西南大学2020秋季 [0346]《初等数论》考试答案
初等数论练习题一（含答案）
初等数论练习题⼀（含答案）《初等数论》期末练习⼆⼀、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、⼩于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定⽅程210231525=+y x （）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最⼤公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、⼤于20且⼩于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最⼩⾮负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定⽅程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B ⽆解C ⽆法确定D 有⽆限个解⼆、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环⼩数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( )n ，⽽且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?2、求解不定⽅程2537107=+y x .（8分）3、求??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定⽅程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平⽅剩余与平⽅⾮剩余.四、证明题1、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、⼀个能表成两个平⽅数和的数与⼀个平⽅数的乘积,仍然是两个平⽅数的和;两个能表成两个平⽅数和的数的乘积,也是⼀个两个平⽅数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习⼆答案⼀、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B⼆、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环⼩数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( 3 ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( 不⼤于 )n ，⽽且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（⼗进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871?=5073684 所以24871与3468的最⼩公倍数是5073684。
2015秋季西南大学初等数论大作业答案
因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同,p、p＋2都不被3整除,所以p＋1被3整除．
于是6是p＋1的因数．
\
6.叙述孙子定理的内容。
11.孙子定理的内容为：设 是k个两两互质的正整数,
(1)
设 ,
则同余式组(1)的解是
(2)
其中 是满足 的任一个整数，i＝1,2,…,k。
三、计算题（每小题8分，共40分）
1.求210与55的最大公因数。
答：210=2x3x5x7 ,55=5x11 210与55的最大公因数是5.
1.叙述整数a被整数b整除的概念。
答：设a,b是任意两个整数,其中b≠0,如果存在一个整数q使得等式a=bq成立,我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a
2.叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
答一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它本身,就叫作质数(或素数)。14的所有质数2,3，5，7, 11，13.
性质3①若a1=b1(mod m),a2=b2(mod m),则a1+ a2 =b1+ b2( (mod m)
②若a+b≡c(mod m),则a≡c-b(mod m)
5. 196是否是3的倍数，为什么？
答：196不是3的倍数。因为由定义可知设a,b是任意两个整数,其中b≠0,如果存在一个整数q使得等式a=bq成立,则将a叫做b的倍数。所以a=196,b=3,不存在一个整数q使得等式a=bq成立,所以196不是3的倍数。
西南大学网络与继续教育学院课程考试答题卷
学号：1513150663001姓名：陈琛层次：专科起点本科
类别：网教专业：数学与应用数学（数学教育）2015年11月西南大学网络教育鹰潭职业技术学院学习中心
初等数论试题及答案
《初等数论》模拟试卷说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、填空（30分）1、d （1001）= 。
σ（2002）= 。
φ（5005）= 。
2、梅森数n M 是形如 的数。
3、不能表示成5X+6Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。
4、2003！中末尾连续有 个零。
5、（21a+4，14a+3）= 。
6、222z y x =+通解为 。
7、费尔马大定理是 。
8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 。
9、c x a x a x a n n =++....2211有解的充要条件是 。
10、p,q 是小于是100的素数，pq- 1=x 为奇数，则x 的最大值是 。
11、[X]=3，[Y]=5，则[X —2Y]可能的值为 。
12、X 能被3，4，7整除，这个最小的正整数是 。
13、两个素数的和是39，这两个素数是 。
二、解同余方程组（12分）⎪⎩⎪⎨⎧≡+≡≡)7mod 25)5(mod 1)4(mod 1x x x一、叙述并且证明费尔马定理。
（12分）二、证明：设ｄ是自然数ｎ的正因子，则有∏=n d n d nd )(21 （10分）三、设Ｐ为奇素数，则有（10分）（１）111)1....(21----++p p p p ≡－1（ｍｏｄＰ）（２）p P P P )1....(21-++ ≡0（ｍｏｄＰ）六、用初等方法解不定方程01996202=+-xy x 。
（8分）七、解不定方程式15x+25y=-100. (6分)八、试证33393z y x =+ 无正整数解。
（6分）九、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被15整除的六位数（6分）《初等数论》模拟试卷（B ）答案一、1、8，1152，960，2、12-n3、19，4、499，5，1， 6、见书7、见书 8、77，9、c a a a n ),,(21 10、193，11、-9，-8，-7， 12、84，13、2，37二、孙子定理)140(mod 86≡x三、见书。
(0346)《初等数论》网上作业题及答案
