2019-2020学年 陕西省西安市西北大学附中 高二上学期期中数学试题(解析版)
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2 (有解析)
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶2. 从编号1∼100的100位同学中用系统抽样的方法随机抽取5位同学了解他们的学习状况，若编号为53的同学被抽到，则下面4位同学的编号被抽到的是( )A. 3B. 23C. 83D. 933. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]后得到的频率分布直方图如图所示，则分数在[70,80)内的人数是( )A. 10B. 20C. 30D. 404. (√x 3−2x )8二项展开式中的常数项为( )A. 56B. −56C. 112D. −112 5. 设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A. 15B. 25C. 12D. 456. 已知随机变量X 服从正态分布X ～N(μ,σ2)，且P(μ−2σ<X ⩽μ+2σ)=0.9544，若随机变量X ～N(2019,4)，则P(X >2023)=( )A. 0.0228B. 0.4772C. 0.9544D. 0.456 7. 已知(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2++a 9x 9+a 10x 10，求a 2+a 3+⋯+a 9+a 10的值为( )A. −20B. 0C. 1D. 20 8. 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A. 2B. 9C. 72D. 369. 从6名志愿者中选出4人，分别从事搜救、医疗、心理辅导、后勤四种不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事心理辅导工作，则不同的选派方案共有( )A. 96种B. 180种C. 240种D. 280种10. 某路公交车早上7:00～7:30之间每5分钟发出一辆公交车，小明在7:18至7:30之间到达首发车站乘坐公交车，且到达首发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过3分钟的概率是( )A. 35 B. 25 C. 23 D. 813 11. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( )A. 70B. 64C. 60D. 5812. 设随机变量ξ的概率分布为P (ξ=k )=p k (1−p )1−k (k =0,1) ，则Eξ,Dξ的值分别是( )A. 0和1B. p 和p 2C. p 和1−pD. p 和(1−p )p二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 在(√1x 3+√1x25)n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是________．14. (1)某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________．(2) 6本不同的杂志分成3组，其中一组1本，一组2本，一组3本，则不同分法共有______种． (3)安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有__________种.(用数字作答)(4)将5本不同的书，全部分给四个学生，恰有一个学生没有分到，不同的分法种数是________．15. 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为______ ．16. 如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x +y =_______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 解方程：(1)A 2x 4=60A x 3;(2)C n+3n+1=C n+1n−1+C n+1n +C n n−2．18. 设m,n ∈N,f(x)=(1+x)m +(1+x)n ．(1)当m =n =5时，若f(x)=a 5(1−x)5+a 4(1−x)4+⋯+a 1(1−x)+a 0，求a 0+a 2+a 4的值；(2)f(x)展开式中x 的系数是9，当m ，n 变化时，求x 2系数的最小值．19. 为了解某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：具有线性相关关系．(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^； (2)若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．(参考公式：b ̂=i ni=1i −nx⋅y ∑x 2n −nx2=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ̂=y −b ̂x.)20.一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球n(n∈N∗)个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分．若从这个口袋中随机地摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是．⑴求n的值；⑴从口袋中随机摸出2个球，设ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和数学期望Eξ．21.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22.某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为2，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．3(Ⅰ)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．(Ⅱ)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查了互斥事件和对立事件，互斥事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，注意其与对立事件的关系．根据互斥事件和对立事件逐一判断即可．【解答】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误；“两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确．故选D.2.答案：D解析：【分析】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．根据系统抽样的特征，从100名学生从中抽取一个容量为5的样本，抽样的分段间隔为20，结合编号为53的同学，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．【解答】解：∵由系统抽样知，第一组同学的编号为1∼20，第二组同学的编号为21∼40，…，最后一组编号为81∼100，编号为53的同学位于第三组，设第一组被抽到的同学编号为x，则x+40=53，所以x=13，所以93号同学被抽到，故选D3.答案：C解析：本题主要考察了频率分布直方图，属于简单题由频率分布直方图得分数在[70,80)内的频率等于1减去得分在[40,70]与[80,100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果． 【解答】解：由题意，分数在[70,80)内的频率为：1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1−0.7=0.3，则分数在[70,80)内的人数是0.3×100=30人. 答案为C4.答案：C解析： 【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 【解答】解：(√x 3−2x )8二项展开式的通项公式为T r+1=C 8r⋅x8−r3⋅(−2)r ⋅x −r =(−2)r ⋅C 8r⋅x8−4r3，令8−4r 3=0，求得r =2，可得展开式的常数项为4C 82=112，故选C ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查了古典概型概率问题，属于基础题． 根据古典概率公式即可求出． 【解答】解：O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，共有C 53=10，其中共线为A ，O ，C 和B ，O ，D 两种， 故取到的3点共线的概率为P =210=15， 故选A ．解析：【分析】该题考查了正态分布曲线及其性质，考查了学生的分析与计算能力，属基础题．【解答】解：由题设P(2019−2×2<X≤2019+2×2)=0.9544，即P(2015<X≤2023)=0.9544．所以由正态分布的对称性可得P(X>2023)=12[1−P(2015<X⩽2023)]=12×(1−0.9544)=0.0288，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x= 0，可求出a0的值，再求出，代入即求答案．本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是−1进行求解.本题属于基础题型．【解答】解：令x=1得，，再令x=0得，a0=1，所以，又因为，代入得．故选D．8.答案：C解析：【分析】本题考查排列和排列数公式，考查分步乘法计数原理，属于中档题．采用捆绑法将男生和女生分别捆绑再进行排列即可．【解答】解：可分两步：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A22种排法；第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A33种，男生“内部”的排法有A33种．故符合题意的排法种数为A22×A33×A33=72．故选C．9.答案：C解析：【分析】本题考查排列、组合的应用，解答本题用间接法可以避免分类讨论，简化计算．根据题意，使用间接法分析，首先计算从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人从事翻译工作的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，由排列公式可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A64=360种选派方案，其中包含甲从事心理辅导工作有A53=60种方案，乙从事心理辅导工作有A53=60种方案，则甲、乙两名志愿者都不能从事心理辅导工作的选派方案有360−60−60=240种．故选C．10.答案：C解析：【分析】本题考查了几何概型的应用，属于基础题．求出小明等车时间不超过3分钟的时间段，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：公交车的发车时间为7:00，7:05，7:10，7:15，7:20，7:25，7:30，小明在7:18至7:30之间到达首发车站乘坐公交车，则小明等车不超过3分钟的时间段为7:18～7:20，7:22～7:25，7:27～7:30，所求概率为2+3+330−18=23．故选C．11.答案：D解析：【分析】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．从8个顶点中选4个，共有C 84种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论． 【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有C 84种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，∴满足条件的结果有C 84−6−6=C 84−12=58．故选：D ．12.答案：D解析：设随机变量ξ的概率分布为P (ξ=k )=p k (1−p )1−k (k =0,1) ，则P (ξ=0)=1−p ，P (ξ=1)=p ，Eξ=0×(1−p )+1×p =p,Dξ=(0−p)2×(1−p)+(1−p)2p =p(1−p)．13.答案：462解析： 【分析】本题主要考查二项式的特定项与特定项的系数，属于中挡题．分析可得(√1x 3+√1x 25)n展开式中，所有奇数项的二项式系数之和为2n−1，由此求解即可．【解答】解：(√1x3+√1x25)n展开式的二项式系数等于展开式的项的系数，∴所有奇数项的二项式系数之和为2n−1， ∴2n−1=1024．∴n =11.∴展开式共有12项，中间项为第六、第七项，∴中间项二项式系数是C 115=C 116=462.故答案为462．14.答案：(1) 100(2)60 (3) 210(4)600解析：(1)【分析】本题考查排列组合，两个计数原理的应用，属于基础题．学生A分配到乙班或丙班，有2种方法，剩余4人按1，1，2个数，按1，3个数，按2，2个数分开，根据排列组合知识求解即可．【解答】解：学生A不分配到甲班，则学生A分配到乙班或丙班，有C21=2种方法，剩余4人按1，1，2个数分开，分到三个班，共有C42A33=36种方法，按1，3个数分开，分到除A外的2个班，共有C41A22=8种方法，按2，2个数分开，分到除A外的2个班，共有C42=6种方法，综上，不同的分配方案种数是2×(36+8+6)=100种方法．故答案为100．(2)【分析】本题考查组合的应用，属于基础题．根据题意可得共有C61C52C33=60种分法．【解答】解：6本不同的杂志分成3组，其中一组1本，一组2本，一组3本，则不同分法共有C61C52C33=60种．故答案为60．(3)【分析】本题考查排列组合，两个计数原理的应用，属于基础题．3名支教老师按1，1，1的个数分到3个学校，按1，2的个数分到2个学校，分别求解并求和即可．【解答】解：安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则3名支教老师按1，1，1的个数分到3个学校，共A63种分法，按1，2的个数分到2个学校，共C32A62种分法，则不同的分配方案共有A63+C32A62=210种故答案为210．(4)【分析】本题考查排列组合，两个计数原理的应用，属于基础题．四个学生中选一个没分到的学生，共4种方法，书按3，1，1的个数分给3个学生，或按2，2，1的个数分给3个学生，利用两个计数原理求解．【解答】解：将5本不同的书，全部分给四个学生，恰有一个学生没有分到，四个学生中选一个没分到的学生，共4种方法，将5本不同的书，分给3个学生，书按3，1，1的个数分给3个学生，共A 53=60种分法， 书按2，2，1的个数分给3个学生，共A 33C 52C 32A 22=90种分法，综上不同的分法种数是4×(60+90)=600．故答案为600．15.答案：35解析：解：根据题意，得∵P(A|B)=P(AB)P(B)，P(AB)=310，P(A|B)=12 ∴12=310P(B)，解得P(B)=31012=35 故答案为：35根据题意，结合条件概率公式加以计算即可得到事件A 发生的概率．本题给出事件A 、B 同时发生的概率和A 发生的条件下B 发生的概率，求事件A 的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．16.答案：10解析：【分析】本题考查了茎叶图、众数、平均数的知识，本题难度不大，属于基础题．【解答】解：根据题目中提供的茎叶图，可知：甲同学的期末考试中六科成绩分别为：75，82，84，80+x ，90，93．乙同学的期末考试中六科成绩分别为：74，75，80+y ，84，95，98．∵甲同学的平均成绩为85，∴16×(75+82+84+80+x +90+93)=85，解得x =6， ∵乙同学的六科成绩的众数为84，∴y =4，故x 、y 的值分别为：6，4．∴x +y =10，故答案为10．17.答案：解：(1)由已知，可得x ∈N ∗，2x ≥4，x ≥3，∴x ≥3且x ∈N ∗，∴2x(2x −1)(2x −2)(2x −3)=60x(x −1)(x −2)，化简得4x 2−23x +33=0，解得x =3或x =114． ∵x ≥3且x ∈N ∗，∴x =3，∴原方程的解集为{3}．(2)由已知，可得n ≥2，且n ∈N ∗，∵C n+3n+1=C n+1n−1+C n+1n +C n n−2，∴C n+3n+1=C n+2n +C n n−2，∴C n+32=C n+22+C n 2，∴C n+22+C n+21=C n+22+C n 2，∴C n+21=C n 2，即n +2=n(n−1)2，解得n =−1或n =4，∵n ≥2，且n ∈N ∗，∴n =4．∴原方程的解集为{4}．解析：本题考查了组合数与排列数公式的应用问题，是基础题目．(1)根据排列数的公式，列出方程，求出x 的值即可注意x 的范围．(2)根据组合数公式，列出方程，求出n 的值即可．18.答案：解：(1)当m =n =5时，f(x)=2(1+x)5，令x =0时，f(0)=a 5+a 4+⋯+a 1+a 0=2，令x =2时，f(0)=−a 5+a 4+⋯−a 1+a 0=2×35，相加可得：a 0+a 2+a 4=2+2×352=244．(2)由题意可得：∁m 1+∁n 1=m +n =9．x 2系数为∁m 2+∁n 2=m(m−1)2+n(n−1)2=m 2+n 2−(m+n)2=m 2+n 2−92 又m 2+n 2−92=m 2+(9−m)2−92=2m 2−18m+722=(m −92)2+634．又m ，n ∈N ，∴m =4或5，其最小值为16．即{m =4n =5或{m =5n =4时，x 2系数的最小值为16．解析：本题考查了二项式定理的展开式及其性质、利用二次函数的性质求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)当m =n =5时，f(x)=2(1+x)5，通过赋值法令x =0，x =2代入二项展开式可得到系数和的两个关系式，两式结合可求a 0+a 2+a 4的值；(2)由二项展开式的通项公式可由x 的系数是9得到m +n =9，将x 2系数转化为用m ，n 表示，借助于函数性质可求得其最小值．19.答案：解：(1)x −=1+2+3+4+55=3， y −=8+6+5+4+25=5，b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx −2=61−5×3×555−5×32=−1.4， â=y −b ̂x =5−(−1.4×3)=9.2， 故y 关于x 的线性回归方程是ŷ=−1.4x +9.2； (3)当x =4.5时，ŷ=−1.4×4.5+9.2=2.9 (千元/吨)． ∴该农产品的价格为2.9千元/吨．解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．(1)由表格中的数据求得b ^与a^的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中的回归方程中，取x =4.5求得y ^值得答案．20.答案：解：(1)由题设知C 21⋅C n+11C n+32=815， 解得n =3．(2)ξ取值为3，4，5，6．则P(ξ=3)=C 11C 21C 62=215， P(ξ=4)=C 11C 31C 62+C 22C 62=415， P(ξ=5)=C 21C 31C 62=25，P(ξ=6)=C 32C 62=15， ∴ξ的分布列为：故Eξ=3×215+4×415+5×25+6×15=143．解析：(1)由题设知C 21⋅C n+11C n+32=815，由此能求出n ． (2)由题意知ξ取值为3，4，5，6.分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．21.答案：解：(1)由列联表可得K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(26×20−30×24)250×50×56×44=5077≈0.649<3.841， 所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；(2)根据题意知，所抽取的5位女性中， “微信控”有3人，“非微信控”有2人；(3)抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为A ，B ，C ；“非微信控”2人分别记为D ，E ；则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共有10种； 抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共有6种，所求的概率为P =610=35．解析：(1)由列联表求得观测值，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样原理求出所抽取的对应人数；(3)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 22.答案：解：(Ⅰ)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：P =C 41C 22C 63×C 31×23×(13)2+C 42C 21C 63×C 30×(23)0×(13)3 =115；(Ⅱ)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1，2，3，P(X =1)=C 41C 22C 63=15， P(X =2)=C 42C 21C 63=35， P(X =3)=C 43C 20C 63=15，E(X)=1×15+2×35+3×15=2，D(X)=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25，设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知Y～B(3,23)，E(Y)=3×23=2，D(Y)=3×23×13=23，E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，∴甲被录取的可能性更大．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)利用互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．(Ⅱ)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出E(X)，D(X)，设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知Y～B(3,23)，从而求出E(Y)，D(X)，由E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，得到甲被录取的可能性更大．。
