高一数学诱导公式_公式总结
高一数学(三角函数的诱导公式 2)
3p 3p sin( - a ), cos( - a ), 2 2 3p 3π sin( + a ), cos( +α) 2 2
公式五： 公式五：
sin (
π
2
−α) = cosα −α) = sin α
cos(
π
2
sin(
π
2
+α) = cosα +α) = −sin α
公式六： 公式六：
cos(
π
2
形成结论
kπ 所有诱导公式可统一为 ±α(k ∈Z) 2 的三角函数与α的三角函数之间的关系 的三角函数之间的关系. 的三角函数与 的三角函数之间的关系
它们之间的关系归纳为： 它们之间的关系归纳为：
奇变偶不变，符号看象限. 奇变偶不变，符号看象限.
典例讲解
化简： 例1 化简：
11 π sin(2π -α)cos(π +α)cos( +α)cos( -α) 2 2 9π cos(π -α)sin(3π -α)sin(- π -α)sin( +α) 2
y
π
2 −α 的终边
π
y=x
α的终边
O
x
y
π
2
−α 的终边
(y， P2(y，x) α的终边
O
P1(x ，y) x
），则关 设角α的终边上有一点P1（x，y），则关 π 于直线y=x y=x对称的角 的终边上的点P 于直线y=x对称的角 −α 的终边上的点P2的 2 坐标如何？ 坐标如何？
形成结论
2
cos(180 +α) ⋅ sin(α + 360 ) 2. o o sin(-α-180 ) ⋅ cos(-180 -α)
高中三角函数诱导公式知识点
⾼中三⾓函数诱导公式知识点三⾓函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何⾓的集合与⼀个⽐值的集合的变量之间的映射，那么接下来给⼤家分享⼀些关于⾼中三⾓函数诱导公式知识点，希望对⼤家有所帮助。
⾼中三⾓函数诱导公式知识1公式⼀：设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式⼆：设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意⾓α与 -α的三⾓函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利⽤公式⼆和公式三可以得到π-α与α的三⾓函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利⽤公式⼀和公式三可以得到2π-α与α的三⾓函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα⾼中数学三⾓函数的诱导公式学习⽅法⼆推算公式：3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα⾼⼀数学学习⽅法总结1.先看专题⼀，整数指数幂的有关概念和运算性质，以及⼀些常⽤公式，这公式不但在初中要求熟练掌握，⾼中的课程也是经常要⽤到的。
必修4三角函数的诱导公式
佛山学习前线教育培训中心高一数学讲义（56）第十一讲：三角函数的诱导公式一、知识要点：诱导公式（一）tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k诱导公式（二）)tan()cos( sin )sin(=+=+-=+απαπααπ诱导公式（三）)tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αααα诱导公式（四）tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-=-=-诱导公式（五）=-=-)2cos(cos )2sin(απααπ诱导公式（六）=+=+)2cos(cos )2sin(απααπ方法点拨： 把α看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,,),Z (2-+-∈+k k公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变二、基础自测：1、求下列各三角函数值:①cos225° ②tan （-11π）2、sin1560°的值为( ) A 、21-B 、23-C 、21 D 、233、cos -780°等于( ) A 、21 B 、21-C 、23 D 、23-三、典型例题分析：例1、求值（1）29cos()6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___．（3）16sin()3π-= __________．变式练习1：求下列函数值：665cos)1(π )431sin()2(π-的值。
求：已知、例)sin(2)4cos()3sin()2cos(,3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+变式练习2：若1sin()22πα-=-，则tan(2)πα-=________．变式练习3：已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan ＝．四、巩固练习：1、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ） A ．α一定是锐角 B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角 2、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ．53 B ． 53-C ．54 D ． 54-3、sin 34π²cos625π²tan45π的值是A ．－43B ．43 C ．－43 D ．434、)2cos()2sin(21++-ππ （ ） A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos2 5、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ）A ．332 B ． －2 C ． 332-D ． 332±6、如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π （ ）A 、21- B 、21 C 、23-D 、237、α是第四象限角,1312cos =α,则sinα等于( )A.135B.135-C.125D.125- 二、填空题1、计算：cos （－2640°）+sin1665°＝ ．2、计算：)425tan(325cos625sinπππ-++＝ ．3、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___．4、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．5、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sinf 的值为 。
三角函数诱导公式
高一数学三角函数的诱导公式1、正、余弦的诱导公式公式一：sin(α＋k²360°)=sinαcos(α＋k²360°)=cosα（k∈Z）公式二：sin(180°＋α)=－sinαcos(180°＋α)=－cosα公式三：sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα公式四：sin(180°－α)=sinαcos(180°－α)=－cosα公式五：sin(360°－α)=－sinαcos(360°－α)=cosα总结：α＋k²360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
注：正切等其余的函数的诱导公式可通过同角三角函数关系式推导出。
2、诱导公式的推导：诱导公式二、三可由单位圆中的三角函数线来导出，即寻求180°＋α（或－α）与α的同名三角函数值之间的关系，公式四、五可由公式一、二、三推导.由五组诱导公式，可将任意角的三角函数值转化为0°～90°的三角函数值，从而利用数学用表查值.利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：1、已知则sinα＋cosα=（）A．B．C． D．2、已知函数f(x)=asinx＋btanx＋1，满足f(5)=7，则f(－5)的值是（）A．5 B．－5 C．6 D．－63、设，则（）A．b>a>c B．a>b>c C．b>c>a D．a>c>b4、已知sin(α－360°)－cos(180°－α)=m，则sin(180°＋α)²cos(180°－α)等于（）A． B．C． D．－5、设的值等于（）A．B．－C．D．－6、f(cosx)=cos2x，则f(sin15°)=（）A．－B．C．D．－例1、推导出180°＋α，－α，180°－α，360°－α的正切、余切的诱导公式. 例2、设的值为（）A．B．C．－1 D．1例3、计算=____________.例4、已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：（1）cos（2A＋B＋C）=－cosA；（2）13、已知sin(α＋β)=1，则sin(2α＋β)＋sin(2α＋3β)= _____________.14、求下列各式的值.(1)已知求的值；(2)若且|tan(3π－α)|=－tanα，求cos(α－3π)．16、求证：已知cos(α＋β)＋1=0，求证：sin(2α＋β)＋sinβ=0．。
高一数学cos公式
高一数学cos公式高中数学诱导公式全集常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
三角诱导公式
2022届高一数学第二学期07（诱导公式01）[知识要点]诱导公式(以下k∈Z，α∈R)(1)sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα(2)sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα(3)sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα(4)sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα(5)sin(2π-α)=cosαcos(2π-α)=sinαtan(2π-α)=cotαcot(2π-α)=tanα(6)sin(2π+α)=cosαcos(2π+α)=-sinαtan(2π+α)=-cotαcot(2π+α)=-tanα(7)sin(23π-α)=-cosαcos(23π-α)=-sinαtan(23π-α)=cotαcot(23π-α)=tanα(8)sin(23π+α)=-cosαcos(23π+α)=sinαtan(23π+α)=-cotαcot(23π+α)=-tanα★口诀：，权且当锐角，竖变横不变(奇变偶不变)，符号看象限★熟记：tan(kπ+α)=tanα(k∈Z) tan(kπ-α)=-tanα(k∈Z)★由第二组诱导公式得：函数y=sin x，y=tan x，y=cot x都是奇函数，函数y=cos x是偶函数[课后作业]01．化简：(1)(2)3sin()cos()cot()2n(3)sec(2)csc()2ta πθπθθππθπθπθ----+---02．已知tan (540º+α)=lg 101，求tan (α-270º)的值03．已知α∈(0，π)，sin (2π+α)=41，求cos (23π+α)的值cos (2π-α) sin (π-α)∙ tan (2π-α) cos (π-α) sin (π-α) tan (π+α) ∙ 3 304．已知|cos (π+α)|=-cos α，tan (α-3π)=-43，求sin (-α)05．已知α是第三象限角，f (α)= (1)化简f (α)(2)若cos (α-23π)=51，求f (α)的值06．已知x ∈(4π，43π)，sin (π+x )+cos (π-x )=-1325，求 的值sin (π-α)cos (2π-α)tan (-α+23π)cos (-α-π)sin (-α-π) 1-tan (π+x ) 1-tan (2π-x )07． 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,5}B =，则AB = 08. 不等式01x x ≤+的解集为 09. 已知4sin 5α=，则cos()2πα+= 10. 已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图像过点(2,4)，则a 的值为11. 设角α的始边为x 轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin 0α>”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件22. 已知函数()22x x f x -=+.（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）设a R ∈，求关于x 的函数22222()x x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()g a 表达式；（3）若关于x 的不等式()21x mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围.2022届高一数学第二学期08 （诱导公式02 ）[课后作业]01．