东广州·三模）已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，则下列结论中正确的是（ ） A ．5a b ⋅= B ．5a b -=C ．,4a b π=D ．a b ∥【答案】ABC 【解析】 【分析】按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可. 【详解】31(1)(2)5a b ⋅=⨯+-⨯-=，A 正确；2(2,1),21a b a b -=-=+B 正确；22223(1)10,1(2)5a b =+-==+-=，则52cos ,,,2452a b a b a b a bπ⋅====，C 正确； ()()3211⨯-≠-⨯，D 错误.故选：ABC.10．（2022·湖北·模拟预测）正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP λ=AD AE μ+，则（ ）A ．λ最大值为12 B ．μ最大值为1C ．AP AD ⋅最大值是2 D ．AP AE ⋅2【答案】BCD 【解析】 【分析】以AB 中点O 为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项. 【详解】以AB 中点O 为原点建立平面直角坐标系，()1,0A -，()1,2D -，()1,1E ，设BOP α∠=，则()cos ,sin P αα，()cos 1,sin AP αα=+，()0,2AD =，由AP AD AE λμ=+，得2cos 1μα=+且2sin λμα+=，[]0,απ∈()()112sin cos 144λαααθ=--=--A 错； 0α=时max 1μ=，故B 正确；2sin 2AP AD α⋅=≤，故C 正确；()sin 2cos 222AP AE αααφ⋅=++=++，故D 正确． 故选：BCD.11．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量()3,1a =，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．存在θ，使得a b a b +=-C ．与a 共线的单位向量只有一个为12)D ．向量a 与b 夹角的余弦值范围是[ 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A 、B ，根据单位向量的定义判断C ，根据向量夹角的坐标表示及正弦函数的性质判断D ； 【详解】解：对于A 选项：若a b ⊥，则0a b ⋅=， ∴sin 0θθ+=，∴tan θ=A 正确；对于B ：若a b a b +=-，则22a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，即a b ⊥，由A 可知，tan θ=0θπ≤≤，所以23πθ=，故B 正确；对于C 选项：与a 共线的单位向量为aa ±，故为12⎫⎪⎪⎝⎭或12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故C 选项错误；对于D 选项：设向量a 与b 夹角为α，则cos sin 3πθα⎛⎫+ ⎪⎝=⎭，因为0θπ≤≤，所以4333πππθ≤+≤，所以sin 13πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故cos 1α≤≤，故D 错误；故选：AB ．12．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量(1,sin ),(cos ,2)a b θθ==，则下列命题正确的是（ ）A ．存在θ，使得 //a bB ．当tan θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有||||a b ≠D ．当3a b ⋅=-时，tan θ=【答案】BD 【解析】 【分析】A 选项，利用向量平行及三角函数恒等变换得到方程，sin 21θ=，故A 错误；B 选项，利用垂直得到方程，求出正切值；C 选项，计算出两向量的模长，得到ππ,2k k Z θ=+∈，C 错误；利用向量的数量积列出cos a b θθ⋅==2tan 20θ-θ+=，求出正切值.【详解】对于选项A ：若 //a b sin cos =θθ，即sin 21θ=， 所以不存在这样的θ，故A 错误；对于选项B ：若a b ⊥，则cos 0θθ=，即cos θ=θ，得tan 2θ=，故B 正确； 对于选项C ：22||1sin ,||2cos a b θθ=+=+，当||||a b =时，cos21θ=-， 此时ππ,2k k Z θ=+∈，故C 错误；对于选项D ：cos a b θθ⋅==两边同时平方得2222cos 2sin sin 3cos 3sin θθθθθθ++⋅=+，化简得222cos sin cos 0θ+θ-θθ=，等式两边同除以2cos θ得2tan 20θ-θ+=，即2(tan 0θ-=，所以tan θ=D 正确.故选：BD. 三、填空题13．（2020·全国高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=14.（2018·全国·高考真题（理））已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12 【解析】 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b +()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为1215.（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=． 故答案为：35．16.（2022·浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______．【答案】[12+ 【解析】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设(,)P x y ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到()2222212888PA PA PA x y +++=++，然后利用cos 22.5||1OP ≤≤即可解出．【详解】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,822,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+． 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(2,1)-、(1,3)-、(3,4). 若OB OA OD λμ=+，求λμ+的值【答案】136【解析】【分析】设出D ，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出D 的坐标，从而求出OB 、OA 、OD 的坐标，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可． 