3-3 泰勒公式

的具体估计式.
pn(x) 的确定: pn( x) = a0+ a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + + an( x − x0 )n ,
观察： f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
有
= f ( x0 ) p1( x) 相交
2° 难以估计误差
只知道误差：R1( x) = o( x − x0 ) 不能具体估计出误差R1( x)的大小.
需要解决的问题: 1°寻找多项式pn( x)， 使得 f ( x) ≈ pn( x),
且去掉对于x − x0 很小的限制.
2° 给出误差： Rn( x) = f ( x) − pn( x)
=
0.
证 令 Rn( x) = f ( x) − pn( x), 则有
Rn( x0 )= Rn′ ( x0 )= = Rn(n)( x0 ) = 0.
lim
x→ x0
(
Rn x−
(x) x0 )n
=
lim
x→ x0
Rn′ ( x) n( x − x0 )n−1
洛必达法则
=
lim
x→ x0
n(n
−
Rn′′( x) 1)( x − x0
)n−2
=
= lim Rn(n−1)( x) x→ x0 n!( x − x0 )
=
1 lim n! x→ x0
Rn(n−1)( x) x
− −
Rn(n−1)( x0 ) x0
=
1 n!
Rn(
n)
(
x0
)Fra Baidu bibliotek
= 0.
注 定理3.6的条件可以减弱：
定理3.6 ′ 若f ( x)在x = x0处n阶可导，则
只需证
Rn( x) =
f (n+1)(ξ )
( (n + 1) !
x
−
x0 )n+1.
(
x
Rn( x) − x0 )n+1
=
Rn( x)− Rn( x0 )= ( x − x0 )n+1 − 0
(n
+
Rn′ (ξ1) 1)(ξ1 −
x0
)n
柯西中值定理
(ξ1 在 x0 与 x 之间)
=
Rn′ (ξ1) (n + 1)(ξ1
pn(n)( x0 )
=
1 n!
f
(n)( x0 ),
pn
(x) = 要求:
f
( x0 )
+
f
′( x0 )( x
−
x0 )
+1 2!
f
′′( x0 )( x
−
x0 )2 +
+
1 n!
f
(n)( x0 )( x
−
x0 )n
f ( x)在x0处的n阶泰勒多项式
Rn(x) 的确定： 2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式 定理3.6
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的
适用范围.
例2 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10−6.
解 在 的麦克劳林公式中令 x = 1 , 得
= 1 + 1 + 1 + + 1 + eθ
(0 < θ < 1).
2!
n ! (n + 1) !
由于 0 < eθ < e < 3, 欲使
s(in−(1θ)mxc+os2(mθ2+x)1 π)
(2m + 1) !
x2m+1
(0 < θ < 1)
(3) f ( x) = cos x
类似可得
cos x = 1− x2 2!
+ x4 4!
+
+
(−1)m x2m (2m)
+ !
R2 m +1 (
x)
其中
co(s−[θ1)xm++1(c2oms(θ+ x2)π ]
p1( x)
p1( x)
O
(当f ′( x0 ) ≠ 0, 且 x − x0 << 1时)
x0 x
x
以直代曲
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
特点:
= f ( x0 )
= f ′( x0 )
不足: 1° 精确度不高 只适用于 x − x0 很小的x, 当x − x0 不是很小时, 误差较大.
∴ (1 + x)α = 1 + α x + α (α −1) x2 +
2!
α (α
+
− 1) (α − n + 1)
n!
xn + Rn( x)
其中
Rn( x)
=α (α
− 1) (α
(n + 1) !
−
n) (1
+θ
x)α −n−1
xn+1
(0 < θ < 1)
(5) f ( x) = ln(1 + x) ( x > −1)
3. 带有拉格朗日型余项的n阶泰勒(Taylor)公式
定理3.7
直到 n +1 阶的导数, 则对 ∀x ∈ (a ,b), 有
f ( x0 ) +
f ′( x0 )( x −
x0 ) +
f ′′( x0 ) ( x − 2!
x0 )2+
+
f (n)( x0 ) ( x − n!
x0 )n
+
Rn( x),
− −
Rn′ x0
( x0 )n−
) 0
=
(n
+
Rn′′(ξ2 ) 1)n(ξ2 − x0
)n−1
(ξ2 在 x0 与ξ1 之间)
=
= Rn(n)(ξn ) − Rn(n)( x0 ) (n + 1) 2(ξn − x0 ) − 0
= Rn(n+1)(ξ )
(n + 1) !
(ξ 在 x0 与ξxn 之间),
pn′ ( x) = a1+ 2a2( x − x0 )+ + nan( x − x0 )n−1
pn′′( x) = 2 !a2+ + n(n − 1)an( x − x0 )n−2
a2
=
1 2!
pn′′( x0 )
=1 2!
f ′′( x0 ),
pn(n)( x) = n!an
an
=
1 n!
(1) f ( x) = ex
f (k)( x) = ex , f (k)(0) = 1 (k = 1,2, )
∴ ex=
f (0)+
f ′(0)x
+
f
′′(0) 2!
x
2+
+
f
(n)(0) n!
xn
+
Rn (
x)
=
1+
x+
x2 2!
+
x3 3!
+
+
xn n!
+
Rn( x)
其中
(2) f ( x) = sin x
阶的导数, 则对
有
f ( x0 ) +
f ′( x0 )( x −
x0 ) +
f ′′( x0 ) ( x − 2!
x0 )2+
+
f
(n)( x0 ) ( n!
x
−
x0 )n
+
o(( x
−
x0 )n ).