下列各式中，与cos (23π-α)相等的是[ ] (A )sin (π-α) (B )cos (π-α) (C )sin(2π-α) (D )cos (2π+α)02．求值： (1)cos 1º+cos 2º+cos 3º+∙∙∙+cos 180º=(2)若cos (5π-α)=-31，则cos α=(3)tan 1º∙tan 2º∙tan 3º∙∙∙∙∙tan 89º=(4)sin 21º+sin 22º+sin 23º+∙∙∙+sin 2180º=(5)若tan (3π-α)=-31，则tan (23π+α)= （6）若sin (5π-x )=-31，则cos (π+x )=（7）若cot (π-θ)=2，则sin θ∙cos θ=03．化简下列各式： (1)(2)tan α+tan (180º-α)+cot (90º+α)-tan (360º-α)(3)sin (180º-α) sin (180º+α) cos (360º-α) sin (-α) cot (90º-α) tan (90º+α)∙ ∙ sin (3π-α) tan (α-5π) csc (5π+α) sin (-α)cot (-π-α) cos (π+α) ∙ ∙04．已知α是钝角，且sin (180º+α)=-31，求cos (α-180º)的值05．已知tan α=2，求 的值06．已知x ∈(4π，43π)，sin (2π-x )+cos (π+x )=-1325，求的值sin (π-α)-sin (α-2π) cos (23π+α)+cos (π+α)1-co t (π+x )1-co t (2π-x )07．已知x∈(2π，π)，sin(π-x)-cos(π+x)=32(1)求sin x-cos x的值(2)求sin3(2π+x)+cos3(2π+x)的值08．已知角α的终边经过点P(sin20175π，cos20175π)，求角α的最小正值9. 函数()lg(23)x x f x =-的定义域为10. 已知集合{1,0,}A a =-，{||1|1}B x x =-<，若AB ≠∅，则实数a 的取值范围是11. 函数2146y x x =-+的值域为 12. 不等式33(1log )(log )0x a x +->的解集是1(,9)3，则实数a 的值为13. 若函数()f x 的图像过点(1,2)，则1()1f x --的图像经过点14. 已知函数11()||||f x x x x x=+--. （1）判断()f x 的奇偶性，并作出函数()f x 的图像；（2）关于x 的方程2()()0f x mf x n ++=（,m n R ∈）恰有6个不同的实数解，求n 的取值范围.。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解22---诱导公式
高一数学复习考点知识与题型专题讲解5.3诱导公式【考点梳理】考点一：公式二1．角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．2．公式：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.考点二：公式三1．角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．2．公式：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.考点三：公式四1．角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．2．公式：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.考点四：公式五1．角π2－α与角α的终边关于直线y ＝x 对称，如图所示． 2．公式：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 考点五：公式六1．公式：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.2．公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.大重点：诱导公式规律总结1.明确各诱导公式的作用诱导公式 作用公式一将角转化为0～2π之间的角求值 公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三 将负角转化为正角求值 公式四将角转化为0～π2之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．【题型归纳】题型一：诱导公式一的应用1．（2021·江苏·高一课时练习）求值： （1）7πsin6； （2）11πcos 4； （3）()tan 1560-︒. 2．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）计算 （1）142053sin cos tan 336πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()tan675sin 330cos960︒--︒-︒．题型二：诱导公式二、三、四应用 3．（2021·江苏·高一课时练习）化简：（1）cos(π)ππsin cos sin(π)22αααα-⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭.4．（2021·全国·高一课时练习）已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f αππααπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭=--⋅--． （1）化简()f α；（2）若α为第四象限角且31sin 25απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值；（3）若313απ=-，求()f α．题型三：：诱导公式五、六应用5．（2021·全国·高一课时练习）已知3tan 4θ=-．求下列各式的值：（1）3sin cos 222sin()cos()ππθθπθθπ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--；（2）222sin cos cos 2sin cos θθθθθ-++． 6．（2021·陕西·杨陵区高级中学高一月考）已知角θ的顶点是平面直角坐标系的原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角θ的终边过点()1,2P ．（1）求sin θ，cos θ的值；（2）求()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．题型四：诱导公式的化简求值7．（2021·海南·儋州二中高一月考）已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+. （1）化简()f α； （2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值8．（2020·四川·威远中学校高一月考）化简:（1）设tan 3α=，求sin()cos()sin cos 22αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，求2sin sin cos ααα-.题型五：利用诱导公式证明恒等式 9．（2019·全国·高一课时练习）求证：()()()2cos cos 223sin 3cos sin sin cos sin 1222θθθθθθθθπ-π-+=ππ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫π++-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 10．（2021·全国·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题型六：正切函数的诱导公式的应用 11．（2021·陕西富平·高一期末）化简求值：（1）3πsin(2π)cos(3π)cos 2sin(π)sin(3π)cos(π)αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---；（2）()tan 315tan 570tan 60tan 675︒+︒-︒-︒．12．（2021·上海师范大学第二附属中学高一月考）化简下列各式：（1）()()()()()sin 180cot 90cos 360tan 180tan 90sin()αααααα︒-︒-︒-⋅⋅︒+︒+-（2）()22221sin cot cot cos αααα+--【双基达标】一、单选题13．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一月考（文））若3tan 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2t a n 5πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．4-14．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）已知200︒的终边上有一点(1,)a -，则si n 160︒=（ ）A ．a -B ．21a a +C ．21a a -+D ．211a +15．（2021·江西·九江一中高一期中）已知65s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+，则3cos 10πα⎛⎫⎝-⎪⎭=( )A ．33-B ．63-C ．33D ．6316．（2020·湖北荆门外语学校高一月考）若()tan 20192πα-+=，则22sin cos sin cos αααα+⋅-=（ ） A ．35-B ．45C ．25D ．117．（2021·全国·高一课时练习）已知3312,,tan(),sin cos 22425ππααπαα⎛⎫∈-=-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+等于（ ）A ．15±B ．15-C ．15D ．75-18．（2021·全国·高一课时练习）已知31,2,sin 223ππαπα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan()πα+=（ ） A ．22B ．22-C ．2D ．2-19．（2021·北京市第四十三中学高一月考）已知tan 2θ=，则s i n c o s ()2c o s s i n ()πθπθθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=--（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．2320．（2020·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知cos 29m =，则sin 241tan151的值是（ ）A ．21m m -B ．21m -C ．21m m-D ．21m --21．（2021·安徽·淮北市树人高级中学高一期中）若3sin(π)5α+=，且α是第三象限角，则ππsin cos 22ππsin cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1B ．7C ．-7D ．-122．（2021·辽宁·大连市一0三中学高一月考）已知点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记AOB θ∠=且3sin 5θ=，则sin()2sin 22tan()ππθθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=-（ ）A ．2215B ．23C ．2215-D ．23-【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高一课时练习）设()tan 5m πα+=（4k παπ≠+，且2k παπ≠+，k ∈Z ），则()()()()sin 3cos sin cos a αππαπα-+---+的值为（ ）A ．11m m +-B ．11m m -+C ．－1D ．1 24．（2021·广西·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若51cos 62πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．32C ．32±D ．12-25．（2021·全国·高一课时练习）化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ-------=（ ）A ．-sin θB ．sin θC ．cos θD ．-cos θ26．（2021·陕西渭滨·高一期末）sin(600)tan300-+︒︒的值是（ ） A ．32-B ．32C ．132-+D ．132+27．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知()sin 0πα+<，且s i n 02πα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 28．