高鸿业《西方经济学(微观部分)》(第6版)课后习题详解(第4章 生产函数)

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1．下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：表4-1 短期生产函数的产量表（1）在表中填空。

（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？答：（1）利用短期生产的总产量（TP）、平均产量（AP）和边际产量（MP）之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4-2所示。

表4-2 短期生产函数的产量表（2）边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。

本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表4-2可见，当可变要素的投入量由第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。

2．用图说明短期生产函数(),Q f L K =的L TP 曲线、L AP 曲线和L MP 曲线的特征及其相互之间的关系。

答：短期生产函数的L TP 曲线、L AP 曲线和L MP 曲线的综合图如图4-2所示。

图4-2 短期生产函数曲线由图4-2可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，L MP 曲线呈现出先上升达到最高点A 以后又下降的趋势。

由边际报酬递减规律决定的L MP 曲线出发，可以方便地推导出L TP 曲线和L AP 曲线，并掌握它们各自的特征及其相互之间的关系。

关于L TP 曲线。

由于d d L LT M P LP =，所以，当0L MP >时，L TP 曲线是上升的；当0L MP <时，L TP 曲线是下降的；而当0L MP =时，L TP 曲线达最高点。

换言之，在3L L =时，L MP 曲线达到零值的B 点与L TP 曲线达到最大值的B '点是相互对应的。

此外，在3L L <即0L MP >的范围内，当0L MP '>时，L TP 曲线的斜率递增，即L TP 曲线以递增的速率上升；当0L MP '<时，L TP 曲线的斜率递减，即L TP 曲线以递减的速率上升；而当0L MP '=时，L TP 曲线存在一个拐点，换言之，在L L =１时，L MP 曲线斜率为零的A 点与L TP 曲线的拐点A '是相互对应的。

关于L AP 曲线。

由于L LAP TP L=，所以，在2L L =时，L TP 曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C 。

该切线是由原点出发与L TP 曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是L AP 的最大值点。

再考虑到L AP 曲线和L MP 曲线一定会相交在L AP 曲线的最高点。

因此，在图4-2中，在2L L =时，L TP 曲线与L MP 曲线相交于L AP 曲线的最高点C '，而且与C '点相对应的是L TP 曲线上的切点C 。

3．已知生产函数()22,20.50.5Q f L K KL L K ==--，假定厂商目前处于短期生产，且10K =。

（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量L TP 函数、劳动的平均产量L AP 函数和劳动的边际产量L MP 函数。

（2）分别计算当劳动的总产量L TP 、劳动的平均产量L AP 和劳动的边际产量L MP 各自达到极大值时的厂商的劳动投入量。

（3）什么时候L L AP MP =？它的值又是多少？解：（1）将10K =代入生产函数()22,20.50.5Q f L K KL L K ==--中，得：20.52050Q L L =-+-于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数： 劳动的总产量函数20.52050L TP L L =-+- 劳动的平均产量函数500.520L AP L L=-+- 劳动的边际产量函数20L MP L =-+（2）令200L MP L =-+=，解得20L =且2210d d L TP L =-<所以当劳动的投入量为20时，劳动的总产量L TP 达到最大。

令2d 500.50d L AP L L=-+=，解得10L =（负值舍去） 且有232d 1000d LAP L L-=-< 所以，当劳动投入量为10L =时，劳动的平均产量L AP 达到最大。

由劳动的边际产量函数20L MP L =-+可知，d 10d LMP L=-<，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。

当劳动投入量0L =时劳动的边际产量L MP 达到极大值。

（3）当劳动的平均产量L AP 达到最大时，一定有L L AP MP =，即：0.5205020L L L -+-=-+得：10L =此时10L L AP MP ==。

4．区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。

答：规模报酬的递增、不变和递减与边际报酬递增、不变和递减的区别如下：规模报酬所涉及的是，一厂商的规模本身发生变化（这假定为该厂的厂房、设备等固定要素和劳动、原材料等可变要素发生了同比例变化）时相应的产量是递增、不变还是递减，或者说是厂商根据他的经营规模大小（产销量大小）设计不同的工厂规模；而边际报酬递增、不变和递减所讨论的则是在该厂的规模已经固定下来，即厂房、设备等固定要素既定不变，可变要素的变化引起的产量（报酬）递增、不变和递减三种情况。

