数论计数

数论篇

数论专题数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数（1）数的奇偶性奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数奇数个奇数相加=奇数偶数个奇数相加=偶数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数（2）数的整除，常见的数的整除特征2：个位是偶数3：各个数位之和是3的倍数5：个位是0和54、25：后两位可以被4（25）整除8、125：后三位可以被8（125）整除9：各个数位之和是9的倍数7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。

11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数。

13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被13整除即可被13整除。

17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

（3）余数的性质1.余数的可加性：和的余数等于余数的和。

2.余数的可减性：差的余数等于余数的差。

3.余数的可乘性：积得余数等于余数的积。

4.同余的性质：对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。

数的整除【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。

将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。

小学数论知识点

小学数论知识点数论是数学的一个重要分支，对于小学生来说，接触到的数论知识是数学学习中的基础和关键部分。

下面我们就来一起了解一下小学数论的一些主要知识点。

一、整数的认识1、自然数自然数是用来表示物体个数的数，如 0、1、2、3、4……最小的自然数是 0，没有最大的自然数。

2、整数整数包括正整数、0 和负整数。

正整数和 0 统称为自然数。

3、数位和计数单位不同的数位表示不同的计数单位。

例如，个位的计数单位是“一”，十位的计数单位是“十”，百位的计数单位是“百”。

二、整除1、整除的概念如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，b 能整除 a。

2、常见的整除特征（1）能被 2 整除的数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数。

（2）能被 3 整除的数的特征：各位上数字的和能被 3 整除。

（3）能被 5 整除的数的特征：个位上是 0 或 5 的数。

3、因数和倍数如果 a×b=c（a、b、c 都是非 0 整数），那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的倍数。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

三、质数与合数1、质数一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

最小的质数是 2。

2、合数一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

最小的合数是 4。

3、 1 既不是质数也不是合数。

四、公因数与公倍数1、公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。

其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

3、求最大公因数和最小公倍数的方法（1）列举法分别列出两个数的因数（或倍数），从中找出最大公因数（或最小公倍数）。

（2）分解质因数法把两个数分别分解质因数，公有质因数的乘积就是最大公因数，公有质因数和各自独有的质因数的乘积就是最小公倍数。

计数问题数论

第十四讲数论相关的计数在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等．计数问题是多种多样的，它经常与其他的知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等．今天让我们来研究一下结合了数论知识的计数问题．例1．恰好能同时被6，7，8，9整除的四位数有多少个？「分析」大家还记得公倍数怎么求吗？练习1、恰好能同时被4，5，6整除的三位数有多少个？例2．用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？「分析」根据11的整除特性，通过分析奇位数字和与偶位数字和，再结合本题的已知条件可以获得解题的线索．练习2、用1，2，3，4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？例3．从1~10这10个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？「分析」（1）两个数的乘积能被3整除，那么这两个数中至少有一个能被3整除．如何选取才能保证选到3的倍数呢？（2）要考虑两个数的和是否能被3整除，只需要考虑每个数除以3的余数的情况，那么怎样的两个数相加才能被3整除呢？练习3、从1~12这12个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？例4．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？「分析」这道题目可以从两方面入手，8的倍数和含有数字8的数，注意其中重复的情况．练习4、在1至200这200个自然数中，含有数字9或者能被9整除的有多少个？前面几个例题都是计数与整除相结合的题目．而除了整除之外，与数字相关的问题也属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题．例5．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．请问：此列数中的第100个数是多少？「分析」数字从左往右依次增大的数是“上升数”，那么四位“上升数”一共有多少个呢？显然，不能将前100个“上升数”都写出来，那怎么才能方便的计算出第100个数呢？例6．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有多少个？五位回文数又有多少个？五位的回文数中，有多少个是4的倍数？「分析」“回文数”一定是左右对称的，不妨从左往右分析，一旦左面的一个数字确定，右面一定有一个数字和其相同．回文联数学当中有回文数，在文学当中也有回文联．回文联，它是我国对联修辞奇葩(pā)中的一朵．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅它的意思不变，而且颇具趣味．兹举数例如下．其一：河南省境内有一座山名叫鸡公山，山中有两处景观：“斗鸡山”和“龙隐岩”．有人就此作了一副独具慧眼的回文联：斗鸡山上山鸡斗龙隐岩中岩隐龙其二：厦门鼓浪屿鱼脯浦，因地处海中，岛上山峦叠峰，烟雾缭绕，海淼淼水茫茫，远接云天．于是，一副饶有趣味的回文联便应运而生：雾锁山头山锁雾天连水尾水连天其三：清代，北京城里有一家饭馆叫“天然居”，乾隆皇帝曾就此作过一副有名的回文联：客上天然居居然天上客上联是说，客人上“天然居”饭馆去吃饭．下联是上联倒着念，意思是没想到居然像是天上的客人．乾隆皇帝想出这副回文联后，心里挺得意．即把它当成一个联，向大臣们征对下联，大臣们面面相觑，无人言声．只有大学士纪晓岚即席就北京城东的一座有名的大庙——大佛寺，想出了一副回文联：人过大佛寺寺佛大过人上联是说，人们路过大佛寺这座庙．下联是说，庙里的佛像大极了，大得超过了人．纪学士的下联，想得挺不错．这副回文联放到乾隆皇帝的一块，就组成一副如出一口的新回文联了：客上天然居居然天上客人过大佛寺寺佛大过人其四：湛江德邻里有一副反映邻里之间友好关系，鱼水深情的回文联，至今传颂不衰：邻居爱我爱居邻鱼傍水活水傍鱼作业1.1~100中，7的倍数有多少个？除以7余2的数有多少个？2.从1~15中，选出2个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种选法？3.用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？4.如果把三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第20个上升数是多少？5.有一类六位数，组成每个数的六个数字互不相同，并且每个数中任意两个相邻的数字组成的两位数都能被3整除．这类六位数共有多少个?。

计数综合知识点总结

计数综合知识点总结一、基本概念1.1 整数的计数整数的计数是计数综合的基础，它涉及到了对一定范围内的整数进行统计和计数。

在整数的计数中，通常需要掌握一些计数的基本规则和方法，如加法原理、乘法原理、排列、组合等。

这些基本规则和方法在解决实际问题时发挥着重要作用，可以帮助我们快速有效地进行计数和统计。

1.2 排列和组合排列和组合是计数综合中常用的概念和方法。

排列是指从若干个不同元素中取出一定数量的元素进行排列，每个元素只能用一次，且考虑元素的先后顺序。

组合是指从若干个不同元素中取出一定数量的元素进行组合，不考虑元素的先后顺序。

在实际问题中，排列和组合经常被用来求解具体的计数问题，例如排队、选组、抽样等。

1.3 概率与计数概率与计数是紧密相关的，概率可以看作是一种特殊的计数问题。

在概率计算中，我们通常需要对一个事件发生的可能性进行估计和计算，而这种估计和计算通常涉及到了对事件的计数和统计。

因此，在概率计算中，我们经常需要运用排列、组合等计数方法来进行计算和推理。

1.4 数论与计数数论是数学中的一个重要分支，它研究整数的性质和规律。

在数论中，我们通常需要对整数的计数和排列进行研究和分析，例如素数分布、约数个数等。

因此，数论和计数综合有着密切的关系，通过对整数性质的研究，我们可以进一步深化对计数综合的理解和应用。

二、常用方法2.1 加法原理加法原理是计数综合中常用的基本规则之一，它用于求解特定情况下的计数问题。

加法原理的核心思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后将它们的计数结果相加得到最终的计数结果。

