电工基础单元4 (2)

+j
Im
i I m sin(t i )
最大值相量

i
+1
I m I me
ji
I m i
+j
I
有效值相量
I Ie

ji
i
I i

+1
二、正弦量的相量表示法
例：将正弦量 u 220 2 sin( 100 t 30 ) V 表示成相量形式
二、正弦量的相量表示法
平均值 平均值指周期量的绝对值在一个周期内 的平均值。
1 T I av i dt T 0
I av 2

Im
练习：
1.正弦量u=Umsin(ωt+φ)的三要素是 、 、 2.正弦量u=100 sin(314t+60°)V，则Um= ，U= f= ，ω= ，φ= . ，
3.周期T=0.02s，振幅为50V、初相角为60º 的正弦交
交流电动机比直流电动 机结构简单、制造使用维 护方便、运行可靠，是使 用最多的动力设备。
使用 当需要直流电时，如电
解、电镀、电讯、等行业 也都是使用整流装置把交 流电转换为直流电
正弦交流电的解析式表示及三要素 解析式
交流电在变化的任意瞬间，都有确定的大小和方向， 称为交流电的瞬时值。 分别用小写字母i、u、e表示电流、电压和电动势。 u i
r A a b
2
2
矢量OA与实轴正半轴的夹角 称为复数A的辐角
b arctan a
一、复数及四则运算
例：已知 A 3 j 4 1
A2 4 j3
Baidu NhomakorabeaA3 j
求出它们的模和辐角？
一、复数及四则运算
1.复数的表达形式
（1）代数形式 （2）三角函数形式 （3）指数形式 （4）极坐标形式
特例 ui 180
ui 0
ui 90

称u和i反相
称u和i同相
称u和i正交
例:分别写出图中各电流、的相位差，并说明相位关系。
答案：
1)12 90 , 滞后； 2）12 0，同相； 3）12 ，反相； 4）12 3 / 4 , 超前
周期性函数的有效值有效值
1.周期性函数的有效值： 定义：大小随时间按一定规律作周期性变化的函数。
有效值是根据电流的热效应来规定的。 让直流电和交流电分别通过阻值相等的电阻， 如果在相同的时间内产生的热量相等。这一直流电 的数值称为交流电的有效值。
I RT i 2 Rdt
2 0
T
周期性函数的有效值等于其瞬时值的平方 在一个周期内的积分平均值的平方根值。
问：i2i2i3的最大值 各位多少？
角频率
正弦交流电每循环 变化一次，交流电的 电角度变化360°或 2π弧度。 正弦交流电在1s内 变化的电角度，称为 正弦交流电的角频率 用字母
角频率反应交流电 变化的快慢
表示，单位是弧度/秒.
交流电变化的快慢还可用周期和频率来衡量
周期
正弦交流电完成一次周期变化所需要的时间， 称为正弦交流电的周期。 通常用字母T表示，国际单位是秒，符号位s。
（1）代数形式
A a jb
j 1 虚数单位
a
b
负数A的实部 负数A的虚部
一、复数及四则运算
复数
A a jb
可以用复平面上的点 A(a, b) 表示
一、复数及四则运算
复数
A a jb
可以用复平面上的点 A(a, b) 表示
也可以用矢量OA表示 矢量OA的长度r 称为复数A的模
例：工频条件下，两正弦量的相量分别为
U1 10 2 60

U 2 20 2 30

试求：两正弦交流电压的解析式

三、同频率正弦量和的相量与他们的相量和
同频率正弦量和的相量等于正弦量相量的 和
u1 141sin(t 45 ) V

U1 100 45



u2 84.6 sin(t 30 ) V
问：美国的电器拿到 中国能不能正常用？
有线通信频率为300~5000Hz 无线通信频率为30kHz~3x104 MHz. 高频炉的频率是200~300 kHz； 中频炉500~8000Hz； 高频电动机的频率是150~2000 Hz 收音机中波段的频率是530~1600 kHz，短波段 的频率为2.3~23 MHz
流电压u的解析式为 ，其有效值 . 4.电压u的初相角 u 30 ，电流i的初相角 i 30 ， 电压u与电流i的相位关系应为（ ）。
A.同相 B．反相 C．电压超前电流 D．电压滞后电流
下列属于直流电压范围的有（ ），属于 交流电压范围的是（ ）。
复习
1.正弦量 2.正弦交流电解析式 3.正弦交流电波形图 4.正弦交流电的三要素 （最大值/有效值） （角频率/周期/频率） （初相位）
4.2
正弦交流电的相量表示
“相量法”： 工程计算中通常采用复数表示正弦 量，把对正弦量的各种运算转化为复数 的各种运算，可以大大简化正弦电路的 分析计算过程。
一、复数及四则运算
1.复数的表达形式
（1）代数形式 （2）三角函数形式
（3）指数形式 （4）极坐标形式
一、复数及四则运算 1.复数的表达形式
+
_
t t
正弦交流电的瞬时值表达式一般表示为
e Em sin(t e )
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
该表示方法也称为正弦交流电的解析式表示法。
正弦交流电的三要素
瞬时值：
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
i3 7.5 sin(t / 2)
相位
正弦交流电在t时刻所对应的角度称为相位 角，简称相位。
相位差
同一时刻，两个同频率交流电的相位之差称 为相位差，用 表示。
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
ui (t u ) (t i ) u i
矩形波
三角波
正弦波（交流电）
交流电分为: （1）正弦交流电
大小和方向随时间按正弦规律变化的电流和电压
（2）非正弦交流电
大小和方向随时间不按正弦规律变化的电流和电 压
本单元一下内容中交流电 都是指正弦交流电
I

