【典型题】高中必修五数学上期中一模试题及答案

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【典型题】高中必修五数学上期中一模试卷(含答案)(2)

【典型题】高中必修五数学上期中一模试卷(含答案)(2)

【典型题】高中必修五数学上期中一模试卷(含答案)(2)一、选择题1.如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值,则A .111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B .111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C .111A B C ∆是钝角三角形,222A B C ∆是锐角三角形D .111A B C ∆是锐角三角形,222A B C ∆是钝角三角形 2.已知等比数列{}n a ,11a =,418a =,且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<,则k 的取值范围是( ) A .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.在等差数列{a n }中,1233,a a a ++=282930165a a a ++=,则此数列前30项和等于( ) A .810B .840C .870D .9004.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为( ) A .一尺五寸B .二尺五寸C .三尺五寸D .四尺五寸5.已知实数x ,y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩,若直线10kx y -+=经过该可行域,则实数k的最大值是( ) A .1B .32C .2D .36.设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为( )A .0B .1C .2D .37.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ,则()235log a a ⋅的值为( ) A .8B .10C .12D .168.已知数列{an}的通项公式为an =2()3nn 则数列{an}中的最大项为( )A .89B .23C .6481D .1252439.在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n +=++,则n a =A .2ln n +B .2(1)ln n n +-C .2ln n n +D .1ln n n ++10.已知0,0x y >>,且91x y +=,则11x y+的最小值是 A .10B .12?C .14D .1611.已知{}n a 是等比数列,22a =,514a =,则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A .()1614n--B .()1612n--C .()32123n -- D .()32143n -- 12.已知正项数列{}n a 中,*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ,则数列{}n a 的通项公式为( )A .n a n =B .2n a n =C .2n na =D .22n n a =二、填空题13.如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.14.已知数列{}n a 满足11a =,111n na a +=-+,*n N ∈,则2019a =__________. 15.设0x >,则231x x x +++的最小值为______.16.已知函数()3af x x x=++,*x ∈N ,在5x =时取到最小值,则实数a 的所有取值的集合为______.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = ________.18.在ABC ∆中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC=__________.19.(理)设函数2()1f x x =-,对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立,则实数m 的取值范围是______. 20.正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ,6290-=a a ,则{}n a 前5项和为________.三、解答题21.在等差数列{}n a 中,2723a a +=-,3829a a +=-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n n a b +是首项为1,公比为2的等比数列,求{}n b 的前n 项和n S . 22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211a =,7161S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 23.已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ,且143,24.a S ==(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .24.在ABC ∆角中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,若asinB =. (1)求角A ;(2)若ABC ∆的面积为5a =,求ABC ∆的周长.25.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且124,,S S S 成等比数列,24S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .26.设函数2()1f x mx mx =--.(1)若对于一切实数x ,()0f x <恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若对于[1,3]x ∈,()0f x <恒成立,求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D 解析:D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0,则111A B C ∆是锐角三角形,若222A B C ∆是锐角三角形,由,得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-,那么,2222A B C π++=,矛盾,所以222A B C ∆是钝角三角形,故选D.2.D解析:D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,则34118a q a ==,解得12q =, ∴112n n a -=, ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=, ∴数列1{}n n a a +是首项为12,公比为14的等比数列,∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-, ∴23k ≥.故k 的取值范围是2[,)3+∞.选D .3.B解析:B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组,共十组的和,显然这十组依次成等差数列,因此和为10(3165)8402+= ,选B. 4.B解析:B 【解析】【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ,可得{}n a 为等差数列,根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系,求出通项公式,即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===尺,所以59.5a =尺,由题知1474331.5a a a a ++==, 所以410.5a =,所以公差541d a a =-=-, 所以1257 2.5a a d =+=尺。

高中必修五数学上期中一模试卷及答案

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高中必修五数学上期中一模试卷及答案一、选择题1.朱载堉(1536~1611),是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为1f ,第七个音的频率为2f ,则21f f = A.BCD2.已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ,则1212a x x x x ++的最大值是( ) ABCD. 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n S 取最大值时的n 为 A .4B .5C .6D .4或54.已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则3x y -的最小值为( )A .4B .8C .12D .165.关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中,恰有3个整数,则a 的取值范围是( )A .[)(]3,24,5--⋃B .()()3,24,5--⋃C .(]4,5D .(4,5)6.已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+,设其前n 项和为n S ,则使5n S <-成立的自然数n ( )A .有最小值63B .有最大值63C .有最小值31D .有最大值317.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =,则a cb+的值为( ) A .2BC.2D .48.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,60A =︒,a=4b =,则B =( )A .30B =︒或150B =︒ B .150B =︒C .30B =︒D .60B =︒9.已知数列{}n a 中,3=2a ,7=1a .若数列1{}na 为等差数列,则9=a ( ) A .12B .54C .45D .45-10.在等差数列{}n a 中,如果123440,60a a a a +=+=,那么78a a +=( ) A .95B .100C .135D .8011.两个等差数列{}n a 和{}n b ,其前n 项和分别为n S ,n T ,且723n n S n T n +=+,则220715a ab b +=+( )A .49B .378C .7914D .1492412.若正数,x y 满足40x y xy +-=,则3x y+的最大值为 A .13B .38C .37D .1二、填空题13.已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-,则数列{}n b 的前100的项和为______. 14.在△ABC 中,2a =,4c =,且3sin 2sin A B =,则cos C =____.15.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为:第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处,其中11x =,11y =,当2K ≥时,111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a 的整数部分,例如()2.62T =,()0.20T =.按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________.16.不等式211x x --<的解集是 .17.设等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-,则935784a ab b b b +++的值为_______. 18.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB =,BC =,AB AD ⊥,AC CD ⊥,3AD AC =,则AC =__________.19.正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ,6290-=a a ,则{}n a 前5项和为________.20.已知实数x ,y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩,若2z x y =+的最小值为3,则实数b =____ 三、解答题21.在平面四边形ABCD 中,已知34ABC π∠=,AB AD ⊥,1AB =.(1)若5AC =ABC ∆的面积;(2)若25sin CAD ∠=4=AD ,求CD 的长. 22.在等差数列{}n a 中,2723a a +=-,3829a a +=-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n n a b +是首项为1,公比为2的等比数列,求{}n b 的前n 项和n S . 23.已知等比数列{}n a 的公比1q >,且满足:23428a a a ++=,且32a +是24,a a 的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ,求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值.24.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且124,,S S S 成等比数列,24S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .25.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c ,已知cos2A ﹣3cos (B+C )=1. (1)求角A 的大小; (2)若△ABC 的面积S=5,b=5,求sinBsinC 的值.26.在ABC ∆角中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若3asinB bcosA =. (1)求角A ;(2)若ABC ∆的面积为235a =,,求ABC ∆的周长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】:先设第一个音的频率为a ,设相邻两个音之间的频率之比为q ,得出通项公式, 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍,得出公比,最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

【必考题】高中必修五数学上期中一模试题(附答案)

【必考题】高中必修五数学上期中一模试题(附答案)

【必考题】高中必修五数学上期中一模试题(附答案)一、选择题1.已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩,若()(1)n a f n f n =++,则123100a a a a ++++=LA .0B .100C .100-D .102002.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为( ) A .一尺五寸B .二尺五寸C .三尺五寸D .四尺五寸3.下列函数中,y 的最小值为4的是( )A .4y xx=+B .2y =C .4x x y e e -=+D .4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4.已知等比数列{}n a 中,11a =,356a a +=,则57a a +=( )A .12B .10C .D .5.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ,且1514a a +=-,927S =-,则使得n S 取最小值时的n 为( ). A .1B .6C .7D .6或76.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =,则a cb+的值为( )A .2BC .2D .47.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( ) A .7B .5C .5-D .7-8.已知正数x 、y 满足1x y +=,则141x y++的最小值为( )A .2B .92C .143D .59.若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值,则a 等于( )A .3B .1C .1+D .410.已知{}n a 是等比数列,22a =,514a =,则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A .()1614n--B .()1612n--C .()32123n -- D .()32143n -- 11.若0,0x y >>,且211x y+=,227x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(8,1)-B .(,8)(1,)-∞-⋃+∞C .(,1)(8,)-∞-⋃+∞D .(1,8)-12.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若sin 2sin 0b A B +=,b =,则ca的值为( )A .1B C D 二、填空题13.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).①ab≤1; ; ③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 14.已知数列{}n a 满足11a =,111n na a +=-+,*n N ∈,则2019a =__________. 15.设0x >,则231x x x +++的最小值为______.16.已知在△ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2a b c +=,则C ∠的取值范围为________17.若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩,前n 项和为n S ,则lim n n S →∞=______. 18.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是__________.19.若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式234yx m m +<-有解,则实数m 的取值范围是____________ .20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,636S =,则789a a a ++等于______.三、解答题21.在等差数列{}n a 中,2723a a +=-,3829a a +=-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n n a b +是首项为1,公比为2的等比数列,求{}n b 的前n 项和n S .22.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式;(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 23.设数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和.24.各项均为整数的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,11a =-,2a ,3a ,41S +成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T .25.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若2a =,求ABC V 面积的最大值.26.已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ,且143,24.a S ==(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】试题分析:由题意可得,当n 为奇数时,()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时,()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ,故选B.考点:数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题,考查了考生的数据处理与运算能力,属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式,然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2.B解析:B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ,可得{}n a 为等差数列,根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系,求出通项公式,即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===尺,所以59.5a =尺,由题知1474331.5a a a a ++==, 所以410.5a =,所以公差541d a a =-=-, 所以1257 2.5a a d =+=尺。