例如，如果一个事件可以分解为两个相互独立的子事件，那么这两个子事件的计数结果之和就是该事件的计数结果。

加法原理在解决复杂的计数问题时发挥着重要作用，它能够帮助我们简化问题、降低求解难度。

2.2 乘法原理乘法原理是计数综合中另一个常用的基本规则，它也用于求解特定情况下的计数问题。

乘法原理的核心思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后将它们的计数结果相乘得到最终的计数结果。

计数的基本原理

计数的基本原理
计数的基本原理是将某个事件或物体的数量进行统计和计算。

无论是在日常生活中还是科学研究中，计数都是一种常见的方法。

其基本原理可以概括为以下几点：
1. 确定计数单位：在进行计数之前，需要明确确定计数单位。

计数单位可以是个体、组织或者其他可以独立计数的实体。

例如，在统计一群人的数量时，计数单位可以是个人。

2. 进行实际计数：在确定计数单位后，可以通过实际观察、记录或者其他方法进行计数。

实际计数可以是逐个计数，也可以是通过间接测量或抽样方法进行估算。

3. 记录计数结果：将实际计数的结果进行记录。

一般情况下，计数结果可以用数字表示。

记录计数结果的目的是为了更好地理解和分析数据。

4. 分析计数数据：对计数数据进行进一步分析，可以得到有关数量的信息。

通过计数数据的分析，可以发现规律、探索规律背后的原因，并从中获得更深入的认识。

计数的基本原理在各个领域和学科中都有广泛应用。

在数学中，计数是数论的重要内容之一，涉及到各种计数方法和技巧。

在统计学和数据分析中，计数是一种常用的数据描述和分析方法。

在科学研究和工程设计中，计数可以帮助研究人员对实验结果进行准确的统计和计量。

无论是在日常生活中还是专业领域中，计数都是一种重要的基本技能。

高斯小学奥数五年级下册含答案第14讲_数论相关的计数

第十四讲数论相关的计数在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等．计数问题是多种多样的，它经常与其他的知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等．今天让我们来研究一下结合了数论知识的计数问题．例1．恰好能同时被6，7，8，9整除的四位数有多少个？「分析」大家还记得公倍数怎么求吗？练习1、恰好能同时被4，5，6整除的三位数有多少个？例2．用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？「分析」根据11的整除特性，通过分析奇位数字和与偶位数字和，再结合本题的已知条件可以获得解题的线索．练习2、用1，2，3，4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？例3．从1~10这10个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？「分析」（1）两个数的乘积能被3整除，那么这两个数中至少有一个能被3整除．如何选取才能保证选到3的倍数呢？（2）要考虑两个数的和是否能被3整除，只需要考虑每个数除以3的余数的情况，那么怎样的两个数相加才能被3整除呢？练习3、从1~12这12个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？例4．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？「分析」这道题目可以从两方面入手，8的倍数和含有数字8的数，注意其中重复的情况．练习4、在1至200这200个自然数中，含有数字9或者能被9整除的有多少个？前面几个例题都是计数与整除相结合的题目．而除了整除之外，与数字相关的问题也属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题．例5．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．请问：此列数中的第100个数是多少？「分析」数字从左往右依次增大的数是“上升数”，那么四位“上升数”一共有多少个呢？显然，不能将前100个“上升数”都写出来，那怎么才能方便的计算出第100个数呢？例6．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有多少个？五位回文数又有多少个？五位的回文数中，有多少个是4的倍数？「分析」“回文数”一定是左右对称的，不妨从左往右分析，一旦左面的一个数字确定，右面一定有一个数字和其相同．回文联数学当中有回文数，在文学当中也有回文联．回文联，它是我国对联修辞奇葩(pā)中的一朵．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅它的意思不变，而且颇具趣味．兹举数例如下．其一：河南省境内有一座山名叫鸡公山，山中有两处景观：“斗鸡山”和“龙隐岩”．有人就此作了一副独具慧眼的回文联：斗鸡山上山鸡斗龙隐岩中岩隐龙其二：厦门鼓浪屿鱼脯浦，因地处海中，岛上山峦叠峰，烟雾缭绕，海淼淼水茫茫，远接云天．于是，一副饶有趣味的回文联便应运而生：雾锁山头山锁雾天连水尾水连天其三：清代，北京城里有一家饭馆叫“天然居”，乾隆皇帝曾就此作过一副有名的回文联：客上天然居居然天上客上联是说，客人上“天然居”饭馆去吃饭．下联是上联倒着念，意思是没想到居然像是天上的客人．乾隆皇帝想出这副回文联后，心里挺得意．即把它当成一个联，向大臣们征对下联，大臣们面面相觑，无人言声．只有大学士纪晓岚即席就北京城东的一座有名的大庙——大佛寺，想出了一副回文联：人过大佛寺寺佛大过人上联是说，人们路过大佛寺这座庙．下联是说，庙里的佛像大极了，大得超过了人．纪学士的下联，想得挺不错．这副回文联放到乾隆皇帝的一块，就组成一副如出一口的新回文联了：客上天然居居然天上客人过大佛寺寺佛大过人其四：湛江德邻里有一副反映邻里之间友好关系，鱼水深情的回文联，至今传颂不衰：邻居爱我爱居邻鱼傍水活水傍鱼作业1.1~100中，7的倍数有多少个？除以7余2的数有多少个？2.从1~15中，选出2个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种选法？3.用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？4.如果把三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第20个上升数是多少？5.有一类六位数，组成每个数的六个数字互不相同，并且每个数中任意两个相邻的数字组成的两位数都能被3整除．这类六位数共有多少个?第十四讲数论相关的计数例题：例7．答案：18详解：一个数能被6，7，8，9整除，即是6，7，8，9的倍数．6，7，8，9的最小公倍数为504，所有满足条件的数都是504的倍数．999950419423÷=，故1~9999中共有19个数是504的倍数．9995041495÷=，故1~999中共有1个数是504的倍数．则四位数中有19118-=个数是504的倍数．即能同时被6，7，8，9整除的四位数有18个．例8．答案：72详解：用1，2，3，4，5，7各一次组成六位数，六个数字的和为22．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，7，偶位填2，4，5，考虑到1，3，7可以互换，2，4，5可以互换，故共有3333A A 36⨯= 种填法．