（2021·全国·高一单元测试）“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件29．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简tan1tan 2tan3tan89︒︒︒︒（ ） A ．442B ．1C ．1442D ．145230．（2021·广西·防城港市防城中学高一月考）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90° ，则称θ与q “广义互余”已知1sin()4πα+=-，下列角β中：①15sin 4β=；②1cos()4πβ-=；③tan 15β=；④tan 152πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.可能与角a “广义互余”的有（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④31．（2021·广西·全州县第二中学高一期中）化简221cos 102sin 201cos 160-+--的结果为（ ）A ．sin10B ．sin102C ．12D ．1 32．（2021·全国·高一课时练习）已知3cos cos()2,2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ） A ．2B ．-2C ．13D ．3二、多选题33．（2021·河北·曲周县第一中学高一月考）下列化简正确的是 A ．()tan π1tan1+=B ．()()sin cos tan 360ααα-=-C ．()()sin πtan cos πααα-=+D ．()()()cos πtan π1sin 2πααα---=-34．（2020·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+ 35．（2021·全国·高一课时练习）下列化简正确的是（ ） A ．tan(1)tan1π+=B ．()sin()cos tan 360ααα︒-=-C ．cos()tan()1sin(2)παπαπα---=-D ．若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则312sin()sin sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭36．（2020·江苏省苏州第十中学校高一月考）已知()()()()()sin 540cos 3601sin()tan 900tan 450tan 810xx x x x x--⋅⋅----，则（ ） A ．当120x =时，上式的值为32B ．当150x =时，上式的值为12C ．当240x =时，上式的值为32D ．当60x =-时，上式的值为32-三、填空题37．（2021·全国·高一课时练习）若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-_____． 38．（2021·全国·高一课时练习）求值()()sin 420cos750sin 690cos 660︒︒+-︒⋅-︒=_________．39．（2021·河南·新乡县高中高一月考）已知α为第二象限角，且115tan tan 4αα-=则πsin sin(π)2πsin sin(π)2αααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值为______.40．（2021·全国·高一课时练习）已知角2()5k k Z παπ=-∈，若角θ与角α的终边相同，则sin cos tan |sin ||cos ||tan |y θθθθθθ=++的值为______. 41．（2021·浙江临海·高一期中）已知点(1,2)P 是角θ终边上的一点，则5sin cos(3)2sin sin()2πθπθπθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭_________． 42．（2021·上海·高一课时练习）已知sin(π)α-是方程61x x =-的根，求cos(5π)tan(2π)sin(3π)cot(π)αααα-⋅-+⋅-的值.四、解答题43．（2021·陕西·绥德中学高一月考）(1)计算：3sin(90)5tan1805cos0sin540-+︒+︒+︒；(2)化简：()3sin 2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαααπαππαπααπα-+------+. 44．（2021·全国·高一课时练习）已知sin α是方程25760x x --=的根．求233sin sin tan (2)tan()22cos cos 22αππαπαπαππαα⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．45．（2021·江西省靖安中学高一月考）已知3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f παππαααπαπα---+=----.（1）化简()f α； （2）若313πα=-，求()f α的值；（3）若13cos(),,252ππααπ⎡⎤--=∈⎢⎥⎣⎦，求()f α的值. 46．（2021·陕西省洛南中学高一月考）（1）化简：3sin(3)cos(2)sin 2cos()sin()παπαπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭-⋅--（2）求值：()()sin 150cos 210cos 420tan 60-︒⋅︒⋅-︒⋅︒47．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知角α的终边经过点(),2P x -，（0x ≠），且3cos 6x α=，求cos sin sin ααα+的值； （2）求值：()()sin 420cos750sin 690cos 660tan(1380)+--+-o o o o o.48．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）（1）求函数|sin |2cos |tan |2cot sin |cos |tan |cot |y αααααααα=+++的值域；（2）化简：sin()cos(6)7sin cot 22θπθπππθθ--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．49．（2021·陕西韩城·高一期末）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan tan 20αα--=.（Ⅰ）求()tan πα-的值；（Ⅱ）求2021sin sin(2021)2cos()2sin()παπααπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭-++的值. 50．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简： （1）212sin100cos 280cos3701cos 170-︒︒︒--︒；（2）()()()()sin tan 5tan 2cos 2αππαπαπα-----. 51．（2021·湖北武汉·高一期中）已知角α的终边经过点(),22P m ，22sin 3α=且α为第二象限角.（1）求实数m 和tan α的值；（2）若tan 2β=，求()()sin cos 3sin sin 2cos cos 3sin cos παβαβπαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值.【答案详解】1．（1）7π1sin62=-；（2）22-；（3）3. 解 （1）7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.（2）11π3π3ππcoscos 2πcos cos π4444⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π2cos42=-=-. （3）()()tan 1560tan1560tan 4360120-︒=-︒=-⨯︒+︒()tan120tan 18060tan 603=-︒=-︒-︒=︒=.2．（1）336--；（2）-1. 【详解】 （1）142053sin cos tan 336πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=sin 4cos 6tan 933621ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=sin cos 11tan 3361πππππ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=sin cos tan 3361πππ--+，313=223--+， 336--=. （2）()tan675sin 330cos960︒--︒-︒，()()()tan 72045sin 36030cos 3360120=︒---︒+-⨯︒-， tan45sin30cos60=--+，11122=--+，1=-．3．（1）2cos α-；（2）cos α【详解】 （1）()()2cos(π)ππcos sin cos cos sin cos sin(π)22sin ααααααααα--⎛⎫⎛⎫⋅-+=⋅--=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos sin sin cos sin cos tan cos αααααααα⋅-==-. 4．（1）()cos f αα=-；（2）15-；（3）12-． 【详解】（1）[]3sin()cos()sin (sin )cos (cos )2()cos cos()sin()(cos )sin f απααπαααααπαπααα⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪-⋅⋅-⎝⎭===-+⋅-+-⋅．（2）因为31sin sin cos 225παπαα⎛⎫⎛⎫-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()cos 5f αα=-=-．（3）因为313απ=-，()cos f αα=-， 所以3131cos 33f ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 52cos cos 331132ππππ⎛⎫⎪⎝⎛⎫=--⨯-=--=-=- ⎪⎭⎭⎝．5．（1）710- ；（2） 2225．【详解】（1）原式31cos sin 1tan 7462sin cos 2tan 11014θθθθθθ---+-+====--+-++． （2）原式2tan 12tan 1θθ-=++312242925116--=+=+． 6．（1）25sin 5θ=，5cos 5θ=；（2）2-. 【详解】因为角θ的终边过点()1,2P ，所以1x =，2y =，22125r OP ==+=， 所以225sin 55y r θ=== ，15cos 55x r θ===， （2）()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()sin 4cos sin 4cos sin cos sin cos θθθθθθθθ-+---==--+，由（1）知：tan 2yxθ==， 所以sin 4cos tan 4242sin cos tan 121θθθθθθ------===-+++所以()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2-.7．（1）sin cos αα⋅；（2）32-.【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-；（2）由()1sin cos 8f ααα==可知()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴3cos sin 2αα-=-. 8．（1）2；（2）25.【详解】 ∵tan 3α=，则sin()cos()sin cos 22a a a a ππππ-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin (cos )sin cos cos (sin )sin cos a a a aa a a a-+-+==+--tan 1312tan 131a a ++===--.（2）依题意得：tan 353tan a a+=-，∴tan 2a =，∴2222sin sin cos sin sin cos sin cos a a a a a a aα--=+22tan tan tan 1a aa -=+ 222221-=+25=. 9． 证明：左边()cos cos cos cos 1cos cos cos θθθθθθθ-=+---+ 111cos 1cos θθ=++-221cos θ=-=22sin θ=右边，所以原式或立． 10． 【详解】证明：左边()()()tan cos cos 2tan sin cos 22αααααα⎡π⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡π⎤⎡π⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()()()()tan sin cos tan cos sin αααααα--=--1==右边，所以原式成立．