平面向量重难点解析

平面向量 重难点解析

课文目录

2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算

2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 目标：

1、理解和掌握平面向量有关的概念；

2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；

3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；

4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用； 重难点：

重点：向量的综合应用。

难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。

【要点精讲】

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示-----AB (几何表示法)； ②用字母a 、b 等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。任作一个向量a

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a

xi yj =+，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特

别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。22a x y =

+),(11y x A ，),(22y x B ，则

()1212,y y x x AB --=，

222121()()AB x x y y =

-+-3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为；

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.|

|a 就是单位向量）

4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

性质：//(0)(a b b a b λλ≠⇔=是唯一）||b a b a a b λλλ⎧⎧>⎪⎪⎨⎪

<⎪⎩⎨⎪

=⎪⎩

0,与同向方向---0,与反向长度---

1221//(0)0a b b x y x y ≠⇔-= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==）

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2

πθ=

性质：0a b a b ⊥⇔=

12120a b x x y y ⊥⇔+= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==） 6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：

AC a b =+（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）

DB a b =-

三角形法则

,

---

⎧

⎨

---

⎩

加法首尾相连

减法终点相连方向指向被减数

——加法法则的推广：

112

n

AB AB B B

=++……

1

n n

B B

-

+

即n个向量

12

,,

a a……

n

a首尾相连成一个封闭图形，则有

12

a a

++ 0

n

a

+=

②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a b= a + (b)；差向量的意义：OA= a ,

OB=b, 则BA=a b

③平面向量的坐标运算：若

11

(,)

a x y

=，

22

(,)

b x y

=，则a b

+)

,

(

2

1

2

1

y

y

x

x+

+

=，a b

-)

,

(

2

1

2

1

y

y

x

x-

-

=，(,)

a x y

λλλ

=。

④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

⑤常用结论：

（1）若

1

()

2

AD AB AC

=+，则D是AB的中点

（2）或G是△ABC的重心，则0

GA GB GC

++=

7．向量的模：

1、定义：向量的大小，记为 |a | 或 |AB |

2、模的求法：

若(,)

a x y

=，则 |a|22

x y

=+

若

1122

(,),(,)

A x y

B x y，则 |AB|22

2121

()()

x x y y

=-+-

3、性质：

（1）2

2||a a =； 22

||(0)||a b b a b =≥⇒= （实数与向量的转化关系） （2）22

||||a b a b =⇒=，反之不然

（3）三角不等式：||||||||||a b a b a b -≤±≤+ （4）||||||a b a b ≤ （当且仅当,a b 共线时取“=”）

即当,a b 同向时 ，||||a b a b =； 即当,a b 同反向时 ，||||a b a b =- （5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

即2222

2||2||||||a b a b a b +=++-

8．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa |=|λ||a

|；

（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa

=0；

（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa

+λb

交换律：a b b a =;

分配律：()a b c a c b c +=+

(λ)·b =λ(·b )=·(λb ); ——①不满足结合律：即()()a b c a b c ≠

②向量没有除法运算。如：a b c b a c =⇒=，2

a a

a b b

⇒都是错误的

（4）已知两个非零向量,a b ，它们的夹角为θ，则

a b =||||cos a b θ

坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y =+