数论计数

整除性问题：用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整除？

解答：被11整除的数的特征是：奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差能被11整除。因为1、2、3、4这几个数字的和之差不可能大于11，因此要被11整除，只能是奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差等于0。所以1和4必须同是奇数位上的数字或者同时偶数位上的数字，这样才能满足以上要求。当1和4都是奇数位上的数字时，这样的四位数有：1243、1342、4213、4312；当1和4都是偶数位上的数字时则为：2134、3124、2431、3421。所以满足题目要求的数一共有8个。

有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？

甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？

一名学生在计算一道除数是两位数的没有余数的除法时，错把被除数百位上的3看成了8，结果得商383，余17，这商比正确的商大21，那么这道题的被除数是多少，除数是多少？

计数问题：4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：

⑴甲不在中间也不在两端；

⑵甲、乙两人必须排在两端；

⑶男、女生分别排在一起；

⑷男女相间．

一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？

逻辑推理问题：甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印有不同的号码．赵说：“甲是2号，乙是3号．”钱说：“丙是4号，乙是2号．”孙说：“丁是2号，丙是3号．”李说：“丁是l 号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．那么丙的号码是几号?

在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各一个．现在三只盒子上的标签全贴错了．你能否仅从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球?

比例问题：A 、B 、C 三个数，A 的23 等于B 的47 ,B 的23 又等于C 的47

，C 比A 大13，则B 是多少？

（1）10000千克葡萄在新疆测得含水量是99%，运抵太原后测得含水量为98%，问葡萄运抵太原后还剩多少千克？

（2）水结冰体积要增加111

，那么冰化成水时体积要减少多少？

新定义问题：

定义运算“⊙”如下：对于两个自然数a 和b ，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b ，比如：10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70-2=68。 求12⊙21，5⊙15；

一种“组合数”由两部分构成，第一部分是a ，第二部分是b ，那么用（a,b ）表示这个“组合数”如（3，4）（7，8）（0，1）（0，0）等都属于这种“组合数”。现在这种“组合数”如下定义四则运算：

（a,b ）+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)

(a,b)·(c,d)=(ac-bd,ab+dc) (a,b)÷(c,d)=(

),2222d c ad bc d c bc ac +-++ （022≠+d c ） 求[（7，1）+（9，2）]（15，3）