索罗模型讲义

第1章 索罗增长模型1.1 什么是宏观经济学？简单来说，宏观经济学就是将一个国家的经济运行状态作为一个整体来研究的学问，它关心的是宏观经济变量（比如，GDP 、消费、投资、通胀率、失业率）之间的关系。

宏观经济学的方法（最优控制、动态规划等）已经渗透到经济学的各个领域，比如金融学。

思考：（1）“好的经济学家”与“坏的经济学家”区别何在？（2）宏观经济学的分析工具与框架主要发展于西方发达国家，适用于中国吗？1.2 索罗增长模型的假定与推导在凯恩斯时代，宏观经济学侧重于分析短期经济波动。

因此常常假设在短期内，宏观经济的资本存量与劳动力供给不变。

Solow(1956)是成功分析长期经济增长的第一篇经典论文，至今仍有深远影响。

在Kydland and Prescott(1982)“实体经济周期”（Real Business Cycles ）①论文发表以后，研究经济周期的模型也大多建立在增长理论的基础上，因为事实上资本存量与劳动力供给每年都在变动。

事实上，宏观经济“在波动中增长，在增长中波动”，但增长模型更为基本，也更容易处理。

现代的研究方法是，在研究好增长模型之后，再在上面加上波动。

总之，经济增长理论已经成为整个宏观经济学的基石。

这也是为什么我们要首先学习经济增长理论的原因。

而“索罗增长模型”（Solow growth model ）又是最基本的增长模型。

许多宏观模型的背后都有索罗模型的影子。

索罗模型假设消费者使用固定的．．．储蓄率s （故不存在消费者最优化问题）。

因此整个宏观经济的总储蓄为sY ，其中Y 表示GDP 。

假设经济中只有一种产品，既是消费品又是投资品。

时间为连续。

暂时假设没有技术进步，也没有折旧。

进一步假设总储蓄等于总投资（仅考虑长期增长，故没有经济波动），则资本存量K 的增长量为，KI sY == (1.1) 其中，dKKdtº 。

方程(1.1)被称为资本存量的“变动方程”（law of motion ）。

假设总量生产函数为，(,)Y F K L = (1.2)其中，L 表示劳动力供给。

假定边际产出为正且递减，即22220,0,0,0F F F FK L K L¶¶¶¶>><<¶¶¶¶ (1.3) 假设经济总是处于充分就业状态，且劳动力供给以常数n 增长。

0()nt L t L e = (1.4)综合方程(1.1)，(1.2)与(1.4)可得，(,)nt K sF K L e = (1.5) 这是一个以K 为变量的常微分方程。

①“Real Business Cycles ”（RBC ）中的“Real ”有时被翻译为“真实”（与“虚假”对应），“实际”（与“名义”对应），但译为“实体”（与“货币”对应）会更好些；其中的“Business ”有时被译为“商业”，但显然此处的“Business ”泛指整个经济，而非狭义的商业。

因此，将Real Business Cycle （RBC ）译为“实体经济周期”可能较妥当。

回顾：什么是微分方程？带微分（导数）的方程。

代数解法，几何解法。

图 1.1、 微分方程示意图求解微分方程(1.5)的难点在于，其中的0ntL e 一项却是每时每刻在变化。

Solow (1956)运用了两个技巧解这个微分方程。

首先，引入一个新变量，定义人均资本为，k K L º (1.6) 然后将微分方程(1.5)转化为有关k 的方程。

由于K kL =，将K 全微分，则有KkL kL =+ (1.7) 其次，假设生产函数为“一次齐次”（homogenous of degree one ），即“规模报酬不变”（constant returns to scale ）。

因此，(,)(,)F K L F K L l l l =, 其中l 为任意非负常数。

如果让1L l =，则有()1,1(,)F K L F K L L=，故(,1)(,)LF k F K L =。

因此，结合方程(1.1)与(1.7)可得，(,1)kL kL K sY sLF k +=== (1.8) 定义“密集型生产函数”（intensive form ）为， ()(,1)f k F k º (1.9)将方程(1.8)两边同时除以L ，()kkn sf k += (1.10) 移项可得，()ksf k kn =- (1.11) 这是一个有关k 的常微分方程（暂不求解，下面将直接求解更一般的情形）。

下面，我们考虑更一般的情形，即存在折旧与外生技术进步的情况。

假设折旧率为常数δ。

假设技术水平A 增长的速度为常数g ，且决定于模型之外，故名“外生技术进步”。

技术水平A 也常被称为“全要素劳动生产率”（Total Factor Productivity, 即TFP ）。

0()gt A t A e = (1.12)资本总量的变动率为，KsY K d =- (1.13)假设技术进步为“劳动力辅助型”（labor-augmenting ），即生产函数可以写为，(,)Y F K AL = (1.14) “劳动力辅助型技术进步”是存在“平衡增长路径”（steady state growth ）的必要条件。