新高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)(2)

新高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)(2)

新高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)(2)一、选择题1.在等差数列{a n }中,1233,a a a ++=282930165a a a ++=,则此数列前30项和等于( ) A .810B .840C .870D .9002.设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,则这个三角形的形状是 ( ) A .直角三角形B .等边三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形3.设x ,y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩,若Z ax y =+的最大值为29a +,最小值为2a +,则实数a 的取值范围是( ).A .(,7]-∞-B .[3,1]-C .[1,)+∞D .[7,3]--4.已知{}n a 为等差数列,若20191<-a a ,且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值,则n S 的最小正值为( ) A .1SB .19SC .20SD .37S5.已知数列{}n a 的首项11a =,数列{}n b 为等比数列,且1n n na b a +=.若10112b b =,则21a =( )A .92B .102C .112D .1226.已知数列{}n a 满足11a =,12nn n a a +=+,则10a =( )A .1024B .2048C .1023D .20477.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n S 取最大值时的n 为 A .4B .5C .6D .4或58.已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则3x y -的最小值为( )A .4B .8C .12D .169.已知幂函数()y f x =过点(4,2),令(1)()n a f n f n =++,n +∈N ,记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,则10n S =时,n 的值是( ) A .10B .120C .130D .14010.20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6,z 的最小值为( )A .0B .-1C .-2D .-311.已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数,且最大的内角是最小内角的2倍,则最小角的余弦值为( ) A .34B .56C .78D .2312.数列{}n a 中,()1121nn n a a n ++-=-,则数列{}n a 的前8项和等于( ) A .32B .36C .38D .40二、填空题13.在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=,且6ABC S ∆=,则b =__________. 14.已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是________.15.已知数列{}n a 是等差数列,若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ,且13k a =,则k =_________.16.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+,若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >,则实数p 的取值范围是__________.17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =,ABC ∆的面积为2214a b +-,则ABC ∆面积的最大值为_____. 18.已知三角形中,边上的高与边长相等,则的最大值是__________.19.设2a b +=,0b >,则当a =_____时,1||2||a a b+取得最小值. 20.在ABC ∆中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC=__________. 三、解答题21.已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=,24612a a a ++=,等比数列{}n b 公比1q >,且2420b b a +=,38b a =.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n c ,满足4nn n c b =-,且数列{}n c 的前n 项和为n B ,求证:数列n n bB ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <. 22.已知数列{}n a 是等差数列,111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若从数列{}n a中依次取出第2项,第4项,第8项,L ,第2n 项,按原来的顺序组成一个新数列,求12n n S b b b =+++L .23.如图,在平面四边形ABCD 中,42AB =,22BC =,4AC =.(1)求cos BAC ∠;(2)若45D ∠=︒,90BAD ∠=︒,求CD .24.在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值. 25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1250,15a a S +==,数列{}n b 满足:12b a =,且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若211(5)log n n n c a b +=+⋅,求数列{}n c 的 前n 项和.n T26.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且124,,S S S 成等比数列,24S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组,共十组的和,显然这十组依次成等差数列,因此和为10(3165)8402+= ,选B. 2.B解析:B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,所以23sin sin sin 4B AC =⋅=,整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列, 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得2,33B AC ππ=+=,再利用三角公式转化,属于中档题.3.B解析:B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域(如图阴影部分),目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距,即y ax z =-+,(1)当0a <时,直线z ax y =+的斜率为正,要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得,则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率, 即3a -≤,30a ∴-≤<.(2)当0a >时,直线z ax y =+的斜率为负,易知最小值在A 处取得,要使得z 的最大值在C 处取得,则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-, 01a ∴<≤.(3)当0a =时,显然满足题意. 综上:31a -≤….【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.4.D解析:D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <,对20191<-a a 进行化简,运用等差数列的性质进行判断,求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列,若20191<-a a ,则2019190a a a +<, 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值,可得0d <,19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>, 31208190a a a a ∴+=+<,380S <,则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用,需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题,本题属于中档题,需要掌握解题方法.5.B解析:B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1,由此利用b 10b 11=2,根据等比数列的性质能求出a 21. 【详解】数列{a n }的首项a 1=1,数列{b n }为等比数列,且1n n na b a +=, ∴3212212a a b a b a a ==,=4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=,,=,, …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ,,()()() . 故选B . 【点睛】本题考查数列的第21项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递公式和等比数列的性质的合理运用.解析:C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+,所以12nn n a a +-=,因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ,选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和,考查基本分析求解能力,属基础题.7.B解析:B 【解析】由{}n a 为等差数列,所以95532495S S a a d -=-==-,即2d =-, 由19a =,所以211n a n =-+, 令2110n a n =-+<,即112n >, 所以n S 取最大值时的n 为5, 故选B .8.A解析:A 【解析】 【分析】作出可行域,变形目标函数并平移直线3y x =,结合图象,可得最值. 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域(如图ABC V ),变形目标函数可得3y x z =-,平移直线3y x =可知, 当直线经过点(2,2)A 时,截距z -取得最大值, 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选:A.【点睛】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.9.B解析:B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式,由此求得n a 的表达式,利用裂项求和法求得n S 的表达式,解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=,将()4,2代入得142,2αα==,所以()f x x =所以1n a n n =+11nn n a =+1121n S n n n n =+-L 11n =+,由1110n S n =+=解得120n =,故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法,考查裂项求和法,考查方程的思想,属于基础题.10.D解析:D 【解析】作出不等式对应的平面区域, 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ,由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时,直线y=−x+z 的截距最大, 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时,直线y=−x+z 的截距最小,此时z 最小. 由6{x y x y +=-=得A(3,3),∵直线y=k 过A ,由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3, 本题选择D 选项.点睛:求二元一次函数z =ax +by (ab ≠0)的最值,将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式:b zy x a b =-+,通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.11.A解析:A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,根据余弦定理求出最小角的余弦值,然后再由正弦定理求得最小角的余弦值,进而得到n 的值,于是可得最小角的余弦值. 【详解】由题意,设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,对应的三角分别为,,A B C , 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===, 所以2cos 2n A n+=. 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++.所以2522(2)n n n n ++=+,解得4n =, 所以453cos 2(42)4A +==+,即最小角的余弦值为34.【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边,其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程,使得问题得以求解,考查正余弦定理的应用及变形、计算能力,属于基础题.12.B解析:B 【解析】 【分析】根据所给数列表达式,递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加,即可求得2n n a a ++,即隔项和的形式.进而取n 的值,代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-,① 得()121121n n n a a n ++++-=+,②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++,取1,5,9n =及2,6,10n =,易得13572a a a a +=+=,248a a +=,6824a a +=, 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选:B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键,属于中档题.二、填空题13.4【解析】已知等式利用正弦定理化简得:可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析:4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+,利用正弦定理化简得:2b a c =+,3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==,114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=,可解得15ac =,∴余弦定理可得,2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭,∴可解得4b =,故答案为4.14.【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析:1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据命题否定为真,结合二次函数图像列不等式,解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题,所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立,考查基本分析求解能力,属基础题.15.18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析:18 【解析】471017a a a ++=,观察下标发现4,7,10成等差数列,所以74710317a a a a =++=,7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=L ,97a ∴=423d ∴=,23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=16.【解析】试题分析:因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是:函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点:一元二次方程的根与系数的关系【解析:3(3,)2-【解析】试题分析:因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ,使()0f x >的否定是:“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ,使()0f x ≤”,所以(1)0{(1)0f f ≤-≤,即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤,整理得222390{210p p p p +-≥--≥,解得32p ≥或3p ≤-,所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ,使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.考点:一元二次方程的根与系数的关系.【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系,其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线,得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时,得到不等式组是解答的关键,属于中档试题.17.【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛 解析:214+ 【解析】 【分析】结合已知条件,结合余弦定理求得π4C =,然后利用基本不等式求得ab 的最大值,进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①,由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②,由①②得sin cos C C =,由于()0,πC ∈,所以π4C =.故2212cos 22a b C ab +-==,化简得2221ab a b =+-,故222121ab a b ab =+-≥-,化简得22ab +≤.所以三角形面积1122221sin 22S ab C ++=≤⨯⨯=. 故答案为214+. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查基本不等式求最值的方法,属于中档题.18.22【解析】试题分析:由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析:【解析】试题分析:由题意得,因此,从而所求最大值是考点:正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果.19.【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是;当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为:【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析:2-【解析】 【分析】利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b++,再对a 分0a >,0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=, 所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++, 又因为0b >,||0a >, 所以||||214||4||b a b a a b a b+⋅=…, 因此当0a >时,1||2||a a b +的最小值是15144+=; 当0a <时,1||2||a a b +的最小值是13144-+=.故1||2||a a b +的最小值为34,此时,42,0,ab a b a b a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩即2a =-. 故答案为:2-. 【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时,要验证等号成立的条件.20.【解析】【分析】【详解】试题分析:考点:正余弦定理解三角形 解析:1【解析】 【分析】 【详解】试题分析:222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点:正余弦定理解三角形三、解答题21.(1)n a n =,2nn b =;(2)证明见解析.【解析】 【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩,可计算出1a 和d的值,利用等差数列的通项公式可求出n a ,根据题意得出1b 与q 的方程组,结合条件1q >,求出1b 和q 的值,利用等比数列的通项公式可求出n b ;(2)利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=,可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭,然后利用裂项法可求出n T ,即可证明出32n T <. 【详解】(1)1359a a a ++=Q ,由等差中项的性质得339a =,33a ∴=,同理可得44a =, 设等差数列{}n a 的公差为d ,43431d a a ∴=-=-=,1323211a a d =-=-⨯=,()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩,两个等式相除得2152q q +=,整理得22520q q -+=.1q >Q ,解得2q =,12b ∴=,因此,111222n n n n b b q --==⨯=;(2)442n n nn n c b =-=-Q ,()()()1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----L L ()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==,()()()()()()111112323222221222121213n n nn n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭, 22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解,数列不等式的证明,涉及了裂项求和法与分组求和法,考查计算能力,属于中等题.22.(1)32n a n =+;(2)6226nn T n =⨯+-【解析】 【分析】(1)先由条件可以判断出数列是递增数列,再由等差数列的性质:m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ,然后根据等差数列通项公式即可求解.(2)由(1)可得数列n b 的通项公式,然后利用分组求和即可求解. 【详解】(1)等差数列{}n a 中,111038,37n n a a a a a a +>+=+=,11011016037a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩ 解得110532a a =⎧⎨=⎩3253101d -∴==-, ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.(2)由(1)知,12322b a ==⨯+,24342b a ==⨯+,…2322n nn b a ==⋅+,()()()12322342322n n n S b b b ∴=+++=⨯++⨯+++⋅+L L ()122324223212n nn n +-=⨯++++=⨯+-L13262n n +=⨯-+ 6226n n =⨯+-.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前n 项和,属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种:一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减;解题中需要熟练掌握公式和性质,对计算能力要求较高. 23.(1)8;(2)CD =5 【解析】 【分析】(1)直接利用余弦定理求cos∠BAC;(2)先求出sin∠DAC=8,再利用正弦定理求CD . 【详解】(1)在△ABC 中,由余弦定理得:222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅8==. (2)因为∠DAC=90°-∠BAC,所以所以在△ACD 中由正弦定理得:sin sin45CD ACDAC =∠︒=,所以CD =5. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24.(1)2π3B =;(2)8. 【解析】【试题分析】(1)先正弦定理将已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=-化为边的关系,然后运用余弦定理求解;(2)先借助正弦定理求出1sin 4BAD ∠=,然后运用余弦二倍角求出7cos 8BAC ∠=,进而运用平方关系求出sin BAC ∠. 解:(1) 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-, 222a c b ac ∴+=-,2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=-,()0,πB ∈Q , 2π3B ∴=.(2) 在ABD V 中,由正弦定理:sin sin AD BD B BAD=∠,得1sin 1sin 4BD B BAD AD ∠===, 217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅=,sin BAC ∴∠===. 25.(1)23n a n =-,14n n b -=;(2)4(1)n nT n =+【解析】 【分析】(1)将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组,解方程组求得1,a d 的值,进而求得数列{}n a 的通项公式,由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=,判断出数列{}n b 是等比数列,进而求得数列{}n b 的通项公式.(2)利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,所以11120,1,2,23545152n a d a d a n a d +=⎧⎪∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩; 由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=,14n nb b +∴=,所以数列{}n b 是以4为公比,首项121b a ==的等比数列,14.n n b -∴= (2)因为2111111(),(5)log (22)(2)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++1211111111b b b (1).42233414(n 1)n n nT n n ∴=+++=-+-+-++-=++L L【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查裂项求和法,考查运算求解能力,属于中档题. 26.(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30. 【解析】试题分析:第一问根据条件中数列为等差数列,设出等差数列的首项和公差,根据题中的条件,建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式,从而求得结果,利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式,第二问利用第一问的结果,先写出()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和,根据条件,得出相应的不等式,转化为最值来处理,从而求得结果.试题解析:(1)因为{}n a 为等差数列,设{}n a 的首项为1a ,公差为d ()0d ≠,所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+.又因为124,,S S S 成等比数列,所以()()2111462a a d a d ⋅+=+.所以212a d d =.因为公差d 不等于0,所以12d a =.又因为24S =,所以1a 1,d 2==,所以21n a n =-.(2)因为()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以311111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭L 31312212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 要使20n m T <对所有n N *∈都成立,则有3202m ≥,即30m ≥.因为m N *∈,所以m 的最小值为30.考点:等差数列,裂项相消法求和,恒成立问题.。