（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[论述题]数论第一次作业参考答案：数论第一次作业答案2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。
A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。
作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。
（1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。
通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。
（2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。
（3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。
（4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。
3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。
A：10B：20C：30D：40参考答案：D数论第一次作业答案4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。
A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C数论第一次作业答案5：[单选题]-4除-39的余数是（）。
A：3B：2C：1D：0参考答案：C数论第一次作业答案6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。
A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A数论第一次作业答案7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。
A：1B：2C：3D：4参考答案：D数论第一次作业答案8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。
A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D数论第一次作业答案1：[论述题]数论第二次作业参考答案：数论第二次作业答案2：[单选题]288与158的最大公约数是（）。
A：2B：4C：6D：8参考答案：A数论第二次作业答案3：[单选题]-337被4除余数是（）。
（完整版）初等数论练习题二（含答案）
（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果a b （modm ） ,c 是任意整数贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被（）整除. A 3 B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、在176与545之间有（）是13的倍数.10、如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 rb.7、设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。
初等数论1习题参考答案
附录1习题参考答案第一早1. (i ) 由a b 知b = aq,于是b = ( a)( q), b = a( q)及 b =(a)q，即 a b, a b及a b。
反之，由 a b, a b及 a b 也可得a b;(ii) 由a b, b c 知b = aq, c = bq2,于是c = a(qq2),即a c;(:iii )由b a知a = bq，于是ax】a2X2 a k X k =b( qxq2X2q k X k),即b ax a2X2 ax k；( iv )由b a知a =bq，于是ac = :bcq，即bc ac;( v ) 由b a 知a = bq, 于是l a| = | bd ,再由a 0 得H ql 1 ，从而| a| | b|，后半结论由前半结论可得。
2. 由恒等式mq np = (mn pq) (m p)( n q)及条件m p mnpq可知m P mq 1 np。
3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中,存在两个自然数，它们的个位数字是 0,其中必有一个的十位数字不是9,记这个数为a,它的数字和为s,则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为S, S 1, ,s 9, s 10,其中必有一个能被11整除。
4. 设不然，n1 = mm, n2 p, n3 p,于是n =卩住介p3,即p 3 n ,矛盾。
5. 存在无穷多个正整数k,使得2k 1是合数，对于这样的k, (k 1)不能表示为a p的形式，事实上，若(k 八 2 21) = a p,则(k 1 a)( k1 a) = p，得k 1 a = 1，,k 1 a = p,即p =2 k 1，此与p为素数矛盾。
第一早习题二1. 验证当n =0,1 , 2,…，11 时，12|f(n)。
2. 写a = 3 q1 r1, b = 3 q? g m r2 = 0, 1 或2,由3 a2b2=3Q 「12r 22知「1 =门=0，即3 a 且3 b。
初等数论练习题一含答案
《初等数论》期末练习二、单项选择题 1、 (0，b)（）.A bB bC b D02、如果 (a, b) 1，则(ab, a b ）=（） A a B b C 1 Dab 3、小于 30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7二、填空题1、 有理数旦，0 a b,（a,b ）1，能写成循环小数的条件是（b2、 同余式12x 15 0（mod45）有解，而且解的个数为 （）.3、 不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（）.4、 设n 是一正整数，Euler 函数（n ）表示所有（）n ，而且与n （5、 设 a,b 整数，则（a,b ） （）= ab.6、 一个整数能被 3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被A 3B 3 与 9C 9D 3或9 7、 如果ba ， ab ，则（）.A a bB a bC a bD ab& 公因数是最大公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、 大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最小非负兀全剩余系是 ().A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6， -5,-4,-3,-2,-1 C1,2,3,4,5，6 D 11、因为（）,所以不定方程 12x 15y 7没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除 7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、 同余式 x 438(mod 593)( ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解4、 如果a b （modm ） ,c 是任意整数 贝U A ac bc （mod m ） B a b C ac bc （mod m ） D a b5、 不定方程 525x 231y 210（）. A 有解 B 无解 C 有正数解D 有负数解6、 整数5874192能被（）整除. 0,1,2,3,4，5，6）.）