【详解】解：设(,)D x y ，(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，则(1,2)AB =，(3,4)DC x y =--，又AB DC =，3142x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2D ， 所以()1,3OB =-，()2,1OA =-，()2,2OD =，因为OB OA OD λμ=+，所以()()()1,32,12,2λμ-=-+，所以22123λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩，解得4356λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以136λμ+= 18．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O 为坐标原点，若动点S 满足向量2DS =，求OS 的最大值【答案】2 【解析】 【分析】先利用AB DC =求出D 点坐标，再结合2DS =求出S 的轨迹是圆，最后利用O 到圆心的距离加半径求出最大值即可. 【详解】设(,)D a b ，()(1,2),3,4AB DC a b ==--，由AB DC =得3142a b -=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，故(2,2)D ，设(,)S x y ，(2,2)DS x y =--，则由2DS =得()()22224x y -+-=，即S 的轨迹是以()2,2为圆心，2为半径的圆，故OS 的最大值为O22=.19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 中，2EC DE =，2FC BF =，2FG GE =.(1)用AB ，AD 表示AG ；(2)若6AB =，32AD =45BAD ∠=︒，如图建立直角坐标系，求GB 和DF 的坐标. 【答案】(1)5799=+AD AG AB (2)17,33GB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4,2DF =-【解析】 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可. (1)13AE AD AB =+，13AF AD AB =+，又2FG GE =，所以2()AG AF AE AG -=- 所以21573399AG AE AF AB AD =+=+(2)过点D 作AB 的垂线交AB 于点D ，如图，于是在Rt ADD '△中，由45BAD ∠=︒可知，3AD '=根据题意得各点坐标：()0,0A ，()6,0B ，()9,3C ，()3,3D ，()5,3E ，()7,1F ，5757(60)(3,3)9999AG AB AD =+=+=，177,33⎛⎫ ⎪⎝⎭所以177,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()6,0AB =，177,33AG =⎛⎫⎪⎝⎭，()4,2DF =-,17,33GB AB AG ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）．(1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．【答案】(2)k ＝14；(3)k ＜32且k ≠－6.【解析】 【分析】（1）解方程1×k －2×(3)-＝0即得解； （2）解方程1×(5)-＋2×(22)k +＝0即得解； （3）解不等式1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，即得解. (1)解：因为向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ），且a →∥b →， 所以1×k －2×(3)-＝0，解得k ＝－6，所以b →(2)解：因为a →＋2b →＝(5,22)k -+，且a →⊥(2)a b →→+，所以1×(5)-＋2×(22)k +＝0，解得k ＝14．(3)解：因为a →与b →的夹角是钝角，则a b →→⋅＜0且a →与b →不共线．即1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，所以k ＜32且k ≠－6．21．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q 是线段BC 上的动点，求·AQ DQ 的最值 【答案】最小值614- ，最大值57. 【解析】 【分析】根据平行四边形，求出D 点的坐标，分别求出AQ DQ 的解析式， 根据解析式求出最值，再综合考虑即可. 【详解】依题意作上图，点D 的位置有3个，分别为12,,D D D ，下面分别求出这3个位置的坐标：设(),D x y ，则有()()1,23,4AB DC x y ===-- ，解得()2,2,2,2x y D ==∴ ；()(),1,23,4AB CD x y ==-- ，解得()14,6,4,6x y D === ； ()(),4,12,1BC DA x y ==--- ，解得()26,0,6,0x y D =-=- ；∵点Q 在BC 上，设(),,Q m n BQ BC λ= ，则有()()1,34,1m n λ+-= ， 41,3m n λλ=-=+ ([]0,1λ∈) ，()41,2AQ λλ=++ ，()43,1DQ λλ=-+ ，()145,3DQ λλ=-- ， ()245,3D Q λλ=++ ，21751AQ DQ λλ=-- ，当534λ=时，取最小值=9368- ，最大值=11；21171711AQ DQ λλ=-- ，当12λ= 时，取最小值=614-，最大值=-11； 22172911AQ D Q λλ=++，当0λ= 时，取最小值=11，最大值=57；所以在以A ，B ，C 为顶点的平行四边形中，AQ DQ 的最小值为614-，最大值为57；综上，最小值为614-，最大值为57. 22．（2017·江苏·高考真题）已知向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，． （1）若a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，()f x 取到最大值3； 5π6x =时，()f x 取到最小值- 【解析】 【分析】（1）根据a b ，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x 的值．（2）根据()f x a b =⋅求解求函数y ＝f （x ）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x 的值． 【详解】解：（1）∵向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，． 由a b ，可得：3sinx =，即tanx = ∵x ∈[0，π] ∴56x π=．（2）由()233f x a b cosx x π⎛⎫=⋅==+ ⎪⎝⎭∵x ∈[0，π]，∴225333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当2233x ππ+=时，即x ＝0时f （x ）max ＝3；当2332x ππ+=，即56x π=时()min f x =-。
高考数学一轮复习 专题5.2 平面向量基本定理及坐标表