同理奇位填2，4，5，偶位填1，3，7，也有36种填法，共72种填法．例9．答案：（1）24；（2）15详解：（1）若两个数的乘积是3的倍数，则其中至少有一个数是3的倍数．1~10中是3的倍数的有3，6，9这3个数，不是3的倍数的有7个．分两种情况：<1>两个数中只有一个是3的倍数，有1137C C 21⨯=种选法；<2>两个数均为3的倍数，有23A 3=种选法．共有24种选法．另解：排除法：不加任何条件选两个数的方式减去，没有3的倍数的情况，22107C -C 24=；（2）将1~10这10个数按除以3的余数不同进行分类．除以3余0的有（3，6，9），除以3余1的有（1，4，7，10），除以3余2的有（2，5，8）．若两数之和为3的倍数，分两种情况：<1>两个数除以3均余0．有23C 3=种选法．<2>其中一个数除以3余1，另一个数除以3余2．有1143C C 12⨯=种选法．共有31215+=种选法．例10．答案：56详解：可以将题目条件分成两部分，先看能被8整除的数，200825÷=，因此能被8整除的数有25个．再看含有数字8的数，我们可以从反面考虑较为方便，即看不含有数字8的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除8以外的9个数，个位也可选除8以外的9个数，共有299162⨯⨯=个数不含有数字8．0~199共有200个数，含有数字8的有20016238-=个．考虑到有些数既能被8整除，又含有数字8，这样的数有8，48，88，128，168，以及80和184，共7个数．因此吉利数有2538756+-=个．例11．答案：3479详解：若上升数的首位为1，剩下的3位可以从2~9中选，且顺序一定，有38C 56=种选法，即首位为1的上升数有56个．同理，若首位为2，剩下的3位可以从3~9中选，有37C 35=种选法，即首位为2的上升数有35个．再考虑首位为3的上升数，依次为3456，3457，3458，3459，3467，3468，3469，3478，3479．即第100个上升数为3479．例12．答案：900；900；200详解：六位“回文数”应为abccba 的形式，a 有1~9这9种选择，b 有0~9这10种选择，c 有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有91010900⨯⨯=个．五位“回文数”应为abcba 的形式，a 有1~9这9种选择，b 有0~9这10种选择，c 有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有91010900⨯⨯=个．若回文数为4的倍数，则末两位为4的倍数，可为04，08，12，16，……，96共24个数，除去20，40，60，80这四个不满足条件的数，共有20种选择．考虑到c 有0~9这10种选择，故共有2010200⨯=个五位回文数是4的倍数．“练习：1. 答案：15简答：4、5、6的最小公倍数是60，三位数中60的倍数有99960115÷-≈个．2. 答案：8简答：用1，2，3，4各一次组成四位数，四个数字的和为10．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，偶位填2，4，考虑到1，3，可以互换，2，4，可以互换，故共有224⨯=种填法．同理奇位填2，4，偶位填1，3，也有4种填法，共8种填法．3. 答案：38；22简答：解法同例3．4. 答案：55简答：先看能被9整除的数，2009222÷=，因此能被9整除的数有22个．再看含有数字9的数，仍可从反面考虑，即看不含有数字9的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除9以外的9个数，个位也可选除9以外的9个数，共有299162⨯⨯=个数不含有数字9．0~199共有200个数，含有数字9的有20016238-=个．考虑到有些数既能被9整除，又含有数字9，这样的数有9，99，189，90，198，共5个数．因此含有数字9或者能被9整除的有2238555+-=个．作业6. 答案：14，15简答：1007142÷=，7的倍数有14个；100298-=，98714÷=，14115+=．除以7余2的有15个．7. 答案：35简答：1~15中，除以3余0、余1和余2的都有5个．和为3的倍数，那么两数可能是余1＋余2或者余0＋余0．第一种有5525⨯=种选法，第二种有25C 10=种选法，一共有35种选法．8. 答案：432简答：能被11整除，说明这个七位数奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数．而奇数位之和与偶数位之和的和是123458932++++++=，那么奇数位之和与偶数位之和可以都是16，或者是27和5，后面这种情况不可能．偶数位有3个数字，和为16可能是952++，943++，853++．那么一共可以组成4343A A 3432⨯⨯=个能被11整除的七位数．9. 答案：157简答：前两位为12的上升数有7个，前两位为13的上升数有6个，前两位为14的上升数有5个．那么第19个上升数是156，第20个上升数是157．10. 答案：72简答：如果首位数字除以3余0，那么其余的所有数字也都除以3余0，这样的话一定会重复，这样的六位数不存在．如果首位数字除以3余1，那么后面的数字除以3的余数依次是2、1、2、1、2．这样的六位数有3333A A 36⨯=个．如果首位数字除以3余2，这样的六位数也有36个．一共有72个．。

数论初步

欧几里得公式gcd(a,b)
• 求a,b的最大公约数用gcd(a,b)表示，或者记为(a,b)。 • • gcd(a,b)= • • • gcd(a,b)= • a gcd(b,a mod b) b gcd(b mod a,a) b=0 b>0 a=0 a>0
求n的最大互质数
• gcd(n-1,n)=1 • gcd(n-p,n)<=p • 一般根据n的奇偶性分析，在[1..n]中找出与n 互质的最大数。
判断n在b进制下是否为回文数
• function palb(n,b:integer):boolean; • var s,m:integer; • begin • s:=0;m:=n; • while n>0 do • begin • s:=s*b+n mod b; • n:=n div b; • end; • exit(s=m); • end;
分析：
• 使用惟一分解定理, 单独考虑各个素因子 • c1 = p1a1*p2*a2*…
• c2 = p1b1*p2*b2*…
• …
• 则c1x*c2y=p1(x*a1+y*b1) *p2(x*a2+y*b2)
• 设 a,b为整数，a≠0. 若有一整数q, 使得 b = aq, 则称 a是b的因数，b为是a的倍数；并称a整除b, 记为a|b；若a不能整除b，则记为 a b。
整除的基本性质：
• ①若c | b，b | a，则c | a • ②若c | a，d | b，则cd | ab • ③若c | a，c | b，则c |（ka+nb）；若c a，c b，则 c （a+b）。 • ④若ma | mb，则a | b • ⑤若a＞0，b＞0，b | a，则b≤a • ⑥若n∈N*，则（a－b）|（an－bn）。 • 若n为奇数，则（a＋b）|（an＋bn）。 • 若n为偶数，则（a＋b）|（an－bn） • ⑦任意n个连续正整数的乘积必能被n！整除。 • ⑧若a|b, a|c, 则a|(b+c) • ⑨若a|b, 那么对所有整数c, a|bc