的正整数的个数3整除.7、x [x]（）.8、同余式111x 75（mod321）有解,而且解的个数（）.9、在176与545之间有（）是17的倍数.10、如果ab 0 则［a,b］（a,b）=（）.11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的（）.12、如果（a,b） 1,那么（ab, a b）=（）.三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程107x 37y 25. （8分）4293、求——,其中563是素数.（8分）5634、解同余式111x 75（mod321）.（8 分）5、求［525,231］=?6、求解不定方程6x 11y 18.2 __________________________7、判断同余式x 365（mod 1847）是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余•四、证明题1、任意一个n位数a n a n 1a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2 a n 1a n的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n是奇数时，有3（2n1） .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积，仍然是两个平方数的和；两个能表成两个平方数和的数的乘积，也是一个两个平方数和的数•（11分）4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数•5、如果a,b是两个整数,b 0,则存在唯一的整数对q, r,使得a bq r,其中0r b .《初等数论》期末练习二答案、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数-,0 a b,（a,b）1，能写成循环小数的条件是（（b,10） 1 ）.b2、同余式12x 15 0（mod45）有解，而且解的个数为（3 ）.3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（41 ）.4、设n是一正整数，Euler函数（n）表示所有（不大于）n，而且与n （互素）的正整数的个数•5、设a,b 整数，则（a,b）（[a,b] ）=ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除•7、x [x] （{x}）.8、同余式111x 75（mod321）有解,而且解的个数（3 ）.9、在176与545之间有（12 ）是17的倍数.10、如果ab 0 则[a,b]（a,b） =（ ab ）.11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的（因数）.12、如果（a,b） 1,那么（ab, a b）=（ 1 ）.三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17比24871 3468所以[24871,3468]= =507368417所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
初等数论考试题及答案
初等数论考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个数是质数？A. 23B. 45C. 68D. 89答案：A2. 两个连续的自然数的乘积一定是：A. 偶数B. 奇数C. 质数D. 合数答案：A3. 求下列哪个数的因数个数最多？A. 12B. 18C. 24D. 30答案：C4. 一个数如果被6整除，那么它一定能被：A. 2整除B. 3整除C. 2和3同时整除D. 以上都不是答案：C5. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 28C. 496D. 8128答案：A6. 一个数的最小素因子是2，那么这个数一定是：A. 偶数B. 奇数C. 质数D. 合数答案：A7. 求下列哪个数的各位数字之和最大？A. 123B. 456C. 789D. 135答案：C8. 一个数的各位数字之和是9，那么这个数除以9的余数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数一定是：A. 3的倍数B. 9的倍数C. 27的倍数D. 不一定是3的倍数答案：A10. 一个数的各位数字之和是5的倍数，那么这个数一定是：A. 5的倍数B. 25的倍数C. 125的倍数D. 不一定是5的倍数答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这个数叫做__质数__。
2. 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做__互质数__。
3. 一个数如果除了1和它本身外，还有其他因数，那么这个数叫做__合数__。
4. 一个数如果能够被2整除，那么这个数叫做__偶数__。
5. 一个数如果能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也一定能被3整除。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：如果一个数n能被4整除，那么2n也能被4整除。
证明：设n能被4整除，则存在整数k使得n=4k。
则2n=2×4k=8k，显然8k能被4整除，因此2n也能被4整除。
2. 证明：如果一个数n能被9整除，那么它的各位数字之和也能被9整除。
《初等数论》习题集及答案
《初等数论》习题集及答案《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