第02节 平面向量基本定理及坐标表示班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.已知平面向量()()3,6,,1a b x ==-r r ，如果//a b r r ，那么||b =r（ ）A ．5B ．52C ．3D ．32【答案】B 【解析】由题意，得36-=x ，则21-=x ，则15||142b =+=r ；故选B ． 2.已知向量)2,1(),3,2(-==b a ，若b n a m +与b a 2-共线，则=nm（ ） A ．21 B ．2 C ．-21D ．2- 【答案】C3.已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0r ，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB →B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →【答案】A【解析】∵依题()22OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2OC OA OB =-u u u r u u u r u u u r .故选A4.已知(2,1)a =r，(1,)b k =-r ,如果a r ∥b r ，则实数k 的值等于（ ）A.2B.2-C.12D.12- 【答案】D【解析】由题意21k =-，即12k =-. 5.设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“2x ＝”是“a ∥b ”的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】依题意，a ∥b ⇔31(102)()x x x ⇔±－－＋＝＝，所以“2x ＝”是“a ∥b ”的充分但不必要条件．6.已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( )A. 5B. 13 C ．5 D ．13【答案】B【解析】由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q |＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13.7.已知→a =（-2，1），→b =（x ，21-），且→a //→b ，则x =( )A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A8.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+u u u v u u u u v u u u v ，则λμ+=（ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．2 【答案】B 【解析】设正方形边长为2，以A 为原点建立平面直角坐标系，则()()()2,1,(0,2),2,0,2,2M D B C ,()2,2BD =-u u u r ，依题意，AC AM BD λμ=+u u u v u u u u v u u u v，即22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得415,,333λμλμ==+=. 9.已知平面向量a r =（2，-1），b r =（1，1），c r =（-5，1），若()a kb +r r∥c r ，则实数k 的值为（ ）A ．2 B.12 C.114 D.114- 【答案】B【解析】∵a r =21-（，），b r=11（，）， ∴a kb +r r＝2111()()(21)k k k -++-，，＝，，又c r =51-（，），且()a kb +r r ∥c r ，∴12510k k ⨯+--⨯-=（）（）（），解得：k =12．故选B ．10.已知△ABC 的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，则点D 的坐标为( )A ．(－95，75)B ．(92，－75)C ．(95，75)D ．(－92，－75)【答案】C11.已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足λ+=(sin sin AB ACAB B AC C+u u u r u u u ru u u r u u u r)(()0λ≥，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心【答案】因此P 在三角形的中线上，故动点P 一定过三角形ABC 的重心，故答案为D.12.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP u u u r =λ AB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．2C 5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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高考数学一轮复习（基础知识+高频考点+解题训练）平面向量的基本定理及坐标表示教学案[知识能否忆起]一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(2)设OA＝x i＋y j，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝(λx1，λy1)．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x12＋y2－y12.三、平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[小题能否全取]1．(2012·广东高考)若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝( )A．(4,6) B．(－4，－6)C．(－2，－2) D．(2,2)解析：选A ∵AC ＝AB ＋BC ，∴AC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1)解析：选A 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)． 3．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35解析：选A ∵A (4,1)，B (7，－3)，∴AB ＝(3，－4)， ∴与AB 同向的单位向量为AB |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.解析：AD ＝BC ＝AC －AB ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，BD ＝AD －AB ＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．答案：(1,2) (0，－1)5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝m a ＋n b ，则nm＝________.解析：∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴nm ＝－4.答案：－41.