六年级下册数学讲义竞赛思维训练专题：第10讲数论中的计数解析版)人教版

漫画释义五年级春季位值原理六年级暑期数论中的最值六年级暑期数论中的计数六年级秋季数论中的规律六年级秋季进位制数论中的范围中符合条件的个数的多少知识站牌1.2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2p -1”的形式，这里的指数p 也是一个素数.这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代在内的众多数学家.17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林•梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p -1”型的素数称为“梅森素数”.2.1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数.在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数.幸而计算机的发明加速了梅森素数的探究进程.1952年，美国数学家拉婓尔•鲁滨逊等人使用SWAC 型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1.3.1996年初，美国数学家和程序设计师乔治•沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用，这就是著名的“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目.该项目利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力.这一项目还有一段有趣的插曲：美国一家电话公司的雇员麦克•福雷斯特偷偷地使用公司内的2585台计算机参加GIMPS 项目，随后公司发现计算机经常会出些差错，本来只需要5秒钟就可以接通的电话号码，需要5分钟才能接通.联邦调查局最终查到了原因，福雷斯特承认“被GIMPS 项目引诱”．他最后被解雇，并被罚款一万美元.由此看来，梅森素数的吸引力足以使人疯狂.4.梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学谜题.迄今为止，人类仅发现47个梅森素数.这种素数珍奇而迷人，它在促进计算技术、密码技术、程序设计技术的发展中有着巨大作用.1.复习数论模块和计数模块的相关知识，如整除性质、加乘原理、排列组合等.2.灵活使用以上知识解决数论中的计数综合问题.3.复习容斥原理，尤其是在应用问题中的使用.教学目标课堂引入1.常见数字的整除判定方法1)一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；2)一个数各个数位上数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除；3)如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.2.加法原理一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．可以简记为：“加法分类，类类独立”．3.乘法原理完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤，第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法．这就是乘法原理．4.容斥原理A B A B A B=+- A B C A B C A B B C A C A B C=++---+ 1.写出50以内的所有质数.【分析】2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,472.写出24的所有因数【分析】1,24,2,12,3,8,4,63.（12,18）=；[20,30]=.【分析】6；604.两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【分析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.5.写出全部除109后余数为4的两位数．【分析】1094105357-==⨯⨯．因此，这样的两位数是：15；35；21．知识回顾经典精讲例1：乘法原理、排列、整除性质例2：缩小包围圈例3：同余类例4：容斥原理例5：容斥原理应用题用1、2、3、4、5、6可以组成多（学案对应：学案1）【分析】个位数字已知，问题变成据排列数公式，一共可以【想想练练】将下图中20张扑克牌两张牌上的数的乘积除以10的余数【分析】本题实际上是求1到数.显然，双数不成.所以只三位数中，能被5和7同时整除的（学案对应：学案2）【分析】[5,7]=35,1000÷35=28…位数是35×28，合共28【想想练练】三位数中，被6【分析】假设这个三位数是a ，10042216,100042÷=÷ 有233121-+=个2例题思路性质组成多少个没有重复数字的是5的倍数的三位数？题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知共可以组成255420P =⨯=(个)符合题意的三位数．扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张.问：你能分出的余数是1?(将A 看成1)10这些数中，取出2个数（可以重复）相乘，能组成所以只能是1×1，3×7，7×3和9×9，共4对.整除的数共有多少个？……20,100÷35=2……30所以符合要求的最小三位数28-3+1=26（个）和7除余数都是5的数共有多少个？，根据题意，5a -能被6和7整除，即5a -为2334= ，所以5a -最小为423⨯，最大为42⨯已知5n =，2m =，根能分出几对这样的牌，能组成几个个位是1的三位数是35×3，最大三42的倍数，因为23，满足题意的数共从1～9这9个数码中取出3个，使它们的和是3的倍数，则不同取法有_______种.（学案对应：学案3）【分析】（1）3个数都是3的倍数，有1种情况（2）3个数除以3都余1，有1种情况（3）3个数除以3都余2，有1种情况（4）一个除以3余1，一个除以3余2，一个是3的倍数，有：3×3×3=27种情况,所以，一共有1+1+1+27=30种不同取法.在从1至100的自然数中，既不能被5整除，又不能被7整除的数有多少个?【分析】1～100之间，5的倍数有100÷5=20个，7的倍数有100÷7=14.2即14个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有35和70两个．所以既不能被5整除，又不能被7整除的数有100-20-14+2=68个．【想想练练】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段．【分析】假设木棍长60cm ，则沿第一种刻度线锯成的木棍每段长60106cm ÷=，沿第二种刻度线锯成的木棍每段长60125cm ÷=，沿第三种刻度线锯成的木棍每段长60144cm ÷=．因为，沿三种刻度线可将木棍分别锯成10、12、15段；沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成60[6,5]2÷=段，沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成60[6,4]5÷=段，沿第二、三种重合的刻度线可将木棍锯成60[5,4]3÷=段；沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成费马素数法国数学家费马（1601—1665）是数学史上一位传奇人物.费马的主要职业是律师，数学仅是他的业余爱好.费马被誉为“数论之父”，他有着了不起的直观天才，一生中提出过很多数学猜想.令人惊奇的是，他的几乎所有猜想全被后人一一证实，仅有一个例外.那就是他猜想：凡是形如21m +（其中2n m =）的数，都是素数（质数），后人称为费马素数.如果将0,1,2,3,4n =代入221n +，得到的数确实都是质数：3,5,17,257,65537.可是对5n =，在1738年，欧拉惊人地发现有分解式：322142949672976416700417+==⨯.这说明费马的猜想错了！谁知欧拉的这一分解式，竟是“一石激起千层浪”！从此以后，人们再也没有找到第六个费马素数，相反地，倒是已经找到了46个形如221n +的数不是素数.于是人们又猜测，费马素数仅有上述5个，但也无法证明.这是数学史上的又一个悬案！60[6,5,4]1÷=段．应该减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数，应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯成的段数．所以，沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成101215253128++---+=段．有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？（学案对应：学案4）【分析】三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30的倍数的数．1～2000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有666个，5的倍数有400个，6的倍数有333个，10的倍数有200个，15的倍数有133个，30的倍数有66个，亮着的灯一共有2000-1000-666-400+2×（333+200+133）-4×66=1002盏．532GF E D CB A找朋友教师先为班上的每个学生编上学号（例如从1到20），然后让同学们在大卡片上写上自己的学号，再贴在背上.游戏开始的时候，20名同学围成一圈，等待老师宣布“找朋友”的要求.例如，老师说：“现在找一个朋友，使你们的数字之和除以5的余数是2！”然后，老师限定学生在10秒钟内找到自己的朋友，时间一到必须停止行动.由于满足要求的“朋友”不止一个，所以可以进行几轮游戏，看谁找到的“朋友”最多.这个游戏既考验学生的数论计数能力，又考验他们的行动灵敏性.老师还可以加大游戏的难度，例如要求3个数之和能被11整除，这样每轮游戏中必定有人因为落空而被淘汰.从101到900这800个自然数中，数字和被8整除的数共有______个.