2019-2020第二学期4月份北京市海淀区期中数学试卷(含答案)

海淀区高三年级第二学期阶段性测试数 学 2020春本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B =I { 1 }，则集合B 可以是（3）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率为5，则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（4）已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（A ）b a c a -<+ （B ）2c ab < （C ）c cb a> （D ）||||b c a c <（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120-（B ）120 （C ）160- （D ）160（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32（C ）22（D ）12（7）已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减，则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（A ）5 （B ）22 （C ）23 （D ）13（9）若数列{}n a 满足1= 2 a ，则“p ∀，r *∈N ，p r p r a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数，记为n F .数学家费马根据0F ,1F ,2F ,3F ,4F 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那么5F 的位数是（参考数据：lg20.3010≈） （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）121 1 22第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px =上，则抛物线C 的准线方程为 . （12）在等差数列{}n a 中， 13a =，2516a a +=，则数列{}n a 的前4项的和为 . （13）已知非零向量a ，b 满足||=||-a a b ，则1()2-⋅=a b b .（14）在△ABC 中，43AB =，4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =， 则AD = ；△ACD 的面积为 .（15）如图，在等边三角形ABC 中，6AB =. 动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为()f x ，给出下列三个结论：①函数()f x 的最大值为12；②函数()f x 的图象的对称轴方程为9x =； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。

全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

OBCAP三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11BB C C ，122AB BB BC ===，13BC =， （Ⅰ）求证：1C B ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的大小.（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

ECAB科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）.（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.已知函数()e x f x ax =+． （Ⅰ）当1a =-时，①求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； ②求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）求证：当(2a ∈-，0)时，曲线()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点． （20）（本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>，1(,0)A a -，2(,0)A a ，(0,)B b ，△12A BA 的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M与直线2A B 交于点Q . 求证：△BPQ 为等腰三角形.（21）（本小题共14分）已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列. 若存在常数*k ∈N ，使得212n n n a a ka -+=对任意的*n ∈N 成立，则称数列{}n a 具有性质()k ψ.（Ⅰ）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质(2)ψ；(直接写出结论)①1n a =； ②2n n a =.（Ⅱ）若数列{}n a 满足1n a +≥(1,2,3,)n a n =L ，求证：“数列{}n a 具有性质(2)ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{}n a 中11a =，且1(1,2,3,)n n a a n +>=L .若数列{}n a 具有性质(4)ψ，求数列{}n a 的通项公式.海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案数学 2020春阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.143,2155得3分。