最新陕西省西安市西北大学附中高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年陕西省西安市西北大学附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题：①x R ∀∈，2104x x -+≥；②0x ∃>，1ln 2ln x x+≤；③若命题p q ∨是真命题，则p 是真命题；④22xxy -=-是奇函数；其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据全称命题、特称命题的真假性判断①②的真假性.根据含有逻辑联结词命题的真假性判断③的真假性.根据函数的奇偶性判断④的真假性. 【详解】对于①，由于214y x x =-+开口向上且11404∆=-⨯=，所以①为真命题. 对于②，当x e =时，1ln 22ln e e+=≤，故②为真命题. 对于③，p q ∨为真命题，可能p 假q 真，故③为假命题. 对于④，构造函数()22xxf x -=-，函数()f x 的定义域为R ，且()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 为奇函数.故④为真命题.综上所述，真命题的个数有3个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题、含有逻辑联结词命题的真假性，考查函数的奇偶性，属于基础题.2．点B 是点(1,2,3)A 在坐标平面yoz 内的射影，则||OB 等于（ ）A B C ．D 【答案】B【解析】根据题意得A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影B ，利用两点之间的距离公式得到结果． 【详解】∵点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影， ∴B 在坐标平面yOz 上，竖标和纵标与A 相同，而横标为0，∴B 的坐标是（0，2，3），∴|OB |= 故选：B ． 【点睛】本题考查空间中的点的坐标，考查两点之间的距离公式，考查正投影的性质，是一个基础题．3．已知()():280,:340xp q x x ->--≥，则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q ⌝的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q ⌝的必要不充分条件 【答案】D【解析】先分解化简命题p,q 再根据范围大小判断充分必要性. 【详解】:2803x p x ->⇒>()():3404q x x x --≥⇒≥或3x ≤34q x ⌝⇒<<所以p 是q 的既不充分也不必要条件p 是q ⌝的必要不充分条件故答案选D 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，抓住范围的大小关系是解题的关键.4．已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】分析：由离心率计算出b a，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：e c a ===Q 1ba∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±= 所以点（4，0）到渐近线的距离d ==故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．5．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2 BC．D【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A．3B．155C．105D．3【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D-，则所求角为21111,2,21221cos603,5 BC D BC BD C D AB∠==+-⨯⨯⨯︒===Q，易得22211C D BD BC=+，因此111210cos55BCBC DC D∠===，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．7．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且2AF FB=u u u v u u u v，则该椭圆的离心率为（）A3B．23C．22D3【答案】B【解析】设B到右准线距离为d，因为2AF FB=u u u v u u u v，所以A到右准线距离为2d，从而2,3AF ed BF ed AB ed==∴=Q倾斜角为4π，2cos43deedπ∴=∴=，选B. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c的方程或不等式，再根据,,a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，而建立关于,,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．设1111ABCD A B C D -是边长为a 的正方体，1A C 与1B D 相交于点O ，则有（ ）A ．211AB AC a ⋅=u u u u r u u u r B．21AB AC ⋅=u u u r u u u r C ．21CD AB a ⋅=u u u r u u u rD ．112AB AO a ⋅=u u u r u u u r 【答案】A【解析】利用向量数量积的运算对选项逐一计算进行验证，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，1111,,,,4A B a AC A B AC AB AC π====u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r，所以211cos 4A B AC a a π⋅=⋅=u u u u r u u u r ，所以A 选项正确.对于B选项，11111,,,,AB a AC AB AC A B AC ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以222111111cos A B AB AC a CA B a A C ⋅=⋅∠=⋅==u u u r u u u r ，所以B 选项错误. 对于C选项，11113,,,,4CD a AB CD AB BA AB B AB ππ====-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以213cos 4CD AB a a π⋅=⋅=-u u u r u u u r ，所以C 选项错误. 对于D选项，11111,,,,2AB a A O a AB A O A B A C ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以2221111111cos 2A B AB AO a CA B a AC ⋅=⋅∠=⋅==u u u r u u u r ，所以D 选项错误. 故选：A【点睛】本小题主要考查空间向量的数量积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.9．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】B【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x = 【答案】C【解析】∵抛物线C 方程为22(0)y px p =>,∴焦点(,0)2pF ， 设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52px =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52， 由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.11．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1） ∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ），∴=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） =+=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0∴ 0PA PC ⋅<u u u r u u u r∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1因此，λ的取值范围是（，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 12．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设出直线1l ，2l 的方程，联立直线1l ，2l 的方程与抛物线方程，写出韦达定理，根据抛物线的弦长公式，求得AB DE +的表达式，再结合基本不等式求得AB DE +的最小值. 【详解】抛物线的焦点坐标为()1,0F ，依题意可知直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l 的方程为()1y k x =-，则直线2l 的方程为()11y x k=--.由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 得()2222240k x k x k -++=，所以2222442A B k x x k k++==+，所以244A B AB x x p k =++=+. 同理可求得244C D CD x x p k =++=+.所以22484816AB k k DE =++≥+=+，当且仅当2244,1k k k ==±时取得最小值. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．若命题“2,0x R x x a ∃∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】根据特称命题是假命题进行转化即可 【详解】Q 命题“20x R x x a ∃∈-+<，”是假命题，则命题“20x R x x a ，∀∈-+≥”是真命题， 则140a =-≤n ，解得14a ≥则实数a 的取值范围是14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．14．设x ∈R ，则21x -<是220x x +->的_______________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）【答案】充分不必要【解析】求出两个不等式的解集，根据集合的包含关系说明． 【详解】2113x x -<⇔<<，2202x x x +->⇔<-或1x >，∵(1,3)(,2)(1,)-∞-+∞U Ü，∴21x -<是220x x +->的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的概念是解题关键．充分必要条件与集合的包含之间关系：命题p 对应集合是A ，命题q 对应集合是B ，则A B ⊆⇔p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，A B =⇔p 是q 的充要条件，A B Ü⇔p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BA 11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为10，则线段BD 的长为_______．【答案】2【解析】以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，设(0,,2)(11)D t t -≤≤，用空间向量法求得t ，进一步求得BD. 【详解】以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，如下图．31(0,0,0),(,2),(0,1,0),(0,,2)(11)2E F B D t t --≤≤ 31,2),(0,1,2)22EF BD t ==+u u u v u u u v2(1)4102cos 5(1)4t EF BD EF BD t θ++⋅===⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 解得t=1，所以22BD =，填22．【点睛】利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.16．已知直线1l 是抛物线C ：28y x =的准线，P 是C 上的一动点，则P 到直线1l 与直线2l ：34240x y -+=的距离之和的最小值为________. 【答案】6【解析】将P 到准线的距离，转化为到焦点的距离，由此利用焦点到直线34240x y -+=的距离求得所求的最小值.【详解】依题意，抛物线的准线为2x =-，焦点坐标为()2,0F .由于P 到准线的距离等于到焦点的距离，所以P 到直线1l 与直线2l ：34240x y -+=的距离之和，等于P 到焦点与直线2l 的距离之和，最小值为焦点F 到直线34240x y -+=的距离，即最小值为32402465⨯-⨯+=.故答案为：6 【点睛】本小题主要考查抛物线上的点到准线和到定直线的距离之和，考查抛物线的定义，属于基础题.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足22230(0)x ax a a --<>，命题q ：实数x 满足204xx -≥-． （I ）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（II ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）[)23，；（II ）43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【解析】分析：（1）将问题转化为当1a =时求不等式组的解集的问题．（2）将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件转化为两不等式解集间的包含关系处理，通过解不等式组解决． 详解：（1）当1a =时， 由2230x x --<得13x -<<，由204xx -≥-得24x ≤<， ∵p q ∧为真命题，∴命题,p q 均为真命题， ∴13,24,x x -<<⎧⎨≤<⎩解得23x ≤<，∴实数x 的取值范围是[)2,3．（2）由条件得不等式22230x ax a --<的解集为(),3a a -， ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， ∴[)()2,4,3a a -，∴2,34,a a -<⎧⎨≥⎩解得43a ≥，∴实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．18．求适合下列条件的曲线的标准方程：（1）4,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程； （2）4,3a b ==，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程；（3）焦点在x 轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.【答案】(1)22116x y +=；(2)2211625y x -=；(3)24x y =或24x y =-.【解析】试题分析：（1）利用几何元素的值和焦点位置直接写出椭圆的标准方程；（2）利用几何元素的值和焦点位置直接写出双曲线的标准方程；（3）利用抛物线的定义（抛物线22(0)y px x =>的焦点到准线的距离等于p ）进行求解.试题解析：（1）根据题意知4,1a b ==， 焦点在x 轴上， ∴2216,1a b ==，故椭圆的标准方程为：221161x y +=，即22116x y +=.（2）解:由题意，设方程为()222210,0y x a b a b-=>>，∵4,5a b ==， ∴2216,25a b ==，所以双曲线的标准方程是2211625y x -=.（3）∵焦点到准线的距离是2， ∴24p =，∴当焦点在y 轴上时，抛物线的标准方程为24x y =或24x y =-.19．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点,,E F G 分别是,,AB AD CD 的中点，设,,,AB a AC b AD c a b c ===u u u v u u u v u u u v v v v v v v，，为空间向量的一组基底，计算：（1）EF BA ⋅u u u v u u u v ;（2）EG u u u v .【答案】(1)14；（2）22. 【解析】（1）先根据条件确定,a b c v v v，的模以及相互之间的夹角，再根据向量共线以及加减法表示EF BA u u u v u u u v ，，最后根据向量数量积求结果，（2）根据向量减法表示EG u u u v，再根据向量模的定义以及向量数量积求结果. 【详解】(1） 因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，所以π1,,,,3a b c a b b c c a ======v v v v v v v v v ，因为点,E F 分别是,AB AD 的中点，所以111()()222EF BD AD AB c a ==-=-u u u v u u u v u u u v u u u v v v，EF BA ∴⋅u u u v u u u v 1111=()()(111)2224c a a -⋅-=-⨯⨯+=v v v （2）因为11()22EG EF FG c a b =+=-+u u u v u u u v u u u v vv v ，所以21111112||()1112112112112222222EG c a b =-+=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯u u u v v v v【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为2斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭ 共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=；；（Ⅲ）1. 【解析】（Ⅰ）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程； （Ⅱ）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x =-=， 易得当20m=时，max ||AB =AB ； （Ⅲ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213kx xk+=-+，即2131211213kx xk=--+，又1112ykx=+，代入①式可得13171247xxx--=+，所以13147yyx=+，所以11117124747x yCx x⎛⎫--⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x yDx x⎛⎫--⎪++⎝⎭,．故3371,44QC x y⎛⎫-⎪⎭=+⎝uuu v，4471,44QD x y⎛⎫-⎪⎭=+⎝uuu v，因为,,Q C D三点共线，所以344371714444x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D的坐标代入化简可得12121y yx x-=-，即1k=．【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式2211AB k x x=+-变形为221212||1()4AB k x x x x=+⋅+-，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.21．如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，2SA AB BC===，1AD=.（1）若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD；（2）当2SM MB=时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置.【答案】（1）见解析；（2）66（3）即点N在线段CD上且115ND=【解析】（1）取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．可证AMED 是平行四边形，从而有//AM DE ，则可得线面平行；（2）以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面AMC 与平面SAB 的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<，求出MN u u u u r，由MN 与平面SAB 所成角的正弦值为MN u u u u r与平面SAB 的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论． 【详解】（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．在中，ME 为中位线，∴//ME BC 且12ME BC =， ∵//AD BC 且12AD BC =，∴//ME AD 且ME AD =， ∴四边形AMED 为平行四边形． ∴//AM DE ．∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ， ∴//AM 平面SCD ．（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()A 0,0,0，()B 0,2,0，()C 2,2,0，()D 1,0,0，()S 0,0,2，由条件得M 为线段SB 近B 点的三等分点．于是2142(0,,)3333AM AB AC =+=u u u u r u u u r u u u r ，即42M 0,,33⎛⎫⎪⎝⎭，设平面AMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则00AM n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u v v ， 将坐标代入并取1y =，得(1,1,2)n =--r．另外易知平面SAB 的一个法向量为m u r()1,0,0=，所以平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为m nm n ⋅u r ru r r 66=． （3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<．由于42M 0,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN u u u u r 102x,2x ,33⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．所以22sin 401041041401553993MN m MN m x x x xθ⋅===-+⋅-⋅+u u u u r u r u u u u r u r ， 可知当401153208x 269-=-=，即26x 15=时分母有最小值，此时有最大值，此时，2622N ,,01515⎛⎫⎪⎝⎭，即点N 在线段CD 上且115ND = 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．。
最新版2019-2020年陕西省西安名校高二上学期期中模拟联考数学试卷及答案-精编试题
高二第一学期期中模拟考试数学试卷（文理）一、选择题：（每小题只有一个正确选项，请将正确答案涂在答题卡上。