最新高中必修五数学上期中一模试题带答案(1)

最新高中必修五数学上期中一模试题带答案(1)

最新高中必修五数学上期中一模试题带答案(1)一、选择题1.定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数: ①()3f x x =;②()xf x e =;③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为( ) A .①②B .③④C .①③D .②④2.下列命题正确的是A .若 a >b,则a 2>b 2B .若a >b ,则 ac >bcC .若a >b ,则a 3>b 3D .若a>b ,则1a <1b3.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ,则()235log a a ⋅的值为( ) A .8B .10C .12D .164.若ABC V 的对边分别为,,a b c ,且1a =,45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =( ) A .5B .25CD.5.等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .2018B .2019C .4036D .40376.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,若3132312log log log 12a a a ++⋯+=,则67a a =( ) A .1B .3C .6D .97.若x ,y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2z y x =-的最大值为( ).A .8-B .4-C .1D .28.如果等差数列{}n a 中,3a +4a +5a =12,那么1a +2a +…+7a =( ) A .14B .21C .28D .359.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<,则( ) A .n S 的最大值是8S B .n S 的最小值是8S C .n S 的最大值是7S D .n S 的最小值是7S10.若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值,则a 等于( ) A .3B .13+C .12+D .411.已知0,0x y >>,且91x y +=,则11x y+的最小值是 A .10B .12?C .14D .1612.在等差数列{}n a 中,如果123440,60a a a a +=+=,那么78a a +=( ) A .95B .100C .135D .80二、填空题13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且136S =,则91032a a -=__________. 14.已知120,0,2a b a b>>+=,2+a b 的最小值为_______________. 15.已知数列{}n a 满足11a =,111n na a +=-+,*n N ∈,则2019a =__________. 16.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+,若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >,则实数p 的取值范围是__________.17.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是__________. 18.如图所示,位于A 处的信息中心获悉:在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C 处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援,则cos θ=______________.19.(理)设函数2()1f x x =-,对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立,则实数m 的取值范围是______. 20.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122a a a a e +=,则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________.三、解答题21.已知数列{}n a 是递增的等比数列,且14239,8.a a a a +== (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,11n n n n a b S S ++=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 22.设数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和.23.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211a =,7161S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 24.在ABC ∆角中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若3asinB bcosA =. (1)求角A ;(2)若ABC ∆的面积为235a =,,求ABC ∆的周长.25.已知函数()f x a b =⋅v ,其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =,求ABC ∆的面积.26.数列{}n a 中,11a = ,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-.(1)求n S 的表达式; (2)设n b =21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,验证()()1n n f a f a +是否为非零常数,由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =,()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭,该函数为“保等比数列函数”;对于②中的函数()xf x e =,()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数,该函数不是“保等比数列函数”; 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===,该函数为“保等比数列函数”;对于④中的函数()ln f x x =,()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数,该函数不是“保等比数列函数”.故选:C. 【点睛】本题考查等比数列的定义,着重考查对题中定义的理解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.2.C解析:C 【解析】对于A ,若1a =,1b =-,则A 不成立;对于B ,若0c =,则B 不成立;对于C ,若a b >,则33a b >,则C 正确;对于D ,2a =,1b =-,则D 不成立.故选C3.C解析:C 【解析】 【分析】数列{}n a ,是等比数列,公比为2,前7项和为1016,由此可求得首项1a ,得通项公式,从而得结论. 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ,依题有:公比()717122,7,101612a q n S -====-,解得18a =,则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈,57352,2a a ∴==,从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==,故选C .【点睛】本题考查等比数列的应用.数列应用题求解时,关键是根据题设抽象出数列的条件,然后利用数列的知识求解.4.A解析:A 【解析】在ABC ∆中,1a =,045B ∠=,可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=,解得c =.由余弦定理可得:5b ===. 5.C解析:C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式,结合已知条件列不等式组,进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,所以0d <,且2018201900a a >⎧⎨<⎩,所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩,所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选:C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式,考查等差数列的性质,属于基础题.6.D解析:D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则,可知()31212log ...12a a a =,再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =,最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ,可得31212log 12a a a =L ,进而可得()6121212673a a a a a ==L ,679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质,属于中档题型,意在考查转化与化归和计算能力.7.D解析:D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,所表示的平面区域,如图所示,当0x ≥时,可行域为四边形OBCD 内部,目标函数可化为2z y x =-,即2y x z =+,平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时,直线的截距最大,从而z 最大,此时,max 2z =,当0x <时,可行域为三角形AOD ,目标函数可化为2z y x =+,即2y x z =-+,平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时,直线的截距最大,从而z 最大,max 2z =, 综上,2z y x =-的最大值为2. 故选D .点睛:利用线性规划求最值的步骤: (1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(ax by +型)、斜率型(y b x a++型)和距离型(()()22x a y b +++型). (3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8.C解析:C【解析】试题分析:等差数列{}n a 中,34544123124a a a a a ++=⇒=∴=,则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====L考点:等差数列的前n 项和9.D解析:D 【解析】 【分析】将所给条件式变形,结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性,从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号,即可判断n S 的最小值.【详解】由已知,得()11n n n S nS ++<, 所以11n n S S n n +<+, 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+, 所以1n n a a +<,所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<,即871a a <-, 所以80a >,70a <,即数列{}n a 前7项均小于0,第8项大于零, 所以n S 的最小值为7S , 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用,等差数列单调性的证明和应用,前n 项和最值的判断,属于中档题.10.A解析:A 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-,再利用基本不等式求出该函数的最小值,利用等号成立得出相应的x 值,可得出a 的值. 【详解】当2x >时,20x ->,则()()1122222f x x x x x =+=-++≥-- 4=, 当且仅当()1222x x x -=>-时,即当3x =时,等号成立,因此,3a =,故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件,利用基本不等式要对代数式进行配凑,注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用,考查计算能力,属于中等题.11.D解析:D 【解析】 【分析】通过常数代换后,应用基本不等式求最值. 【详解】∵x >0,y >0,且9x+y=1,∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立,即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值;关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.12.B解析:B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知:1234a a a a ++,,56a a +,78a a +构成新的等差数列,然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知:1234a a a a ++,,56a a +,78a a +构成新的等差数列,()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差,即可计算出结果。

【好题】高中必修五数学上期中一模试卷(含答案)(3)

【好题】高中必修五数学上期中一模试卷(含答案)(3)