三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C所以1AB C B ⊥. 在△1BCC 中，1BC =,1BC =12CC =, 所以22211BC BC CC +=.所以1CB C B ⊥. 因为AB BC B =I , ,AB BC ⊂平面ABC ，所以1C B ⊥平面ABC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1AB C B ⊥,1BC C B ⊥,AB BC ⊥,如图,以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B，1(2E -，(1,0,0)C .(1,0,0)BC =u u u r，1(2BE =-u u u r .设平面BCE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n即0,10.2x x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令y 0x =，3z =-,所以3)=-n . 又因为平面ABC 的法向量为(0,1,0)=m ，所以1cos ,||||2⋅<>==m n m n m n .由题知二面角A BC E --为锐角，所以其大小为3π. （17）解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 02f =+=.（Ⅱ）选择条件①.()f x 的一个周期为π. 2()2cos sin 2f x x x =+(cos21)sin 2x x =++22)1x x +2)14x π++（.因为[,]26x ππ∈-,所以372+[,]4412x πππ∈-.所以 1sin 2)14x π-≤+≤（.所以1()1f x ≤≤+当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值1选择条件②.()f x 的一个周期为2π. 2()2cos sin f x x x =+22(1sin )sin x x =-+21172(sin )48x =--+.因为[,]26x ππ∈-,所以1sin [1,]2x ∈-.所以 当sin =1x -时，即π=2x -时， ()f x 在[,]26ππ-取得最小值1-.（18）解：（Ⅰ）设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以9()10P A =. （Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0,1,2.且25210C 2(0)=C 9P X ==；1155210C C 5(1)=C 9P X ==；25210C 2(2)=C 9P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.（19）解：（Ⅰ）①当1a =-时，e ()x x f x =-，则 )1(e x f x =-'．所以'(0)0.f = 又(0)1f =， 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ②令'()0f x =，得0x =. 此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：可知()min 01()f x f ==，函数()f x 的最小值为1. （Ⅱ）由题意可知，0,x ∈∞+（).令l (1)e n x g ax x x =++-，则1'e ()x g a xx =++． 由（Ⅰ）中可知e 1x x -≥，故 e 1x x ≥+． 因为2,0a ∈-（)， 则()11'(1)e x g a x a x x x=++≥+++130a a ≥++=+>． 所以函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．因为11e 21()e 2e 20e eag =+-<-<,又因为e 2(e)e e e 2e 0g a =+>->， 所以()g x 有唯一的一个零点.即函数()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点.（20）解：（Ⅰ）由题2222.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21.a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=.（II ）解法1证明：设直线2A M 方程为1(2)(0)2y k x k k =-≠≠±且，直线1A B 方程为112y x =+由(2),11.2y k x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩解得点424(,)2121k k P k k +--. 由22(2)1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)161640k x k x k +-+-=， 则221642=41M k x k -+.所以2282=41M k x k -+，24=41M ky k -+.即222824(,)4141k k M k k --++.12224141824241A Mk k k k kk -+==--++. 于是直线1A M 的方程为1(2)4y x k =-+，直线2A B 的方程为112y x =-+. 由1(2)4112y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得点422(,)2121k Q k k +--- .设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为42212112k k k -+--=.故PQ 中点在定直线1y =上. 从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以BP BQ =， 所以△BPQ 为等腰三角形. 解法2证明：设0000(,)(2,1)M x y x y ≠±≠±则220044x y +=. 直线2A M 方程为00(2)2y y x x =--，直线1A B 方程为112x y =+. 由00(2)21 1.2y y x x y x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得点00000002444(,)2222x y y P y x y x +--+-+.直线1A M 方程为00(2)2y y x x =++，直线2A B 方程为112y x =-+. 由00(2)21 1.2y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得点000000024+44(,)2+222x y y Q y x y x -+++.0000000024424+4222+2P Q x x y x y y x y x x +-----++=0000000000002(22)(2+2)2(2+2)(22)(22)(2+2)x y y x x y y x y x y x +-+---+=-++22000000002(2)4)(4(2)0(22)(2+2)x y x y y x y x ⎡⎤+----⎣⎦==-++.00000044222+2P Q y y y x y x y y +-+=++ 0000220000004(44)4(44)2(22)(2+2)(22)y y y y y x y x y x ++===-+++-. 故PQ 中点在定直线1y =上. 从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以BP BQ =， 所以△BPQ 为等腰三角形.（21）解：（Ⅰ）①数列{}n a 具有“性质(2)ψ”；②数列{}n a 不具有“性质(2)ψ”. （Ⅱ）先证“充分性”：当数列{}n a 具有“性质(2)ψ”时，有2122n n n a a a -+=又因为1n n a a +≥，所以22100n n n n a a a a -≤-=-≤，进而有2n n a a = 结合1n n a a +≥有12n n n a a a +==⋅⋅⋅=,即“数列{}n a 为常数列”； 再证“必要性”：若“数列{}n a 为常数列”， 则有212122n n n a a a a -+==，即“数列{}n a 具有“性质(2)ψ”. （Ⅲ）首先证明：12n n a a +-≥.因为{}n a 具有“性质(4)ψ”， 所以2124n n n a a a -+=.当1n =时有21=33a a =. 又因为*212n n n a ,a ,a -∈N 且22-1n n a a >，所以有22121,21n n n n a a a a -≥+≤-, 进而有221121122n n n n a a a a +++≤≤-≤-， 所以12()3n n a a +-≥,结合*+1n n a ,a ∈N 可得：12n n a a +-≥. 然后利用反证法证明：12n n a a +-≤. 假设数列{}n a 中存在相邻的两项之差大于， 即存在*k ∈N 满足：2123k k a a +-≥或2+22+13k k a a -≥， 进而有1222+12214()(+)(+)k k k k k k a a a a a a ++--=- 2222+121=()+()k k k k a a a a +---[][]22212+122+12221=()+()+()()k k k k k k k k a a a a a a a a ++----+-9≥. 又因为*1k k a a +-∈N ， 所以13k k a a +-≥依次类推可得：213a a -≥，矛盾，所以有12n n a a +-≤. 综上有：12n n a a +-=， 结合11a =可得21n a n =-，经验证，该通项公式满足2124n n n a a a -+=， 所以：21n a n =-.。