二维三角形线性插值有限元法的原理与应用

二维三角形单元的有限元程序编写及应用

葛青宇 1182201150 研电1803班

一、二维有限元理论介绍

1、电磁场边值问题

电磁场边值问题一般满足不同的微分方程和相应的边界条件。泊松方程是电磁场位函数满足方程中的一大类，如下所示：

2a u f -∇=

(1)

1

0u

u Γ=

(2)

2,3

u a

bu c n

Γ∂=+∂

(3)

其中：（1）式称为泊松方程，u 为电磁场的位函数，a 为表征空间介质材料的常数，f 表示 产生电磁场位函数的源；（2）式表示第一类边界条件， u 0为边界上已知的位函数；(3)式为第三类边界条件，b 和 c 为已知的边界条件系数。 2、二维伽辽金加权余量方程

以插值方式构造近似函数，u 的近似解表示为

1

n

n n n n u M u ==∑

(4)

其中，基函数为12,, ,n n M M M ⋅⋅⋅，相应待定常数为 12,, ,n n u u u ⋅⋅⋅ 根据基函数和权函数与单元形状函数的关系，在有限元法中一个单元内基函数和权函数的值等于相应的形状函数的值，表示为在单元e 中，,e i n i M N =，,e j m j M N =。

采用伽辽金加权余量形式，设一组与基函数相同的权函数12,, ,n n M M M ⋅⋅⋅，将权函数代入伽辽金加权余量方程，得一组方程

2()d d m m M a u M f Ω

Ω

-∇Ω=Ω⎰⎰

(5)

其中，m =1，2，…，n n , 对应节点的总体编号。对（4）式应用格林定理，并将第二、三类边界条件代入得

d ()d m

m m a M

u M bu c d M f •

Ω

Γ

Ω

∇∇Ω-+Γ=Ω⎰⎰⎰

(6)

其中m 同上。

将不含未知函数u 的项移至方程右端，得

d d d d m

m m m a M

u bM u M f cM •

Ω

Γ

Ω

Γ

∇∇Ω-Γ=Ω+Γ⎰⎰⎰⎰

(7)

将由基函数线性组合构成的近似函数代入方程，得 1

1

[()]d [()d ()d ()d n

n

n n m n n

m

n n

m

m n n a M M u bM M u M

f cM •==Ω

Γ

Ω

Γ

∇∇

Ω-Γ=Ω+Γ∑∑⎰

⎰⎰⎰ (8)

将近似函数的梯度运算表示出来，得

1

1

{[()]}d [()]d ()d ()d n

n

n n m

n

n m n n n n m m a M M

u bM M u M f cM •

==Ω

Γ

Ω

Γ

∇∇Ω-Γ

=Ω+Γ

∑∑⎰⎰⎰⎰ (9)

权函数与求和无关，可以将其移到求和号之内，得

1

1

{[()]}d [()]d ()d ()d n

n

n n m

n n m n n n n m m a M

M u b M M u M f cM •

==Ω

Γ

Ω

Γ

∇∇Ω-Γ

=Ω+Γ

∑∑⎰⎰⎰⎰ (10)

将未知节点变量从积分中提出得：

11()d ()d ()d ()d n

n

n n m

n n m n n m m n n a M

M u bM M u M f cM •

==Ω

Γ

Ω

Γ

∇∇Ω-Γ=Ω+Γ∑∑⎰⎰⎰⎰ (11)

可以看出代数方程如下所示：

,11,22,,

+n n m m m n n m n n m K u K u K u K u R ++++=

(12)

对比式（10），可得： ,()d ()d m n m n m n K a M M bM M •Ω

Γ

=∇∇Ω-Γ⎰⎰

(13)

()d ()d m m m R M f cM Ω

Γ

=Ω+Γ⎰⎰

(14)

将（12）、（13）式化作单元上积分之和得形式，得：

,11()d ()d e

eb

b

n n m n m n m n e e E

E K a M M bM M •===∇∇Ω-Γ∑∑⎰⎰

(15)

11()d ()d e eb

b

n n m m m e e E

E R M f cM ===Ω+Γ∑∑⎰⎰

(16)

n e 和n eb 分别是场域单元数和边界单元数，E 和E b 分别是单个场域单元积分区域和单个边界单元积分区域。

将基函数和权函数更换为单元形状函数，在单元上将基函数和权函数用双层下标标记：

,,,,,11()d ()d e eb

e i e j e i e j b

n n m n m n m n e e E

E K a M M bM M •===∇∇Ω-Γ∑∑⎰⎰

(17)