【分析】数字和被8整除，则数字和可能为8、16、24①数字和8=8+0+0=7+1+0=6+2+0=5+3+0=4+4+0=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2这样的数共有132********+⨯⨯++⨯+⨯=个②数字和16=9+7+0=8+8+0=9+6+1=9+5+2=9+4+3=8+7+1=8+6+2=8+5+3=8+4+4=……这样的数共有58个③数字和=24=9+9+6=9+8+7=8+8+8这样的数共有6个所以满足题意的数字共有100个1.一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多少段．【分析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：10110110110110110110174235232535235⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++---+=⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故木棒上共有74个刻度，可以截出75段．2.1到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选法？【分析】两个数的乘积被5除余2有两类情况，一类是两个数被5除分别余1和2，另一类是两个数被5除分别余3和4，只要两个乘数中有一个是偶数就能使乘积也为偶数.1到60这60个自然数中，被5除余1、2、3、4的偶数各有6个，被5除余1、2、3、4的奇数也各有6个，所以符合条件的选取方式一共有666666666666216⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）种．3.从1到999这999个自然数中有个数的各位数字之和能被4整除．【分析】由于在一个数的前面写上几个0不影响这个数的各位数字之和，所以可以将1到999中的一位数和两位数的前面补上两个或一个0，使之成为一个三位数．现在相当于要求001到999中各位数字之和能被4整除的数的个数．一个数除以4的余数可能为0，1，2，3，0～9中除以4余0的数有3个，除以4余1的也有3个，除以4余2和3的各有2个．三个数的和要能被4整除，必须要求它们除以4的余数的和能被4整除，余数的情况有如下5种：000++；013++；022++；112++；233++．⑴如果是000++，即3个数除以4的余数都是0，则每位上都有3种选择，共有33327⨯⨯=种可能，但是注意到其中也包含了000这个数，应予排除，所以此时共有27126-=个；附加题杯赛提高⑵如果是013++，即3个数除以4的余数分别为0，1，3，而在3个位置上的排列有3!6=种，所以此时有3326108⨯⨯⨯=个；⑶如果是022++，即3个数除以4的余数分别为0，2，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有322336⨯⨯⨯=个；⑷如果是112++，即3个数除以4的余数分别为1，1，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有332354⨯⨯⨯=个；⑸如果是233++，即3个数除以4的余数分别为2，3，3，在3个位置上的排列有3种，此时有222324⨯⨯⨯=个．根据加法原理，共有26108365424248++++=．4.以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【分析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.5.分子小于6，分母小于60的最简真分数共有多少个？【分析】分类枚举：根据分子是1,2,3,4,5这5种情况进行讨论．分子是1：分母取2到59，所以共有58个；分子是2：分母取小于60大于2的奇数，所以共有30129-=个；分子是3：分母不能是3的倍数，由于60320÷=,602040-=（60本身是3的倍数），再排除分母是1或2，共有40238-=个；分子是4：分母取小于60大于4的奇数，共有28个；分子是5：分母不能是5的倍数，由于60512÷=,601248-=（60本身是5的倍数），再排除分母是1、2、3或4，还剩48444-=个.综上所述，满足条件的分数共有5829382844197++++=个．6.大明、中明与小明是三兄弟，年龄依次从大到小．已知大明岁数与小明岁数的最小公倍数是15，中明岁数与小明岁数的最小公倍数是12，那么他们兄弟三人的总岁数共有几种情况？【分析】因为21535,1232=⨯=⨯，可见小明的岁数只有1或3两种情况．如果小明的岁数是1，那么大明的岁数是15，中明的岁数是12．如果小明的岁数是3，那么中明的岁数是4或12，大明的岁数是5或15．若中明的岁数是4，大明的岁数可以是5或15；若中明的岁数是12，大明的岁数只能是15．那么，三人的总岁数共有以下4种情况：1121528++=，34512++=，341522++=，3121530++=.7.如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．请问两位幸运数共有多少个？【分析】由①可知两位幸运数不可能是奇数，否则它与1的差能被2整除；由②可知两位幸运数不可能是4的倍数，否则这个数除以2所得的商是2的倍数；再结合③，易得两位幸运数为只有14．答案是1个．1.1）一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；2）一个数各个数位上数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除；3）如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.2.加法原理：“加法分类，类类独立”．3.乘法原理：完成一件事可以分成n 个必不可少的步骤，第1步有A 种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×…×N 种不同的方法．4.A B A B A B=+- A B C A B C A B B C A C A B C=++---+ 1.有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8．现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？【分析】分三步取出卡片．首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、4、8三种不同的选择；第二步在其余的4张卡片中任取一张，放在最左边的位置上，也就是百位数的位置上，有4种不同的选法；最后从剩下的3张卡片中选取一张，放在中间十位数的位置上，有3种不同的选择．根据乘法原理，可以组成3×4×3=36个不同的三位偶数．2..恰好能被6,7,8整除的四位数有多少个？【分析】由于6,7,8的最小公倍数为168,10001685160,100001685988÷=÷= ，所以能被6,7,8整除的最小四位数为1686⨯，最大四位数为16859⨯，共有596154-+=个3.从1,2,3,4,5,6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有种不同的选取方法．【分析】从16 这些数中选取的数的和小于等于21，满足条件的和数有3、6、9、12、18、21分别有2、4、5、5、2、1种选取方法，共24552119+++++=种选取方法．家庭作业知识点总结4.在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？【分析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷= 可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯= （）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．5.40名同学编号由1到40，面向老师排成一排，老师第一次让编号是2的倍数的同学向后转，第二次让编号是3的倍数的同学向后转，请问现在有多少名同学面向老师？【分析】2的倍数有402⎡⎤⎢⎥⎣⎦=20个，3的倍数有403⎡⎤⎢⎥⎣⎦=13个，6的倍数有406⎡⎤⎢⎥⎣⎦=6个，那么能被2整除但不能被3整除的数有20-6=14个，能被3整除但不能被2整除的数有13-6=7（个），所以向后转了一次的同学有14+7=21（个），余下40-21=19（个）同学面向老师．6.有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？【分析】要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有339⨯=种不同的情形．第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有339⨯=种不同情形．最后再由加法原理即可求解．两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有333318⨯+⨯=种不同的情形．【学案1】用2,0,1,3这四个数字能排成多少个能被11整除的四位数？【分析】根据11的整除特征，把四位数的各个数位分成奇数位与偶数位，又因为2130+=+，所以数字0,3要么同时放在奇数位，要么同时放在偶数位，对于前一种情况，可排出1023,1320,2013,2310四个符合条件的四位数，对于后一种情况，可排出3102,3201两个符合条件的数，所以一共有426+=（个）．【学案2】在大于2004的整数中，找出所有被47除后商与余数相等的数，这些数共有_________个.【分析】根据题意，设这样的数被47除后商和余数都是a （(47)a <，这个数可表示为4748a a a ⨯+=，因此482004a >，易得a 至少为42，所以满足题意的数共有464215-+=（个）A BＡ版学案【学案3】从1到20中，最多能取______个数，使任意两个数不是3倍关系.【分析】1和3共存，2和6不能共存，3和9不能共存，4和12不能共存，5和15不能共存，6和18不能共存.要破坏这些组合，至少要去掉4个数，例如3,4,5,6.【学案4】写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，第一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．没拉的灯有100100100100()100(33206)533535⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦(盏)，拉两次的有100635⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦(盏)，最后亮着的灯一共为53659+=(盏).。