【好题】高中必修五数学上期中一模试卷(含答案)(3)一、选择题1.已知等比数列{}n a ,11a =,418a =,且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<,则k 的取值范围是( ) A .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2.设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,则这个三角形的形状是 ( ) A .直角三角形B .等边三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形3.若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形,则实数a 的取值范围是( )A .4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .(]0,1C .41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U4.已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ,则1212a x x x x ++的最大值是( ) ABCD.3-5.已知数列{}n a 的首项11a =,数列{}n b 为等比数列,且1n n na b a +=.若10112b b =,则21a =( )A .92B .102C .112D .1226.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n S 取最大值时的n 为 A .4 B .5C .6D .4或57)63a -≤≤的最大值为( )A .9B .92C .3 D 8.若正数,x y 满足20x y xy +-=,则32x y+的最大值为( )A.13B.38C.37D.19.已知ABC∆的三边长是三个连续的自然数,且最大的内角是最小内角的2倍,则最小角的余弦值为()A.34B.56C.78D.2310.若不等式1221mx x≤+-在()0,1x∈时恒成立,则实数m的最大值为()A.9B.92C.5D.5211.中华人民共和国国歌有84个字,37小节,奏唱需要46秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°,第一排和最后一排的距离为102米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为(米/秒)A.3323B.5323C.323D.832312.设{}n a是首项为1a,公差为-2的等差数列,n S为其前n项和,若1S,2S,4S成等比数列,则1a= ( )A.8B.-8C.1D.-1二、填空题13.在ABC∆中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2a=,且()()()2sin sin sinb A Bc b C+-=-,则ABC∆面积的最大值为______.14.在ABC∆中,,,a b c分别为内角,,A B C的对边,若32sin sin sin,cos5B AC B=+=,且6ABCS∆=,则b=__________.15.设数列{}n a中,112,1n na a a n+==++,则通项na=___________.16.已知等比数列{}n a的首项为1a,前n项和为n S,若数列{}12nS a-为等比数列,则32aa=____.17.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是__________.18.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122a a a a e +=,则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________.19.已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ,y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为______.20.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).①ab≤1; ②a +b ≤2; ③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 三、解答题21.在ABC ∆中,内角、、A B C 的对边分别为a b c ,,,()2cos cos cos 0C a B b A c ++=.(Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若22a b ==,,求()sin 2B C -的值.22.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.(Ⅰ)求sin B 的值; (Ⅱ)若33a c +=,3b =,求的面积.23.已知向量113,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线,设函数()y f x =. (1)求函数()f x 的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ,若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,边217,sin 7BC B ==,求ABC ∆的面积. 24.设等差数列{}n a 满足35a =,109a =- (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值 25.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,14cos a C a+=,1b =. (1)若90A ∠=︒,求ABC V 的面积; (2)若ABC V 的面积为32,求a ,c . 26.在数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,223()n nS n a n N *+=∈.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n n a b a a ++=⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明14n T <.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,则34118a q a ==,解得12q =, ∴112n n a -=, ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=, ∴数列1{}n n a a +是首项为12,公比为14的等比数列,∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-, ∴23k ≥.故k 的取值范围是2[,)3+∞.选D .2.B解析:B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,所以23sin sin sin 4B AC =⋅=,整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得2,33B AC ππ=+=,再利用三角公式转化,属于中档题.3.D解析:D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形,我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…,再对a 值进行分类讨论,找出满足条件的实数a 的取值范围. 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示.由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,. 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形,则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选:D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合分类讨论的思想,针对图象分析满足条件的参数的取值范围.4.D解析:D 【解析】:不等式x 2-4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),根据韦达定理,可得:2123x x a =,x 1+x 2=4a ,那么:1212a x x x x ++=4a +13a. ∵a <0, ∴-(4a +13a )143a a ⨯43,即4a +13a ≤43故1212a x x x x ++的最大值为43. 故选D .点睛:本题主要考查基本不等式,其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.5.B解析:B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1,由此利用b 10b 11=2,根据等比数列的性质能求出a 21. 【详解】数列{a n }的首项a 1=1,数列{b n }为等比数列,且1n n na b a +=, ∴3212212a a b a b a a ==,=4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=,,=,, …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ,,()()() . 故选B . 【点睛】本题考查数列的第21项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递公式和等比数列的性质的合理运用.6.B解析:B 【解析】由{}n a 为等差数列,所以95532495S S a a d -=-==-,即2d =-, 由19a =,所以211n a n =-+, 令2110n a n =-+<,即112n >, 所以n S 取最大值时的n 为5, 故选B .7.B解析:B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数,可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤, 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得:36922a a -++≤=当且仅当36a a -=+,即32a =-时,等号成立, 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式,属于中档题.8.A解析:A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >,212y x =+-,从而33222(2)52x y x x =+-++-,再根据基本不等式可得出3123x y ≤+,则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >,0y >,20x y xy +-=,2122x y x x ∴==+--,0x >, 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--,22(2)5592x x -++≥=-Q , 当且仅当122x x -=-,即3x =时取等号, 31232(2)52x x ∴≤-++-,即3123x y ≤+,32x y ∴+的最大值为13. 故选:A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法,注意说明等号成立的条件,考查了计算和推理能力,属于中档题.9.A解析:A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,根据余弦定理求出最小角的余弦值,然后再由正弦定理求得最小角的余弦值,进而得到n 的值,于是可得最小角的余弦值. 【详解】由题意,设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,对应的三角分别为,,A B C , 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===, 所以2cos 2n A n+=. 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++.所以2522(2)n n n n ++=+,解得4n =, 所以453cos 2(42)4A +==+,即最小角的余弦值为34. 故选A . 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边,其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程,使得问题得以求解,考查正余弦定理的应用及变形、计算能力,属于基础题.10.B解析:B 【解析】 【分析】设f (x )1221x x=+-,根据形式将其化为f (x )()1152221x x x x-=++-.利用基本不等式求最值,可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2,得到f (x )的最小值为f(13)92=,再由题中不等式恒成立可知m ≤(1221x x+-)min ,由此可得实数m 的最大值. 【详解】解:设f (x )11222211x x x x=+=+--(0<x <1) 而1221x x+=-[x +(1﹣x )](1221x x +-)()1152221x x x x -=++-∵x ∈(0,1),得x >0且1﹣x >0∴()11221x x x x -+≥-2()11221x x x x-⨯=-2, 当且仅当()112211x x x x -==-,即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f (x )1221x x =+-的最小值为f (13)92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈(0,1)时恒成立,即m ≤(1221x x+-)min 因此,可得实数m 的最大值为92故选:B . 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立,求参数m 的取值范围.着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识,属于中档题.11.B解析:B 【解析】 【分析】如解析中图形,可在HAB ∆中,利用正弦定理求出HB ,然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度,最后可得速度. 【详解】如图,由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒,∴30AHB ∠=︒,在HAB ∆中,sin sin HB AB HAB AHB =∠∠,即102sin 45HB =︒,20HB =. ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=,10353v ==/秒). 故选B . 【点睛】本题考查解三角形的应用,解题关键是掌握正弦定理和余弦定理,解题时要根据条件选用恰当的公式,适当注意各个公式适合的条件.12.D解析:D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式,以及等比中项公式和前n 项和公式,准确运算,即可求解. 