11．（1）1；（2）33． 【详解】（1）3πsin(2π)cos(3π)cos sin (cos )sin 21sin(π)sin(3π)cos(π)sin sin (cos )αααααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭==-+-----；（2）()31tan 315tan 570tan(36045)tan(54030)tan 45tan 3033tan 60tan 675tan 60tan(72045)tan 60tan 45331-+︒+︒︒-︒+︒+︒-︒+︒====-︒-︒-︒-︒-︒-︒+︒-+．12．（1）sin α；（2）0. 解：（1）()()()()()()()sin 180cot 90cos 360sin tan cos sin tan 180tan 90sin()tan cot sin ααααααααααααα︒-︒-︒-⋅⋅⋅⋅==︒+︒+-⋅-⋅- （2）()222222221sin cot cot cos cot cos cot cos 0αααααααα+--=+--=13．D 解：因为2π2π2πtan tan tan π555ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πtan 45α⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.所以2tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：D. 14．C 【详解】 由题意2sin 2001a a ︒=+，所以2sin160sin(360200)sin 2001a a ︒=︒-︒=-︒=-+．故选：C ． 15．B 【详解】 ∵3=()5102πππαα+-+，65s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+， ∴由诱导公式可得，336sin[()]cos()102103sin()5ππππααα=-+=-=-+， 故选：B. 16．D 【详解】由()tan 20192tan 2παα-+=⇒=，则22sin cos sin cos αααα+⋅-222222sin cos sin cos tan tan 14211sin cos tan 141ααααααααα+⋅-+-+-====+++. 故选：D. 17．B 【详解】由题意得3tan()tan 4απα-==-，又3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos 0,sin 0αα<>，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα==-， 所以sin cos αα+341555=-=-， 故选：B. 18．B 【详解】 因为31,2,sin cos 223ππαπαα⎛⎫⎛⎫∈+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 3α=-，tan 22α=-， 所以()tan tan 22παα+==-， 故选：B 19．B 【详解】 因为tan 2θ=，所以sin cos()2cos sin()πθπθθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--，2cos cos sin θθθ=-，221tan θ==--，故选：B 20．B 【详解】sin 241tan151sin 61tan 29cos29tan 29== 22sin 291cos 291m ==-=-，故选：B. 21．B 【详解】由()3sin πsin 5αα+=-=，则3sin 5α=-.又α是第三象限角，所以24cos 1sin 5αα=--=-，所以ππ43sin cos cos sin 22557ππ43cos sin sin cos 2255αααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 22．C 【详解】依题意，θ是第二象限角，而3sin 5θ=，则24sin 3cos 1sin ,tan 5cos 4θθθθθ=--=-==-， 所以342()sin()2sin()sin 2cos 2255232tan()2tan 152()4ππθθθθπθθ-+⋅-++--+===----⋅-. 故选：C 23．A 【详解】∵()tan 5m πα+=，4k παπ≠+，且2k παπ≠+，k ∈Z ，∴tan m α=，1m ≠， ∴()()()()sin cos tan 111sin cos tan sin 3cos 11n 1si cos a m m m m ααααααππαπαα------+====-+--+-+-+-+--．故选：A. 24．B 【详解】∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴55,636πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴2553sin 1cos 662ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴553sin sin sin 6662πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：B 25．A 【详解】原式=sin()cos()cos 2cos sin()πθπθθθθ-+-， =2(sin )cos cos (sin )θθθθ--， =-sin θ. 故选：A 26．A 【详解】()33sin(600)tan 300sin120tan 60sin 60tan 60322-+︒=+-︒=︒︒-︒=-=-︒.故选：A. 27．B 【详解】由诱导公式可得：()sin sin 0παα+=-<，sin cos 02παα⎛⎫-=< ⎪⎝⎭所以sin 0α>，cos 0α<，所以α是第二象限角 故选：B 28．B 【详解】sin cos sin()2παββ==-，所以22k παβπ=-+或22k παππβ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，k Z ∈，即2()2k k Z παβπ+=+∈或2()2k k Z παπβ=++∈，因此题中应是必要不充分条件． 故选：B ． 29．B 【详解】因为sin sin(90)sin cos tan tan(90)1cos cos(90)cos sin αααααααααα︒-︒-=⋅=⋅=︒-， 所以tan1tan 2tan3tan89(tan1tan89)(tan 2tan88)(tan 44tan 46)tan 451︒︒︒︒=︒︒⋅︒︒︒︒︒=． 故选：B ． 30．A 【详解】由1sin()4πα+=-，得1sin 4α-=-，所以1sin 4α=，故15cos 4α=±. 由题意，a +β= 90°，所以sin β15cos ,4α==±，1cos sin 4βα==，tan 15β=±.故①③满足；对于②，由1cos()4πβ-=，得cos β= 14-，不满足；对于④，由tan()152πβ+=，可得115tan β-=.则15tan 15β=-，不满足.故可能与角a “广义互余”的有①③. 故选：A. 31．B 【详解】222221cos 10sin 10sin102sin 20sin 202sin 201cos 1602sin 2s 0s 6in in 110-===+-+--+-，故选：B. 32． A 【详解】3cos cos()2,sin cos 22παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos 2,(sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=-∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==， 故选：A ． 33．AB利用诱导公式，及sin tan cos ααα=A 选项：tan(1)tan1π+=，故A 正确；B 选项：sin()sin sin cos sin tan(360)tan cos o αααααααα--===--，故B 正确；C 选项：sin()sin tan cos()cos παααπαα-==-+-，故C 不正确；D 选项：sin cos cos()tan()cos (tan )cos 1sin(2)sin sin ααπαπααααπααα⋅----⋅-==-=---，故D 不正确故选：AB 34．AB 【详解】由题意知sin 0α<，cos 0α>，tan 0α<. 选项Asin 0tan αα>； 选项B ，cos sin 0αα->； 选项C ，sin cos 0αα<； 选项D ，sin cos αα+符号不确定. 故选：AB. 35．ABD 【详解】由诱导公式易知A 正确；B 正确，()sin()sin cos tan tan 360ααααα︒--==--；C 错误，cos()tan()sin(2)παπαπα----(cos )(tan )1sin ααα--==--；D 正确，312sin()sin 12sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，原式2(sin cos )|sin cos |θθθθ=-=-∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0,cos 0θθ><，∴sin θcos θ0->，∴312sin()sin sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=-⎪⎝⎭. 故选：ABD. 36．ABD 【详解】()()()()()sin 540cos 3601sin()tan 900tan 450tan 810xx x x x x--⋅⋅---- ()()()()()sin 180cos 1sin()tan 180tan 90tan 90xx x x x x --=⋅⋅----2sin 1cos cos sin cos sin 11tan sin cos tan tan xx x xx x xx x x x=⋅⋅==⨯=--， 当120x =时，原式3sin1202==，故选项A 正确； 当150x =时，原式1sin1502==，，故选项B 正确；当240x =时，原式()3sin 240sin 18060sin 602==+=-=-，故选项C 不正确； 当60x =-时，原式()3sin 60sin 602=-=-=-，故选项D 正确， 故选：ABD 37．2或2- 【详解】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭， 当角α为第一象限角时，2cos sin 2αα==，22cos sin 222αα--=--=-； 当角α为第三象限角时，2cos sin 2αα==-，22cos sin 222αα--=+=． 故答案为：2或2-. 38．1 【详解】()()sin 420cos750sin 690cos 660sin 60cos30sin 30cos60331112222︒︒+-︒⋅-︒=︒+︒⋅︒=⋅+⋅=故答案为：139．35【详解】 由115tan tan 4αα-=，得24tan 15tan 40αα--=，得1tan 4α=-或tan 4α=. α为第二象限角，∴1tan 4α=-，π1sin sin(π)1cos sin 1tan 3241πcos sin 1tan 51sin sin(π)42αααααααααα⎛⎫+-+-⎪++⎝⎭∴====--⎛⎫+--- ⎪⎝⎭. 故答案为：35. 40．1- 【详解】sin cos tan |sin ||cos ||tan |y θθθθθθ=++sin cos tan |sin ||cos ||tan |αααααα=++ sin 2cos 2tan 2555|sin 2||cos 2||tan 2|555k k k k k k ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin cos tan 555sin costan555ππππππ--=++--sin cos tan 5551111sincostan555ππππππ--=++=-+-=-.故答案为：1- 41．2- 【详解】点(1,2)P 是角θ终边上的一点，则2tan 21θ==5sin cos(3)cos cos 2cos 222cos sin cos sin 1tan sin sin()2πθπθθθθπθθθθθθπθ⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭====----⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故答案为：2- 42．520±【详解】61x x =-即26()10x x +-= ，解得13x = ，19x = ，1sin(π)sin 9αα-=-=，1sin 9α=- ， cos(5π)tan(2π)cos(π)tan()cos (tan )sin(3π)cot(π)sin(π)cot()sin (cot )αααααααααααα-⋅--⋅--⋅-==+⋅-+⋅--⋅-sin cos sin cos cos cos sin sin αααααααα⋅==⋅， 因为1sin 9α=-，所以45cos 9α=± ，那么原式值为520±. 