共36分）1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有200个、120个、180个、100个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)．则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法 B. 分层抽样法，简单随机抽样法C. 系统抽样法，分层抽样法D. 简单随机抽样法，分层抽样法2．下列数字特征一定是数据组中的数是（）A．众数 B. 中位数 C. 标准差 D. 平均数3.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如左下图所示，则该校女教师的人数为（）A．167 B．137 C．123 D．934. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如右上图所示，则新生婴儿体重在(2700，3000)内的频率为( )A．0.001 B．0.1 C．0.2 D．0.35．将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确的一组是( )A. B. C. D. 6．左下图是一个算法的程序．如果输入的x的值是20，则输出的y 的值是()A .100 B.50 C. 25 D.1507．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如右上图所示，则( )A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差8．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( )A .16 B.13 C.45 D.239．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
【精】陕西省西北大学附中高二上学期期中数学试卷和解析
2018-2019学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共计30分）1．（3分）若A与B互为对立事件，且P（A）=0.6，则P（B）=（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．（3分）抛掷一枚骰子，向上的面的点数是5或6的概率是（）A．B．C．D．13．（3分）已知点A的极坐标为（2，），则它的直角坐标是（）A．（2，2） B．（1，）C．（﹣，）D．（，﹣）4．（3分）在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0 B．C．D．5．（3分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣2，2]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方形被分割成若干个小正方体，从小正方体中随机的取出一个，则这个小正方体各个面都没有涂红色的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）直线θ=α与ρcos（θ﹣α）=1的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．与α有关，不确定9．（3分）极坐标方程ρ=2sin（+θ）化为直角坐标方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣）2=1 B．y=2（x﹣）C．（x﹣）（y﹣）=1 D．4x2+12y2=110．（3分）甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟，过时离去，则甲乙两人能够会面的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，共计20分）11．（4分）直线2x﹣5y=1的极坐标方程为．12．（4分）向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为．13．（4分）某工厂周一到周六轮到有甲乙丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，则周六由乙值班的概率是．14．（4分）经过点A（3，0）、垂直于极轴的直线的极坐标方程是．15．（4分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于．三、解答题（每题10分，共计50分）16．（10分）将语文、数学、物理、化学四本书任意地排放在书架的同一层上，计算：（1）语文书在数学书的左边的概率是多少？（2）化学书在语文书的右边，语文书在物理书的右边的概率是多少？17．（10分）已知直线l过点P（2，1），且倾斜角θ=45o．（1）写出直线的参数方程；（2）求直线l与直线y=2x的交点坐标．18．（10分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．19．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．20．（10分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．2018-2019学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共计30分）1．（3分）若A与B互为对立事件，且P（A）=0.6，则P（B）=（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【解答】解：∵A与B互为对立事件，∴P（A）+P（B）=1，又∵P（A）=0.6，∴P（B）=0.4．故选：B．2．（3分）抛掷一枚骰子，向上的面的点数是5或6的概率是（）A．B．C．D．1【解答】解：抛掷一枚骰子，共有6种等可能的结果数，向上的面的点数是5或6的结果又2种．抛掷一枚骰子，则正面向上的点数为5或6的概率P==．故选：B．3．（3分）已知点A的极坐标为（2，），则它的直角坐标是（）A．（2，2） B．（1，）C．（﹣，）D．（，﹣）【解答】解：x=ρcosθ=2×cos=﹣，y=ρsinθ=2×sin=，∴将极坐标是（2，），化为直角坐标是（﹣，）．故选：C．4．（3分）在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0 B．C．D．【解答】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；故选：C．5．（3分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣2，2]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x0）≤0，∴x02﹣x0﹣2≤0，∴﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣2，2]，∴使f（x0）≤0的概率P==．故选：B．6．（3分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选：B．7．（3分）一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方形被分割成若干个小正方体，从小正方体中随机的取出一个，则这个小正方体各个面都没有涂红色的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：一个正方体在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方形被分割成43=64个小正方体，其小正方体各个面都没有涂红色的有（4﹣2）3=8个，故从小正方体中随机的取出一个，则这个小正方体各个面都没有涂红色的概率P==，故选：A．8．（3分）直线θ=α与ρcos（θ﹣α）=1的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．与α有关，不确定【解答】解：在直角坐标系中，直线θ=α即射线y=tanα x，斜率为tanα．ρcos（θ﹣α）=1即cosαx+sinαy=1，斜率为=﹣cotα，由于tanα×（﹣cotα ）=﹣1，故直线θ=α与ρcos（θ﹣α）=1的位置关系是垂直，故选：B．9．（3分）极坐标方程ρ=2sin（+θ）化为直角坐标方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣）2=1 B．y=2（x﹣）C．（x﹣）（y﹣）=1 D．4x2+12y2=1【解答】解：ρ=2sin（+θ）=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，可得x2+y2=+y．即：（x﹣）2+（y﹣）2=1．故选：A．10．（3分）甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟，过时离去，则甲乙两人能够会面的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，设事件A为“两人能会面”，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|8＜x＜9，8＜y＜9}，并且事件对应的集合表示的面积是S=1，满足条件的事件是A={（x，y）|8＜x＜9，8＜y＜9，|x﹣y|＜}所以事件对应的集合表示的图中阴影部分，其面积是1﹣2×=，根据几何概型概率公式得到P=．故选：C．二、填空题（每题4分，共计20分）11．（4分）直线2x﹣5y=1的极坐标方程为2ρcosθ﹣5ρsinθ=1．【解答】解：直线2x﹣5y=1的极坐标方程为：2ρcosθ﹣5ρsinθ=1．故答案为：2ρcosθ﹣5ρsinθ=1．12．（4分）向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为．【解答】解：记事件A={△PBC的面积小于}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）==．故答案为：．13．（4分）某工厂周一到周六轮到有甲乙丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，则周六由乙值班的概率是．【解答】解：周一到周六轮到有甲乙丙3人值班，每人值两天，共有C62C42C22=90种，周六由乙值班的种数为C51C42C22=30种，故周六由乙值班的概率是=，故答案为：14．（4分）经过点A（3，0）、垂直于极轴的直线的极坐标方程是ρcosθ=3．【解答】解：如图所示，设直线上的任意一点P（ρ，θ）．PA⊥x轴，在Rt△OAP中，ρcosθ=3．∴满足条件的直线方程为：ρcosθ=3．故答案为：ρcosθ=3．15．（4分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于．【解答】解：袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，基本事件总数n==15，两球颜色为一白一黑包含的基本事件个数m==6，∴两球颜色为一白一黑的概率p===．故答案为：．三、解答题（每题10分，共计50分）16．（10分）将语文、数学、物理、化学四本书任意地排放在书架的同一层上，计算：（1）语文书在数学书的左边的概率是多少？（2）化学书在语文书的右边，语文书在物理书的右边的概率是多少？【解答】解：（1）语文书在数学书的左边的概率=语文书在数学书的右边的概率=；（2）语文、数学、物理、化学四本书任意地排放在书架的同一层上，有A44=24种方法，化学书在语文书的右边，语文书在物理书的右边，有A44÷A33=4种方法，∴化学书在语文书的右边，语文书在物理书的右边的概率是．17．（10分）已知直线l过点P（2，1），且倾斜角θ=45o．（1）写出直线的参数方程；（2）求直线l与直线y=2x的交点坐标．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数）；（2）把代入y=2x得：1+=2（2+t），解得：t=﹣3．∴x=2+×（﹣3）=﹣1，y=1+×（﹣3）=﹣2．∴直线l与直线y=2x的交点坐标为（﹣1，﹣2）．18．（10分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．【解答】解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率记“3次摸球所得总分为5”为事件A事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3由（I）可知，基本事件总数为8，∴事件A的概率为19．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．20．（10分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）=，P（B）=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得P（C）=0.24．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A. “若一个数是负数，则它的平方不是正数”B. “若一个数的平方是正数，则它是负数”C. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D. “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2.数据x1，x2，…，x n平均数为6，标准差为2，则数据2x1−6，2x2−6，…，2x n−6的平均数与方差分别为()A. 6，16B. 12，8C. 6，8D. 12，163.命题“∀x∈(0,+∞)，x+1x>2”的否定为()A. ∀x∈(0,+∞)，x+1x ≤2 B. ∀x∈(0,+∞)，x+1x<2C. ∃x∈(0,+∞)，x+1x ≤2 D. ∃x∈(0,+∞)，x+1x<24.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0)，则椭圆的离心率为()A. 13B. √33C. √22D. 125.先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为m、n，则m+n是奇数的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 156.执行如图的程序框图，若输入的N值为10，则输出的N值为()A. −1B. 0C. 1D. 27.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为()A. 33B. 32C. 31D. 309.抛物线x2=3ay的准线方程是y=1，则实数a=()A. −34B. 34C. −43D. 4310.“a=b”是“直线y=x+2与圆(x−a)2+(y−b)2=2相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件11.如图，已知直线l：y=k(x+1)(k>0)与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是()A. 13B. √23C. 23√2 D. 2√212.已知点P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且PF1⊥PF2，∠PF1F2=60°，则e=()A. 12B. √32C. √3−12D. √3−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设某总体是由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取4个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为__________．0618 0765 4544 1816 5809 7983 86197606 8350 0310 5923 4605 0526 623814.椭圆C：y24+x23=1的焦点坐标是___________．15.一组数据1，3，x的方差为23，则x=________．16.点M到点F(2,0)的距离比它到直线l：x+3=0的距离小1，则点M的轨迹方程是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设命题p：x>m是2x−5>0的必要而不充分条件；设命题q：实数m满足方程x2m−1+y22−m=1表示双曲线(Ⅰ)若“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围(Ⅱ)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．18.某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为35,28,21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取7名同学．(1)应从高一年级选出参加会议的学生多少名？(2)设高二，高三年级抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学承担文件翻译工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．19.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．20.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50),[50,60)，⋯，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中实数a的值；(Ⅱ)若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生人数分别为多少？21.已知方程x2+2√a⋅x+b=0是关于x的一元二次方程．(Ⅰ)若a是从集合{0,1，2，3}四个数中任取的一个数，b是从集合{0,1，2}三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；(Ⅱ)若a∈[0,3]，b∈[0,2]，求上述方程有实数根的概率．22.已知椭圆Γ：x2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为2√6，B为直线l：x=−3上的动点，M(m,0)(m<0)，AM⊥BM.当AB⊥l时，M与F重合．(1)若椭圆Γ的方程；(2)若C为椭圆Γ上一点，满足AC//BM，∠AMC=60°，求m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。
陕西省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(七)
陕西省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（七）（理科）（考试时间90分 满分100分）一、单项选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.1．用斜二测法画出长为4，高为3的矩形的直观图，则其直观图面积为（ ）A ．3B ．6C ．6D ．122．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是（ ）A ．α⊥β且m ⊆αB ．m ⊥n 且n ⊆βC ．α⊥β且m ∥αD ．m ⊥n 且n ∥β 3．为了了解某地区的1003名学生的数学，打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除3个个体，在整个过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为（ ）A ．， B ．，C ．，D ．，4．上赛季，某队甲，乙两名篮球运动员都参加了相同的7场比赛，他们所有比赛得分的情况如图所示的茎叶图表示，据此你认为甲、乙两名运动员得分的表现（ ）A ．甲比乙好B ．乙比甲好C ．甲乙一样好D ．无法确定5．按如图的流程，可打印出一个数列，设这个数列为{x n }，则x 4=（ ）A ．B ．C ．D ．6．一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积是（ ）A．10 B．12 C．8+4D．12+47．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=BC=2，CC1=2，E为CC1的中点，则点A 到平面BED的距离为（）A．1 B．C．D．2、8．若一组数据x1，x2…x n的方差为9，则数据2x1+1，2x2+1，…2x n+1的方差为（）A．9 B．18 C．19 D．36修费用为（）万元．A．12.86 B．13.38 C．13.59 D．15.0210．（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．已知两点A（2，1），B（5，5）到直线l的距离分别为2，3，则满足条件的直线l 共有（）条．A．4 B．3 C．2 D．1112．有5个互不相等的正整数，他们的平均数为9，方差为4，则这组数据中最大的数等于（）A．10 B．11 C．12 D．12二、填空题（每题4分，满分20分）13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是．14．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为_．的值为．16．阅读下列算法语句，则输出结果为．（用分数表示）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且AB=PD=2，则这个四棱锥的内切球半径是．三、解答题（共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．袋中装着分别有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球，从袋中有放回的一次取出2个小球．记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y（1）列举出所有基本事件；（2）求x+y是3的倍数的概率．19．对某校高二学生参加舍去服务次数进行统计．随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加舍去服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布（2）估计高二年级学生参加社区服务次数的平均数和中位数（保留一位小数）．20．如图在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．（1）求证：EF∥平面ACD1；（2）求EF与平面CC1D1D所成角的余弦值．21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2+a）2=1，点A（3，0），O为坐标原点．（Ⅰ）若a=1，求圆C过点A的切线方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y+1=0与圆C交于M、N两点，且•=，求a的值；（Ⅲ）若圆C上存在点P，满足|OP|=2|AP|，求a的取值范围．参考答案一、单项选择题1．A．2．D．3．C．4．A．5．C．6．D．7．A．8．D．9．C．10．A 11．B．12．C．二、填空题13．解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40故答案为：40．14．解：若正六棱锥的底面边长为1则其底面积S==又∵正六棱锥的侧棱长为故棱锥的高为=2故正六棱锥的体积V==故答案为：15．解：，∴=0.35+0.7×4.5=3.5．∴，解得m=3．故答案为：3．16．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，知：该程序的作用是累加S=++++=；输出T=S×1=．故答案为：．17．解：设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R=V S﹣PDA+V S﹣PDC+V S﹣ABCD+V S﹣PAB+V S﹣PBC∵V P﹣ABCD∴=，∴R=2﹣．故答案为：2﹣．三、解答题18．解：（1）袋中装着分别有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球，从袋中有放回的一次取出2个小球，记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y，则Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）}，共有25个基本事件．（2）x+y是3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（4，5），（5，4），共9个，∴x+y是3的倍数的概率p=．19．解：（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，M=，∴M=40．∴10+25+m+2=40，m=3，∴n===0.625，p==0.075∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以=0.125，（2）∵第一组的频率为0.25，第二组的频率为0.625故估计这次学生参加社区服务人数的中位数为15+×5=17，故估计这次学生参加社区服务人数的平均数为12.5×0.25+17.5×0.625+22.5×0.075+27.5×0.05=17.125．20．（1）证明：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，由已知得D（0，0，0）、A1（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．取BC1中点G，则G（1，2，1），=（﹣1，2，﹣1），又=（﹣1，2，﹣1），∴=，∴与共线，∴EF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1B，EF⊄平面A1C1B，∴EF∥平面A1C1B；（2）解：平面CC1D1D的法向量为（2，0，0），∴EF与平面CC1D1D所成角的正弦值==，∴EF与平面CC1D1D所成角的余弦值=．21．解：（Ⅰ）若a=1，圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，可得圆心为（1，1），半径为r=1．设斜率存在，过点A的切线方程为：y=k（x﹣3），A（3，0）在圆外，有两条切线方程．则由r=d==1，解得：k=0或k=．∴过点A的切线方程为y=0，或4x+3y﹣12=0．（Ⅱ）直线l：x﹣y+1=0与圆C交于M、N两点，设M（x1，y1），N（x2，y2），∵•=，∴x1x2+y1y2=…①联立方程组：，消去y，可得：x1x2=a2﹣a…②消去x，可得：y2y1=a2﹣a+2…③把②③代入①解得：a=．（Ⅲ）圆C：（x﹣a）2+（y﹣2+a）2=1，圆心为（a，2﹣a），半径r=1，圆心在直线y=2﹣x上，设P坐标为（x，y），∵|OP|=2|AP|，可得：x2+y2=4（x﹣3）2+4y2化简可得：x2+y2﹣8x+12=0，表示圆心为（4，0），半径r=2的圆．圆C的圆心为（a，2﹣a），半径r=1，圆心在直线y=2﹣x上，如图：两圆心的最大距离为1+2=3，即两圆心的最大距离d≤3，故得：（4﹣a）2+（0﹣2+a）2≤3，解得：，故得a的取值范围是[，]．。