I
U

K
I st

Im
a)
b)
图9–19 电阻分相起动异步电动机
正弦交流电文字符号 用“AC”表示，图形 符号用“~”表示
正弦交流电的有效值
I RT i Rdt
2 2 0 T
i I m sin(t i ) 2I sin(t i )
1 T 2 I ( I sin t ) dt m 0 T
2 Im Im 0.707I m 2 2
1）正弦交流电的最大值是有效值的 2 倍 2）在实际应用中，通常所说的交流电的电压或电流的数 值均指的是有效值。 3）交流电压表、电流表测量指示的电压、电流读数一般 都是有效值。一般只有在分析电气设备（如电路元件） 的绝缘耐压能力时，才用到最大值。
例：我国动力用电和照明用电的电压分别 为380V、220V，它们的最大值分别为多少？
答：537V 311V 提示：目前我国供电系统中的照明电压为 220V，是指电压的有效值为220V，其最大 值为311V。因此，家用电动电气如洗衣机、 电风扇中的启动电容器的额定工作电压要 不小于311V,一般选用400V或500V.
2 T
频率
正弦交流电在1s内完成周期性变化的次数，称 为正弦交流电的频率。 通常用f表示，国际单位是赫兹，符号为Hz。频 率的常用单位还有千赫兹（kHz）和兆赫兹（MHz）。
1 kHz=1000 Hz
1MHz=1000000 kHz
2 2f T
我国供电系统中，交流电的频率为50Hz， 习惯上称为“工频”，其周期是0.02s，角 频率是100πrad/s或314rad/s。 欧洲交流电工频50Hz，美国为60Hz。日本 以日本列岛中央、富士河附近为分界线， 东部为50Hz，西部为60Hz。
一、复数及四则运算
2.复数的运算法则 （2）乘、除法
规则： 复数相乘，模相乘，辐角相加； 复数相除，模相除，辐角相减。
A1 r 1 1
A2 r2 2
(1 2 )
A1 A2 r1r2
A1 r1 (1 2 ) A2 r2
注意：复数的乘、除运算应用极坐标形式较为方便。
例： A1 553
A 1 A 2 ? A1 A2 ?
A2 5 37
一、复数及四则运算
复数的运算： 2. 复数的运算法则
（1）加、减法
1）代数形式：实部和实部相加减，虚部和虚部相加减
A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
2）作图法：复数相加“用平 行四边形法则”，复数相减 用“三角形法则” 。
结论：两个同频率正弦量的相位差等于它们的 初相差，与计时起点无关
注意： 1.
2.只有同频率的正弦量才能比较相位。
3.两个同频率正弦量的相位关系还可以用超前和之
后来表示。 例：
ui 0 ui 0
电压u超前电流i 电流i滞后电压u 电压u滞后电流i 电流i超前电压u
单元4
单相正弦交流电路
4.1正弦交流电的基本概念 4.2正弦交流电的相量表示
4.3 交流电路中的电阻、电容、电感元件 4.4 RLC串并联电路及其阻抗与导纳
4.5正弦交流电路的分析——相量法
4.6正弦交流电的功率及功率因数 单元小结
什么是 交流电？
大小和方向随时间做周期性变化的电流和 电压，分别称为交变电流和交变电压。统 称为交流电。

U 2 60 30

u u1 u2 U m sin(t )
U U1 U 2

U U

练习 课本P78，T9
I1 5 30 5 cos30 j 5 sin 30 5 3 5 j 2 2
一、复数及四则运算
例：
A 5 37 A 5 53 2 1
求： A1 A2 ?
A1 ? A2
练习： 课本P78 T7，T8
A1 A2 r1r2
(1 2 )
A1 r1 (1 2 ) A2 r2
二、正弦量的相量表示法
1.正弦交流电的相量
A a jb
A r cos jr sin
j
A re
A r
一、复数及四则运算
例 1：
写出 A 1 3 j4
A2 4 j3 的其它三种表达式？
例2：
写出 A j 的指数表达式和极坐标表达式？
一、复数及四则运算
2.复数的运算法则
（1）加、减法
1）代数形式： 规则：实部和实部相加减，虚部和虚部相加减
初相位φ0 把t=0时，对应的相位称为初相位或初 相角。
注意： 初相位可以为正，也可以为负，一般用弧度表示，也 可用绝对值不大于180°的角度表示。
4.1
例
正弦交流电的基本概念
如图所示的正弦交流电，写出它们的瞬时值表达式。
答案:
i1 5 sin t
i2 7.5 sin(t / 6)
a) 电动机结构
b) 相量图
正弦交流电的优点：
变压器变压对电能 进行输送、分配只 能依靠交流电工作
产生
交流发电机比 直流发电机结 构简单，价格 便宜
分配、传输 举例： 使用
电风扇 日关灯 洗衣机 电脑等
产生
交流发电机比 直流发电机结构 简单，价格便宜
变压器变压对电能进 行输送、分配只能 依靠交流电工作 分配、传输
三要素：
Um、Im 最大值或振幅 角频率或角速度，
单位是弧度/秒
i 、u 初相位
一般规定取值 在-π～π之 间
正弦交流电的三要素 最大值
正弦交流电在一个周 期内所能达到的最大数 值，称为正弦交流电的 最大值，又称振幅、幅 值或峰值。
最大值反应交流电 变化的范围
用带下标m的大写字母用Im、Um、Em 表示电流、电压、电动势的最大值。
设 A 1 a1 jb 1
则
A2 a2 jb2
A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
注意：复数的加、减运算应用代数形式较为方便。
一、复数及四则运算
例： A1 3 j 4
A 1 A 2 ? A1 A2 ? A2 4 j3