【详解】由题意,可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--, 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-,因为1S ,2S ,4S 成等比数列,可得2111(22)(412)a a a -=-,解得11a =-.故选:D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式,以及等比中项公式与求和公式的应用,其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.二、填空题13.【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为:【点睛】本题主要【解析】 【分析】 根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-,即222b c a bc +-=,由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==,再用基本不等式法求得4bc ≤,根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c +-=-,化简得222bc a bc +-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==sin ==A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤,当且仅当b c =时取""=所以1sin 4244∆==≤=ABC S bc A则ABC ∆【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理,基本不等式的综合应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.14.4【解析】已知等式利用正弦定理化简得:可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析:4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+,利用正弦定理化简得:2b a c =+,3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==,114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=,可解得15ac =,∴余弦定理可得,2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭,∴可解得4b =,故答案为4.15.【解析】∵∴将以上各式相加得:故应填;【考点】:此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式;【突破】:重视递推公式的特征与解法的选择;抓住中系数相同是找到方法的突破口;此题可用累和法迭代法等; 解析:()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+,()1221n n a a n --=+-+,()2331n n a a n --=+-+,⋯,3221a a =++,2111a a =++,1211a ==+将以上各式相加得:()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++;【考点】:此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式;【突破】:重视递推公式的特征与解法的选择;抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口;此题可用累和法,迭代法等;16.【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为:【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了解析:12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由数列{}12n S a -为等比数列,得出()()()2211131222S a S a S a -=--,求出q 的值,即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,由于数列{}12n S a -为等比数列,()()()2211131222S a S a S a ∴-=--,整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-,即()()2211q q q -=-+-,化简得220q q -=,0q ≠Q ,解得12q =,因此,3212a q a ==.故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算,同时也考查了等比中项的应用,考查运算求解能力,属于中等题.17.【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得 解析:30【解析】 【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=,当且仅当900x x=,即30x =时等号成立.故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.18.50【解析】由题意可得=填50解析:50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==,1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===L ,填50.19.(﹣∞【解析】【分析】由正实数xy 满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax ﹣ay +1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x解析:(﹣∞,265] 【解析】 【分析】由正实数x ,y 满足4454x y xy ++=,可求得x +y≥5,由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a ≤x+y+1x y+恒成立,利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围. 【详解】因为正实数x ,y 满足4454x y xy ++=,而4xy ≤(x+y )2,代入原式得(x +y )2﹣4(x+y )﹣5≥0,解得x +y≥5或x +y≤﹣1(舍去), 由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0可得a (x +y )≤(x+y )2+1,即a ≤x+y+1x y+,令t=x +y ∈[5,+∞),则问题转化为a ≤t+1t,因为函数y=t +1t在[5,+∞)递增, 所以y min =5+15=265, 所以a ≤265, 故答案为(﹣∞,265] 【点睛】本题考查基本不等式,考查对勾函数的单调性质,求得x +y≥5是关键,考查综合分析与运算的能力,属于中档题.20.①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①:因为所以所以故①项正确;对于②:左边平方可得:所以故②项错误;而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论;对于③:因为由①知所以故③项正确;对于④:故④项错误解析:①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①:因为,,所以,所以,故①项正确; 对于②:左边平方可得:,所以,故②项错误; 而利用特殊值,代入②中式子,也可得出②错误的结论;对于③:因为,由①知,所以,故③项正确;对于④:()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误; 对于⑤1a +1a =a b ab +=2ab≥2,故⑤项正确; 故本题正确答案为:①③⑤.三、解答题21.(Ⅰ)34C π=(Ⅱ)210- 【解析】 【分析】(I )利用正弦定理化简已知条件,求得cos C 的值,由此求得C 的大小.(II )根据余弦定理求得c ,利用正弦定理求得sin B ,利用同角三角函数关系式求得cos B ,由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值,再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】()2sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++= 2sin sin 0C C C +=,∴2cos C =0C π<<,∴34C π=(Ⅱ)因为22a b ==,,34C π=,由余弦定理得 22222cos 24222102c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭,∴10c =由5sin sin sin 5c b B C B =⇒=,因为B 为锐角,所以25cos 5B = 5254sin 22555B =⨯=,223cos 2cos sin 5B B B =-=()423272sin 2sin 2cos cos 2sin 55B C B C B C ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式以及两角差的正弦公式,属于中档题.22.(1)3; (2) 【解析】 【分析】(Ⅰ)已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简,整理后求出cosB 的值,确定出sinB 的值,(Ⅱ)利用余弦定理表示出cosB ,利用完全平方公式变形后,将a+b ,b ,cosB 的值代入求出ac 的值,再由sinB 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积. 【详解】(Ⅰ)由()3cos cos tan tan 11A C A C -=得,sin sin 3cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-=⎪⎝⎭,3sin sin cos cos )1A C A C ∴-=(,即()1cos 3A C ∴+=-, 1cos 3B ∴=,又0B π<< , sin B ∴=. (Ⅱ)由余弦定理得:2221cos 23a c b B ac +-== ()222123a c acb ac +--∴=,又a c +=,b =9ac =,1sin 2ABC S ac B ∆∴==. 【点睛】本题考查了余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.23.(1) 2,T π=当2,6x k k Z ππ=+∈时,()max 2f x = (2) ABC S ∆=【解析】 【分析】 【详解】(1)因为a r 与b r 共线,所以11(sin )022y x x -+=则()2sin 3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的周期2T π= 当26x k ππ=+,k Z ∈,max 2f =(2)∵3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴2sin 33A ππ⎛⎫-+=⎪⎝⎭∴sin 2A = ∵02A π<<∴3A π=由正弦定理得sin sin BC ACA B=又sin B =∴sin 2sin BC B AC A ==,且sin C =∴1sin 2ABC S AC BC C ∆==24.a n =11-2n,n=5时,S n 取得最大值 【解析】试题分析:解:(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9得,a 1+9d=-9,a 1+2d=5,解得d=-2,a 1=9,,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,(2)由(1)知S n =na 1+(1)2n n -d=10n-n 2.因为S n =-(n-5)2+25.所以n=5时,S n 取得最大值. 考点:等差数列点评:数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数,当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值,因此它具备函数的特性.25.(1)2;(2)a =2c =. 【解析】 【分析】(1)已知14cos a C a+= ,根据余弦定理和勾股定理等已知条件,可求得a 与c 的值,应用三角形面积公式,可求得三角形面积;(2)根据三角形面积公式,得sinC,根据14cos a C a+=,得cosC ,代入sin 2C+cos 2C=1,得关于a 的方程,解方程即可. 【详解】(1)∵14cos a C a += ()222222142a c a b c ab a+-+-=⨯=,∴2221c a =+. 又∵90A ∠=︒,∴22221a b c c =+=+.∴222212c a c =+=+,∴c =a =∴111sin 12222ABC S bc A bc ===⨯=V .(2)∵11sin sin 22ABC S ab C a C ===V ,∴sin C =.∵14cos a C a +=,sin C =,∴221114a a a ⎛⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎣⎦⎝⎭,化简得()2270a -=,∴a =2c =.【点睛】正弦定理和余弦定理可将已知条件中的边、角关系转化为角或边的关系;三角形面积公式S=111absin bcsin acsin 222C A B == 中既含有角,又含有边,可与正弦定理和余弦定理联系起来,为解三角形提供条件.26.(1)31nn a =-;(2)证明见解析; 【解析】 【分析】(1)首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=,然后两式相减得到132n n a a +=+,构造{}1n a +是公比为3的等比数列,求通项公式;(2)根据(1)113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----,再利用裂项相消法求和,证明14n T <. 【详解】(1)223n n S n a +=Q ,1122(1)3n n S n a ++∴++=,两式相减得132n n a a +=+ ,113(1)n n a a ++=+∴ ,又111223,2S a a +==∴,∴数列{}1n a +是以3为首项, 3为公比的等比数列,13,31n n n n a a +==-∴∴(2)113111()(31)(31)23131n n nn n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭∴1111142314n +=-⋅<- 【点睛】 本题重点考查了由递推公式求通项,以及裂项相消法求和,一般数列求和包含1.公式法,利用等差和等比数列的前n 项和公式求解;2.错位相减法求和,适用于等差数列乘以等比数列的数列求和;3.裂项相消法求和,适用于能变形为()()1n a f n f n =+-, 4.分组转化法求和,适用于n n n c a b =+;5.倒序相加法求和.。