2019-2020学年陕西省西安中学高二上学期期中考试数学(文)试题
西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学（文科）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q 的（ ）A. 逆命题B. 否命题C. 逆否命题D. 否定【答案】B 【解析】 【分析】写出命题P 与命题q 的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可． 【详解】解：命题“正数a 的平方不等于0”的条件为0a >，结论为20a ≠；命题“若a 不是正数，则它的平方等于0”的条件为0a ≤，结论为20a =. 故命题P 是命题q 的否命题．【点睛】本题考查四种命题的定义；基本知识的考查．2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A. x 1，x 2，…，x n 的平均数B. x 1，x 2，…，x n 的标准差C. x 1，x 2，…，x n 的最大值D. x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B 【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平； 平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度． 3.若命题:0,,tan 14p x x π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦，则命题p 的否定为（ ） A. 00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈≤⎢⎥⎣⎦B. 00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦C. 00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈≥⎢⎥⎣⎦ D. 00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈>⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【详解】解：命题为全称命题，则命题的否定为：00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈>⎢⎥⎣⎦， 故选D ．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．4.椭圆22194x y +=的离心率是B.59C.23【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求得3,2a b ==，得到5c =，再利用离心率的定义，即可求解．【详解】由题意，根据椭圆的方程22194x y +=可知3,2a b ==，则5c ==，所以椭圆的离心率为3c e a ==，选D ． 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．5.连续掷两次骰子，先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，那么点P 在圆2217x y +=内部的概率是（ ） A.13B.25C.29D.49【答案】C 【解析】 【分析】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，用列举法求得其中满足2217x y +<的点(,)P m n 有8个，由此求得点P 在圆2217x y +=内部的概率.【详解】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，点P 在圆2217x y +=内部，即点(,)P m n 满足2217x y +<，故满足此条件的点(,)P m n 有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，故点P 在圆2217x y +=内部的概率是82369=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键. 6.执行下面的程序框图，当输出结果为8时，输入的n 值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】根据题意执行程序框图，依次写出每次循环得到的A ，B ，C ，k 的值，根据输出结果为8得到循环截止时k 的值，即可求出n ． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得1A =，1B =，3k =，k n ≤第一次循环：2C =，1A =，2B =，4k = 第二次循环：3C =，2A =，3B =，5k = 第三次循环：5C =，3A =，5B =，6k = 第四次循环：8C =，5A =，8B =，7k = 因为输出的值为8，故6k n =≤，7k n => 故6n = 故选C【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，关键是一步一步的循环计算清楚，属于基础题．7.设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】12>-不能推出12>-，反过来，若x y >则x y >成立，故为必要不充分条件.8.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7【答案】B 【解析】 【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解． 【详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等， ∴65＝60+y ，解得y ＝5， ∵平均值也相等， ∴5662657074596167657855x +++++++++=，解得x ＝3． 故选B ．【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.抛物线218y x =-的准线方程是（ ） A. 132x =- B. 12x =C. 2y =D. 4y =【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准式，直接求解即可． 【详解】解：抛物线218y x =-的标准方程为：28x y =-，可得4p =，抛物线218y x =-的准线方程是：2y =． 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题． 10.已知条件p ：k=；条件q ：直线y= kx+2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当3k =的距离为1，所以直线与圆相切；211k =+得3k =所以则p 是q 的充分不必要条件, 故选A.11.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ） A. 18 B. 24C. 36D. 48【答案】C 【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6又∵点P 在准线上 ∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．12.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，其中12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，则离心率的取值范围是（ ）A. 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 113⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可．【详解】解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点， 12||||2PF PF a ∴+=，可得：2||2aPF a c =-…， 解得21c a …．所以椭圆的离心率为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选A ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.总体是由编号为01,02,…19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．【答案】01 【解析】 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【详解】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，19， 01，04．（去掉重复）． 可知对应的数值为08，02，14，19，01， 则第5个个体的编号为01． 故答案为01．【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．14.椭圆22241x y +=的焦点坐标为_____________． 【答案】1-,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】把椭圆方程化为标准方程，得到2a ，2b 的值，由隐含条件求出c ，则答案可求．【详解】解：由22241x y +=，化标准方程得：2211124x y +=， ∴椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，且2211,24a b ==， ∴222111244c a b =-=-=，则12c =． ∴焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题．15.已知一组数据1232019,,,...,x x x x 的方差是9，则123201921,21,21,...,21x x x x ++++的方差为______． 【答案】36 【解析】 【分析】利用方差的性质，若12,,,n x x x L 的方差为2s ，则12,,n ax b ax b ax b +++L ,的方差为22a s ，直接求解． 【详解】解：Q 一组数据1232019,,,...,x x x x 的方差是9∴123201921,21,21,...,21x x x x ++++的方差为：22936⨯=故答案为36【点睛】本题考查方差的性质应用．若12,,,n x x x L 的方差为2s ，则12,,n ax b ax b ax b +++L ,的方差为22a s ，属于基础题．16.已知点P 到y 轴的距离比它到点(1,0)的距离小1，则点P 满足的方程是_______． 【答案】24y x =或()00y x =<【解析】 【分析】设出P 的坐标，由题意列式，对x 分类化简得答案；【详解】设(,)P x y ，则||1x +=若0x ≥，则1x +=24y x =；若0x <，则1x -0y =．P ∴点轨迹方程为0(0)y x =<或24y x =；故答案为0(0)y x =<或24y x =【点睛】本题考查轨迹方程的求法，需注意分类讨论，属于一般题．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知命题p ：方程20x m -+=有两个不相等的实数根；命题q ：124m +<．()1若p 为真命题，求实数m 的取值范围；()2若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2m <；（2）[)1,2. 【解析】 【分析】（1）若p 为真命题，则应有840m ∆=->，解得实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 应一真一假，进而实数m 的取值范围. 【详解】（1）若p 为真命题，则应有840m ∆=->，解得2m <； （2）若q 为真命题，则有12m +<，即1m <， 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题， 则p ，q 应一真一假. ①当p 真q 假时，有21m m <⎧⎨≥⎩，得12m ≤<；②当p 假q 真时，有21m m ≥⎧⎨<⎩，无解，综上，m 的取值范围是[12，）. 18.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F.享受情况如下表，其中“d”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.【答案】（I）6人，9人，10人；（II）（i）见解析；（ii）11 15.【解析】【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.【详解】（I ）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10， 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （II ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F ,{}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F ,{}{}{},,,,,C D C E C F ,{}{}{},,,,,D E D F E F ,共15种；（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为{}{}{}{},,,,,,,A B A D A E A F ,{}{}{},,,,,B D B E B F ,{}{},,,C E C F ,{}{},,,D F E F ,共11种，所以，事件M 发生的概率11()15P M =. 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 19.（Ⅰ）求以2220x y y +-=的圆心为焦点的抛物线方程；（Ⅱ）若00(,)P x y 为（Ⅰ）中所求抛物线上任意一点，求点P 到直线20x y --=的距离的最小值，并写出此时点P 的坐标．【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）()2,1P ，最小值2【解析】 分析】（Ⅰ）将圆的方程配成标准式，即可得出圆心坐标，利用抛物线的标准方程即可求解． （Ⅱ）利用点到线的距离公式求最值． 【详解】（Ⅰ）2220x y y +-=Q()2211x y ∴+-=故圆心坐标为(0,1)，同时抛物线焦点为(0,1)，故抛物线方程为24x y =；（Ⅱ）00(,)P x y Q 且在抛物线24x y =上，204x y ∴=．从而点P 到直线20x y --=的距离为2020012(2)1424222x x x d -----==≥，当02x = 即()2,1P 时，取得最小值22． 【点睛】本题考查圆的标准方程，求抛物线的标准方程及抛物线上的点到定直线的距离最值问题，属于一般题．20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)[)[]20,30,30,40,,80,90⋅⋅⋅，并整理得到频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数． （Ⅱ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】（Ⅰ）20人（Ⅱ）3:2． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先计算样本中分数不小于50的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频数，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（Ⅱ）由题意计算出样本中分数不小于70的学生人数，从而可以得到样本中男女生的人数，根据分层抽样原理，得出总体中男女人数之比． 【详解】（Ⅰ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=．（Ⅱ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=， 所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=． 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2． 【点睛】本题考查频率分布直方图中相关量的计算问题，属于基础题． 21.设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）23【解析】 【分析】（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程2220x ax b ++=当0,0a b ≥≥时有实根的充要条件为a b ≥，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件A 发生的概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{(,)|03a b a 剟，02}b 剟．构成事件A 的区域为{(,)|03a b a 剟，02b 剟，}a b …．根据几何概型公式得到结果． 【详解】解：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实数根”．当0,0a b ≥≥时，方程有实数根的充要条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个： (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A发生的概率为93()124P A ==．（Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为{(,)|03,02}a b a b ≤≤≤≤．构成事件A 的区域为{(,)|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤≥，所求的概率为132422()323P A ⨯-⨯==⨯ 【点睛】本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，属于基础题．22.（Ⅰ）计算：①若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，(0,2)P ，则12PA PA k k ⋅=______；②若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，4()3P ，则12PA PA k k ⋅=______；③若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，(1,3P -，则12PA PA k k ⋅=______．（Ⅱ）观察①②③，由此可得到：若12,A A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，P 为椭圆上任意一点，则12PA PA k k ⋅=？并证明你的结论．【答案】（Ⅰ）①、②、③均为49-．（Ⅱ）1222PA PA b K K a⋅=-,证明见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意分别计算出1PA k 、2PA k 从而得出12PA PA k k ⋅的值．（Ⅱ）首先不妨设0(P x ，0)y ，再由直线的斜率公式得到12PA PA k k ⋅的表达式；根据椭圆的标准方程得到0y 关于0x 的表达式，进而得出最终答案．【详解】（Ⅰ）①由题意12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点则取()()123,0,3,0A A -(0,2)P Q()1202033PA k ∴-==--，2202033PA k -==--1249PA PA k k ⋅=-∴②同①取()()123,0,3,0A A -4()3P Q140PA k -==∴，(14033PA k ---==∴ 1249PA PA k k ⋅=-∴③同①取()()123,0,3,0A A -(1,P Q()101333PA k ---==∴，133013PA k ∴-==- 1249PA PA k k ⋅=-∴∴①、②、③均为49-． （Ⅱ）若12,A A 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的两个端点，P 为椭圆上任意一点，则1222PA PA b k k a⋅=-．证明如下：设P 点的坐标为()00,P x y 则由题意：12000000,PA PA y y k k x a x a --==+-，则1220002200000PA PA y y y k k x a x a x a--⋅=⋅=+--．又P 为椭圆上任意一点，满足2200221x y a b+=，得222002(1)x y b a =-，代入1222222220(1)PA PA x b b a k k x a a -⋅==--，得证． 【点睛】本题考查椭圆的相关性质，由特殊得到一般性的结论，属于一般题．。