故答案为：520±43．(1)2；(2)1. 【详解】(1)由诱导公式以及特殊角的三角函数值可得，3sin(90)5tan1805cos 0sin 5403sin 905tan 05cos 0sin 03505102-+︒+︒+︒=-++-=-+⨯+⨯-=(2) 由诱导公式可得，()3sin 2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2sin (sin )cos (cos )cos sin sin cos 1.πππαααπαππαπααπααααααααα-+------+---=-=44．34±． 【详解】由sin α是方程25760x x --=的根，可得3sin 5α=-或sin 2α=（舍），原式233sin sin (tan )(tan )22sin (sin )ππαααααα⎛⎫⎛⎫-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯- 2cos (cos )tan (tan )sin (sin )αααααα⨯-⨯⨯-=⨯-tan α=-．由3sin 5α=-，可知α是第三象限或者第四象限角， 当α是第三象限时，4cos 5α=-，3tan 4α=； 当α是第四象限时，4cos 5α=，3tan 4α=-； 所以3tan 4α=或34-， 即所求式子的值为34±． 45．（1）cos α-；（2）12-；（3）265. 【详解】 解：（1）3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f παππαααπαπα---+=----sin cos (cos )cos cos sin αααααα-⨯⨯-==--⨯； （2）若313πα=-，则3111()cos()cos 332f παπ=--=-=-； （3）由1cos()25πα--=，可得1sin 5α=-， 因为[απ∈，3]2π，所以26cos 5α=-，所以26()cos 5f αα=-=. 46．（1）cos α；（2）38 【详解】 （1）原式()sin cos cos cos cos sin αααααα⋅⋅-==-⋅；（2）原式()()()sin 18030cos 18030cos 36060tan 60=-︒+︒⋅︒+︒⋅-︒-︒⋅︒()sin30cos30cos60tan 60=-︒⋅-︒⋅︒⋅︒131332228⎛⎫=-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 47．（1）6566+-或6566-；（2）13+. 【详解】（1） 角α的终边经过点(),2P x -，由三角函数的定义，23cos 62x x x α==+，解得10=±x . 当10x =时，30cos 6α=，6sin 6α=-，cos 656sin sin 6ααα-+=；当10x =-时，30cos 6α-=，6sin 6α=-，cos 656sin sin 6ααα++=-. （2）由诱导公式可得：()()sin 420cos 750sin 690cos 660tan(1380)sin 60cos30sin 30cos 60tan 6033113132222+--+-=++=⋅+⋅+=+o o o o o o o o o o48．（1）{4,2,0,6}--；（2）cos θ． 【详解】 解：（1）因为|sin |2cos |tan |2cot sin |cos |tan |cot |y αααααααα=+++，显然|,2k k Z παα⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭； 当α在第一象限时，sin 0α>、cos 0α>、tan 0α>，cot 0α>，所以sin 2cos tan 2cot 6sin cos tan cot y αααααααα=+++=； 当α在第二象限时，sin 0α>、cos 0α<、tan 0α<，cot 0α<，所以sin 2cos tan 2cot 4sin cos tan cot y αααααααα-=+++=---； 当α在第三象限时，sin 0α<、cos 0α<、tan 0α>，cot 0α>，所以sin 2cos tan 2cot 0sin cos tan cot y αααααααα-=+++=-； 当α在第四象限时，sin 0α<、cos 0α>、tan 0α<，cot 0α<，所以sin 2cos tan 2cot 2sin cos tan cot y αααααααα--=+++=--； 综上可得{}4,2,0,6y ∈--；（2）sin()cos(6)7sin cot 22θπθπππθθ--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin cos cos tan θθθθ-=- sin cos cos sin cos cos θθθθθθ==⋅49．（Ⅰ）2-；（Ⅱ）13. 【详解】（Ⅰ）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan 0α>.由2tan tan 20αα--=，解得tan 2α=，或tan 1α=-（舍去）. ∴tan()tan 2παα-=-=-.（Ⅱ）2021sin sin(2021)cos sin 2cos()2sin()cos 2sin παπααααπααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭=-++- 1tan 112tan 3αα-==-.50．（1）1；（2）tan α． 【详解】（1）22(cos10sin10)12sin100cos 28012cos10sin10cos10sin101cos10sin170cos10sin10cos10sin10cos3701cos 170︒-︒-︒︒-︒︒︒-︒====︒-︒︒-︒︒-︒︒--︒； （2）()()()()sin tan 5sin()(tan )sin tan tan 2cos 2(tan )cos cos αππαπααααπαπαααα--+--===-----．51．（1）1m =-，tan 22α=-；（2）211. 【详解】（1）由三角函数定义可知22222sin 38m α==+，解得1m =±，∵α为第二象限角，∴1m =-，所以tan 22α=-． （2）由（1）知tan 22α=-，()()sin cos 3sin sin sin cos 3cos sin 2cos cos 3sin cos cos cos 3sin cos παβαβαβαβπαβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=-+--+ ()tan 3tan 223213tan tan 12232αβαβ+-+=-=-++-⨯211=。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)诱导公式(解析版)
第25讲诱导公式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解诱导公式的推导方法；2．掌握诱导公式，并能灵活应用；3．借助公式进行运算，培养数学运算素养；通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.知识点1诱导公式1、诱导公式二：角πα+与角α的终边关于原点对称sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把α看作是锐角，则πα+是第三象限角，函数名不变，符号为πα+的终边在第三象限时的三角函数值的符号.2、诱导公式三：角α-与角α的终边关于x 轴对称sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则α-是第四象限角，函数名不变，符号为α-的终边在第四象限时的三角函数值的符号.3、诱导公式四：角πα-与角α的终边关于y 轴对称sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则πα-是第二象限角，三角函数名不变，符号为πα-的终边在第二象限时的三角函数值的符号/4、诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈【记忆规律】（1）把α看作锐角，则2πα-是第一象限角，2πα-的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα-的余弦函数值等于α的正弦函数值，函数值均不变号；（2）把α看作锐角，则2πα+是第二象限角，2πα+的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα+的余弦函数值等于α的正弦函数值的相反数.知识点2所有诱导公式记忆口诀与作用1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限2、诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为02π 的角求值公式二将02π 的角转化为0π 的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将2ππ 的角转化为02π 的角求值公式五实现正弦函数与余弦函数的互相转化公式六知识点3诱导公式常用方法1、用诱导公式进行化简时的注意点（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．3、利用诱导公式求值与求角解题策略（1）条件求值问题的策略①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．（2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．4、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．考点一：利用诱导公式给角求值例1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算16πcos 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C ．D ．2【答案】A【解析】由诱导公式可得，16π16ππππ1cos cos cos 5πcos πcos 333332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．【变式1-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）23πtan6=（）A ．B ．C D 【答案】B【解析】23ππππtantan 4πtan tan 6666⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:B.【变式1-2】（23-24高一下·广西桂林·月考）()3πcos sin π2θθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（）A ．2sin θ-B ．0C ．cos sin θθ-D ．cos sin θθ-+【答案】A【解析】()3ππcos sin πcos sin 2sin 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫-++=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.【变式1-3】（23-24高一下·陕西渭南·月考）14π20π11πsin cos tan 336⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】126--【解析】14π20π11ππππsin cos tan sin 5πcos7πtan 2π336336⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππ11sincos tan 33622=-+=-+---故答案为：126--.考点二：利用诱导公式给值求值例2.（23-24高一下·江西南昌·期末）已知π1sin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα+=（）A ．13-B ．13C ．D 【答案】A【解析】由诱导公式可得3π1sin cos 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，又()1cos πcos 3αα+=-=-，故选：A.【变式2-1】（23-24高一上··月考）若π1cos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（）A ．B ．12-C ．2D ．12【答案】B【解析】由π1cos =22α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1sin 2α=，所以()1sin παsinα2+=-=-.故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·月考）已知α为钝角，且3sin 5α=，则()cos 3πα+=（）A ．