重庆大学电磁场习题答案(第2章)

第二章习题答案

2-2 真空中有一长度为l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为τ。试计算P 点的电场强度： （1）P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l 远处； （2）P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l 远处。 解：

（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角φ无关，这样

z '处取的元电荷

z q 'd d τ＝，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：

R

20e R

4z E ρρπετ'=d d 其两个分量：

θπετρρcos 2

0R

4z e E d dE '

=•=d ρρ （1） ()θπετsin 2

0z z R

4e E d dE z d '-=-•=ρ

ρ （2） 又

θρθ

ρ

tan ',cos ==

z R

所以：

θθρd dz 2sec '= （3）

式（3）分别代入式（1）（2）得：

θρ

πεθ

τρd 04dE cos =

； θρπεθτd sin 0z 4dE -

= 'sin 'sin cos θρ

πετ

θθρπετθρπεθ

τ

θρ000

004E 22d 2=⎰

∴＝＝‘ （4）

又 2l 4

2l 2

l +='θsin （5）

式（5）代入式（4）得：

l

55E 00πετ

ρπετρ22=

∴

＝

由于对称性，在z 方向 z E 分量互相抵消，故有0=z E

ρρρπετ

e l

5e E e E 0z z ρρρρ2E =

+=∴

ρ

y

图2-2长直线电荷周围的电场

（2）建立如图所示的坐标系

在x 处取元电荷dx dq τ=则它在P 点产生的电场强度为

R

20e R

4x d E d ρρπετ'=

其在x 方向的分量为：

2

0x R 4x d dE πετ'

=

又 x l R -=

2

02

0x x l 4x d R

4x d dE )

-(''

=

'

=

∴

πετπετ

()l 3x l 4x l 4x d E 02

l 2

l 2

l 2

l 020x πετ

πετπετ='-⨯=''

=

--⎰

∴∴

∴////1)-( x 0x x x e l

3e E E ρ

ρ

ρπετ=

=∴

2-3 真空中有一密度为m C n /2π的无限长线电荷沿y 轴放置，另有密度分别为2

/1.0m C n 和

2/1.0m C n -的无限大带电平面分别位于z=3m 和z=-4m 处。试求p 点（1，-7，2）的电场强度E 。

解：m z 3=和m z 4-=的带电平面产生的电场为()()

⎪⎩⎪

⎨⎧>-<<<--=340341

.001或z z e E z ε

沿y 轴放置的线电荷产生的电场为

(

)(

)

m nV e z e x z x e z x z

e z x x y x E z x z x /111

222202

222220

2++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=

επεπ

所以，p 点（1，-7，2）的电场强度为

()

m

V e e e e e E E E z x z x z /88.3359.2224

11

1

1

.000

2

1+=+++

-

=+=εε

应用叠加原理计算电场强度时，要注意是矢量的叠加。

2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4所示，试写出电位),θϕr （和电

场),(θr E ρ

的表达式。

解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公式得：

x

d x x

2

021

0121r 4q r 4q p πεπεϕϕϕ+

=

+=)(

又 2

12

2

1)cos 2(θrc c r r -+= ， 2

12

2

2)cos 2(θrd d r r -+=

()()θθθθθθe c e c r e c e c e r c r r r r r 1ρρρρρρρρsin cos sin cos +-=--=-=

()()θθθθθθe d e d r e d e d e r d r r r r r 2ρρρρρρρρsin cos sin cos +-=--=-=

2

1

2202

21

2201

2

0210121rc 2c r 4q rc 2c r 4q r 4q r 4q p )cos ()cos (θπεθπεπεπεϕϕϕ-++

-+=

+

=

+=∴)(

3

2

02

2301r 4r q r 4r q p E πεπερ

ρρ+=11)( [][]⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++-+-++-=23

22r 22322r 10rd 2d r e d e d r q rc 2c r e c e c r q 4)()()()(1θθθθθθπεθθcos sin cos cos sin cos ρρρρ

θθθθθπεθθθθπεe rc 2c r d q rc 2c r c q 41e rd 2d r d r q rc 2c r c r q 4123222232210r 23222232210ρρ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎣⎡-++-++⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎣⎡-+-+-+-=)()

()()()()(cos sin cos sin cos cos cos cos

2-5解，

(1) 由静电感应的性质和电荷守恒原理，充电到U 0后将电源拆去，各极板带电情况如图（1）所示 03213

33U d

E d E d E U AB

=++=

d

U

E E E 0321===

;3

301U

d E U U U DB CD AC ====

题图2-4

2r

1r

C

+

- (1)

1E 2E 3E +

+++++

+

+

++++++--------------+

++++++-

------0σ+ 0σ-