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯 一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．平面向量基本定理及其应用典题导入[例1] (2012·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD ＝a ，AB ＝b ，若AB ＝2DC ，则AO ＝________(用向量a 和b 表示)．[自主解答] ∵AB ＝2DC ，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴AO ＝23AC ＝23(AD ＋DC )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . [答案] 23a ＋13b由题悟法用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．以题试法1．(2012·南宁模拟)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12B.13 C.14D ．1 解析：选A 设CM ＝m CB ＝m (AB －AC )(0≤m ≤1)，则AM ＝AC ＋CM ＝(1－m ) AC ＋m AB ，AN ＝12AM ＝m 2AB ＋1－m 2AC ，所以λ＋μ＝m 2＋1－m 2＝12.平面向量的坐标运算 典题导入[例2] (1)(2012·西城期末)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足a ＋2b ＝k c ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1, 3)(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . ①求3a ＋b －3c ；②求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[自主解答] (1)∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)， ∴a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)．(2)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．②∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[答案] (1)D本例中第(2)题增加条件CM ＝3c ，ON ＝2b ，求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标． 解：∵CM ＝OM －OC ＝3c ，∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ， ∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN ＝(9，－18)．由题悟法1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用． [注意] 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．以题试法2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x 的图象上，则实数λ的值为________． 解析：由题意得OC ＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)， 故点C 的坐标为(6,4＋2λ)，根据条件得4＋2λ＝sin 6π12＝1，解得λ＝－32.答案：－32平面向量共线的坐标表示典题导入[例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2[自主解答] 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.[答案] B在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a ＋λb 和a －λc 平行？若平行， 是同向还是反向？解：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，a －λc ＝(1－3λ，2－4λ)， 若(a ＋λb )∥(a －λc )，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0. ∴λ＝1.∴a ＋λb ＝(2,2)与a －λc ＝(－2，－2)反向． 即存在λ＝1使a ＋λb 与a －λc 平行且反向．由题悟法a ∥b 的充要条件有两种表达方式(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．以题试法3．(1)(2012·北京东城区综合练习)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12解析：选C 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.(2)(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB ＝t AC ，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，即λμ＝1.1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选 B BC ＝3PC ＝3(2PQ －PA )＝6PQ －3PA ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)解析：选C 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3.(2013·昆明模拟)如图所示，向量OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，A ，B ，C 在一条直线上，且AC ＝－3CB ，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b解析：选A ∵AC ＝－3CB ，∴OC －OA ＝－3(OB －OC )． ∴OC ＝－12OA ＋32OB ，即c ＝－12a ＋32b .4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵OC ＝(－2,1)，BA ＝(2，－1)，∴OC ∥BA ，又A ，B ，C ，O 不共线，∴OC ∥AB .①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误； ∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确．5．(2012·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故m ≠3m －22，解得m ≠2.6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b。