2019-2020学年陕西省西安中学高二(上)期中数学试卷(理科)
2019-2020学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（）A.2次都不中靶B.2次都中靶C.至多有1次中靶D.只有1次中靶【答案】A【考点】互斥事件与对立事件【解析】利用互斥事件定义直接求解．【解答】某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是2次都不中靶．2. 某学校为了解1000名新牛的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A.008号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生【答案】C【考点】系统抽样方法【解析】=10，所以若第一组被抽到的编号为b，则根据系统抽样的抽样方法，抽样间隔为1000100第n组被抽到的编号为10(n−1)+b，根据36被抽到，故b＝6，处理即可．【解答】=10，因为036号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为006由题意得抽样间隔为1000100号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，3. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)，[90, 100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.120【答案】B【考点】频率分布直方图【解析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数＝频率×总数可求出所求．【解答】根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1−10×(0.005+0.015)＝0.8，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8＝480（人）．4. (x4−√2x2)3的展开式中的常数项为（）A.−3√2B.3√2C.6D.−6【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项，求出常数项．【解答】展开式的通项为T r+1＝(−√2)r C3r x12−6r，令12−6r＝0得r＝2，(x4−√2x2)3的展开式中的常数项即T2+1=C32(−√2)2＝6．5. 《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A.2 3B.12C.13D.14【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】任取两种共有C42=6个基本事件，而取到红楼梦包含C31=3个基本事件，代入公式即可．【解答】依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为C42=6个，而取到红楼梦包含C31=3个基本事件，所以取到《红楼梦》的概率为P=36=12，6. 随机变量X服从正态分布(3, σ2)，且P(X≤4)＝0.84，则P(2<X<4)＝（）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据对称性先求出P(X≤2)，再得出P(2<X<4)．【解答】P(X≤2)＝P(X≥4)＝1−0.84＝0.16，∴P(2<X<4)＝P(X≤4)−P(X≤2)＝0.84−0.16＝0.68．7. 若(2−3x)6＝a0+a1x+a2x2+...+a6x6，则a1+a2+a3+...+a6等于（）A.−4B.4C.−64D.−63【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】分别令x＝0，x＝1，可得要求式子的值．【解答】∵(2−3x)6＝a0+a1x+a2x2+...+a6x6，令x＝0，可得a0＝64，再令x＝1，可得64+a1+a2+a3+...+a6＝1，∴a1+a2+a3+...+a6＝−63，8. 将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有（）A.480种B.240种C.960种D.720种【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先排A，B，C然后利用插空法进行求解即可．【解答】若A，B在C的左侧，有A22=2种，然后将，D，E，F分别进行插空有4×5×6＝120种，此时有2×120＝240种，同理若A，B在C的右侧，也有240种，则共有240+240＝480种，9. 从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有（）A.9种B.12种C.54种D.72种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】利用排除法减去全是男生的种类即可．【解答】从5人中选3人，分别从事三项不同的工作，则有C53A33=60，若3人都是男生，则有C33A33=6，则这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有60−6＝54种，10. 某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.45 B.12C.56D.37【答案】 B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 【解答】设小明到达时间为x ，当x 在7:50至8:00，或8:20至8:30时， 小明等车时间不超过10分钟， 故P =2040=12，11. 以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（ ）A.56B.48C.45D.42 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3×4个．若三角形的三个顶点都不用公共点，则有 4C 32+3C 42 个，再把这些三角形的个数相加即得所求． 【解答】若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3×4＝12个．若三角形的三个顶点都不用公共点，则有4C 32+3C 42=12+18＝30 个， 故总个数是12+30＝4212. 已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p <1)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)>1.75，则p 的取值范围为（ ） A.(0,12)B.(0,712)C.(12,1)D.(712,1)【答案】 A【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】由已知条件可得P(X ＝1)＝p ，P(X ＝2)＝(1−p)p ，P(X ＝3)＝(1−p)2p +(1−p)3＝(1−p)2，由此求数学期望，列出不等式，从而能求出结果． 【解答】由已知条件可得P(X ＝1)＝p ，P(X ＝2)＝(1−p)p ，P(X ＝3)＝(1−p)2p +(1−p)3＝(1−p)2， 则E(X)＝P(X ＝1)+2P(X ＝2)+3P(X ＝3)＝p +2(1−p)p +3(1−p)2＝p 2−3p +3>1.75， 解得p >52或p <12，又由p ∈(0, 1)，可得p ∈(0, 12)．二、填空题（本大题共4小题，共20分） 若(2x 2√x)n的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，则n ＝________． 【答案】 6【考点】二项式定理及相关概念 【解析】根据二项式系数之和为32，即2n ＝32，求解即可． 【解答】由(2x 2√x )n 的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，二项式系数之和为64，即2n ＝64，可得n ＝6，有五本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人一本，另两人各两本，不同的分配方法有________种． 【答案】 90【考点】计数原理的应用 【解析】根据题意，分析有将5本不同的书分成满足题意只有2，2，1，计算即可 【解答】将5本不同的书分成满足题意的3组只有2，2，1则不同的分配方法有C 52⋅C 32A 22⋅A 33=90种，甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为________． 【答案】25【考点】 相互独立事件相互独立事件的概率乘法公式 【解析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论． 【解答】由题意，甲获得冠军的概率为23⋅23+23⋅13⋅23+13⋅23⋅23=2027，其中，比赛进行了3局的概率为23⋅13⋅23+13⋅23⋅23=827，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为8272027=25，如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．【答案】45【考点】众数、中位数、平均数茎叶图【解析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：15(88+89+90+91+92)＝90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：15(83+83+87+99+90+x)＝88.4+x5，当x＝9，甲的平均数<乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为110，当x＝8，甲的平均数＝乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为110，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1−110−110=45三、解答题（本大题共6小题，共70分）（1）解方程：C9x=C92x−3(x∈N)；（2）解不等式：A9x>6A9x−1(x∈N)．【答案】因为C9x=C92x−3，所以x＝2x−3或x+2x−3＝9，解得x＝3或x＝4；∵A9x>6A9x−1，解原不等式即9!(9−x)!>6×9!(9−x+1)!，其中2≤x ≤9，x ∈N ∗，即10−x >6，x <4， 故x ＝2或3．∴ 原不等式的解集为{2, 3}． 【考点】组合及组合数公式 排列及排列数公式 【解析】（1）利用组合数的性质求解即可．（2）利用排列数的公式化简求解不等式即可． 【解答】因为C 9x =C 92x−3， 所以x ＝2x −3或x +2x −3＝9， 解得x ＝3或x ＝4；∵ A 9x >6A 9x−1， 解原不等式即9!(9−x)!>6×9!(9−x+1)!，其中2≤x ≤9，x ∈N ∗，即10−x >6，x <4， 故x ＝2或3．∴ 原不等式的解集为{2, 3}．已知(x +2x )n 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项． 【答案】根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得C n1⋅12=C n 2⋅(12)2，即12n =14⋅n(n−1)2，解得n ＝5；二项式展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(12)r ⋅x 5−32r ，(r ＝0, 1, 2,…,5)；当r ＝0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T 1=C 50⋅(12)0⋅x 5=x 5，T 3=C 52⋅(12)2⋅x 5−3=52x 2，T 5=C 54⋅(12)4x 5−6=516x．【考点】二项式定理及相关概念 【解析】（1）通过第二项和第三项的系数相等，求出n ；（2）利用通项公式通过x 的幂指数的取值，求解展开式中所有的有理项． 【解答】根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得C n1⋅12=C n 2⋅(12)2，即12n =14⋅n(n−1)2，解得n ＝5；二项式展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(12)r ⋅x 5−32r ，(r ＝0, 1, 2,…,5)；当r ＝0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T 1=C 50⋅(12)0⋅x 5=x 5，T 3=C 52⋅(12)2⋅x 5−3=52x 2，T 5=C 54⋅(12)4x 5−6=516x ．如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元）的几组对照数据：参考公式：b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ．（1）若知道y 对x 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^；（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？ 【答案】根据所给表格数据计算得x =2+3+4+5+65=4，y =1+2.5+3+4+4.55=3，∑=i=15 xiyi 2+7.5+12+20+27=68.5，∑ 5i=1x i 2=4+9+16+25+36=90，∴ b ^=∑−i=15 xiyi 5x⋅y∑ 5i=1x i 2−5x2=68.5−6090−80=0.85，a ^=y −b ^x =−0.4，∴ y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.85x −0.4； 由（1）得，当x ＝10时，y ^=0.85×10−0.4=8.1， 即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x ＝10求得y 值，结合技术改造前该型号设备使用10年的维修费用得结论． 【解答】根据所给表格数据计算得x =2+3+4+5+65=4，y =1+2.5+3+4+4.55=3，∑=i=15 xiyi 2+7.5+12+20+27=68.5，∑ 5i=1x i 2=4+9+16+25+36=90，∴ b ^=∑−i=15 xiyi 5x⋅y∑ 5i=1x i 2−5x2=68.5−6090−80=0.85，a ^=y −b ^x =−0.4，∴ y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.85x −0.4；由（1）得，当x ＝10时，y ^=0.85×10−0.4=8.1，即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元．已知某摸球游戏的规则如下：从装有5个大小、形状完全相同的小球的盒中摸球（其中3个红球、2个黄球），每次摸一个球记录颜色并放回，若摸出红球记1分，摸出黄球记2分．（1）求“摸球三次得分为5分”的概率；（2）设ξ为摸球三次所得的分数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【答案】由题意得，记A 表示“摸球三次得分为5分”， 则摸出的三个球应该为一次红球两次黄球，则P(A)=C 3135×(25)2=36125； 记η为摸出三次球中红球的次数，则ξ＝1×η+2×(3−η)＝6−η，易得η服从二项分布B(3, 35)．η可以取0，1，2，3，所以ξ可以取6，5，4，3，P(ξ=6)=P(η=0)=C 30(35)0(25)3=8125，P(ξ=5)=P(η=1)=C 31(35)1(25)2=36125，P(ξ=4)=P(η=2)=C 32(35)2(25)1=54125， P(ξ=3)=P(η=3)=C 33(35)3(25)0=27125，所以，ξ的分布列为Eξ=6−Eη=6−3×35=4.2．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）利用独立重复实验的概率求解即可．（2）记η为摸出三次球中红球的次数，则ξ＝1×η+2×(3−η)＝6−η，易得η服从二项分布B(3, 35)．η可以取0，1，2，3，ξ可以取6，5，4，3，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 【解答】由题意得，记A 表示“摸球三次得分为5分”， 则摸出的三个球应该为一次红球两次黄球，则P(A)=C 3135×(25)2=36125； 记η为摸出三次球中红球的次数，则ξ＝1×η+2×(3−η)＝6−η，易得η服从二项分布B(3, 35)．η可以取0，1，2，3，所以ξ可以取6，5，4，3，P(ξ=6)=P(η=0)=C 30(35)0(25)3=8125，P(ξ=5)=P(η=1)=C 31(35)1(25)2=36125， P(ξ=4)=P(η=2)=C 32(35)2(25)1=54125， P(ξ=3)=P(η=3)=C 33(35)3(25)0=27125，所以，ξ的分布列为Eξ=6−Eη=6−3×35=4.2．进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：(1)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；(2)为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】解：(1)根据列联表，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=220×(90×40−20×70)2=556≈9.167>6.635，所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；(2)从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，没有私家车的应抽取2人，记为A,B，有私家车的抽取4人，记为c，d，e，f；从这6人中随机抽取2人，基本事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种；则抽到的2人中至少有1人“没有私家车”的基本事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9种；故所求的概率为P=915=35．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率独立性检验分层抽样方法【解析】(Ⅰ)根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：(1)根据列联表，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=220×(90×40−20×70)2 110×110×160×60=556≈9.167>6.635，所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；(2)从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，没有私家车的应抽取2人，记为A,B，有私家车的抽取4人，记为c，d，e，f；从这6人中随机抽取2人，基本事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种；则抽到的2人中至少有1人“没有私家车”的基本事件为：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9种；故所求的概率为P=915=35．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线；③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于垂点线）．该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如表：若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2，若进入国家集训队，则提前录取，箬未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）(Ⅰ)求该学生参加自主招生考试的概率；(Ⅱ)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)求该学生被该校录取的概率．【答案】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A，B，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P1＝P(A)+P(AB)＝1−0.5+0.5×(1−0.2)＝0.9，即该学生参加自主招生考试的概率为0.9；（2）该学生参加考试的次数X的可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.2＝0.1，P(X＝3)＝P(A)＝1−0.5＝0.5，P(X＝4)＝P(A)P(B)＝0.5×0.8＝0.4，所以X的分布列为E(X)＝2×0.1+3×0.5+4×0.4＝3.3；(Ⅲ)该生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到概型的录取分数线录取的事件分别为C，D．P(AB)＝0.1，P(C)＝0.9×0.6×0.9＝0.486，P(D)＝0.9×0.4×0.7＝0.252，所以该学生被该校录取的概率为P2＝P(AB)+P(C)+P(D)＝0.838．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为A、B则P1＝P(A)+P(AB)，然后利用互斥事件的概率公式进行求解；(Ⅱ)X＝2，3，4，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；(Ⅲ)设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C、D，该学生被该校录取的事件分为三种事件，AB、C、D，分别求出对应的概率，最后相加即可．【解答】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A，B，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P1＝P(A)+P(AB)＝1−0.5+0.5×(1−0.2)＝0.9，即该学生参加自主招生考试的概率为0.9；（2）该学生参加考试的次数X的可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.2＝0.1，P(X＝3)＝P(A)＝1−0.5＝0.5，P(X＝4)＝P(A)P(B)＝0.5×0.8＝0.4，所以X的分布列为E(X)＝2×0.1+3×0.5+4×0.4＝3.3；(Ⅲ)该生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到概型的录取分数线录取的事件分别为C，D．P(AB)＝0.1，P(C)＝0.9×0.6×0.9＝0.486，P(D)＝0.9×0.4×0.7＝0.252，所以该学生被该校录取的概率为P2＝P(AB)+P(C)+P(D)＝0.838．。
2019学年陕西省西安市高二上学期期中考试理科数学试卷【含答案及解析】(1)
)
A
.-4
B.-6
C.
-8
D.-10
4.
A.
在？ABC中，已知a= ■,b=.「：,
,C=—,则?ABC是()
锐角三角形
D.
任意三角形
B.
直角三角形
C.钝角三角形
5.