35-B ．35C ．45D ．45-【答案】C【解析】因为22sin cos 1αα+=，且3sin 5α=，所以22916cos 1sin 12525αα=-=-=，因为α为钝角，所以4cos 5α=-，所以()4cos 3πcos 5αα+=-=.故选：C.【变式2-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知α为第二象限角，若2023π1sin ,24α⎛⎫-=⎪⎝⎭则tan α=（）A ．BC ．D 【答案】A【解析】由()2023π1sin cos cos 24ααα⎛⎫-=--=-=⎪⎝⎭，则1cos 4α=-，由α为第二象限角，则sin α=，所以sin tan cos ααα==.故选：A.考点三：利用互余互补关系求值例3.（23-24高一上·福建福州·月考）如果α，β满足παβ+=，那么下列式子中正确的个数是（）①sin sin αβ=；②sin sin αβ=-；③cos cos αβ=-；④cos cos αβ=；⑤tan tan αβ=-．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】因为παβ+=，所以sin sin(π)sin αββ=-=，故①正确，②错误；cos cos(π)cos αββ=-=-，故③正确，④错误；tan tan(π)tan αββ=-=-，⑤正确．故选：C【变式3-1】（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．45D ．35【答案】C【解析】因为π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππ4cos cos sin 62533ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C 【变式3-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）π1ππ2πsin ,,sin 64233θθθ⎛⎫⎛⎫+=-<<+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等于（）A ．14-B ．14C．4-D．4【答案】D【解析】∵2ππππsin sin cos 3626θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ,23θ-<<则πππ,362θ-<+<且π1sin 064θ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，∴πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=.故选：D【变式3-3】（23-24高一下·广东茂名·月考）若3π1sin 83x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π02x <<，则πcos 8x ⎛⎫+=⎪⎝⎭.【答案】13【解析】因为3πππ882x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ3π3π1cos cos sin 82883x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：13.考点四：诱导公式综合化简求值例4.（23-24高一下·广西梧州·月考）化简求值：(1)3πsin(2π)cos(3π)cos 2sin(π)sin(3π)cos(π)αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---；(2)7π19πtansin 46π15πcos tan34+⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】(1)1；(2)1-【解析】（1）()3πsin(2π)cos(3π)cos sin()(cos )sin 21sin(π)sin(3π)cos(π)sin sin cos αααααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭==-+-----.（2）ππ7π19πππ1tan 2πsin 3πtansintan sin 146464621ππ1π15πππcos tan 1cos tan cos tan 4π3423434⎛⎫⎛⎫-+++---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一下·广西桂林·月考）在平面直角坐标系中，角α的终边经过点(3,4)--．(1)求sin α，cos α的值；(2)求9π3πsin()cos()cos()222sin(2π)sin(π)πααααα+⋅-⋅-+-⋅+的值．【答案】(1)4sin 5α=-，3cos 5α=-；(2)35【解析】（1） 角α的终边经过点(3,4)--，∴5r ===，∴4sin 5y r α==-，cos 53x r α==-；（2）9π3πsin()cos()cos()cos sin (sin )222cos sin(2π)sin(π)(sin π35)(sin )ααααααααααα+⋅-⋅-+⋅⋅-==--⋅⋅-=+-．【变式4-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知α是第三象限角，且()()()()cos πcos π1π3sin tan 2πsin π2ααααα-+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.(1)求tan α的值；(2)求2sin 3sin cos ααα+的值；(3)角β的终边与角α关于x 轴对称，求()()3πsin π2sin 2πcos cos 5π2ββββ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值.【答案】(3)411【解析】（1）()()()()()()()()2cos πcos πcos cos 11πcos tan sin tan 3sin tan 2πsin π2ααααααααααα-+--===--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,因为α是第三象限角，所以tan 0α>，所以tan α=（2）2sin 3sin cos ααα+222sin 3sin cos sin cos ααααα+=+22tan 3tan tan 1ααα+==+（3）因为α是第三象限角，且tan α，角β的终边与角α关于x轴对称，则tan β=所以3πsin(π)2sin sin 2cos tan 22π2sin cos 2tan 12cos cos(5π)2ββββββββββ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭==----⎛⎫+++ ⎪⎝⎭411==.【变式4-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()()3π5πcos sin 22πcos sin π3f θθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅--.(1)若()14f θ=，求tan θ的值；(2)若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求4πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)答案见解析；(2)16【解析】（1）()()3π5πcos sin 2sin cos 222cos πsin cos sin π3f θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪-⋅⎝⎭⎝⎭==-⋅--，又因为()14f θ=，所以12cos 4θ-=，即1cos 8θ=-，所以θ为第二或第三象限角，当θ为第二象限角时，sin 8θ==，sin tan cos θθθ==-，当θ为第三象限角时，sin θ==sin tan cos θθθ==；（2）ππ12cos 663f θθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π1cos 66θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4ππsin sin 33θθ⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由πππ632θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得4πππππ1sin sin sin cos 332666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=---=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.考点五：利用诱导公式证明恒等式例5.（2024高一上·全国·专题练习）求证：()()2πcos 2sin 2πcos 2πsin 5πsin 2ααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】左边()πcos 2sin 2πcos πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅--⎡⎤⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭()sin sin cos cos αααα=⋅--⎡⎤⎣⎦2sin sin cos sin cos ααααα=⋅⋅==右边，故原式成立.【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：ππsin(5πcos()sin()2213πcos(3π)cos()sin(4π)2θθθθθθ--+=--+--）.【答案】证明见解析【解析】左边sin(5πsin cos cos(π)sin [sin(4π)]θθθθθθ--=---）sin(πsin cos sin 1cos sin (sin )sin θθθθθθθθ---==-=--）右边，故原式得证.【变式5-2】（23-24高一上·全国·课后作业）求证：23ππ2sin cos 122312cos π2θθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝sin cos sin cos θθθθ+-.【答案】证明见解析【解析】∵左边＝()2222cos sin 112sin cos 12sin cos sin θθθθθθθ⋅----=--()()()2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθ-++=-+--sin cos sin cos θθθθ+=-＝右边．∴原式成立．【变式5-3】（22-23高一下·江西吉安·期末）求证：当2k =或3时，3tan(π)tan(π)sin cos(2π)sin[(21)π]cos k k k k αααααα-+=-++.【答案】证明见解析【解析】当2k =时，左边=23tan(2π)tan(2π)tan tan tan sin cos(4π)sin(5π)cos (sin )cos sin cos ααααααααααααα-+-⋅===-+⋅-；当3k =时，左边=23tan(3π)tan(3π)tan tan tan sin cos(6π)sin(7π)cos (sin )cos sin cos ααααααααααααα-+-⋅===-+⋅-；综上，2k =或3k =有原等式恒成立.考点六：三角形中的诱导公式应用例6.（23-24高一下·河南安阳·月考）在ABC 中，给出下列四个式子：①()sin sin A B C ++；②()cos cos A B C ++；③()sin 22sin 2A B C ++；④()cos 22cos 2A B C ++.其中为常数的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】①因为在ABC 中，πA B C ++=，所以()()sin sin sin πsin sin sin 2sin A B C C C C C C ++=-+=+=；②因为在ABC 中，πA B C ++=，()()cos cos cos πcos cos cos 0A B C C C C C ++=-+=-+=；③()()()sin 22sin 2sin 2sin 2sin 2πsin 2A B C A B C C C ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()sin 2π2sin 2sin 2sin 20C C C C =-+=-+=；④()()()cos 22cos 2cos 2cos 2cos 2πcos 2A B C A B C C C ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()cos 2π2cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C =-+=+=.故选：B.