正比例函数概念与性质

正比例函数概念与性质

【教学目标】

知识与技能：

1.理解正比例函数的概念.

2.会用描点法画正比例函数图象.

3.掌握正比例函数的性质．

过程与方法：

1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，培养学生数学建模的能力．

2.通过对正比例函数的性质的探究，使学生经历做数学的过程，初步形成正确、科学的学习方法.

情感态度与价值观：

1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到生活实例中有大量的函数模型，激发学生学习数学的兴趣．

2.培养学生热爱自然、热爱生活的优秀品质.

【教学重点】

1.正比例函数的概念.

2.探究正比例函数的性质.

【教学难点】

正比例函数的性质中的y与x的变化关系.

教学过程

一、创设情境，引入新知

像许多迁徙的鸟一样，北极燕鸥要在北半球的春季北上繁殖，秋季南迁越冬，很难相信，这只轻盈的海鸟轻的好像能被一阵风吹走似的，然而他们却能进行着令人难以想象的长距离的飞行，它飞过的距离比所有鸟都要长，比你我想象的都要远，据研究发现北极燕鸥一年飞行的距离竟然高达8万公里。

鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它 (一个月按30天计算) ．

(1) 这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？

25600÷127≈200（千米）

(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？

y=200x

像y=200x这样的函数是什么函数呢？它们的图像是怎样的呢？

这节课我们学习“正比例函数”

设计意图：

通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育.

同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力.

二、观察思考、归纳概念

列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？

如果是，请写出函数解析式？

1.圆的周长L随半径r的变化而变化？

2.铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位;g)随它的

体积V的变化而变化。

3.每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的

总厚度h(单位：cm)随联系标的本数n的变化而变化。

4.冷冻一个0°C的物体，使它每分下降2°C,物体的

温度T(单位：°C）随冷冻时间t(单位：min）的变化

而变化。

师生活动：教师多媒体呈现上述五个实际问题.

学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈.

教师要重点关注：（1）题中学生易将写成 .（4）题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为 .关注学生能否准确找出中的常量.

设计意图：

通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点.

通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程.

问题2：将上表中的前四个函数与第五个函数进行比较，思考：前四个函数有什么共同特点？

师生活动：学生观察、思考.小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈.

教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点.教师根据学生的表述板书：

共同点：常数×自变量．

教师板书：y=kx

概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．

教师追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？

学生交流、讨论，互相补充.

设计意图：

通过将前四个函数与第五个函数进行比较，是学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.

有效地克服了因没有对比直接观察使学生出现的不适性、盲目性.

培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力.

三、练习运用，内化概念

判断下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数.

师生活动：1.下列式子，哪些表示y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值．

（1）y=-0.1x （2）y=2x2 （3）y2=4x （4）y=-4x+3 （5）y=2(x－x2 )+2x2

(2) 1.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________________.

2.如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________.

3.如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________.

学生独立解答，

教师根据学生反馈情况，引导学生根据“常数×自变量”归纳辨别正比例函数要注意的问题.

设计意图：使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.

四、合作探究，概括性质

正比例函数的解析式具有共同的结构特征，它们的图像是否也有某种必然的共同之处呢？

1.画一画

画出下列函数的图像.

例1.画出下列正比例函数的图像：

（1）y=2x

(2) y=-2x

师生活动：师生共同列表、描点、连线，画出正比例函数（1）y=2x（2）y=-2x 的图像

分别说出图像特征，比较两个函数图像的相同点和不同点

同时猜测正比例函数y=kx的图像特征。

设计意图：使学生熟练函数图象的画法.

为下一环节小组观察图像、归纳正比例函数图象做准备.避免只看一两个函数图象就轻易下结论的不科学、不客观的作法.

2. 在同一坐标系内画出下列正比例函数的图像：

(1)y=3x (2)y=-3x

验证你的猜想是否正确

设计意图：培养学生动手实践的能力，同时使学生亲历画图——观察——猜想——验证，给学生提供自主探索的机会，使学生亲身体验做数学的过程，知道学习数学、研究数学的基本程序.

总结：正比例函数的图像特征：

一般地，正比例函数 y=kx (k是常数，k不等于0 )的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx .当k>0时，直线y=kx经过第三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小．

五、用“两点法”画出正比例函数的图像

正比例函数的图像是经过原点的直线，那么怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？

用“两点法”确定正比例

函数图像的方法：确定(0,0)和（1，k)点

师生活动：教师引导学生思考、交流、归纳，得出两点法.

六、练一练

用两点法画出下列正比例函数图像

y=1/2x y=-1/2x

师生活动：学生练习，教师巡视指导.

设计意图：巩固“两点法”画图像的方法.

七比一比，看谁反应快

.1.正比例函数y=kx(k=0)的图像是——，它一定经过点——和——