如果函数f（x
）对任意
a,b满足f(a+b
)=f(a)•f(b)
g
moi书z、
且f
(1) =2」
+
++"
•+—()
r（i）
/(J)
◎
> 22
&+_2^/39
tinJ*sin 5+snic3
第11题【答案】
C
【解析】
试题分析：由三个二次关系可却万程於+扮十=0的解粉=-；心=2且代0，设e = T
,所法
口乜
第12题【答案】
A
【解析】
J3. .
试题分析；二」设几刃*”二在[L5]±是数，所以最小僧汾
採x
f
B4
【解析】
试题分析：由等比数列性质可却d遇-为如-耐威等比皴列，所以⑸-£丁 =（&亠工宦一代入 已扌口数擦得片=S4
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【解析】
试题分析：由等差数列性质可知吗+码严勺+ % ,所以一以一泌一直igg洱专化为迅=-215（阿+aj
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第7题【答案】
【解析】
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Laea^- air='2?二丐叱血二2了第8题【答案】
陕西省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(四)
陕西省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（四）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（共12道题，每题5分，共60分）1．已知空间中点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（）A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．3或﹣4 D．﹣3或42．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2，且b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件3．某产品的广告费用x与销售额y的不完整统计数据如表：若已知回归直线方程为=9x﹣6，则表中m的值为（）A．40 B．39 C．38 D．374．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数5．已知平面α的法向量为=（2，﹣2，4），=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（）A．AB⊥α B．AB⊂αC．AB与α相交不垂直D．AB∥α6．现要完成下列3项抽样调查：①从15件产品中抽取3件进行检查；②某公司共有160名员工，其中管理人员16名，技术人员120名，后勤人员24名，为了了解员工对公司的意见，拟抽取一个容量为20的样本；③电影院有28排，每排有32个座位，某天放映电影《英雄》时恰好坐满了观众，电影放完后，为了听取意见，需要请28名观众进行座谈．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样7．将两个数a=2010，b=2011交换使得a=2011，b=2010，下面语句正确一组是（）A． B．C． D．8．下列说法正确的是（）A．若“p或q”为真，则“p且q”也为真B．命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x=2，则x2﹣5x+6≠0”C．已知a，b∈R，命题“若a＞b，则|a|＞|b|”的逆否命题是真命题D．已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题9．执行右边的程序框图，则输出的T 等于（ ）A ．20B ．30C ．42D ．5610．为了在运行右面的程序之后输出y=2，输入的x 可以是（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．﹣1，0或211设→→→→+-=k j m a 21，→→→→-+=k j m a 232，→→→→-+-=k j m a 323，→→→→++=k j m a 5234，（其中是两两垂直的单位向量），若，则实数λ，μ，ν的值分别是（ ）A ．1，﹣2，﹣3B ．﹣2，1，﹣3C ．﹣2，1，3D ．﹣1，2，3 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，且，那么x+y的值为．14．用0，1，…，199给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第四段中被取出的零件编号为．15．某学校数学兴趣班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是．16．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：（1）求有4个人或5个人培训的概率；（2）求至少有3个人培训的概率．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出．某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）设该市有500万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由：（Ⅲ）估计本市居民的月用水量平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表）．19．（12分）已知命题，命题． （1）写出命题p 的否定形式；并求当命题p 为真时，实数m 的范围；（2）若p 和q 一真一假，求实数m 的取值范围．20．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？21．（12分）如图：已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．（1）试用，，表示，并求||；（2）求证：CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．22．（12分）在某校趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会决定在颁奖过程中进行抽奖活动，用分层抽样的方法从参加颁奖仪式的高一、高二、高三代表队中抽取20人前排就座，其中高二代表队有6人．（1）把在前排就座的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现从中随机抽取2人上台抽奖，求a和b至少有一人上台抽奖的概率；（2）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该代表中奖的概率．参考答案一、单项选择题1．A．2．B．3．A．4．B5．D．6．D．7．B8．D．9．B．10．C．11．B．12．C．二、填空题13．解：∵，∴存在实数λ使得，∴，解得λ=﹣，x=2，y=﹣6．∴x+y=﹣4．故答案为：﹣4．14．解：因为是从200个零件中抽取10个样本，∴组距是20，∵第一段中编号为5的零件被取出，则第四段被取出的零件编号是3×5+20=35．故答案为35．15．解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，解得m=3；又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，∴m+n=12．故答案为：12．16．解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示∴所求概率P=1﹣=．故答案为．三、解答题17．解：（1）由题意可得有4个人派出培训的概率为0.3，有5个人派出培训的概率为0.1，故有4个人或5个人培训的概率为p=0.3+0.1=0.4．（2）由题意可得，派出人数为2人或2人以下的概率为0.1，故至少有3个人培训的概率为P=1﹣0.1=0.9．18．解：（1）由频率分布直方图可知每段内的频率：[0，0.5]：0.04；（0.5，1]：0.08；（1，1.5]：0，15；（1.5，2]：0.22；（2，2.5]：0.25；（2.5，3]：0.5a；（3，3.5]：0.06；（3.5，4]：0.04；（4.4.5]：0.02，…（2分）则由0.04+0.08+0.15+0.22+0.25+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.28．…（2）∵不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12，…（6分）∴月均用水量不低于3吨的人数为500×0.12=60万．…（8分）（3）月平均用水量为：0.04×0.25+0.08×0.75+0.15×1.25+0.22×1.75+0.25×2.25+0.14×2.75+0.06×3，25+0.04×3.75+0.02×4.25…（10分）=2.02（吨）∴人月平均用水量为2.02吨．…12分19．解：（1）命题p的否定形式：∀x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1≥0；当命题为真时，△=4﹣4（﹣m﹣1）＞0⇒m＞﹣2，∴实数m的范围为：（﹣2，+∞）（2）命题为真时，m＜（x+）min，x∈[1，4]时，（x+）min=4，⇒m＜4，若p真q假：m＞﹣2且m≥4⇒m≥4；若p假q真：m≤﹣2且m＜4⇒m≤﹣2；综上：若p和q一真一假，求实数m的取值范围：m≥4；或m≤﹣2．20．解：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，从5组数据中选取2组数据共有10种情况：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5），其中数据为12月份的日期数．每种情况都是可能出现的，事件A包括的基本事件有6种．∴P（A）=．∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是（2）由数据，求得．由公式，求得b=∴y关于x的线性回归方程为x﹣3．（3）当x=10时，×10﹣3=22，|22﹣23|＜2；同样当x=8时，×8﹣3=17，|17﹣16|＜2；∴该研究所得到的回归方程是可靠的．21．解：（1）=+，=+++2+2+2=1+1+1+2×1×1×+2×1×1×+2×1×1×=6，∴．证明：（2）∵=•（）=•﹣•==0，∴， ∴CC 1⊥BD ．（3）=（+）•（）==1﹣+﹣1+=0，∴，∴CA 1⊥BD ．同理可证CA 1⊥BC 1，∵BC 1⊂面BDC 1，BD ⊂面BDC 1，BC 1∩BD=B ，∴A 1C ⊥面C 1DB ．22．解：（1）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ．f ），（c ，d ），（c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ），（e ，f ）共15种，其中a 和b 至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a 和b 至少有一人上台抽奖的概率为=；（2）由已知0≤x ≤1，0≤y ≤1，点（x ，y ）在如图所示的正方形OABC内，由条件，得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为S阴==∴该代表中奖的概率为=．。
2019学年陕西省高二上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年陕西省高二上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 ________________ 分数 ___________、选择题1. 不等式.■ 的解集为( ) A • ' ■ B • ■ : | I. < : < 门 C •社七 二" D - ；2. 某种细菌在培养过程中 这种细菌由1个可以繁殖成 ,每20分钟分裂一次 （ ） （一个分裂二个）经过1小时， A • 4个 B • 7个 C • 8个 D • 16 个3. 已知等差数列一 中 A • 15 _____________ B a.+ % = 16一兀二L 则纠、的值是 ___________ 30 ________ C • 31 _______________ D • 64 4. 已知等比数列 的公比：二一" 则 等于（ ) 口、+ 口丄十打片+ %A • --B . _工C •-D • < 5. 等差数列；.’的前n 项和为S n ,若a 3 +a 17 =10 ,则S 19 =( )A • 55 _______B •95__________ C • 100 ___________ D .不能确定6. 等差数列；.’中，a 1 > 0 , d工0 , S 3 =S 11 ,则S n中的最大值是( )A . S 7 _________B . S 7 或S 8 __________________C . S 14 __________D . S 87. 若1 + 2 + 2 2 +……+ 2 n > 100 ,1] 沙 , 则n的最小值为()A . 6 ________________B . 7 ________C . 8 ___________________D . 98. 数列｛ : ｝的通项公式是=——(•八)，那么：与，+1的大小关系是 ()A•■*>B-i - i C .C7,_=j ft 扃十nD.不能确定9.已知1=1 ,则亍' 的最小值为 ( )A .8B.6C.2的D .痂在不等式组1 -2<0.10.已知点P(x ,y )y-l<0,表小的平面区域上运动x+2rr2>0则z=x-y的取值范围是( )A .[--2 ,-1]B .[—-2 , 1 ]C . [ - 12]D[1 ,2]11. 若不等式7- ■■ - - ■ C 的解集为■■- I 7 V ■■--:，贝I」，•.值是() A—10B.—14 C . 10D.1412.在八ABC中，zA=60 °,a=：Je,b =4 ,满足条件的△ABC ()A.无解B.有解C.有两解 D .不能确定13.在△ABC中，a' ■+ c'4-&,则A等于()A.60°B45° C .120° D .30°14. 已知△ ABC 中，a = 4 , b = 4 . , Z A = 30 ° ，则 / B 等于()A . 30° _____________B . 30° 或150° ____________ C. 60°_____________ D . 60°或120°15. 在厶ABC中，若，:，- , ,则厶ABC的形状是()A .等腰三角形__________________________________ B.直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形.填空题二、16.已知0< 2a <1,若A=1+a 2 , B= ，则A与B的大小关系是1 —/J17.在厶ABC中， B = 135 °, C = 15 °, a = 5 ,则此三角形的最大边长为18. 设2 0,20仏4耳・h求丄+丄的讹小血X V19. 在—中，若? - ■ ■.■■■ -! —,贝［J 的外接圆的半径为20. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：翦|牛第2个第H个则第H个图案中有白色地面砖_________________ 块三、解答题21. (本小题12分)已知；，；是等差数列，其中•二二(1)求：的通项公式；（2）数列：：从哪一项开始小于0。
【精品高二数学试卷】2019-2020西安高二(上)期中(理科)+答案
2019-2020学年陕西省高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（3分）某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( ) A ．2次都不中靶 B ．2次都中靶 C ．至多有1次中靶D ．只有1次中靶2．（3分）某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，⋯，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．008号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生3．（3分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480C ．450D ．1204．（3分）432(x 的展开式中的常数项为( )A ．32-B ．32C ．6D ．6-5．（3分）《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为( ) A ．23B ．12 C ．13D ．146．（3分）随机变量X 服从正态分布2(3,)σ，且(4)0.84P X =…，则(24)(P X <<= ) A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.847．（3分）若6260126(23)x a a x a x a x -=+++⋯+，则1236a a a a +++⋯+等于( ) A ．4-B ．4C ．64-D ．63-8．（3分）将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有( ) A ．480种B ．240 种C ．960种D ．720 种9．（3分）从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有( ) A ．9种B ．12种C ．54种D ．72种10．（3分）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A ．45B ．12C ．56D ．3711．（3分）以图中的8个点为顶点的三角形的个数是( )A ．56B ．48C ．45D ．4212．（3分）已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为(01)p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．1(0,)2B ．7(0,)12 C ．1(,1)2D ．7(,1)12二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．（3分）若2(2n x x的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，则n = ．14．（3分）有五本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人一本，另两人各两本，不同的分配方法有 种．15．（3分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为 ．16．（3分）如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（10分）（1）解方程：2399()x x C C x N -=∈； （2）解不等式：1996()x x A A x N ->∈． 18．（12分）已知(2n x x的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．19．（12分）如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元）的几组对照数据：x （年)2 3 4 5 6 y （万元）12.5344.5参考公式：121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． （1）若知道y 对x 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？20．（12分）已知某摸球游戏的规则如下：从装有5个大小、形状完全相同的小球的盒中摸球（其中3个红球、2个黄球），每次摸一个球记录颜色并放回，若摸出红球记1分，摸出黄球记2分．（1）求“摸球三次得分为5分”的概率；（2）设ξ为摸球三次所得的分数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．21．（12分）进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；（Ⅱ）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++22．（12分）有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线；③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于垂点线）．该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如表：若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2，若进入国家集训队，则提前录取，箬未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．（注:自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率．2019-2020学年陕西省高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分） 【解答】解：某人在打靶时，连续射击2次， 事件“至少有1次中靶”的互斥事件是2次都不中靶． 故选：A ．【解答】解：由题意得抽样间隔为100010100=，因为036号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为006号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和， 故选：C ．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分)的频率为110(0.0050.015)0.8-⨯+=，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 6000.8480⨯=（人)．故选：B ．【解答】解：展开式的通项为12613(r r r r T C x -+=， 令1260r -=得2r =，43(x 的展开式中的常数项即22213(6T C +==．故选：C ．【解答】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为246C =个，而取到红楼梦包含133C =个基本事件， 所以取到《红楼梦》的概率为3162P ==， 故选：B ．【解答】解：(2)(4)10.840.16P X P X ==-=剠， (24)(4)(2)0.840.160.68P X P X P X ∴<<=-=-=剟．故选：C ．【解答】解：6260126(23)x a a x a x a x -=+++⋯+Q ，令0x =，可得064a =， 再令1x =，可得1236641a a a a ++++⋯+=，123663a a a a ∴+++⋯+=-，故选：D ．【解答】解：若A ，B 在C 的左侧，有222A =种，然后将，D ，E ，F 分别进行插空有456120⨯⨯=种，此时有2120240⨯=种，同理若A ，B 在C 的右侧，也有240种， 则共有240240480+=种， 故选：A ．【解答】解：从5人中选3人，分别从事三项不同的工作，则有335360C A =， 若3人都是男生，则有33336C A =， 则这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有60654-=种， 故选：C ．