小学奥数数论讲义第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用强化篇

第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用强化
【例1】
一个圆的周长为60厘米，三个点把这个圆圈分成三等分，3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上，它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬行，A的速度为每秒5厘米，B的速度为每秒1.5厘米，C 的速度为每秒2.5厘米。

问3只甲虫爬出多长时间后第一次到达同一位置。

【例2】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【例3】
在下面的□中填入数字，使等式成立(注：每个□内只允许填0，1，2，…，9中的一个数字，允许重复)□□×□＋□=101，那么满足以上要求的等式可以填出______个。

【例4】各位数字均不大于5，且能被99整除的4位数，共有多少个？。

数论计数的知识点六年级

数论计数的知识点六年级数论计数的知识点（六年级）在数学学科中，数论是一个重要的分支，其研究的是整数及其性质。

计数是数论中的一个重要内容，涉及了整数的排列组合、计数方法等。

下面将介绍数论计数的一些基本知识点，希望能够帮助六年级的同学们更好地理解和应用。

一、排列与组合排列和组合是数论计数中两个常见的概念。

排列是指从一组元素中按照一定的顺序选出若干个元素进行排列的过程，而组合则是从一组元素中选择若干个元素进行组合的过程。

1. 排列在六年级数学中，排列通常指的是从一组不同元素中选取若干个元素进行排列。

对于n个元素，选取r个元素进行排列的方法数可表示为P(n,r)或者nPr。

计算排列的方法有两种常用的公式：- 公式一：P(n,r) = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1)- 公式二：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

2. 组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。

选取r个元素进行组合的方法数可表示为C(n,r)或者nCr。

计算组合的方法有两种常用的公式：- 公式一：C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)- 公式二：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)在进行组合计算时，可以利用公式一直接计算，也可以利用公式二进行递推计算。

二、因式分解与质因数因式分解和质因数是数论计数中另外两个重要概念，它们在解题过程中经常会用到。

1. 因式分解因式分解是指将一个数表示为几个数相乘的形式，这几个数即为其因子。

例如，将12表示为2 × 2 × 3即为因式分解。

在因式分解中，要先找出该数的质因数，再根据质因数的个数进行组合，并计算不同组合下的因数个数。

理解计数知识点总结

理解计数知识点总结一、计数的基本概念1. 自然数自然数是最基本的计数单位，它由1、2、3、4、5、6、7、8、9等数构成，用来表示和记数事物的个数。

自然数不包括0和负数。

2. 整数整数包括正整数、负整数和0。

如果我们在自然数的基础上加上负数和0，就得到了整数。

整数可以用来表示事物的数量和方向。

3. 小数小数是介于整数之间的数，它通常以小数点分隔整数部分和小数部分，用来表示不是整数的数量或部分数量。

4. 分数分数是表示一个整体被分成若干等分的数量。

分子表示被分成的份数，分母表示每份的数量。

分数用来表示比例、比率和部分数量等。

5. 计数的单位计数的单位指的是表示数量的基本单位，比如个、只、条、头、张、件、零、块等。

不同的事物可以使用不同的计数单位进行统计。

二、计数的方法1. 计数的方法包括一对一对应、估算、分组计数、合并计数等多种。

2. 一对一对应一对一对应是将一个集合的元素依次对应到另一个集合的元素，这种方法通常用来确定两个集合中元素的数量是否相等。

3. 估算估算是一种用大概数量替代精确数量的方法，通常用于对数量的大致范围进行估计。

4. 分组计数分组计数是将大量的事物分成若干小份，然后分别统计每份的数量，最后相加得到总数量。

5. 合并计数合并计数是将多个小数量合并统计成一个大数量，通常用于对数据进行汇总和整合。

三、计数的应用1. 计数在日常生活中的应用计数在日常生活中有着广泛的应用，比如购物时统计商品的数量、点菜时统计人数、统计班级的学生数量等。

2. 计数在数学中的应用在数学中，计数是解题和问题求解的重要基础。

比如在组合数学、概率统计、数论等领域，计数都有着重要的应用。

3. 计数在科学研究中的应用在科学研究中，计数也有着重要的应用。

比如对生物种群数量的统计、对自然现象的观测和统计、对实验数据的分析和处理等，都需要计数方法进行支持。

四、计数的扩展1. 在计数的基础上，还可以引申出排列组合、概率统计、数论等更加深入和复杂的数学概念和方法。

小升初讲义数论相关的计数

小升初讲义数论相关的计数小升初讲义数论相关的计数思汇教育中小学辅导专家第二十五谈数论有关的计数一、与整除相关的计数问题：整除的特点往往是解题的关键。

二、与数字相关的计数问题：抓住数字的特点来解决问题。

基准1:1、2、3、4、5、6、7这7个数中，挑选出3个互不相同的数，使：（1）这三个数的乘积能够被3相乘，相同的选法存有几种？（2）这三个数的和能够被3相乘，相同的选法存有几种？练习1：从1至10中选出3个互不相同的数，如果要使它们的乘积是3的倍数，那么有多少种选法？如果要使它们的和是3的倍数，那么有多少种不同的选法？基准2：小明的衣服口袋中存有10张卡片，每张卡片上分别写下着1、2、3、……、10。

如果从中掏出两张卡片，使两数的乘积能够被6相乘的挑选法共存有多少种？练习2：从1至10中选出2个互不相同的数，使它们的乘积是4的倍数，共有多少种选法？1思汇教育中小学辅导专家基准3：六位数123475能够被11相乘，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能够排泄多少个能够被11相乘的六位数？练习3：用1、2、3、5、9组成各位数字互不相同的六位数，其中有多少个能被11整除？基准4：存有一种数，这些数的各位数字从左往右依次减小，我们称作“下降数”。

将所有的四位数“下降数”按从小到大的顺序排列成一行：1234、1235、1236、……，那么从左往右第100个数就是多少？练习4：有一种数，这些数的各位数字从左往右依次减少，我们称之为“下降数”，如果将三位的“下降数”从大到小排列：987、986、……，那么从左往右第20个数是多少？基准5：存有一些三位数存有相连两位数字2和3，比如132、235、……，这样的三位数一共存有多少个？2思汇教育中小学辅导专家练习5：有一些四位数，它们存在相邻三位数字2、3和4，例如2341、3425、……，这样的四位数一共有多少个？综合练1、从20、28、36、……、100这个等差数列中，选出三个互不相同的数，如果要使它们的乘积是7的倍数，那么有多少种选法？如果要使它们的乘积是3的倍数，那么有多少种选法？2、1至15中，挑选出两个相同的数，并使它们的乘积就是10的倍数，共计多少种选法？3、用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？4、如果把三位“下降数”从小到大排序，如123、124、……，那么第20个“下降数”就是多少？5、有一些三位数，它的相邻两位数分别为1和0，例如102、301、……，那么这样的三位数有多少个？3。