带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式
分析
要证
f ( x0 ) +
f ′( x0 )( x − x0 ) +
R2m+1( x) =
(2m + 2) !
x2m+2 (0 < θ < 1)
(4) f ( x) = (1 + x)α ( x > −1)
f (k)( x) =α (α − 1) (α − k + 1)(1 + x)α −k f (k)(0) = α (α − 1) (α − k + 1) (k = 1,2, )
Rn (1)
<
(n
3 + 1)
!<
10−6
,
由ex计=算1 +可x知+ x当2 +n =x39+时上+式x成n 立 , 因此
1. 在函数逼近中的应用
2. 在近似计算中的应用
f ( x) ≈ f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + + f (n)(0) xn
2!
n!
误差
Rn( x)
≤
M (n + 1) !
x
n+1,
其中M 为 f (n+1)( x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
常见类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
已知
f
(k)(
x)
=
( −1)k −1
(k − 1)! (1 + x)k
(k = 1,2, )
类似可得
ln(1 + x)= x− x2 + x3 − 23
+
(−1)n−1 xn n
+
Rn( x)
其中
Rn (
x)
=
(−1)n n+1
(1
xn+1
+ θ x)n+1
(0 < θ < 1)
三、泰勒公式的应用
便可得到麦克劳林（ Maclaurin ）公式： f (0)+ f ′(0)x + f ′′(0) x2+ 2!
+ f (n)(0) xn n!
由此得近似公式
f ( x) ≈ f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + + f (n)(0) xn
2!
n!
几个初等函数的麦克劳林公式：
f (k)( x) = sin( x + k ⋅ π ) 2
f
(k ) (0)
=
sin k
π 2
=
0, (−1)m−1 ,
k k
= =
2m 2m
(m −1
=
1, 2 ,
)
∴
sin x
=
x−
x3 + 3!
x5 5!
−
+(−1)m−1 x2m−1 (2m − 1)
+ !
R2m
(
x)
其中
R2m ( x) =
即
(RxnR−( xnx)(0x=))n+f(1(nn=++1R1)(()n(nξn!+)+1(1)x()ξ−!)x0 )n+1.
例1 求函数f ( x) = 1 按( x + 1)的幂展开成带有 x
拉格日型余项的n阶泰勒公式.
解
f
(n)(
x)
=
(−1)n n! xn+1
,
f
(n+1)
(
x)
=
( −1) n + 1 ( n xn+2
f
′′( 2
x0 !
)
(
x
−
x0 )2+
+
f
(n)( x0 ) ( n!
x
−
x0 )n
+
o(( x
−
x0 )n ),
pn( x)
只需证
lim
x→ x0
f
( x) − pn( x) ( x − x0 )n
=
0.
令 Rn( x) = f ( x) − pn( x)(称为余项) ,
只需证
lim
x→ x0
Rn( x) ( x − x0 )n
+
1)n+1 ,
ξ在 − 1与x之间.
注 1° 泰勒公式的余项估计
用pn( x)代替f ( x)的误差为 Rn( x) = f ( x) − pn( x)
Rn( x) =
f (n+1)(ξ )
(n + 1) !
(
x
−
x0
)n+1
(ξ 在 x0 与 x 之间).
当在 x0 的某邻域内 f (n+1)( x) ≤ M (常数) 时 , 有
+
1)!.
f (−1) = −1, f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = −2!,
因此
, f (n)(−1) = −n!.
f ( x) = −1 − ( x + 1) − ( x + 1)2 − − ( x + 1)n + Rn( x),
其中Rn( x)
=
(−1)n+1
ξ n+2
(
x
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
f (x) =
f ( x0 )+
f ′( x0 )( x −
x0 ) +
f ′′(ξ )( x −
2!
x0 )2
(ξ 在 x0 与 x 之间)
df
(3) 若在泰勒公式中 x0 = 0, 称为麦克劳林公式
二、麦克劳林（Maclaurin）公式
在泰勒公式中取 x0 = 0 , ξ = θ x (0 < θ < 1) ,
∑ f
(x)
=
n k=0
f
(
k
)
(
x0
) (
x
k!
−
x0 )k
+
o(( x
−
x0 )n )
( x ∈ U ( x0 ) )
提示：证明同上，只需注意到：
f (n)( x0 )存在
f (n−1)( x)在x0处可导 f (n−1)( x)在某U ( x0 )内有定义
f ( x)在某U ( x0 )内n − 1阶可导.
= f ′( x0 )
相切
猜 pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数 越高，它们就有可能越接近？
寻求n次近似多项式： pn( x) = a0+ a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + + an( x − x0 )n , 要求:
求系数 ai : a0 = pn( x0 ) = f ( x0 ), pn′ ( x) = a1 + 2a2( x − x0 ) + + nan( x − x0 )n−1 a1= pn′ ( x0 ) = f ′( x0 ),
第三节
第三章
泰勒公式
一、泰勒（Taylor）公式
二 、麦克劳林（Maclaurin）公式
三 、泰勒公式的应用
一、泰勒(Taylor)公式
1. 泰勒公式的建立 回顾：设 f (x)在 x0 处可导，则
x 的一次 多项式
y
y = f (x)
f ( x)≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
其中 Rn( x) =
f (n+1)(ξ )
(n + 1) !
(
x
−
x0 )n+1(ξ
在
x0
与
x
之间).
带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式
证 令 Rn( x) = f ( x) − pn( x), 则有
Rn( x0 )= Rn′ ( x0 )= = Rn(n)( x0 ) = 0,
且 Rn(n＋1)( x) = f (n＋1)( x). ( pn(n+1)( x) = 0 )
Rn (
x)
≤
M (n + 1)!
x
−
x0
n+1.
显然 Rn( x) = o(( x − x0 )n ) ( x → x0 ).
2° 泰勒公式的特例
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理
f ( x) = f ( x0 ) + f ′(ξ )( x − x0 ) (ξ 在 x0 与 x 之间)