【解答】解：设小明到达时间为x ， 当x 在7:50至8:00，或8:20至8:30时， 小明等车时间不超过10分钟， 故201402P ==， 故选：B ．【解答】解：若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3412⨯=个．若三角形的三个顶点都不用公共点，则有223443121830C C +=+= 个， 故总个数是123042+= 故选：D ．【解答】解：由已知条件可得(1)P X p ==，(2)(1)P X p p ==-，232(3)(1)(1)(1)P X p p p p ==-+-=-， 则()(1)2(2)3(3)E X P X P X P X ==+=+=222(1)3(1)33 1.75p p p p p p =+-+-=-+>， 解得52p >或12p <， 又由(0,1)p ∈，可得1(0,)2p ∈．故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，共20分）【解答】解：由2(2n x -的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，二项式系数之和为64，即264n =，可得6n =， 故答案为：6．【解答】解：将5本不同的书分成满足题意的3组只有2，2，1则不同的分配方法有2235332290C C A A =g g 种， 故答案为：90．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为22212122203333333327++=g g g g g ，其中，比赛进行了3局的概率为212122833333327+=g g g g ， 则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为822720527=，故答案为：25． 【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92， 则甲的平均成绩：1(8889909192)905++++=设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90X + 则乙的平均成绩：1(8383879990)88.455xx +++++=+，当9x =，甲的平均数<乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为110， 当8x =，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为110， 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为114110105--= 故答案为：45． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 【解答】解：（1）因为2399x x C C -=， 所以23x x =-或239x x +-=，解得3x =或4x =； （2）Q 1996x x A A ->， 解原不等式即9!69!(9)!(91)!x x ⨯>--+， 其中29x 剟，*x N ∈，即106x ->，4x <， 故2x =或3．∴原不等式的解集为{2，3}． 【解答】解：二项式(nx +展开式的通项公式为3211()2n r rn rrr r r nnT C xC x --+==g g g ，(0r =，1，2，⋯，)n ；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得12211()22n n C C =g g ，即11(1)242n n n -=g， 解得5n =；（2）二项式展开式的通项公式为352151()2r r r r T C x -+=g g ，(0r =，1，2，⋯，5)；当0r =，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为0055151()2T C x x ==g g ，225323515()22T C x x -==g g ，44565515()216T C x x-==g ． 【解答】解：（1）根据所给表格数据计算得2345645x ++++==，1 2.534 4.535y ++++==，5127.512202768.5i ii x y==++++=∑，5214916253690i i x ==++++=∑，∴515221568.560ˆ0.8590805i ii ii x yx ybxx ==--===--∑∑g ，ˆˆ0.4a y bx =-=-， y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.850.4yx =-； （2）由（1）得，当10x =时，ˆ0.85100.48.1y=⨯-=， 即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元． 【解答】解：（1）由题意得，记A 表示“摸球三次得分为5分”， 则摸出的三个球应该为一次红球两次黄球， 则P （A ）1233236()55125C =⨯=； （2）记η为摸出三次球中红球的次数，则12(3)6ξηηη=⨯+⨯-=-，易得η服从二项分布3(3,)5B ．η可以取0，1，2，3，所以ξ可以取6，5，4，3，0033328(6)(0)()()55125P P C ξη=====， 11233236(5)(1)()()55125P P C ξη=====， 22133254(4)(2)()()55125P P C ξη=====， 33033227(3)(3)()()55125P P C ξη=====， 所以，ξ的分布列为3663 4.25E E ξη=-=-⨯=．【解答】解：（Ⅰ）根据列联表，计算222()220(90402070)559.167 6.635()()()()110110160606n ad bc K a b b d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；（Ⅱ）从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，没有私家车的应抽取2人，记为A 、B ，有私家车的抽取4人，记为c 、d 、e 、f ；从这6人中随机抽取2人，基本事件为：AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Bc 、Bd 、Be 、Bf 、cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共15种；则抽到的2人中至少有1人“没有私家车”的基本事件为：AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Bc 、Bd 、Be 、Bf 共9种；故所求的概率为93155P ==． 【解答】解：（Ⅰ）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A ，B ，则P （A ）0.5=，P （B ）0.2=，1()()10.50.5(10.2)0.9P P A P AB =+=-+⨯-=， 即该学生参加自主招生考试的概率为0.9；（Ⅱ）该学生参加考试的次数X 的可能取值为2，3，4，(2)P X P ==（A ）P （B ）0.50.20.1=⨯=，(3)()10.50.5P X P A ===-=，(4)P X P ==（A ）()0.50.80.4P B =⨯=，所以X 的分布列为()20.130.540.4 3.3E X =⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）该生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到概型的录取分数线录取的事件分别为C ，D ．()0.1P AB =，P （C ）0.90.60.90.486=⨯⨯=，P （D ）0.90.40.70.252=⨯⨯=，所以该学生被该校录取的概率为2()P P AB P =+（C ）P +（D ）0.838=．。
【精品高二数学试卷】2019-2020西安高二(上)期中(文科)+答案
2019-2020学年陕西省高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“a 不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q 的( ) A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：)kg 分别是1x ，2x ，⋯，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．1x ，2x ，⋯，n x 的平均数B ．1x ，2x ，⋯，n x 的标准差C ．1x ，2x ，⋯，n x 的最大值D ．1x ，2x ，⋯，n x 的中位数3．（5分）若命题:[0,],tan 14p x x π∀∈„，则命题p 的否定为( )A ．00[0,],tan 14x x π∃∈„B ．00[0,],tan 14x x π∃∈<C ．00[0,],tan 14x x π∃∈…D ．00[0,],tan 14x x π∃∈>4．（5分）椭圆22194x y +=的离心率是( )A B C ．23 D ．595．（5分）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点(,)P m n 的坐标，那么点P 在圆2217x y +=内部的概率是( ) A ．13B ．25C ．29D ．496．（5分）执行右面的程序框图，当输出结果为8时，输入的n 值为( )A ．4B ．5C ．6D ．77．（5分）设0x >，y R ∈，则“x y >”是“||x y >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，79．（5分）抛物线218y x =-的准线方程是( )A ．132x =B ．12x =C ．2y =D ．4y =10．（5分）已知条件:3p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p 是q 的()A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件11．（5分）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．4812．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点P ，使得123PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则离心率的取值范围是( )A ．1[,1)2B ．1(0,)2C ．1[,1)3D ．1(0,)3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）总体编号为01，02，19⋯，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ．14．（5分）椭圆22241x y +=的焦点坐标为 ．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，⋯，2019x 的方差是9，则121x +，221x +，321x +，⋯，201921x +的方差为 ．16．（5分）已知点P 到y 轴的距离比它到点(1,0)的距离小1，则点P 满足的方程是 ． 三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p ：“方程20x m -+=有两个不相等的实数根”， q ：“124m +<”． （Ⅰ）若p 为真命题，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．（12分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“⨯”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．AB C D E F子女教育 〇〇⨯ 〇⨯ 〇 继续教育 ⨯ ⨯ 〇⨯ 〇〇大病医疗 ⨯ ⨯ ⨯ 〇⨯ ⨯ 住房贷款利息 〇 〇 ⨯ ⨯ 〇 〇 住房租金 ⨯⨯〇⨯⨯⨯赡养老人〇 〇⨯ ⨯ ⨯〇()i 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 19．（12分）（Ⅰ）求以2220x y y +-=的圆心为焦点的抛物线方程；（Ⅱ）若0(P x ，0)y 为（Ⅰ）中所求抛物线上任意一点，求点P 到直线20x y --=的距离的最小值，并写出此时点P 的坐标．20．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，⋯，[80，90]，并整理得到频率分布直方图（如右图所示）．（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数． （Ⅱ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．21．（12分）设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22．（12分）（Ⅰ）计算：①若1A ，2A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，(0,2)P ，则12PA PA k k =g ；②若1A ，2A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，4()3P ，则12PA PA k k =g ；③若1A ，2A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，(1,P ，则12PA PA k k =g ．（Ⅱ）观察①②③，由此可得到：若1A ，2A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，P为椭圆上任意一点，则12PA PA k k =g ？并证明你的结论．2019-2020学年陕西省高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【解答】解：命题P ：正数a 的平方不等于0；命题q ：“a 不是正数，则它的平方等于0”；满足否命题的定义， 故命题P 是命题q 的否命题． 故选：B ．【解答】解：在A 中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C 中，最大值是一组数据最大的量，故C 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”， 故D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度． 故选：B ．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即00[0,],tan 14x x π∃∈>，故选：D ．【解答】解：椭圆22194x y +=，可得3a =，2b =，则c =所以椭圆的离心率为：c a =故选：B ．【解答】解：这是一个古典概型由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有6636⨯=个， 而满足2217x y +<的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2) 共有8个，82369P ∴==， 故选：C ．【解答】解：模拟程序的运行，可得1A =，1B =，3k =，满足判断框内的条件，执行循环体3n „，2C =，1A =，2B =，4k = 满足判断框内的条件，执行循环体4n „，3C =，2A =，3B =，5k = 满足判断框内的条件，执行循环体5n „，5C =，3A =，5B =，6k = 满足判断框内的条件，执行循环体6n „，8C =，5A =，8B =，7k = 由题意，此时应该不满足判断框内的条件7n „，退出循环，输出C 的值为8， 可得n 的值为6． 故选：C ．【解答】解：设0x >，y R ∈，当0x >，1y =-时，满足x y >但不满足||x y >，故由0x >，y R ∈，则“x y >”推不出“||x y >”， 而“||x y >” ⇒ “x y >”，故“x y >”是“||x y >”的必要不充分条件， 故选：C ．【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65， 故乙组数据的中位数也为65， 即5y =，则乙组数据的平均数为：66， 故3x =， 故选：A ．【解答】解：抛物线218y x =-的标准方程为：28x y =，可得4p =，抛物线218y x =-的准线方程是：2y =． 故选：C ．【解答】解：若直线2y kx =+与圆221x y +=相切， 则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即3k =±，p ∴是q 的充分不必要条件．故选：C ．【解答】解：设抛物线的解析式为22(0)y px p =>， 则焦点为(2p F ，0)，对称轴为x 轴，准线为2p x =- Q 直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又AB x ⊥Q 轴||212AB p ∴== 6p ∴=又Q 点P 在准线上 (||)622p pDP p ∴=+-==11()6123622ABP S DP AB ∆∴==⨯⨯=g故选：C ．【解答】解：设2PF x =，根据椭圆的定义，1224PF PF a x +==，所以12x a =，[x a c ∈-，]a c +，所以12a c a a c -+剟，得2a c „，所以122c c e a c ==…，又1e <，所以离心率的取值范围是1[,1)2．故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，19，14，01，04，00．其中第三个和第五个都是14，重复．可知对应的数值为08，02，14，19，01， 则第5个个体的编号为01． 故答案为：01．【解答】解：椭圆22241x y +=的标准方程为：2211124x y += 所以212a =，214b =，22214c a b =-=，12c =，又因为a b >，焦点在x 轴上，所以的焦点坐标为1(2-，0)，1(2，0)，故答案为：1(2-，0)，1(2，0)．【解答】解：数据1x ，2x ，3x ，⋯，2019x 的方差是9， 则121x +，221x +，321x +，⋯，201921x +的方差为22936⨯=．故答案为：36．【解答】解：依题意，①当0x …时，点P 到y 轴的距离比它到点(1,0)的距离小1， 则点P 到1x =-的距离和到(1,0)的距离相等，根据抛物线的定义， ∴点P 在以(1,0)为焦点，1x =-为准线的抛物线上，所以此时点P 的方程为222y x =⨯⨯，即24y x =，②当0x <时，点P 到y 轴的距离比它到点(1,0)的距离小1， 则点P 到y 轴的距离等于点P 到(0,0)的距离，又(0,0)在y 轴上， 所以此时点P 在x 轴的负半轴上， 此时P 点方程为0y =，(0)x <，综上点P 满足的方程是：24y x =或0(0)y x =<． 故答案为：24y x =或0(0)y x =<．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【解答】解：（Ⅰ）若p 为真命题，则应有△840m =->，解得2m <． （Ⅱ）若q 为真命题，则有12m +<，即1m <，因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题．则p ，q 应一真一假． ①当p 真q 假时，21m m <⎧⎨⎩…，可得12m <„，②当p 假q 真时，21m m ⎧⎨<⎩…，无解，综上实数m 的取值范围是[1，2)．【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10， 由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人； （Ⅱ）()i 从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，}B ，{A ，}C ，{A ，}D ，{A ，}E ，{A ，}F ， {B ，}C ，{B ，}D ，{B ，}E ，{B ，}F ，{C ，}D ，{C ，}E ，{C ，}F ，{D ，}E ，{D ，}F ，{E ，}F ，共15种； ()ii 由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，}B ，{A ，}D ，{A ，}E ，{A ，}F ，{B ，}D ，{B ，}E ， {B ，}F ，{C ，}E ，{C ，}F ，{D ，}F ，{E ，}F ，共11种，所以，事件M 发生的概率11()15P M =． 【解答】解：（Ⅰ）2220x y y +-=Q 的圆心为(0,1)，∴抛物线焦点为(0,1)， 则抛物线是开口向上的抛物线，设方程为22(0)x py p =>，则12p=，2p =． ∴抛物线方程为24x y =；（Ⅱ）由已知，2004x y =，从而点P 到直线20x y --=的距离为220001|2||(2)1|x x x d -----=， 当02x =，即P 的坐标为(2,1)． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40，50)内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为540020100⨯=． （Ⅱ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=， 所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=． 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2．【解答】解：设事件A 为“方程有实根”．当0a >，0b >时，方程有实根的充要条件为a b …（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个： (0，0)(0，1)(0，2)(1，0)(1，1)(1，2)(2，0)(2，1)(2，2)(3，0)(3，1)(3，2) 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，∴事件A 发生的概率为93124P == （2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{(,)|03a b a 剟，02}b 剟 满足条件的构成事件A 的区域为{(,)|03a b a 剟，02b 剟，}a b …∴所求的概率是2132222323⨯-⨯=⨯ 【解答】解：（Ⅰ）①由椭圆方程可得1(3,0)A -，2(3,0)A ，又(0,2)P ， ∴122020403039PA PA k k --==-+-g g ； ②由椭圆方程可得1(3,0)A -，2(3,0)A，又4()3P ，∴12440049PA PA k k --==-g ； ③由椭圆方程可得1(3,0)A -，2(3,0)A，又(1,P ，∴12043313139PA PA k k ==-+-g g ；（Ⅱ）若1A ，2A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，P 为椭圆上任意一点，则1222PA PA b k k a=-g ． 证明如下：设0(P x ，0)y ． 由题意：12000000,PA PA y y k k x a x a --==+-，则1220002200000PA PA y y y k k x a x a x a --==+--g g ． 又P 为椭圆上任意一点，满足2200221x y a b +=，得222002(1)x y b a=-， 代入可得12220222220(1)PA PA x b b a k k x a a -==--g ，得证． 故答案为：49-；49-；49-；22b a -．。