奥数七大模块重要知识点-模块体系梳理脑图

导语：历年小升初考试中数学成绩占有重要地位，择校考试过程中为了更进一步的拉开分数的距离，除了基础的数学知识必须熟练掌握熟练之外，数学的拓展内容也成为考核的重点部分。

数学思维拓展，也就是大家常说的奥数。

所有的奥数知识，总的来分可以分为七大模块，各类试题都由这七大模块而来。

那么，奥数都有哪些模块呢？每个模块都有哪些重要知识呢？一起看看这些模块你掌握住了多少？奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题同学们，看到这七大模块你都熟悉吗？模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满足法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、多次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法2、分类枚举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手2、对应与转化思想3、从反面与从特殊情况入手思想4、染色与覆盖5、游戏与对策6、体育比赛问题7、逻辑推理问题8、数字谜9、数独同学们，虽然在这里我们介绍了奥数，但并不是说小升初只考试奥数知识哦，随着这两年的政策的调整，并不是一味的求难就能在小升初过程中拿得好成绩哦，数学拓展之余，千万不可以忘记基础要打牢哦，你想想看，30楼的建筑，即便顶层再华丽，根基不牢，又能坚持多久呢？小升初，拓展知识的同时，基础也一定要牢固。

4.数论相关的计数

1．1至100中，8的倍数有多少个？2．1至100中，9的倍数有多少个？3．1至400中，能同时被6、15整除的数共有多少个？4．1至400中，能同时被14、21整除的数共有多少个？5．能同时被4、6、10整除的三位数共有多少个？6．能同时被4、6、15整除的三位数共有多少个？7．能同时被4、5、6、7整除的四位数有多少个？8．能同时被5、6、7、8整除的四位数有多少个？9．用2，4，6这三个数字各一次组成一个三位数，使得它是11的倍数，有种不同的方法．10．用3，4，7这三个数字各一次组成一个三位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？11．能同时被4、5、6、7整除的四位数有多少个？12．能同时被5、6、7、8整除的四位数有多少个？13．用1，4，8这三个数字各一次组成一个三位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？14．用2，4，6这三个数字各一次组成一个三位数，使得它是11的倍数，有种不同的方法．15．用3，4，7这三个数字各一次组成一个三位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？16．用1，2，3，4这四个数字各一次组成一个四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？17．用2，4，6，8这四个数字各一次组成一个四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？18．用5，6，7，8这四个数字各一次组成一个四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？19．用1，2，3，4，6这五个数字各一次组成一个五位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？20．用1，2，3，5，8这五个数字各一次组成一个五位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？21．用1，2，3，4，7这五个数字各一次组成一个五位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？22．用1、2、3、4、5、7这六个数字各一次组成一个六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？23．用1、2、3、5、6、7这六个数字各一次组成一个六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？24．用1、2、3、4、5、8这六个数字各一次组成一个六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？25．从1，2，3，4，5这5个数中选出2个数，要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？26．从2，4，5，7，9这5个数中选出2个数，要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？27．从1，2，4，6，8这5个数中选出2个数，要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？28．从1至10这10个数中选出2个数，要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？29．从2至11这10个数中选出2个数，要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？30．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？31．山山的衣服口袋中有8张卡片，分别写着1，2，3，4，5，7，8，9．现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的取法共有多少种？（注：含有6或9的数全都不能颠倒过来使用．）32．阿朱的衣服口袋中有8张卡片，分别写着2，3，4，5，7，8，9，10．现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的取法共有多少种？（注：含有6或9的数全都不能颠倒过来使用．）33．小明的衣服口袋中有8张卡片，分别写着3，4，5，7，8，9，10，11．现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的取法共有多少种？（注：含有6或9的数全都不能颠倒过来使用．）34．小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的取法共有多少种？（注：含有6或9的数全都不能颠倒过来使用．）35．小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的取法共有多少种？（注：含有6或9的数全都不能颠倒过来使用．）36．小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着1，3，4，5，7，8，9，10，11，12．现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的取法共有多少种？（注：含有6或9的数全都不能颠倒过来使用．）37．从1，2，4，5，7这5个数中选出2个数，要使这2个数的和能被3整除，共有多少种选法？38．从4，5，7，8，10这5个数中选出2个数，要使这2个数的和能被3整除，共有多少种选法？39．从2，4，5，7，8这5个数中选出2个数，要使这2个数的和能被3整除，共有多少种选法？40．从1，3，4，6，7，9，10这7个数中选出2个数，要使这2个数的和能被3整除，共有多少种选法？41．从2，3，5，6，8，9，11这7个数中选出2个数，要使这2个数的和能被3整除，共有多少种选法？42．从2，3，5，6，8，9，14这7个数中选出2个数，要使这2个数的和能被3整除，共有多少种选法？43．从1至10这10个数中选出2个数，要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？44．从1至12这12个数中选出2个数，要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？45．从1至15中，选出2个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种选法？46．从1，2，3，4，5，6，7这7个数中选出3个数，要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？47．从1，2，3，6，7，8，9这7个数中选出3个数，要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？48．从1，2，3，5，6，7，8这7个数中选出3个数，要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？49．在0至199中，含有数字8的数有多少个？50．在0至199中，含有数字9的数有多少个？51．在0至199中，含有数字7的数有多少个？52．在1至250中，含有数字8的数有多少个？53．在1至250中，含有数字9的数有多少个？54．在1至250中，含有数字7的数有多少个？55．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？56．如果称能被9整除或者含有数字9的自然数为“平安数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“平安数”？57．如果称能被6整除或者含有数字6的自然数为“顺利数”．在1至200这200个自然数中有多少个“顺利数”？58．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至250这250个自然数中有多少个“吉利数”？59．如果称能被9整除或者含有数字9的自然数为“平安数”，那么在1至250这250个自然数中有多少个“平安数”？60．如果称能被6整除或者含有数字6的自然数为“顺利数”．在1至250这250个自然数中有多少个“顺利数”？61．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，那么三位的上升数共有多少个？62．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，那么四位的上升数共有多少个？63．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，那么五位的上升数共有多少个？64．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大．四位上升数中，首位是1的有几个？65．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大．四位上升数中，首位是2的有几个？66．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大．四位上升数中，首位是3的有几个？67．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有四位上升数排成一行，请问2345是第几个？68．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有四位上升数排成一行，请问2346是第几个？69．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有四位上升数排成一行，请问2347是第几个？70．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第20个上升数是多少？71．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第21个上升数是多少？72．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第22个上升数是多少？如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：五位回文数有多少个？74．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有多少个？75．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：四位回文数有多少个？76．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：五位回文数有多少个奇数？77．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有多少个偶数？78．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：四位回文数有多少个奇数？79．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：从一位到六位的回文数一共有多少个？80．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：从一位到四位的回文数一共有多少个？如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：从一位到五位的回文数一共有多少个？82．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：五位的回文数中，有多少个是4的倍数？83．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位的回文数中，有多少个是4的倍数？84．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：七位的回文数中，有多少个是4的倍数？。