5．已知生产函数为}{min 2,3Q L K =，求：（1）当产量36Q =时，L 与K 值分别是多少？（2）如果生产要素的价格分别为2L P =，5K P =，则生产480单位产量的最小成本是多少？解：（1）生产函数}{min 2,3Q L K =表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，当厂商进行生产时，总有23Q L K ==。

因为已知36Q =，解得18L =，12K =。

（2）由23Q L K ==，480Q =，可得：240L =，160K =又因为2L P =，5K P =，所以有：224051601280L K TC P L P K =⨯+⨯=⨯+⨯=即生产480单位产量的最小成本为1280。

6．假设某厂商的短期生产函数为23358Q L L L =+-。

求：（1）该企业的平均产量函数和边际产量函数。

（2）如果企业使用的生产要素的数量为6L =，是否处于短期生产的合理区间？为什么？解：（1）由厂商的短期生产函数可得平均产量函数L AP 和边际产量函数L MP ，即有：2358LL TP AP L L L==+- 2d 35163d LL TP MP L L L==+- （2）当企业使用的生产要素的数量6L =时，22351633516636230L MP L L =+-=+⨯-⨯=>223583586647L AP L L =+-=+⨯-=显然，当企业使用的生产要素的数量6L =时，生产处于第Ⅱ阶段，是短期生产的合理区间。

7．假设生产函数}{min 5,2Q L K =。

（1）作出50Q =时的等产量曲线。

（2）推导该生产函数的边际技术替代率函数。

（3）分析该生产函数的规模报酬情况。

解：（1）生产函数}{min 5,2Q L K =表明该生产函数是一个固定投入比例的生产函数，它反映了劳动和资本在某一技术水平下必须以固定比例投入的情况。

本题50Q =时等产量曲线为如图4-3所示的直角形式，资本和劳动应满足52K L =，且5250L K ==。

联立解得：25K =，10L =。

图4-3 50Q =时的等产量曲线（2）由于生产要素K 和L 是不可替代的，因此边际技术替代率为零。

（3）因为()}{,min 5,2Q f L K L K ==，所以有：()}{}{}{,min 5,2min 5,2min 5,2f L K L K L K L K Q λλλλλλλ====故该生产函数呈现出规模报酬不变的特征。

8．已知柯布-道格拉斯生产函数为Q AL K αβ=。

请讨论该生产函数的规模报酬情况。

解：因为(),Q f L K AL K αβ==，所以有：()()(),f L K A L K AL K αβαβαβλλλλλ+==故，当1αβ+>时，柯布-道格拉斯生产函数Q AL K αβ=具有规模报酬递增的性质； 当1αβ+=时，柯布-道格拉斯生产函数Q AL K αβ=具有规模报酬不变的性质； 当1αβ+<时，柯布-道格拉斯生产函数Q AL K αβ=具有规模报酬递减的性质。

9．已知生产函数1233Q AL K =。

判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？ 解：（1）因为()1233,Q f L K AL K ==，于是有：()()()()1233121212333333,,f L K A L K A L K AL K f L K λλλλλλλ+====所以，生产函数()1233,Q f L K AL K ==属于规模报酬不变的生产函数。

（2）假定在短期生产中，资本投入量不变，用K 表示；而劳动投入量可变，用L 表示。

对于生产函数()1233,Q f L K AL K ==，有：223313L MP AL K -=且5233d 20d 9L MP AL K L -=-<这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量L MP 是递减的。

相类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以L 表示；而资本投入量可变，以K 表示。

对于生产函数1233Q AL K =，有：113323K MP K -=且5233d 20d 9L MP AL K L -=-<这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量K MP 是递减的。

以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。

10．令生产函数()()120123,f L K LK K L αααα+++＝，其中01i α≤≤，0,1,2,3i =。

（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？ （2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。

解：（1）由()()120123,f L K LK K L αααα+++＝ 则：()()()()()()()()()1220123120123120123011f L K LK K L LK K LLK K L f L K λλααλαλαλααλλαλαλααααλαλλα=+++=+++⎡⎤=++++-⎢⎥⎣⎦=+-,,如果该生产函数表现出规模报酬不变，则()(),,f L K f L K λλλ=，这就意味着对于任何常数0λ>都必有()010λα-=，解得00α=。