高中必修五数学上期中一模试题含答案

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高中必修五数学上期中一模试题含答案一、选择题1.数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为( ) A .49B .50C .99D .1002.在等差数列{a n }中,1233,a a a ++=282930165a a a ++=,则此数列前30项和等于( ) A .810B .840C .870D .9003.设x ,y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩,若Z ax y =+的最大值为29a +,最小值为2a +,则实数a 的取值范围是( ).A .(,7]-∞-B .[3,1]-C .[1,)+∞D .[7,3]--4.已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ,则1212a x x x x ++的最大值是( ) ABCD.3-5.已知等比数列{}n a 中,11a =,356a a +=,则57a a +=( ) A .12B .10C.D.6.在ABC V 中,4ABC π∠=,AB =3BC =,则sin BAC ∠=( )ABCD7.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ,且1514a a +=-,927S =-,则使得n S 取最小值时的n 为( ). A .1B .6C .7D .6或78.在斜ABC ∆中,设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=,CD 是角C 的内角平分线,且CD b =,则cos C = ( )A .18B .34C .23 D .169.已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数,且最大的内角是最小内角的2倍,则最小角的余弦值为( )A .34B .56C .78D .2310.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若341118a a a ++=则11S =( ) A .9B .22C .36D .6611.在等差数列{}n a 中,如果123440,60a a a a +=+=,那么78a a +=( ) A .95B .100C .135D .8012.已知{}n a 是等比数列,22a =,514a =,则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A .()1614n--B .()1612n--C .()32123n -- D .()32143n -- 二、填空题13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且221n S n n n N *=++∈,,求n a =.__________.14.已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为2,则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________.15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,cos2C =,且cos cos 2a B b A +=,则ABC ∆面积的最大值为 .16.设a ∈R ,若x >0时均有[(a -1)x -1]( x 2-ax -1)≥0,则a =__________. 17.在△ABC 中,2BC =,AC =3B π=,则AB =______;△ABC 的面积是______.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = ________.19.若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+,则数列前n 项和为______. 20.在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C的对边,cos sin 0a C C b c --=.(1)求A .(2)若2a =,ABC △b ,c .22.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且asin B =-bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ;(2)若△ABC 的面积S2,求sin C 的值.23.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50/min m .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min 后,再从B 匀速步行到C ,假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ,山路AC 长为1260m ,经测量12cos 13A =,3cos 5C =.(1)求索道AB 的长;(2)问:乙出发多少min 后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ,乙步行的速度应控制在什么范围内?24.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知()3cos cos 0a b C c B ++=. (1)求cos C 的值;(2)若6c =ABC ∆的面积为324,求+a b 的值; 25.已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()*n S n N∈,{}nb 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.26.已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞.(1)当12a =时,求函数()f x 的最小值; (2)若对任意[)1,x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A【解析】试题分析:当1n =时,113a S ==;当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点:1求数列的通项公式;2数列求和问题.2.B解析:B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组,共十组的和,显然这十组依次成等差数列,因此和为10(3165)8402+= ,选B. 3.B解析:B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域(如图阴影部分),目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距,即y ax z =-+,(1)当0a <时,直线z ax y =+的斜率为正,要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得,则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率, 即3a -≤,30a ∴-≤<.(2)当0a >时,直线z ax y =+的斜率为负,易知最小值在A 处取得,要使得z 的最大值在C 处取得,则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-, 01a ∴<≤.(3)当0a =时,显然满足题意. 综上:31a -≤….故选:B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.4.D解析:D 【解析】:不等式x 2-4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),根据韦达定理,可得:2123x x a =,x 1+x 2=4a ,那么:1212a x x x x ++=4a +13a. ∵a <0, ∴-(4a +13a )=3,即4a +13a ≤-3 故1212a x x x x ++的最大值为3-. 故选D .点睛:本题主要考查基本不等式,其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.5.A解析:A 【解析】由已知24356a a q q +=+=,∴22q =,∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=,故选A.6.C解析:C 【解析】试题分析:由余弦定理得229223cos5,54b b π=+-⋅⋅⋅==.由正弦定理得35sin sin4BAC π=∠,解得310sin 10BAC ∠=. 考点:解三角形.7.B解析:B 【解析】试题分析:由等差数列的性质,可得,又,所以,所以数列的通项公式为,令,解得,所以数列的前六项为负数,从第七项开始为正数,所以使得取最小值时的为,故选B .考点:等差数列的性质.8.A解析:A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=,由cos 0C ≠可得2a b =;利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =,利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得:22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即:2sin 4sincos 3sin 222C C C C == ()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项:A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识;关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.9.A解析:A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,根据余弦定理求出最小角的余弦值,然后再由正弦定理求得最小角的余弦值,进而得到n 的值,于是可得最小角的余弦值. 【详解】由题意,设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,对应的三角分别为,,A B C , 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===, 所以2cos 2n A n+=. 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++.所以2522(2)n n n n ++=+,解得4n =, 所以453cos 2(42)4A +==+,即最小角的余弦值为34. 故选A . 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边,其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程,使得问题得以求解,考查正余弦定理的应用及变形、计算能力,属于基础题.10.D解析:D 【解析】分析:由341118a a a ++=,可得156a d +=,则化简11S =()1115a d +,即可得结果. 详解:因为341118a a a ++=, 所以可得113151856a d a d +=⇒+=, 所以11S =()111511666a d +=⨯=,故选D.点睛:本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式, 意在考查等差数列基本量运算,解答过程注意避免计算错误.11.B解析:B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知:1234a a a a ++,,56a a +,78a a +构成新的等差数列,然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知:1234a a a a ++,,56a a +,78a a +构成新的等差数列,()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差,即可计算出结果。

新高中必修五数学上期中一模试题(含答案)