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初等数论考试试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C )Ａ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d=-=-=±±4．下列各组数中不构成勾股数的是( D)Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. 7．()mod a b m ≡的充分必要条件是( A ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +8．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( C ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( ? )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．不超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( D )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( C ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( A )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为：( A )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的原根存在，下列数中，m 不可能等于：( D ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是 ( B ) A ．322ind = B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是： ( C ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则a χ对模m 的指数是( B ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( A ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( B )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ _____21____； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2≥n ，有整数解的充分必要条件是_（1a ，2a ，…，n a ，）︱N_；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_（10，b ）=1__； 24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为2,__；25． 威尔生（wilson ）定理：____()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数______； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=___1___； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 欧拉判别条件)；28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是___()()m φφ__；29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_g 与g+a p 中的奇数_； 30． ()48ϕ=___16___。
2020年秋学期西南大学[0346]《初等数论》作业1答案
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作业1答案一、简答题（每小题10分，共30分）1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。
答：30是合数，其标准分解式为30235=⨯⨯。
2. 94536是否是9的倍数，为什么？答：94536是9的倍数，因为9453627++++=是9的倍数。
3. 写出模6的最小非负完全剩余系。
答：模6的最小非负完全剩余系为0，1，2，3，4，5。
4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。
答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数。
小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13，17。
5. 叙述模m 的最小非负完全剩余系的概念。
答：0，1，2，…，m -1称为m 的最小非负完全剩余系。
6. 2358是否是3的倍数，为什么？答：2358是3的倍数。
因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数，而2+3+5+8=18，18是3的倍数，所以2358是3的倍数。
二、给出不定方程ax + by = c 有整数解的充要条件并加以证明。
解： 结论：二元一次不定方程ax + by = c 有整数解的充要条件是(,)|a b c 。
证明如下：若ax + by = c 有整数解，设为00,x y ，则00ax by c += 但(,)|a b a ，(,)|a b b ，因而(,)|a b c ，必要性得证。
反之，若(,)|a b c ，则1(,)c c a b =，1c 为整数。
由最大公因数的性质，存在两个整数s ，t 满足下列等式(,)as bt a b +=于是111()()(,)a sc b tc c a b c +==。
令0101x sc tc ==，y ，则00ax by c +=，故00,x y 为ax + by = c 的整数解，从而ax + by = c 有整数解。
三、给出有关同余的一条性质并加以证明。
答：同余的一条性质：整数a ，b 对模m 同余的充要条件是m ｜a -b ，即a =b +mt ，t 是整数。
初等数论附录1习题参考答案
附录1习题参照答案第一章习题一1.(ⅰ)由ab知b=aq，于是b=(a)(q)，b=a(q)及b=(a)q，即ab，ab及ab。
反之，由ab，ab及ab也可得ab；(ⅱ)由ab，bc知b=aq1，c=bq2，于是c=a(q1q2)，即ac；(ⅲ)由bai知ai=bqi，于是a1x1a2x2akxk=b(q1x1q 2x2qkxk)，即ba1x1a2x2akxk；(ⅳ)由ba知a=bq，于是ac=bcq，即bcac ；(ⅴ)由ba知a=bq，于是|a|=|b||q|，再由a0得|q|1，进而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。
2 .由恒等式mqnp=(mnpq)(mp)(nq)及条件mpmnpq可知mpmq np。
在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，此中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a,a 1,,a9,a19的数字和为s,s1,,s9,s10，此中必有一个能被11整除。
.设不然，n1=n2n3，n2p，n3p，于是n=pn2n3p3，即p3n，矛盾。
.存在无量多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2不可以表示为a2p的形式，事实上，若(k1)2=a2p，则(k1a)(k1a)=p，得k 1a=1，k1a=p，即p=2k1，此与p为素数矛盾。
第一章习题二1.考证当n=0,1，2，,11时，12|f(n)。
2 .1，b=3q22，r12，由3a2=3Qr122知写a=3q r ,r=0,1或2br1=r2=0，即3a且3b。