【变式6-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）（多选）若角,,A B C 是ABC 的三个内角，则下列结论中一定成立的是（）A ．cos()cos ABC +=-B ．tan()tan B C A +=C ．cossin 2A CB +=D ．sincos 22B C A+=【答案】AD【解析】对于A ：()cos()cos πcos A B C C +=-=-，故A 正确；对于B ：()tan()tan πtan B C A A +=-=-，故B 错误；对于C ：ππcos cos cos sin 22222A C B B B +-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ：ππsinsin sin cos 22222B C A A A +-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：AD.【变式6-2】（22-23高一上·江苏扬州·月考）已知A ，B ，C 是ABC 的内角，下列等式中错误的是（）A ．()22sincos 1A B C ++=B ．ππsin cos 44A A-+=C ．()cos cos A B C +=D ．tantan 122A B C+⋅=【答案】C【解析】在ABC 中，πA B C ++=.对于A ，2222sin ()cos sin cos 1A B C C C ++=+=，A 正确；对于B ，πππ 442A A -++=，ππsin cos 44A A-+∴=，B 正确；对于C ，cos()cos(π)cos A B C C +=-=-，C 错误；对于D ，πsin cos π222tan tan tan tan tan tan 1π2222222sin cos 222C C A B C C C C C C C ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭⋅=-⋅=⋅=⋅= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：C.【变式6-3】（23-24高一下·辽宁大连·月考）在ABC 中，已知25sin cos 224C C +=，则tan 2A B +=.【答案】33【解析】因为25sincos 224C C +=，即251cos cos 224C C -+=，解得1cos 22C =，又π022C <<，所以23sin 1cos 222C C =-=，所以π1sinsin cos32222tan π233cos cos sin2222A B C C A B A B C C +-+=====+-.故答案为：33一、单选题1．（23-24高一下·四川遂宁·月考）cos120= （）A ．B ．12-C ．12D 【答案】B【解析】()1cos120cos 18060cos602=︒-︒=-︒=-.故选：B2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A ．45B ．35C ．45-D ．35-【答案】D【解析】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()1sin 3π3α+=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3B ．3-C ．13-D ．13【答案】D【解析】由诱导公式可得()()1sin 3πsin πsin 3ααα+=+=-=，故π1cos sin 23αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故选：D.4．（23-24高一上·北京东城·期末）若1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos πα-的值为（）A ．B ．12-C ．2D ．12【答案】C【解析】因为1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==，则()cos πcos αα-=-，故选：C.5．（23-24高一下·江西南昌·月考）若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．D ．13-【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5πππ1sin sin πsin 6663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：D.6．（23-24高一上·重庆·期末）已知π5sin 65x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．5±B C D ．5±【答案】B 【解析】因为πππ632x x -++=，所以ππππ5cos sin sin 32365x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.二、多选题7．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（）A ．sin(3π)sin αα+=B ．7πsin cos22αα+⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．5πcos 2sin 22αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．cos(9π3)cos3αα-=【答案】BC【解析】对于A ，sin(3π)sin(π)sin ααα+=+=-，故A 项错误；对于B ，7πππsin sin sin cos 222222αααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，5ππcos 2cos 2sin 222ααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，cos(9π3)cos(π3)cos3ααα-=-=-，故D 错误.故选：BC.8．（23-24高一上·新疆伊犁·月考）在ABC 中，下列关系不成立的是（）A ．()cos cos ABC +=B ．()sin sin A B C +=C ．sinsin 22A B C +=D ．coscos 22A B C+=【答案】ACD【解析】()()cos cos πcos A B C C +=-=-，A 选项错误.()()sin sin πsin A B C C +=-=，B 选项正确.ππsinsin sin cos 22222A B C C C +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，C 选项错误.ππcoscos cos sin 22222A B C C C +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：ACD 三、填空题9．（23-24高一下·北京·月考）计算()cos300sin 330tan 675︒︒︒--+=.【答案】1-【解析】()cos 300sin 330tan 675︒︒︒--+()()()cos 360sin 360tan 720603045︒︒︒︒︒︒++----=cos sin n 6030t 5a 4︒︒︒=--111122=--=-.故答案为：1-10．（23-24高一上·湖南·期末）化简：()()()()πsin πcos 3πcos 25cos 6πsin πsin π2αααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭.【答案】tan α-【解析】原式()()sin cos sin sin tan cos cos sin cos ααααααααα-⋅-⋅-==-=-⋅⋅.故答案为：tan α-.11．（23-24高一下·广西梧州·月考）已知π1cos 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π2πsin cos 63x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】23【解析】因为π1cos 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππππ1sin sincos 62333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2πππ1cos cos πcos 3333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π2π112sin cos 63333x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：23.四、解答题12．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知3sin 5α=-，且α是第三象限角.(1)求cos α，tan α的值；(2)求()()()()3sin πcos sin π2cos 2020πtan 2020πααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.【答案】(1)答案见解析；(2)1625【解析】（1）因为3sin 5α=-，且α是第三象限角，所以4cos 5α==-，3sin 35tan 4cos 45ααα-===-；（2）由（1）知：()()()()3sin πcos sin π2cos 2020πtan 2020πααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-22sin cos 16cos cos tan 25ααααα-===-.13．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求sin α，cos α，tan α的值；(2)求()()()()3πcos tan πsin 2π2sin 7πcos πααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+的值．【答案】(1)sin α=，cos α=，tan 2α=-；(2)12-【解析】（1）因为πsin cos 23αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以cos 3α=-，又因为22sin cos 1αα+=且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=所以sin tan cos 3ααα==-.（2）()()()()()()()23πcos tan πsin 2πsin tan sin 12tan sin 7πcos πsin cos 2ααααααααααα⎛⎫-+- ⎪--⎝⎭==-=--+-.。
高一数学必修四知识点：三角函数诱导公式
【导语】⼈⽣要敢于理解挑战，经受得起挑战的⼈才能够领悟⼈⽣⾮凡的真谛，才能够实现⾃我⽆限的超越，才能够创造魅⼒永恒的价值。
以下是©⽆忧考⽹⾼⼀频道为你整理的《⾼⼀数学必修四知识点：三⾓函数诱导公式》，希望你不负时光，努⼒向前，加油！ 【公式⼀】 设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式⼆】 设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意⾓α与-α的三⾓函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 【公式四】 利⽤公式⼆和公式三可以得到π-α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 【公式五】 利⽤公式⼀和公式三可以得到2π-α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 【公式六】 π/2±α及3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 【⾼⼀数学函数复习资料】 ⼀、定义与定义式： ⾃变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的⼀次函数。
诱导公式 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
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y P (x ,y )
1 1 1
1
α
O
y P (x ,y )
1 1 1
P4(x4,y4)
α
x
P2(x2,y2)
180°＋α∈(180°,270°)
O
α
x
O
x
P3(x3,y3)
360°－α∈(270°,360°)
－α
180°－α∈(90°,180°)
问题4：(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什
tan(α+2kπ)=tanα k∈Z
sin cos 1
sin
( k , k Z )
tan
2
cos
2
2
研究思路：利用单位圆，从角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值
的关系得到了公式（一）.