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新高中必修五数学上期中一模试题(含答案)一、选择题1.已知等比数列{}n a ,11a =,418a =,且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<,则k 的取值范围是( ) A .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2.设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,则这个三角形的形状是 ( ) A .直角三角形B .等边三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形3.已知实数x ,y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩,若直线10kx y -+=经过该可行域,则实数k的最大值是( ) A .1B .32C .2D .34.已知数列{}n a 满足11a =,12nn n a a +=+,则10a =( )A .1024B .2048C .1023D .20475)63a -≤≤的最大值为( )A .9B .92C.3 D .26.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若3572a a +=,则13S =( ) A .49B .91C .98D .1827.关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中,恰有3个整数,则a 的取值范围是( )A .[)(]3,24,5--⋃B .()()3,24,5--⋃C .(]4,5D .(4,5)8.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( )A .2744n n +B .2533n n+C .2324n n+D .2n n +9.20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6,z 的最小值为( )A .0B .-1C .-2D .-310.已知x ,y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数),若目标函数z =x +3y 的最大值为8,则k =( ) A .-16B .-6C .-83D .611.若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值,则a 等于( ) A .3B .13+C .12+D .412.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若sin 23sin 0b A a B +=,3b c =,则ca的值为( )A .1B .33C .55D .77二、填空题13.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则实数m 的取值范围为_______.14.若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则z =2x +y 的最大值是_____.15.已知的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________.16.已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为____.17.设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称,对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω,则CD 的最小值为__________.18.已知数列{}n a 满足11a =,111n na a +=-+,*n N ∈,则2019a =__________. 19.已知数列的前项和,则_______.20.设0x >,0y >,4x y +=,则14x y+的最小值为______.三、解答题21.在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=.(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围.22.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式;(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .23.已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程的根.(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.24.在ABC ∆角中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若3asinB bcosA =. (1)求角A ;(2)若ABC ∆的面积为235a =,,求ABC ∆的周长.25.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?26.等比数列{}n a 中,1752,4a a a ==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和.若126m S =,求m .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D 解析:D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,则34118a q a ==,解得12q =, ∴112n n a -=, ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=, ∴数列1{}n n a a +是首项为12,公比为14的等比数列,∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-, ∴23k ≥.故k 的取值范围是2[,)3+∞.选D .2.B解析:B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,所以23sin sin sin 4B AC =⋅=,整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列, 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得2,33B AC ππ=+=,再利用三角公式转化,属于中档题.3.B解析:B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用直线20kx y -+=过定点()0,1,再利用k 的几何意义,只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时,k 值即可. 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1, 作可行域如图所示,,由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩,得()2,4B .当定点()0,1和B 点连接时,斜率最大,此时413202k -==-, 则k 的最大值为:32故选:B . 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.解析:C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+,所以12nn n a a +-=,因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ,选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和,考查基本分析求解能力,属基础题.5.B解析:B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数,可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤, 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得:36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+,即32a =-时,等号成立, 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式,属于中档题.6.B解析:B 【解析】∵3572a a +=,∴11272(4)a d a d ++=+,即167a d +=,∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=,故选B .7.A解析:A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<,当1a >时,得1x a <<,当1a <时,得1<<a x ,由此根据解集中恰有3个整数解,能求出a 的取值范围。