3 .记n=10q+r,(r=0,1,,9)，则nk+4-nk被10除的余数和r k+4-r k=rk(r4-1)被1除的余数同样。
对r=0,1,,9进行考证即可。
4 .对于任何整数n，m，等式n2(n1)2=m22的左侧被4除的余数为1，而右侧被4除的余数为2或3，故它不行能建立。
5因a43a29=(a23a3)(a23a3)，当a=1，2时，a23a3=1，a 43a29=a2a3=7，13，a43a29是素数；当a3时，a23a3>1，a 23a3>1，a43a29是合数。
初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二一、单项选择题1、=),0(b （ ）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a +3、小于30的素数的个数（ ）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解二、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习二答案一、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （ 互素 ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
(0346)《初等数论》复习思考题 (1)
（0346）《初等数论》复习思考题1． 一个不等于1的自然数，分别去除967，1000，2001得到相同的余数。
试求这个自然数。
2． 求证：不可能存在两个质数p 1，p 2，使得p 1 + p 2 = 111…1(20位数)。
3． 如果p 和p + 2都是大于3的质数，求证6 | p + 1。
4． 设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。
5． 证明：两个奇数的平方差是8的倍数。
6．已知p 为偶数，q 为奇数。
方程组⎩⎨⎧=+=-q y x p y x 39918的解是整数，那么（ ）。
A. x 是奇数，y 是偶数 B. x 是偶数，y 是奇数C. x 是偶数，y 是偶数D. x 是奇数，y 是奇数7． 求1980的标准分解式。
8． 求792与594的最大公因数。
9． 求2001！中末尾0的个数。
10．求不定方程10x -7y =17的一切整数解。
11．求不定方程15x +10y +6z =61的一切整数解。
12．袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是 43，问：小明最多摸出标有数字2的球多少个？13．下列结论是否成立。
A. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )。
B. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )或a ≡-b (mod m )至少有一个成立。
C. 若a ≡b (mod m )，则a 2≡b 2(mod m )。
D. 若a ≡b (mod 2)，则a 2≡b 2(mod 22)。
E. 若ac ≡bc (mod m )，c 关于模m 不同余于0，则a ≡b (mod m )。
F. 若a ≡b (mod 3)，k ≥2，则a k ≡b k (mod 3)。
14．若n 为为然数，求证9n +1≡8n +9(mod 64)。
15．写出模9的一个完全剩余系。
16．写出模8的一个简化剩余系。
（完整版）初等数论练习题二（含答案）
（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求??563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(mod 75111≡x .8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] = 173911768? =104?391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
《初等数论》各章习题参考解答
《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。
2.解：3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。
故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。
故 当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。
3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x ³（n 就不会太大，存在反向关系）。
由()()22121n nn x x x -+-?+，得()()2212n n n x x -+?，即()()()121122nn x x -+?。
若2n ³，则()()()()251221114242nn x xx x-?+??，导致25140x x -+?，无解。
所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。
综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。
4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，故 存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。
《初等数论》复习思考题答案
（0346）《初等数论》复习思考题答案1． 一个不等于1的自然数，分别去除967，1000，2001得到相同的余数。
试求这个自然数。
解：设这个自然数为q ，则q | 1000 – 967，即q | 33。
又q | 2001 – 1000，即q | 1001，所以 q = 11。
2． 求证：不可能存在两个质数p 1，p 2，使得p 1 + p 2 = 111…1(20位数)。
证明：由于p 1与p 2的和为奇数，故p 1与p 2中有一个为2，设p 2 = 2，则110101*********-++++= p 。
因为10 ≡ 1(mod 9)，所以p 1 ≡ 19 – 1 ≡ 0 (mod 9)，即p 1不是质数，矛盾。
3． 如果p 和p + 2都是大于3的质数，求证6 | p + 1。
证明：首先p 是大于3的质数，则p 不是3的倍数。
又p + 2是大于3的质数，所以p – 1不是3的倍数。
故p + 1 必为3的倍数。
但p + 1 为偶数，所以p + 1 为2的倍数。
由于2与3互质，所以p + 1 为6的倍数，于是6 | p + 1。
4． 设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。
证明：若m 或n 为3的倍数，则mn 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加1，则m -n 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加2，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加1，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加2，则m -n 是3的倍数，结论成立。