小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、

小学奥数能够分算、数、数、几何、用、行程、合七大板，此中必掌握的三十六个知点，内容从和差倍、年到循小数，包括了小学奥数七个模的知。

以下是小学奥数知清：2、年的三个基本特色：①两个人的年差是不的；②两个人的年是同增添或许同减少的；③两个人的年的倍数是生化的；3、一基本特色：中有一个不的量，一般是那个“一量”，目一般用“照的速度”⋯⋯等来表示。

关：依据目中的条件确立并求出一量；5、兔同基本看法：兔同又称置、假，就是把假的那部分置出来；基本思路：①假定，即假定某种现象存在（甲和乙同样或许乙和甲同样）：②假定后，发生了和题目条件不一样的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，进而找出出现这个差的原由；④再依据这两个差作适合的调整，消去出现的差。

基本公式：①把所有鸡假定成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假定成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）重点问题：找出总量的差与单位量的差。

6、盈亏问题基本看法：必定量的对象，依照某种标准分组，产生一种结果：依照另一种标准分组，又产生一种结果，因为分组的标准不一样，造成结果的差别，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分派方案进行比较，剖析因为标准的差别造成结果的变化，依据这个关系求出参加分派的总份数，而后依据题意求出对象的总量．基此题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不够数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不够数一较小不够数）÷两次每份数的差基本特色：对象总量和总的组数是不变的。

重点问题：确立对象总量和总的组数。

第二部分（知识点7-11）7、牛吃草问题基本思路：假定每头牛吃草的速度为“1份”，依据两次不一样的吃法，求出此中的总草量的差；再找出造成这类差别的原由，即可确立草的生长速度和总草量。

计数方法知识点总结

计数方法知识点总结一、引言计数是数学中的一个重要概念，它在各个学科领域都有着广泛的应用。

计数方法可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是训练逻辑思维和解决问题能力的重要途径。

本文将对计数方法进行系统总结，分析其相关知识点和应用场景，帮助读者更好地理解和运用计数方法。

二、基本概念1.计数的定义计数是指确定某个集合中元素的个数。

在数学中，我们经常需要计算集合的元素个数，比如某个班级的学生人数、某个公司的员工人数，以及某个组织的会员人数等等。

计数方法可以帮助我们快速准确地得到集合的元素个数。

2.计数的种类在实际应用中，计数可以分为两种基本情况：排列和组合。

排列是指从一个集合中取出若干个元素进行排列，而组合是指从一个集合中取出若干个元素进行组合，不考虑元素的顺序。

排列和组合是计数方法的基础，也是其他计数方法的重要组成部分。

三、基本方法1.排列排列是指从一个集合中取出若干个元素进行排列，根据元素的顺序不同可以分为有序排列和无序排列两种情况。

有序排列的个数为n!，其中n代表集合中元素的个数；无序排列的个数可以通过有序排列的个数除以相同元素的排列个数得到。

2.组合组合是指从一个集合中取出若干个元素进行组合，不考虑元素的顺序。

组合的个数可以通过排列的个数除以相同元素的排列个数得到。

3.加法原理加法原理是指如果一个事件可以由若干个互不相容的子事件分解成，那么这个事件的计数等于这些子事件的计数之和。

4.乘法原理乘法原理是指如果一个事件由两个步骤依次完成，第一步有m种方法，第二步有n种方法，那么整个事件的计数等于m×n。

四、常见应用1.排列和组合的应用排列和组合是计数方法的基础，它们在很多实际问题中都有广泛的应用。

比如在组织活动、赛事安排、奖项设置等方面，都需要使用排列和组合方法来进行计算。

2.排列组合的衍生应用排列组合方法还可以衍生出很多其他的计数方法，比如二项式定理、鸽巢原理、容斥原理等等。

这些方法在概率论、统计学、数论等领域中都有着重要的应用。

五年级数学-计数篇

•几何计数•数论计数•综合计数
常考计数类型•枚举法——常用于两个极端（最简单、最复杂），注意分类有序枚举
•加乘原理（先分类，再分步）
•排列组合（理解基本意义，记住常用方法）•容斥原理（理解韦恩图的意义）•抽屉原理（理解基本原理）
计数常用方法
•2011年：3题（共14题），30分（共150分）•2012年：1题（共14题），10分（共150分）•2013年：3题（共14题），35分（共150分）
计数在近3年复赛中的比例和趋势
(第15届高年级组华杯赛复赛)
在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要______个乒乓球。

(第14届高年级组华杯赛复赛)
如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4 4方格中，共有25个格点，在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有_______个
管不亮，显示的线路号为“351”，则该公交车的线路号有哪些可能？。

数论知识点

进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。

3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，． 4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

数论、几何计数综合

◆枚举法◆加乘原理◆排列组合◆数论计数◆几何计数◆数论计数计数综合如图，将3、4、5、6填在竖式中的方框里，使得竖式成立，问：所填的9个数字之和是多少？一共有多少种填法？5994□□□□□□□□□一个两位数ab ，一个三位数cde ，一个四位数fghi 相加得2020，且这三个数的每个数位各不相同，问满足要求的算式一共有多少种？在1000~2000这1001个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？从1~9这9个数中选出若干个互不相同的数字，使得其和是3的倍数，共有多少种选法？各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个？在3×3的方格中填入1~9，使得左边是数比右边大，上边的数比下边大，一共有多少种不同的填法？将右图3×3方格表的每个方格染成黑色或白色，使得从A格出发，每步从一个方格走到有公共边的同色方格中，最终可以到达B格，那么总共有多少种不同的染色方式。

(方格表不可翻转或旋转)BA有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的上升数从小到大排成一行：1234，1235，1236，…，6789，问：第这列数中的第100个是多少？下图是一个4×3的长方形网格，从图中一共可以找出多少个面积是2的三角形？如图，12个点将圆12等分，以这些点为顶点的梯形一共多少个？有两条平行线，如果每条线上有10个点，连出10条线段，最多能数出多少个三角形。

一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有多少个?从0~9这10个数字中选出7个填入方框中，使得竖式成立，一共有多少种不同的填法？8002□□□□□□如图，从1~7中选出6个数填入方格中，使得下面的数字比上面大，右边的数字比左边大，请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？如图，在2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1，一共可以找出多少个面积是1的三角形？木板上钉了16枚钉子，排成四行四列的方阵，用橡皮筋一个可以套出多少个不同的等腰直角三角形？四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个，先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过5次传球后球仍然回到红衣人手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能?第33页。