引 入
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问题3：能否再把0°～ 360°间的角的三角函数求值，化为我们熟悉
cosα=x cos(-α)=x
y
y
tan- tan
作用：
x
x
公式三
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
y P (x,y)
1
O
α
-α x
P3(x,-y)
将负角化为正角
函数名不变，符号看象限
把α看成锐角时的符号
探究新知
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以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sin - α cosα
2
π
cos - α sinα
高一数学三角函数的诱导公式解析
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理解周期性：帮助理解三角函数 的周期性
提高解题效率：提高解题速度和 准确性
三角函数诱导公式的分类
正弦诱导公式：sin(α+kπ)=sinα 余弦诱导公式：cos(α+kπ)=cosα 正切诱导公式：tan(α+kπ)=tanα 余切诱导公式：cot(α+kπ)=cotα
三角函数诱导公式的应用实例
三角函数诱导公式的应用实例解析
实例一：求解三角函数值
实例三：求解三角函数不等式
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实例二：求解三角函数方程
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实例四：求解三角函数最大值和 最小值
三角函数诱导公式的应用实例答案解析
题目：求sin(2x)的值 解答：利用诱导公式sin(2x)=2sin(x)cos(x) 题目：求cos(3x)的值 解答：利用诱导公式cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)
高一数学三角函数的诱导公 式解析
汇报人：WPS
汇报时间：20XX/XX/XX
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目录
CONTENTS
1 三角函数诱导公式概述 2 三角函数诱导公式的应用 3 三角函数诱导公式的应用
实例 4 三角函数诱导公式的拓展
三角函数诱导公式概述
三角函数诱导公式的概念
诱导公式：三角函数在单位圆上的周期性变化规律
解决数学竞赛问题： 利用三角函数诱导公 式解决数学竞赛问题 ，如三角函数问题、 解析几何问题等
三角函数诱导公式的拓展总结
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诱导公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
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5.3诱导公式(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
• 1.利用单位圆的对称性推导诱导公式； • 2.掌握三角函数的诱导公式； • 3.能运用诱导公式化简简单的三角函数； • 重点：诱导公式的探究 • 难点：圆的几何性质与三角函数性质的联系；
复习引入
问题1：三角函数的定义？
三角函数第一定义：y sin ; x cos; y tan x 0.
的对称点P4，那么又可以得到什么结论？
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
P1(x,y)与P4(-x,y)关于y轴对称
sinα=y
sin(π-α)=y
cosα=x
tan y
x
cos(π-α)= -x
tan - - y
x
公式四 sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
公式三 sin(-α)=-sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα
公式四 sin(π-α)=sinα cos(π-α)=- cosα tan(π-α)= -tanα
典例分析
【例1】利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225 (2) sin 8π (3) sin(16π )
P4
π-α
P1
α
1
tan(π-α)=-tanα
创设问题情境
诱导公式 (公式一~ 公式四)
简记： 函数名不变， 符号看象限.
公式一 sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα tan(α+2kπ)=tanα
公式二 sin(π+α)=-sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα
求值（4） cos420 ；（5） sin( 7 ) ；（6） tan 1140 ； 6
高一诱导公式六个
高一诱导公式六个（一）高一诱导公式六个总结高一数学中关于诱导公式的六个公式可以概括为以下几组：1. 公式一：对于任意角α，终边相同的角的同一三角函数的值相等。
也就是说，当角度制下的角加上360°的整数倍后，其三角函数值不变。
表示为：sin（2k π＋α）＝sinα（k∈Z），cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z），tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z），cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）。
2. 公式二：设α为任意角，那么π+α的三角函数值与α的三角函数值具有如下关系：sin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tan α，cot（π＋α）＝cotα。
3. 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间满足：sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα，cot（－α）＝－cotα。
4. 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα，cot （π－α）＝－cotα。
5. 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα，cos（2π－α）＝cosα，tan（2π－α）＝－tan α，cot（2π－α）＝－cotα。
6.公式六：当角度为π/2±α及3π/2±α时，它们与角α的三角函数值的关系为：sin（π/2＋α）＝cosα，cos（π/2＋α）＝－sinα，tan（π/2＋α）＝－cotα，cot（π/2＋α）＝－tanα，sin（3π/2＋α）＝－cosα，cos（3π/2＋α）＝sinα，tan（3π/2＋α）＝cotα，cot（3π/2＋α）＝－tanα。
（二）高一诱导公式的推导理解技巧诱导公式是高一学生在学习三角函数时必须掌握的一个重要知识点，理解和掌握这些公式对于解决三角函数问题具有关键的意义。
诱导公式总结4篇
诱导公式总结4篇【第1篇】总结数学诱导公式总结数学诱导公式大全诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的`三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαk∈zcos(2kπ+α)=cosαk∈ztan(2kπ+α)=tanαk∈zcot(2kπ+α)=cotαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα【第2篇】初中数学三角函数的诱导公式的知识点总结初中数学三角函数的诱导公式的知识点总结诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n(/2)的'三角函数转化为角的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2k)=sin kzcos(2k)=cos kztan(2k)=tan kzcot(2k)=cot kz公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin=-sincos=-costan=tancot=cot公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot公式四：利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：sin=sincos=-costan=-tancot=-cot【第3篇】初中数学三角函数值诱导公式总结初中数学三角函数值诱导公式总结初中数学π+α的三角函数值诱导公式三角函数的诱导公式二所表示的是，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
公式二设α为任意角：对于x轴负半轴为起点轴而言弧度制下的角的表示：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotαsec(π+α)=-secαcsc(π+α)=-cscα角度制下的角的表示：sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanαcot(180°+α)=cotαsec(180°+α)=-secαcsc(180°+α)=-cscα看过上面的公式，我们就知道了其实π+α的三角函数值与α的三角函数值可以轻松地转化。
高一数学公式大全之三角函数诱导公式总结
高一数学公式大全之三角函数诱导公式总结京翰家教网辅导：为方便高一学生记忆高一数学公式，京翰教育整理了高一数学公式大全。
下面是数学公式大全之三角函数的诱导公式总结。
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
常用的诱导公式有以下几组：诱导公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα诱导公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)。
5.3诱导公式(一)课件-高一上学期数学人教A版 (1)
3
4、已知 cos( ) 3 ，且 2 ，则 sin( 3 ) cos( )
1 5
。
5
课堂总结
一、诱导公式
公式 角 正弦 余弦 正切
一
二
2k
sin
cos
sin
cos
tan tan
三
sin
cos
tan
四
sin
cos
tan
注意：
（1）函数名称不变；（2）运用公式时把 “看成”锐角；
y2
P2
O
P1(x, y)
x
角α的终边与单位圆的交点P1坐标 为(x,y).
y=x
由三角函数的定义得：
2 诱导公式(二)
y 的终边
2
P2(y，x)
P1(x，y) O
x
诱导公式五
sin(
)
cos
2
cos( ) sin
2
2 诱导公式
P3
y2
P2
O
P1(x, y)
x
角α的终边与单位圆的交点P1坐标 为(x,y).
2
诱导公式六
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
2 诱导公式(二)
公式概括：
函数名称变，符号看象限 作用：实现正弦函数与余弦函数的互相转化.
【例1】证明：
【例2】
（1）若 sin( ) 1 ，则 cos
1 3.
2
（2）若 cos(
3
) 1 ，则 cos(
)
1 2
sin 250o cos 790o
（3） sin(2 )sin(2 ) cos(6 ) .
高一数学人必修件诱导公式
解题步骤
根据题目条件，选择合适的复合角或差角公式，将问题转化为可求解的
三角函数问题。
02 03
注意事项
在使用复合角与差角公式时，要注意角度的范围和三角函数的定义域， 避免出现错误。同时，要灵活运用诱导公式，将角度转化到锐角范围内 进行求解。
实例分析
结合具体题目，分析复合角与差角公式在解题中的应用，如求三角函数 的值、解三角形等。
正切函数诱导公式
$tan(kpi + alpha) = tan alpha$ $tan(pi/2 + alpha) = -cot alpha$ $tan(pi + alpha) = tan alpha$
$tan(pi/2 - alpha) = 1/tan alpha$
$tan(pi - alpha) = -tan alpha$
04
倍角与半角公式应用
Chapter
倍角公式推导及实例分析
倍角公式推导
通过三角函数的基本关系式和角度相加公式，可以推导出倍 角公式，如sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α等。
实例分析
利用倍角公式，可以解决一些与角度加倍相关的三角函数问 题。例如，已知sinα的值，可以求出sin2α、cos2α的值等。
• $\sin(3\pi/2 + \alpha) = \cos\alpha$
• 再根据诱导公式， $\sin(\pi/2 + \theta) = \cos\theta$，所 以
典型例题解析
例2
已知$cos(pi/4 - x) = 3/5$，求 $sin(5pi/4 + x)$的值。
• 分析
VS
本题主要考察诱导公式和同角三角函数关 系式的应用。首先，我们可以将 $sin(5pi/4 + x)$转化为$-sin[pi + (pi/4 + x)]$，然后利用诱导公式和已知条件求 解。
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高一数学诱导公式_公式总结
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
一般的最常用公式有:
Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA
Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA
Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB
Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB
Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
部分高等内容
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组y=-y\\。