5． 证明：两个奇数的平方差是8的倍数。
证明：若a =2k +1为奇数，则a 2-1=4k (k +1)，因2|k (k +1)，所以8| a 2-1。
于是当a , b 均为奇数时，由8| a 2-1与8| b 2-1得8|a 2-b 2。
即两个奇数的平方差是8的倍数。
2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案
2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案一填空题（每空2分）1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 .2.,(,)(,)(,)a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by +=4.写出180的标准分解式是22235?? ,其正约数个数有(2+1)(2+1)(1+1)=18个.5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []ab个.6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数.8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 .9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod 7).13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(m od ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -121(mod ).p np ≡- .17.3()=5 -1 ; 4()=5 1 .18.,p 设是奇素数则2()p=218(1).p --.19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1()p= -12(-1).p .20. 5()=9 1 ; 2()=45-1 .二判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Za bx cy ?∈+且对任意的有.成立2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立3. 23|,|a b a b 若则.不成立4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈?≡ 成立5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡?≡ 不成立6. 22(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或至少有一个成立. 不成立 7. 222(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.不成立8. 若x 通过模m 的完全剩余系,则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系. 成立 9. 1212{,,,}{,,,}.m m a a a b b b L L 若与都是模m 的完全剩余系不成立1122{,,,}.m m a b a b a b m +++L 则也是模的完全剩余系不成立10.若(,)1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax b +也通过模m 的简化剩余系. 不成立 11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m mm ∈==若则成立12. 同余方程24330(mod15)x x -+≡和同余方程2412120(mod15)x x +-≡是同解的. 成立13. (mod ).ax b m ax my b ≡+=同余方程等价于不定方程成立14. 2,(mod ),() 1.am x a m m≡=当是奇素数时若有解则成立15. 2,()1,(mod ).a m x a m m=≡当不是奇素数时若则方程一定有解不成立三计算题1. (1859,1573)-求.（6分）解：1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573)(286,15732865)(286,143)(0,143)143-===-?===2.求 [-36,108,204].（8分）解：22232232.[36,108,204][36,108,204],3623,10823,2042317,[36,108,204]23171836.-==?=?=??∴=??=Q3. 求(125,17),以及x ,y ,使得125x +17y =(125,17).（10分）解：3.651,16-56-(17-26)36-173(125-177)-173125-2217.1253-17221,3,-22.x y =+==?=?=??=??∴??===由等式起逐步回代得4. 求整数x ,y ,使得1387x -162y =(1387,162).（10分）解：4.9421,19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411520-911520-9(71320)322097132(91-71)97132914171329141(16291)73914116273(13878162)41162731387625162.1=?+=?=?=??=??=??=??-?=?-?=?-?=?-?=?-? -=?-?=?-?-?=?-?∴由等式起逐步回代得38773162625 1.-?=5. 12!.分解为质因数乘积（8分）6. ,10|199!k k 求最大的正整数使.（8分）7. [1+L 求(10分) 8. 81743.x y +=求方程的整数解(6分)9.求方程19 x ＋20y=1909的正整数数解。
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西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年秋季
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
考试类别:大作业满分：100分
1.解：整除的定义：
设a, b是任意两个整数,其中b不为零,若存在一个整数q使得a=bq,我们就说b 整除a,记为bla.这时b叫a的因数, a叫b的倍数.若这样的q不存在，则说b 不整除a.
6整除24.
8不整除42.
3.解：欧拉函数()a
ϕ是定义在正整数上的函数，它在正整数a上的值等于序列0,1,2，…，a-1中与a互质的数的个数。
(5)
ϕ=4
(6)
ϕ=2.
4.解：220=2²×5×11。
6.解如下图
8.解：素数除了1和自己就没有其他约数了.4m-1或4m+1,其中4m-1看成4m+3,即一切奇素数都可以表示成4m+3或4m+1的形式.因为,一切奇素数不可以写成4m的形式（约数4）,但也不能写成4m+2(约数2）.所以一切奇素数都可以表示成4m-1或4m+1的形式，即41
m±.
- 1 -。