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【典型题】高中必修五数学上期中一模试题及答案一、选择题1.已知等差数列{}n a 中,10103a =,20172017S =,则2018S =( ) A .2018B .2018-C .4036-D .40362.设x ,y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩,若Z ax y =+的最大值为29a +,最小值为2a +,则实数a 的取值范围是( ).A .(,7]-∞-B .[3,1]-C .[1,)+∞D .[7,3]--3.已知{}n a 为等差数列,若20191<-a a ,且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值,则n S 的最小正值为( ) A .1SB .19SC .20SD .37S4.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为( ) A .一尺五寸B .二尺五寸C .三尺五寸D .四尺五寸5.已知0,0x y >>,且91x y +=,则11x y+的最小值是 A .10B .12?C .14D .166.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( )A .2744n n +B .2533n n+C .2324n n+D .2n n +7.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和,第一排和最后一排的距离为56米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为秒,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为()(米 /秒)A .110B .310C .12D .7108.已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数,且最大的内角是最小内角的2倍,则最小角的余弦值为( ) A .34B .56C .78D .239.若a ,b ,c ,d∈R,则下列说法正确的是( ) A .若a >b ,c >d ,则ac >bd B .若a >b ,c >d ,则a+c >b+d C .若a >b >0,c >d >0,则c d a b> D .若a >b ,c >d ,则a ﹣c >b ﹣d10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知(a 4-1)3+2 016(a 4-1)=1,(a 2 013-1)3+2 016·(a 2 013-1)=-1,则下列结论正确的是( ) A .S 2 016=-2 016,a 2 013>a 4 B .S 2 016=2 016,a 2 013>a 4 C .S 2 016=-2 016,a 2 013<a 4 D .S 2 016=2 016,a 2 013<a 411.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是( ) A .()8,10B.(C.()D.)12.已知4213332,3,25a b c ===,则 A .b a c << B .a b c << C .b c a <<D .c a b <<二、填空题13.设0,0,25x y x y >>+=______.14.已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-,则数列{}n b 的前100的项和为______. 15.数列{}n a 满足11a =,对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++,则122016111a a a +++=L _________. 16.已知120,0,2a b a b>>+=,2+a b 的最小值为_______________. 17.已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为2,则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________.18.已知数列{}n a 满足11a =,132n n a a +=+,则数列{}n a 的通项公式为________.19.若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式234yx m m +<-有解,则实数m 的取值范围是____________ .20.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = ________.三、解答题21.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c,且sin 1cos a CA=-.(1)求角A 的大小;(2)若10b c +=,ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值. 22.在ABC ∆ 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=(1) 求sin sin CA的值 (2) 若1cos ,24B b == ,求ABC ∆的面积. 23.设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ac ≤13; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.24.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,n a (*n N ∈,且2n ≥) (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:当2n ≥时,12311113232n a a a na ++++<L 25.数列{}n a 对任意*n ∈N ,满足131,2n n a a a +=+=. (1)求数列{}n a 通项公式;(2)若13na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求{}n b 的通项公式及前n 项和.26.已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞.(1)当12a =时,求函数()f x 的最小值; (2)若对任意[)1,x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】分析:由题意首先求得10091a =,然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解:由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得:120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==, 则10091a =,据此可得:()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛:本题主要考查等差数列的性质,等差数列的前n 项和公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.B解析:B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域(如图阴影部分),目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距,即y ax z =-+,(1)当0a <时,直线z ax y =+的斜率为正,要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得,则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率, 即3a -≤,30a ∴-≤<.(2)当0a >时,直线z ax y =+的斜率为负,易知最小值在A 处取得,要使得z 的最大值在C 处取得,则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-, 01a ∴<≤.(3)当0a =时,显然满足题意. 综上:31a -≤….故选:B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3.D解析:D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <,对20191<-a a 进行化简,运用等差数列的性质进行判断,求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列,若20191<-a a ,则2019190a a a +<, 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值,可得0d <,19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>, 31208190a a a a ∴+=+<,380S <,则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用,需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题,本题属于中档题,需要掌握解题方法.4.B解析:B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ,可得{}n a 为等差数列,根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系,求出通项公式,即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===尺,所以59.5a =尺,由题知1474331.5a a a a ++==, 所以410.5a =,所以公差541d a a =-=-, 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】本题考查等差数列应用问题,考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算,属于中档题.5.D解析:D 【解析】 【分析】通过常数代换后,应用基本不等式求最值. 【详解】∵x >0,y >0,且9x+y=1,∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立,即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值;关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.6.A解析:A 【解析】 【分析】 【详解】设公差为d 则解得,故选A.7.B解析:B 【解析】试题分析: 如下图:由已知,在ABC ∆中,105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得:30BAC ∠=o 由正弦定理,得:56sin 45AB =o 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中,60ABD o ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===o , 即旗杆高度为15米,由3155010÷=,知:升旗手升旗的速度应为310(米 /秒). 故选B .考点:解三角形在实际问题中的应用.8.A解析:A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,根据余弦定理求出最小角的余弦值,然后再由正弦定理求得最小角的余弦值,进而得到n 的值,于是可得最小角的余弦值. 【详解】由题意,设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,对应的三角分别为,,A B C ,由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===, 所以2cos 2n A n+=. 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++.所以2522(2)n n n n ++=+,解得4n =, 所以453cos 2(42)4A +==+,即最小角的余弦值为34. 故选A . 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边,其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程,使得问题得以求解,考查正余弦定理的应用及变形、计算能力,属于基础题.9.B解析:B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项,虽然41,12>->-,但是42->-不成立,所以不正确;B 项,利用不等式的同向可加性得知,其正确,所以成立,即B 正确;C 项,虽然320,210>>>>,但是3221>不成立,所以C 不正确; D 项,虽然41,23>>-,但是24>不成立,所以D 不正确; 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题,涉及到的知识点有不等式的性质,对应的解题的方法是不正确的举出反例即可,属于简单题目.10.D解析:D 【解析】∵(a 4-1)3+2 016(a 4-1)=1,(a 2 013-1)3+2 016(a 2 013-1)=-1, ∴(a 4-1)3+2 016(a 4-1)+(a 2 013-1)3+2 016(a 2 013-1)=0, 设a 4-1=m ,a 2 013-1=n , 则m 3+2 016m +n 3+2 016n =0,化为(m +n )·(m 2+n 2-mn +2 016)=0, ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭+-+,∴m +n =a 4-1+a 2 013-1=0, ∴a 4+a 2 013=2,∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4-1>0,a 2 013-1<0,∴a 4>1>a 2 013, 本题选择D 选项.11.B解析:B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角,只需对其他两条边所对的利用余弦定理,即这两角的余弦值为正,可求出a 的取值范围. 【详解】由题意知,边长为1所对的角不是最大角,则边长为3或a 所对的角为最大角,只需这两个角为锐角即可,则这两个角的余弦值为正数,于此得到2222221313a a⎧+>⎨+>⎩,由于0a >,解得a <<C . 【点睛】本题考查余弦定理的应用,在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形,一般由最大角来决定,并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化,其关系如下:A 为锐角cos 0A ⇔>;A 为直角cos 0A ⇔=;A 为钝角cos 0A ⇔<. 12.A 解析:A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===,且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增,所以b <a <c . 故选A.点睛:本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题,解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用;三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13.【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析:【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +,再利用基本不等式求最值. 【详解】=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q≥= 当且仅当3xy =,即3,1x y ==时成立,故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.14.【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解:设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则:解得:所以:所以:所以:故答案为:【点睛】本题考查的解析:200201【解析】 【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和. 【详解】解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列.则:()2111(22)412a a a +=+,解得:11a =,所以:()12121n a n n =+-=-, 所以:111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭, 所以:100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12001201201=-=, 故答案为:200201【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.15.【解析】试题分析:所以所以考点:累加法;裂项求和法 解析:40322017【解析】试题分析:111,n n n n a a n a a n +--=+-=,所以()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=L ,所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,122016111140322120172017a a a ⎛⎫+++=-= ⎪⎝⎭L . 考点:累加法;裂项求和法.16.【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换 解析:92【解析】【分析】 先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b +=⋅+⋅=⋅+⋅+,再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a+=⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥+=. 当且仅当221223222a b a b a b ⎧+=⎪==⎨⎪=⎩即时取等. 故答案为:92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换. 17.【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为:4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简解析:【解析】【分析】根据等比数列通项公式,求出()()12112122212n n n n a a a a ++--++=--+=L ,计算()22111111222222n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L 即可得解. 【详解】由题2n n a =, ()()12112122212n n n n a a a a ++--++=--+=L()22111111222222n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L ()2112224n n a a a a +-+++===L .故答案为:4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用,涉及等比数列求和,关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式,准确进行指数幂的运算化简.18.【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为:【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题解析:1231n -⋅-【解析】【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+,得到λ【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+,所以()13n n a a λλ++=+,即132n n a a λ+=+,得到1λ=,所以()1131n n a a ++=+,而112a +=,故{}1n a +是以2为首项,3为公比的等比数列,所以1123n n a -+=⋅,故1231n n a -=⋅-.故答案为:1231n -⋅-.本题考查由递推关系求数列通项,待定系数法构造新数列求通项,属于中档题. 19.【解析】试题分析:因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点:不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析:()(),14,-∞-⋃+∞【解析】 试题分析:因为不等式234y x m m +<-有解,所以2min ()34y x m m +<-,因为0,0x y >>,且141x y+=,所以1444()()22244444y y x y x y x x x y y x y x+=++=++≥⋅+=,当且仅当44x y y x =,即2,8x y ==时,等号是成立的,所以min ()44y x +=,所以234m m ->,即(1)(4)0m m +->,解得1m <-或4m >.考点:不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用,不等式的有解问题,在应用基本不等式求解最值时,呀注意“一正、二定、三相等”的判断,运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值,难点在于如何合理正确的构造出定值,对于不等式的有解问题一般选用参数分离法,转化为函数的最值或借助数形结合法求解,属于中档试题. 20.【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB 的值即得B 角【详解】由2bcosB =acosC +ccosA 及正弦定理得2sinBcosB =sinAcosC +sin解析:3π 【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角,再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值,即得B 角.【详解】由2b cos B =a cos C +c cos A 及正弦定理,得2sin B cos B =sin A cos C +sin C cos A .∴2sin B cos B =sin(A +C ).又A +B +C =π,∴A +C =π-B .∴2sin B cos B =sin(π-B )=sin B .又sin B ≠0,∴cos B =.∴B =.∵在△ABC 中,a cos C +c cos A =b ,∴条件等式变为2b cos B =b ,∴cos B =.又0<B <π,∴B =.解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果.三、解答题21.(1)3A π=;(2) 【解析】【分析】(1)把sin 1cos a C A =-中的边化为角的正弦的形式,再经过变形可得sin()3A π+=进而可求得3A π=.(2)由ABC S ∆=16bc =,再由余弦定理可求得a =.【详解】(1)由正弦定理及sin 1cos a C A =-得sin sin 1cos A C C A =-, ∵sin 0C ≠,∴)sin 1cos A A =-,∴sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又0A π<<, ∴4333A πππ<+<, ∴233A p p +=, ∴3A π=.(2)∵1sin 2ABC S bc A ∆==, ∴16bc =. 由余弦定理得()()222222cos 233a b c bc b c bc bc b c bc π=+-=+--=+-,又10b c +=,∴221031652a =-⨯=,a ∴=【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查,解题时注意三角形三个内角的关系.另外,使用余弦定理解三角形时,注意公式的变形及整体思想的运用,如()2222b c b c bc +=+-等,可简化运算提高解题的速度.22.(1)sin 2sin C A = (2 【解析】【分析】(1)正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+,化简即得答案.(2)由(1)知sin 2sin c C a A ==,结合题意由余弦定理可解得1a = ,sin 4B =,从而计算出面积.【详解】(1)由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===, 所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C A B b B---== 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-即有()()sin 2sin A B B C +=+,即sin 2sin C A = 所以sin 2sin C A= (2)由(1)知sin 2sin c C a A ==,即2c a =, 又因为2b = ,所以由余弦定理得:2222cos b c a ac B =+-,即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以2c =,又因为1cos 4B =,所以sin B = ,故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点,本题主要考查由正余弦定理解三角形,属于一般题.23.(Ⅰ)证明见解析;(II )证明见解析.【解析】【详解】(Ⅰ)由222a b ab +≥,222c b bc +≥,222a c ac +≥得:222a b c ab bc ca ++≥++, 由题设得,即2222221a b c ab bc ca +++++=,所以3()1ab bc ca ++≤,即13ab bc ca ++≤. (Ⅱ)因为22a b a b+≥,22b c b c +≥,22c a c a +≥, 所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++, 即222a b c a b c b c a++≥++, 所以2221a b c b c a++≥. 本题第(Ⅰ)(Ⅱ)两问,都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.24.(1) 21n a n =- (2)见证明【解析】【分析】(1)由题意将递推关系式整理为关于n S 与1n S -的关系式,求得前n 项和然后确定通项公式即可;(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.【详解】(1)由1n n n a S S -=11n n n n S S S S ---=+11(2)n n S S n -=≥, 所以数列{}n S 111S a ==为首项,以1为公差的等差数列, 1(1)1n S n n =+-⨯=,即2n S n =,当2n ≥时,121n n n a S S n -=-=-,当1n =时,111a S ==,也满足上式,所以21n a n =-;(2)当2n ≥时,111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭, 所以123111123n a a a na +++⋅⋅⋅+1111111122231n n ⎛⎫<+-+-++- ⎪-⎝⎭L 313222n =-<给出n S 与n a 的递推关系,求a n ,常用思路是:一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为S n 的递推关系,先求出S n 与n 之间的关系,再求a n .25.(1)1n a n =-(2)()()11111333122213n n n n n nn S -⎛⎫- ⎪++-⎝⎭=+=+-【解析】【分析】【详解】试题分析:解:(1)由已知得11n n a a +-=,故数列{}n a 是等差数列,且公差1d =.又32a =,得10a =,所以1n a n =-.(2)由(1)得,113n n b n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()11111233n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111123333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+.()()11111333122213nn n n n n n S -⎛⎫- ⎪++-⎝⎭=+=+-.考点:等差数列和等比数列的求和点评:主要是考查了等差数列和等比数列的求和的运用,属于基础题.26.(1)72(2)3a >-【解析】【分析】(1)由题得()122f x x x =++,再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值;(2)等价于22y x x a =++>0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.【详解】(1)当12a =时,()122f x x x =++,∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数,∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. (2)在区间[)1,+∞上,()220x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立. 设22y x x a =++,[)1,x ∈+∞, 因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增, ∴当1x =时,min 3y a =+,于是,当且仅当min 30y a =+>时,函数()0f x >恒成立,故3a >-.【点睛】本题主要考查对勾函数的性质,考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

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