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2019-2020学年陕西省西安市西北大学附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题：①x R ∀∈，2104x x -+≥；②0x ∃>，1ln 2ln x x+≤；③若命题p q ∨是真命题，则p 是真命题；④22x x y -=-是奇函数；其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据全称命题、特称命题的真假性判断①②的真假性.根据含有逻辑联结词命题的真假性判断③的真假性.根据函数的奇偶性判断④的真假性. 【详解】对于①，由于214y x x =-+开口向上且11404∆=-⨯=，所以①为真命题. 对于②，当x e =时，1ln 22ln e e+=≤，故②为真命题. 对于③，p q ∨为真命题，可能p 假q 真，故③为假命题.对于④，构造函数()22xxf x -=-，函数()f x 的定义域为R ，且()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 为奇函数.故④为真命题.综上所述，真命题的个数有3个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题、含有逻辑联结词命题的真假性，考查函数的奇偶性，属于基础题.2．点B 是点(1,2,3)A 在坐标平面yoz 内的射影，则||OB 等于（ ） AB CD 【答案】B【解析】根据题意得A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影B ，利用两点之间的距离公式得到结果． 【详解】∵点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影，∴B 在坐标平面yOz 上，竖标和纵标与A 相同，而横标为0， ∴B 的坐标是（0，2，3），∴|OB |== 故选：B ． 【点睛】本题考查空间中的点的坐标，考查两点之间的距离公式，考查正投影的性质，是一个基础题．3．已知()():280,:340xp q x x ->--≥，则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q ⌝的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q ⌝的必要不充分条件 【答案】D【解析】先分解化简命题p,q 再根据范围大小判断充分必要性. 【详解】:2803x p x ->⇒>()():3404q x x x --≥⇒≥或3x ≤34q x ⌝⇒<<所以p 是q 的既不充分也不必要条件p 是q ⌝的必要不充分条件故答案选D 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，抓住范围的大小关系是解题的关键.4．已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C D ．【答案】D【解析】分析：由离心率计算出b a，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：e c a ===Q 1ba∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±= 所以点（4，0）到渐近线的距离d == 故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．5．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．3 B ．155C ．105D ．3 【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为21111,2,21221cos603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===Q ，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===，故选C ．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．7．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u v u u u v，则该椭圆的离心率为（ ） A 3B ．23C ．22D 3【答案】B【解析】设B 到右准线距离为d ，因为2AF FB =u u u v u u u v，所以 A 到右准线距离为2d ，从而2,3AF ed BF ed AB ed ==∴=Q 倾斜角为4π，2cos 433d e ed π∴=∴=，选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．设1111ABCD A B C D -是边长为a 的正方体，1A C 与1B D 相交于点O ，则有（ ）A ．211AB AC a ⋅=u u u u r u u u r B．21AB AC ⋅u u u r u u u r C ．21CD AB a ⋅=u u u r u u u rD ．112AB AO a ⋅=u u u r u u u r 【答案】A【解析】利用向量数量积的运算对选项逐一计算进行验证，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，1111,,,,4A B a AC A B AC AB AC π====u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r，所以211cos 4A B AC a a π⋅=⋅=u u u u r u u u r ，所以A 选项正确.对于B选项，11111,,,,AB a AC AB AC A B AC ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以222111111cos A B AB AC a CA B a A C ⋅=⋅∠=⋅==u u u r u u u r ，所以B 选项错误. 对于C选项，11113,,,,4CD a AB CD AB BA AB B AB ππ====-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以213cos 4CD AB a a π⋅=⋅=-u u u r u u u r ，所以C 选项错误. 对于D选项，11111,,,,2AB a A O AB A O A B A C ===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u u r u u u r，所以2221111111cos 2A B AB AO a CA B a AC ⋅=⋅∠=⋅==u u u r u u u r ，所以D 选项错误. 故选：A【点睛】本小题主要考查空间向量的数量积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.9．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】B【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x = 【答案】C【解析】∵抛物线C 方程为22(0)y px p =>,∴焦点(,0)2pF ，设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52p x =-， 因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52， 由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.11．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1） ∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ），∴=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） =+ =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0∴ 0PA PC ⋅<u u u r u u u r∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 12．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设出直线1l ，2l 的方程，联立直线1l ，2l 的方程与抛物线方程，写出韦达定理，根据抛物线的弦长公式，求得AB DE +的表达式，再结合基本不等式求得AB DE +的最小值. 【详解】抛物线的焦点坐标为()1,0F ，依题意可知直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l 的方程为()1y k x =-，则直线2l 的方程为()11y x k=--. 由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 得()2222240k x k x k -++=，所以2222442A B k x x k k ++==+，所以244A BAB x x p k =++=+. 同理可求得244C D CD x x p k =++=+.所以22484816AB k k DE =++≥+=+，当且仅当2244,1k k k ==±时取得最小值. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．若命题“2,0x R x x a ∃∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】根据特称命题是假命题进行转化即可 【详解】Q 命题“20x R x x a ∃∈-+<，”是假命题，则命题“20x R x x a ，∀∈-+≥”是真命题， 则140a =-≤n ，解得14a ≥则实数a 的取值范围是14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．14．设x ∈R ，则21x -<是220x x +->的_______________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 【答案】充分不必要【解析】求出两个不等式的解集，根据集合的包含关系说明．【详解】2113x x -<⇔<<，2202x x x +->⇔<-或1x >，∵(1,3)(,2)(1,)-∞-+∞U Ü，∴21x -<是220x x +->的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的概念是解题关键．充分必要条件与集合的包含之间关系：命题p 对应集合是A ，命题q 对应集合是B ，则A B ⊆⇔p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，A B =⇔p 是q 的充要条件，A B Ü⇔p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BA 11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为10，则线段BD 的长为_______．【答案】22【解析】以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，设(0,,2)(11)D t t -≤≤，用空间向量法求得t ，进一步求得BD. 【详解】以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，如下图．31(0,0,0),(,2),(0,1,0),(0,,2)(11)2E F B D t t --≤≤ 31,2),(0,1,2)2EF BD t ==+u u u v u u u v2(1)4102cos 5(1)4t EF BD EF BD t θ++⋅===⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 解得t=1，所以22BD =，填22．【点睛】利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.16．已知直线1l 是抛物线C ：28y x =的准线，P 是C 上的一动点，则P 到直线1l 与直线2l ：34240x y -+=的距离之和的最小值为________. 【答案】6【解析】将P 到准线的距离，转化为到焦点的距离，由此利用焦点到直线34240x y -+=的距离求得所求的最小值.【详解】依题意，抛物线的准线为2x =-，焦点坐标为()2,0F .由于P 到准线的距离等于到焦点的距离，所以P 到直线1l 与直线2l ：34240x y -+=的距离之和，等于P 到焦点与直线2l 的距离之和，最小值为焦点F 到直线34240x y -+=的距离，即最小值为32402465⨯-⨯+=.故答案为：6 【点睛】本小题主要考查抛物线上的点到准线和到定直线的距离之和，考查抛物线的定义，属于基础题.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足22230(0)x ax a a --<>，命题q ：实数x 满足204xx -≥-． （I ）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（II ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）[)23，；（II ）43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【解析】分析：（1）将问题转化为当1a =时求不等式组的解集的问题．（2）将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件转化为两不等式解集间的包含关系处理，通过解不等式组解决． 详解：（1）当1a =时， 由2230x x --<得13x -<<，由204xx -≥-得24x ≤<， ∵p q ∧为真命题，∴命题,p q 均为真命题， ∴13,24,x x -<<⎧⎨≤<⎩解得23x ≤<，∴实数x 的取值范围是[)2,3．（2）由条件得不等式22230x ax a --<的解集为(),3a a -， ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， ∴[)()2,4,3a a -， ∴2,34,a a -<⎧⎨≥⎩解得43a ≥，∴实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．18．求适合下列条件的曲线的标准方程：（1）4,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程； （2）4,3a b ==，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程；（3）焦点在x 轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.【答案】(1)22116x y +=；(2)2211625y x -=；(3)24x y =或24x y =-.【解析】试题分析：（1）利用几何元素的值和焦点位置直接写出椭圆的标准方程；（2）利用几何元素的值和焦点位置直接写出双曲线的标准方程；（3）利用抛物线的定义（抛物线22(0)y px x =>的焦点到准线的距离等于p ）进行求解. 试题解析：（1）根据题意知4,1a b ==， 焦点在x 轴上， ∴2216,1a b ==，故椭圆的标准方程为：221161x y +=，即22116x y +=.（2）解:由题意，设方程为()222210,0y x a b a b-=>>，∵4,5a b ==， ∴2216,25a b ==，所以双曲线的标准方程是2211625y x -=.（3）∵焦点到准线的距离是2， ∴24p =，∴当焦点在y 轴上时，抛物线的标准方程为24x y =或24x y =-.19．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点,,E F G 分别是,,AB AD CD 的中点，设,,,AB a AC b AD c a b c ===u u u vu u uv u u uv v v v v vv，，为空间向量的一组基底，计算：（1）EF BA ⋅u u u v u u u v ;（2）EG u u u v .【答案】(1)14；（2）22. 【解析】（1）先根据条件确定,a b c v v v，的模以及相互之间的夹角，再根据向量共线以及加减法表示EF BA u u u v u u u v ，，最后根据向量数量积求结果，（2）根据向量减法表示EG u u u v，再根据向量模的定义以及向量数量积求结果. 【详解】(1） 因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，所以π1,,,,3a b c a b b c c a ======v v v v v v v v v ，因为点,E F 分别是,AB AD 的中点，所以111()()222EF BD AD AB c a ==-=-u u u v u u u v u u u v u u u v v v，EF BA ∴⋅u u u v u u u v 1111=()()(111)2224c a a -⋅-=-⨯⨯+=v v v （2）因为11()22EG EF FG c a b =+=-+u u u v u u u v u u u v vv v ，所以21111112||()1112112112112222222EG c a b =-+=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯u u u v v v v【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为2斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭ 共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=；；（Ⅲ）1. 【解析】（Ⅰ）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程； （Ⅱ）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x =-=， 易得当20m=时，max ||AB =AB ； （Ⅲ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213kx xk+=-+，即2131211213kx xk=--+，又1112ykx=+，代入①式可得13171247xxx--=+，所以13147yyx=+，所以11117124747x yCx x⎛⎫--⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x yDx x⎛⎫--⎪++⎝⎭,．故3371,44QC x y⎛⎫-⎪⎭=+⎝uuu v，4471,44QD x y⎛⎫-⎪⎭=+⎝uuu v，因为,,Q C D三点共线，所以344371714444x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D的坐标代入化简可得12121y yx x-=-，即1k=．【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式2211AB k x x=+-变形为221212||1()4AB k x x x x=+⋅+-，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.21．如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，2SA AB BC===，1AD=.（1）若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD；（2）当2SM MB=时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置.【答案】（1）见解析；（2）66；（3）即点N在线段CD上且115ND=【解析】（1）取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．可证AMED 是平行四边形，从而有//AM DE ，则可得线面平行；（2）以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面AMC 与平面SAB 的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<，求出MN u u u u r，由MN 与平面SAB 所成角的正弦值为MN u u u u r与平面SAB 的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论． 【详解】（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．在中，ME 为中位线，∴//ME BC 且12ME BC =， ∵//AD BC 且12AD BC =，∴//ME AD 且ME AD =， ∴四边形AMED 为平行四边形． ∴//AM DE ．∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ， ∴//AM 平面SCD ．（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()A 0,0,0，()B 0,2,0，()C 2,2,0，()D 1,0,0，()S 0,0,2，由条件得M 为线段SB 近B 点的三等分点．于是2142(0,,)3333AM AB AC =+=u u u u r u u u r u u u r ，即42M 0,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面AMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则00AM n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u v v ， 将坐标代入并取1y =，得(1,1,2)n =--r．另外易知平面SAB 的一个法向量为m u r()1,0,0=，所以平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为m nm n ⋅u r ru r r 66=． （3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<．由于42M 0,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN u u u u r 102x,2x ,33⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．所以22sin 401041041401553993MN m MN m x x x xθ⋅===-+⋅-⋅+u u u u r u r u u u u r u r ， 可知当401153208x 269-=-=，即26x 15=时分母有最小值，此时有最大值，此时，2622N ,,01515⎛⎫⎪⎝⎭，即点N 在线段CD 上且115ND = 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．。