(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿).doc

线性方程组解的结构（解法）

一、 次 性方程 的解法

【定 】

r ( )= r < n , 若 AX = 0 （ A

m n 矩 ）的一 解

ξ1, ξ2,L , ξn r , 且 足：

A

(1)

ξ1, ξ2 ,L , ξn r 性无关 ;

(2) AX = 0 的) 任一解都可由 解 性表示 .

称 ξ,

ξ,L , ξ

AX = 0

的基 解系 .

1

2

n r

称 X

k 1 ξ1 k 2 ξ2 L k n r ξn r

AX = 0 的通解 。其中 k 1, k 2, ⋯ , k n-r 任意常数 ).

次 性方程 的关 就是求通解，

而求通解的关 是求基 解系.

【定理】

若 次 性方程

AX = 0 有解，

(1)

若 次 性方程

AX = 0 （ A

m n 矩 ） 足 r ( A) n ， 只有零解；

(2) 次 性方程 有非零解的 充要条件 是 r ( A) n .

（注： 当 m n ， 次 性方程 有非零解的

充要条件是它的系数行列式

A 0 . ）

注： 1、基 解系不唯一，但是它 所含解向量的个数相同，且基 解系所含解向量的个数等于

n r ( A) .

2 、非 次 性方程

AX

B 的同解方程 的 出方程 （ 称“ 出 ”

） 次 性方程

AX O 所 的同解方程 。

由上述定理可知，若 m 是系数矩 的行数（也即方程的个数） ， n 是未知量的个数， 有：

（ 1）

当 m n ， r ( A) m

n ，此 次 性方程 一定有非零解，即 次方程 中未知量的个数

大于方程的个数就一定有非零解；

（ 2）当 m

n ， 次 性方程 有非零解的

充要条件是它的系数行列式 A 0 ；

（ 3）当 m

n 且 r ( A) n ，若系数矩 的行列式 A 0 ， 次 性方程 只有零解；

（ 4）当 m

n ，若 r ( A)

n ， 存在 次 性方程 的同解方程 ；

若 r ( A) n ， 次 性方程 无解。

1、求 AX = 0 （ A m n 矩 ）通解的三步

（ 1） A

行

C （行最 形） ; 写出同解方程

CX =0.

(2) 求出 CX =0 的基 解系 ξ1, ξ2,L

,ξn r ;

(3)

写出通解

X k 1 ξ1 k 2 ξ2 L

k n r ξn r 其中 k 1, k 2, ⋯ , k n-r 任意常数 .

2x1 3x2 x3 5x4 0,

3x1 x2 2x3 x4 0,

【例题 1】解线性方程组

x2 3x3 6x4 0,

4x1

x1 2x2 4x3 7x4 0.

解法一：将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵

显然有 r ( A) 4 n ，则方程组仅有零解，即x1x2x3x40 .

解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n ）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：

2 3 1 5

3 1 2 1 A

1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x1 x

2 x

3 x

4 0 .

4 6

1 2 4 7

注：此法仅对n 较小时方便

x1 x2 x3 x4 x5 0,

3x1 2x2 x3 x4 3x5 0, 【例题 2】解线性方程组

x2 2 x3 2x4 6x5 0,

5x1 4x2 3x3 3x4 x5 0. 解：将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵

可得 r ( A) 2 n ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

x1 x3 x4 5x

5

,

（其中 x3， x4， x5为自由未知量）

x2 2x3 2 x4 6x5.

令 x3 1 ， x4 0 ， x5 0 ，得 x1 1, x2 2 ；令 x3 0 ， x4 1， x5 0 ，得 x1 1, x2 2 ；令 x3 0 ， x4 0 ， x5 1，得 x1 5, x2 6 ，

于是得到原方程组的一个基础解系为

11 5

22 6

1 1 ，

20

，

30

.

010

00 1

所以，原方程组的通解为X k1 1k2 2k3 3（ k1， k2， k3R ）.

二、非齐次线性方程组的解法

求 AX = b 的解（A m n,r ( A)r ）

用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关

c 11 c

12

L c

1 r

L c

1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M

行c rr L c

rn d r

其中 c ii 0(i 1,2,L , r ), 所以知

( AMb) d r 1

M

(1) d r 10 时,原方程组无解.

(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有唯一解.

(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无穷多解.

其通解为 X 0 k1ξ1 k2ξ2 L k

n r

ξ

n r ， k1 , k2 ,L , k n r为任意常数。

其中：ξ1,ξ2,L , ξn r为 AX = b 导出组 AX = 0 的基础解系，0为 AX = b 的特解，

【定理 1】如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组 AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组 AX=b 的解。

【定理 2】如果0 是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则0 是非齐次线性方程组的全部解。

由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解

可表示为：

0C1 1 C 2 2 C n r n r

其中：0 是非齐次线性方程组的一个特解，1 , 2 , , n r是导出组的一个基础解系。

【例题3】判断下列命题是否正确, A为m n矩阵.

(1) 若=0 只有零解 , 则有唯一解 . 答 : 错 , 因( )= ,

r ( )=

n

=

r

(

A

|

b

)

AX AX=b r A n A

(2) 若 AX=0有非零解,则 AX=b有无穷多解. 答 : 错 , 因 r ( A)< n, r ( A)= r ( A | b)

(3) 若 AX=b有唯一解,则 AX=0只有零解. 答 : 对 , r ( A)= r ( A | b) = n.

(4)若 AX=0有非零解,则 A T X=0也有非零解.

答 : 错 , A为m n, r ( A)= m< n, r ( A T)= m, 这时 A T X=0只有零解. 例如 A 为3 4, R( A)=3 <4, r ( A T)=3= m.

(5) 若 r ( A)= r =m, 则 AX=b必有解. 答 : 对 , r ( A)= r =m= r( A| b) .

(6) 若 r ( A)= r =n, 则 AX=b必有唯一解. 答 : 错 , A为m n, 当m n时 , 可以 r ( A | b) = n+1.

⑴唯一解： r ( A) r ( A) n 线性方程组有唯一解

x1 x2 2x3 1,

【例题 4】解线性方程组2x1 x2 2x3 4,

4x1 x2 4x3 2.