这一结论被称为“Steady State Growth Theorem ”，参见Jones and Scrimgeour(2008)。

如果生产函数为Cobb-Douglas 函数，则它既是“劳动力辅助型”，又是“资本辅助型”（capital-augmenting ，即(,)Y F AK L =），还是“中性的”（neutral ，即(,)Y AF K L =），因为1()Y K AL a a -=可以同时表示为这三种方式。

因此，假设技术进步为“劳动力辅助型”，对我们的限制并不大。

综合方程(1.13)与(1.14)可得，(,)K sF K AL K d =- (1.15) 定义“有效人均资本”（capital stock per effective labor ）为，ˆK kAL º (1.16) 则 ˆK kAL=。

对K 全微分，则有 ˆˆˆKkAL AkL LkA =++(1.17) 将方程(1.17)代入方程(1.15)，然后两边同时除以AL ，移项合并后可得，ˆˆˆ()()ksf k n g k d =-++(1.18) 方程(1.18)是决定索罗模型动态特性的基本方程。

如果你只想记住索罗模型的一个方程，那么就记住这个方程。

方程右边的第一项为对有效人均资本的实际投资，第二项为保持有效人均资本不变所需要的投资。

此微分方程通常没有解析解，除非生产函数为Cobb-Douglas 函数，即1()Y K AL aa-=, 其中01a <<。

但在一定条件下，我们可以通过微分方程的“相图” （phase diagram ） 研究其解的性质，如唯一性与稳定性。

假设生产函数满足以下的“稻田条件”（Inada, 1964），00limlim ,limlim 0K L K L F FF FK L K L ¥ ¥¶¶¶¶==¥==¶¶¶¶ (1.19)“稻田条件”表明边际产出在要素少到接近零时会趋向无穷大，而在要素趋向无穷大时边际产出则减少为零。

容易证明，密集型生产函数的边际产出ˆ()f k¢等于总量生产函数的资本边际产出FK¶¶，ˆ()ˆˆˆ()()ALf k F k ALf k f kK K Kéù¶¶¶êúëû¢¢===¶¶¶ (1.20) 因此，可以把稻田条件写为，ˆˆˆˆlim (),lim ()0k k f k f k ¥¢¢=¥= (1.21)在以上假定下，微分方程(1.18)的相图可以大致画成，图 1.2、 索罗模型的相图根据稻田条件，在ˆk= 0 或接近0时，函数ˆ()sf k 的斜率一定大于()n g d ++。

故在ˆk 较小时，函数ˆ()sf k在ˆ()n g k d ++的上方。

而当ˆk 充分大时，函数ˆ()sf k 的斜率一定小于()n g d ++，即函数ˆ()sf k处于ˆ()n g k d ++的下方。

因此，除原点外，函数ˆ()sf k 与函数ˆ()n g kd ++必然至少．．有一个交点，即“均衡点”（steady state ）*ˆk 。

在此交点，***ˆˆˆˆˆ()()0kk ksf kn g k d ==-++= (1.22) 显然，在*ˆk附近的区域，如果*ˆˆk k >，则ˆ0k < ；反之，如果*ˆˆk k <，则ˆ0k >。

因此，均衡点 *ˆk是“局部稳定的”（locally stable ）。

由于稻田条件只限制了有效人均资本ˆk趋近于0或¥时的性质，对函数在中间区域的限制几乎没有，故稻田条件既不能保证均衡点的唯一性①，也不能保证其“整体稳定性” （globally stable ）。

如果函数ˆ()sf k与ˆ()n g k d ++的交点不唯一，则意味着该经济有“多个均衡点”（multiple equilibria ）。

这样就可能产生“贫困陷阱”（poverty trap ），即经济正好处于低水平的稳定均衡点附近。

如果该理论成立，那么足够多的外来投资（foreign direct investment ）或外援（foreign aid ）就有可能（至少在理论上）将该经济直接推动到高水平的稳定均衡点附近，参见图1.3。

①虽然原点ˆ0k=也是均衡点，由于它不稳定且不符合经济现实（即使原始人类也有石头作为工具！），故不考虑。

图 1.3、贫困陷阱的可能性然而，一般来说，生产函数不会如此地“拐弯”，但储蓄率s 可能随ˆk而变化。

对于在生存线上挣扎的经济而言（subsistence economy ），可能为了生存而无法储蓄，不得不“杀鸡取卵”。

另外，贫困陷阱也可能是由于制度而引起的。

另一方面，从实证的角度，贫困陷阱是否存在还没有定论。

回到常规的情形，如果生产函数是Cobb-Douglas 函数，则均衡点唯一且整体稳定。

在此情况下，无论经济的初始有效人均资本0ˆk 为何值，经济都将收敛到唯一的均衡点*ˆk 。

此后，经济就进入一个“平衡增长路径”（balanced growth path ），即各宏观经济指标（如GDP 、资本、劳动力）均以常速增长。